MATEMÁTICA_EsPCEx-33

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3) O sistema tem duas soluções - isso ocorre quando 
t for secante à 𝜆. Nesse caso, as soluções são 
representadas pelas coordenadas dos dois pontos de 
interseção entre t e 𝜆. 
 
Posições relativas entre duas circunferências 
Considere uma circunferência 𝜆1, de raio 𝑟1 e 𝑐1, e 
outra 𝜆2, de raio 𝑟2 e 𝑐2. 
Considere, também, a distância d entre essas duas 
circunferências 𝜆1 e 𝜆2 são possíveis as seguintes 
posições relativas: 
Externas 
 
Tangentes externas 
 
Circunferências secantes 
 
Circunferências tangentes internas 
 
Circunferência de raio menor interna à de raio maior 
 
 
’ 
ATIVIDADES 
 
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01) Dados os pontos A(-1,2) e B(0,4), pertencentes a 
um sistema de eixos ortogonais num plano, podemos 
afirmar que: 
I. A distância entre esses pontos é 5. 
II. A equação da reta que passa por esse ponto é 2x 
– y = -4. 
III. A equação da circunferência que tem centro em A 
e passa por B -e (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5. 
Das afirmativas anteriores, é(são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) I e II. 
e) II e III. 
02) Em qual das alternativas a seguir, o ponto p 
pertence ‘a circunferência β? 
a) P(5, 6); β: (x - 2)2 + (y - 6)2 = 
b) P(1, 2); β: (x - 2)2 + (y- 2)2 = 
c) P (1, 5); β: x2 + y2 - 8x + 6 = 0 
d) P (1, 3); β: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 0 
e) P (3, 1); β: x2 + y2 - 4x + 2y + 2 = 0 
03) No plano cartesiano, a reta de equação 3x + 4y = 
17 tangencia uma circunferência de centro no ponto 
(1,1). A equação dessa circunferência é: 
a) x2 + y – 2x – 2y – 4 = 0 
b) x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0 
c) x2 + y2 – 2x – 2y – 5 = 0 
d) x2 + y2 – 2x – 2y – 3 = 0 
e) x2 + y2 – 2x – 2y – 1 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA - Elipse. 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
Elise (origem) 
Seccionando um cone reto com um plano não 
paralelo ao plano da base desse cone, a figura obtida 
é uma elipse. 
 
Definição: 
Sejam F1 e F2 dois pontos distintos de um plano, tais 
que d(F1, F2) = 2c ≠ 0. Chamamos de elipse o lugar 
geométrico dos pontos desse plano, cuja soma das 
distâncias aos dois pontos F1 e F2 é uma constante 
2a ( > 2c). 
 
Elementos da elipse 
Pontos principais: 
𝐴1, 𝐴2 e 𝐵1,𝐵2 - Vértices 
𝐹1, e 𝐹2 - Focos 
C – Centro 
Segmentos: 
A1𝐴2 Eixo maior m(𝐴1,𝐴2 ) = 2a 
B1𝐵2 Eixo menor m(𝐵1,𝐵2 ) = 2b 
A1𝐴2 Distância focal m(𝐹1,𝐹2 ) = 2c 
 
Excentricidade: 
ⅇ=𝒄𝒂 (𝟎<ⅇ<𝟏) 
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Relação importante: 
𝒂𝟐=𝒃𝟐+𝒄𝟐 
Equação reduzida: 
I - Quando o centro da elipse se encontra na origem 
do plano cartesiano e os focos no eixo das abscissas 
temos: 
 
𝐱𝟐𝒂𝟐+𝐲𝟐𝒃𝟐= 1 
Exemplo: 
Dada uma elipse cuja medida do eixo maior é igual a 
10 e a distância entre os focos vale 6, com os focos 
no eixo das abcissas e o centro na origem, determine 
a equação dessa elipse. 
Equação reduzida: 
II - Quando o centro da elipse se encontra na origem 
do plano cartesiano e os focos no eixo das ordenadas 
temos: 
 
𝐱𝟐𝒃𝟐+𝐲𝟐𝒂𝟐= 1 
Exemplo: 
Dada uma elipse cuja medida do eixo maior é igual a 
10 e a distância entre os focos vale 8, com os focos 
no eixo das ordenadas e o centro na origem, 
determine a equação e a excentricidade dessa elipse. 
Equação reduzida: 
III - Quando o centro da elipse não se encontra na 
origem do plano cartesiano temos: 
 
(𝐱 −𝒙𝟎)𝟐𝒂𝟐+(𝐲 −𝒚𝟎)𝟐𝒃𝟐= 1 
 
(𝐱 −𝒙𝟎)𝟐𝒃𝟐+(𝐲 −𝒚𝟎)𝟐𝒂𝟐= 1 
Exemplo: 
Determine a equação da elipse que tem centro no 
ponto O(6, 8), semieixo maior a = 10, semieixo menor 
b = 8 e eixo maior paralelo ao eixo x? 
Equação geral: 
A equação geral é obtida pelo desenvolvimento das 
formas reduzidas. 
Considere a elipse x − m2𝐸1+y − n2𝐸2=1, com 𝐸1 ≠ 
𝐸2, com ambos positivos. Ao desenvolver e ordenar, 
obtemos 
𝑬𝟐𝒙𝟐+𝑬𝟏𝒚𝟐−𝟐𝑬𝟐𝒎𝒙−𝟐𝑬𝟏𝒏𝒚+𝑬𝟐𝒎𝟐+𝑬𝟏𝒏𝟐−𝑬𝟏𝑬𝟐=
𝟎 
Observação: 
Quando a equação da elipse se apresentar em sua 
forma geral é recomendável transforma essa 
equação para sua forma reduzida, conforme 
exemplos a seguir: 
Exemplos: 
Dada as seguintes equações das elipses 
representadas em suas formas gerais. Determine 
suas formas reduzidas: 
01) 4𝑥2+9𝑦2=36 
02) 4𝑥2−24𝑥+25𝑦2−64=0 
03) 9𝑥2+4𝑦2−18𝑥+16𝑦−11=0 
 
 
 
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