MATEMÁTICA_EsPCEx-9

Prévia do material em texto

23 
𝑠ⅇ𝑛𝜃=𝑏𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑎𝜌 𝑇𝑔𝜃=𝑏𝑎 
 
EXEMPLO: 
Determine o argumento do seguinte número 
complexo: 
𝑧1=3+𝑖 
EXEMPLO: 
Determine o argumento do seguinte número 
complexo: 
𝑧2=12−32𝑖 
 
 
 
 
 
 
 
FORMA TRIGONOMETRICA OU POLAR 
Seja 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 a forma algébrica de um número 
complexo. Vejamos: 
 
𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑎𝜌 𝑠ⅇ𝑛𝜃=𝑏𝜌 
EXEMPLO: 
Obtenha a forma polar ou trigonométrica dos 
seguintes números complexo: 
a) 𝑧1=3−𝑖 
b) 𝑧2=3𝑖 
c) 𝑧3=−2−2𝑖 
 
 
(Teoria dos Conjuntos e Conjuntos 
Numéricos) (Conjunto dos números 
complexos) - Potência de i; - 
Operações na forma trigonométrica. 
POTÊNCIA DE i 
Seja 𝑖 a unidade imaginária. Vamos calcular 𝑖𝑛, para
 alguns valores naturais de 𝑛. Vejamos: 
𝑖0 = 
𝑖1 = 
𝑖2 = 
𝑖3 = 
𝑖4 = 
𝑖5 = 
𝑖6 = 
𝑖7 = 
Calcule os exemplos abaixo: 
a) ⅈ13 
b) ⅈ26 
c (- ⅈ)37 
d) 3 + ⅈ⋅4−ⅈ−1328 
 e) 1 + i1−i133 
f) ⅈ+ⅈ2+ⅈ3+ⅈ4…+ⅈ1001 
g) ⅈ4𝑛+2 (para 𝑛 ∈ ℕ ) 
OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA 
Sejam dois números complexos: 
𝑧1=𝜌1cos𝜃1+ⅈ⋅𝑠ⅇ𝑛𝜃1 e 𝑧2=𝜌2cos𝜃2+ⅈ⋅𝑠ⅇ𝑛𝜃2 
MULTIPLICAÇÃO 
Na multiplicação desses dois números complexos, a 
gente multiplica os módulos e soma os argumentos, 
ou seja: 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
Esse raciocínio pode ser generalizado para um 
produto de 𝑛 números complexos 𝑧1∙𝑧2∙…∙𝑧𝑛, isto é, 
basta multiplicar todos os módulos e somar todos os 
argumentos envolvidos. 
 
http://www.elitemil.com.br/
24 
EXEMPLO: 
Sendo: 
𝑧1=6(cos30°+𝑖∙𝑠𝑒𝑛 30°) e 𝑧2=5(cos120°+𝑖∙𝑠𝑒𝑛 120°), 
calcule 𝑧1∙𝑧2. 
DIVISÃO: Na divisão desses dois números 
complexos, a gente divide os módulos e subtrai os 
argumentos, ou seja: 
𝑧1=𝜌1cos𝜃1+ⅈ⋅𝑠ⅇ𝑛𝜃1 e 𝑧2=𝜌2cos𝜃2+ⅈ⋅𝑠ⅇ𝑛𝜃2 
EXEMPLO: 
Sendo: 
𝑧1=8(cos150°+𝑖∙𝑠𝑒𝑛 150°) e 𝑧2=4(cos60°+𝑖∙𝑠𝑒𝑛 60°), 
calcule z1𝑧2 e z2𝑧1 
POTENCIAÇÃO 
O cálculo de 𝑧𝑛 fica muito trabalhoso se utilizamos a 
forma algébrica. Considerando a forma 
trigonométrica 𝑧=𝜌(𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑖∙𝑠𝑒𝑛𝜃), temos o seguinte: 
 𝑧𝑛=𝜌𝑛cos𝑛⋅𝜃+ⅈ∙𝑠ⅇ𝑛 𝑛⋅𝜃 
Esse resultado é conhecido como 1ª Fórmula de 
Moivre. 
EXEMPLO: 
Se 𝑧=2(cos60°+𝑖∙𝑠𝑒𝑛 60°), qual é o valor de 𝑧5? 
EXEMPLO: 
Qual é o valor de (23 −2𝑖)8? 
(Teoria dos Conjuntos e 
Conjuntos Numéricos) (Conjunto 
dos números complexos) - 
Radiciação nos complexos. 
Potenciação 
𝑧𝑛=𝜌𝑛cos𝑛⋅𝜃+ⅈ∙𝑠ⅇ𝑛𝑛⋅𝜃 
1ª Fórmula de Moivre 
Radiciação 
Se 𝑧=𝜌cos𝜃+ⅈ⋅𝑠ⅇ𝑛𝜃, suas raízes enésimas são dadas 
por: 
wk=nρcosθ + 2kπn+ⅈ⋅sⅇnθ + 2kπn onde 
n∈ℕ∗ⅇ k=0,1,2…n−1 
Essa expressão é conhecida como 2ª Fórmula de 
Moivre. 
Exemplo: Determine as raízes cúbicas de z = 8. 
1 - Vamos calcular o módulo e o argumento de z para 
a aplicação da 2ª fórmula de Moivre: 
2 - As raízes cúbicas de 8 são dadas por: 
𝑤𝑘=𝑛𝜌cosθ + 2kπ𝑛+ⅈ⋅𝑠ⅇ𝑛θ + 2kπ𝑛 
O número k pode assumir os valores 0, 1 e 2: 
Para k = 0. 
Para k = 1. 
Para k = 2. 
Geometricamente, note que as três raízes estão 
sobre uma circunferência de raio 2 e são vértices de 
um triângulo equilátero. 
 
Exemplo: Determine as raízes de 4𝑧, com z = 16. 
1 - Vamos calcular o módulo e o argumento de z para 
a aplicação da 2ª fórmula de Moivre: 
2 - As raízes de 4𝑧, com z = 16 são dadas por: 
𝑤𝑘=𝑛𝜌cosθ + 2kπ𝑛+ⅈ⋅𝑠ⅇ𝑛θ + 2kπ𝑛 
O número k pode assumir os valores 0, 1, 2 e 3: 
Para k = 0. 
Para k = 1. 
Para k = 2. 
Para k = 3. 
Geometricamente, note que as quatro raízes estão 
sobre uma circunferência de raio 1 e são vértices de 
um quadrado. 
http://www.elitemil.com.br/
25 
 
(Teoria dos Conjuntos e 
Conjuntos Numéricos) (Conjunto 
dos números complexos) - 
Equações binômias e trinomiais 
nos complexos. 
EQUAÇÕES BINÔMIAIS 
Qualquer equação que possa ser reduzida à forma 
abaixo, é chamada equação binômia: 
𝑎𝑥𝑛+𝑏=0, com 𝑎 ⅇ 𝑏∈ℂ, 𝑎 ⅇ 𝑏≠𝑜 ⅇ 𝑛∈ℕ 
Para resolve-la, isolamos 𝒙𝒏 no primeiro membro e 
aplicamos a segunda fórmula de De Moivre: 
Essa equação admite enésimas raízes para 
z = −𝑏𝑎 
Em ℂ, encontre as raízes da equação 3𝑥4+48=0 
EQUAÇÕES TRINÔMIAIS 
Outro tipo muito comum de equação que envolve 
números complexos é o que se pode reduzir à 
chamada equação trinômia: 
𝑎𝑥2𝑛+𝑏⋅𝑥𝑛+𝑐=0, com 𝑎, 𝑏 ⅇ 𝑐∈ℂ, 𝑎≠0, 𝑏≠0 ⅇ 𝑛∈ℕ. 
Para solucioná-la, fazemos uma mudança de 
variável, 𝑥𝑛=𝑦 obtendo uma equação do 2º grau: 
𝑎𝑦2+𝑏𝑦+𝑐=0 
Em ℂ, encontre as raízes da equação 𝑥6+7𝑥3−8=0 
(Teoria dos Conjuntos e Conjuntos 
Numéricos) - ATIVIDADE EXTRA I. 
01 – (AFA – 2017) 
Sejam os números reais 
a. (−1)2∙0,1222….(1,2)−1 
b. comprimento de uma circunferência de raio 1 
c. 12∙90∙160∙147 
Sendo ℕ, ℤ, ℚ 𝑒 ℝ os conjuntos numéricos, assinale 
a alternativa FALSA. 
a){𝑎,𝑐}⊂ℚ 
b) 𝑐∈(ℤ∩ℕ) 
c) ℝ−ℚ⊃{𝑏,𝑐} 
d) {𝑎,𝑐}⊂(ℝ∩ℚ) 
02 – (EsSA – 2008) 
A proporção entre as medalhas de ouro, prata e 
bronze conquistada por um atleta é 1:2:4, 
respectivamente. Se ele disputar 77 competições e 
ganhar medalhas em todas elas, quantas medalhas 
de bronze ele ganhará? 
a) 55 
b) 33 
c) 44 
d) 22 
e) 11 
03 – (EEAR – 2001) 
Seja 𝑝𝑞 a forma irredutível do resultado da 
expressão 
234+112414−112+1,2363636… o valor de p – q é 
a) 78 
b) 98 
c) 324 
d) 524 
04 – (EsPCEx – 2006) 
Este ano, duas empresas patrocinarão a premiação, 
em dinheiro, dos alunos de uma escola pelo destaque 
no critério “Melhor Rendimento Escolar”. A empresa 
alfa doará um montante de R$ 9.600,00 e a empresa 
Bravo de R$ 7.800,00. Cada aluno deve receber 
como prêmio um cheque de somente uma das 
empresas e todos os cheques devem ter o mesmo 
valor. Se todo esse montante for distribuído, o 
número mínimo de alunos que poderá ser 
contemplado nessa premiação é de 
a) 25 
b) 29 
c) 30 
d) 32 
e) 40 
 
 
http://www.elitemil.com.br/