Trabalho vibrações mecânicas - NAVAL 2023

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
FACULDADE DE ENGENHARIA NAVAL 
PROFESSOR: FÁBIO ANTÔNIO DO NASCIMENTO SETÚBAL 
DISCIPLINA: VIBRAÇÕES MECÂNICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE VIBRAÇÕES 
MECÂNICA 
 
 
 
 
 
Data de entrega: 30 de novembro de 2023. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belém 
2023
1ª) Determine as equações do movimento, as frequências naturais e os vetores modais do sistema 
abaixo. Escreva a expressão geral das respostas livres e plote as respostas utilizando Matlab ou 
outro software de programação. (k=50.000 N/m; m=5 kg). x1(0) = 0 mm; x2(0) = 6 mm; v1(0) = 2 
m/s e v2(0) = 0 m/s. 
 
 
 
2a) Determine as equações do movimento, as frequências naturais e os vetores modais do sistema 
abaixo. Escreva a expressão geral das respostas livres e plote as respostas utilizando Matlab ou 
outro software de programação. (k=10.000 N/m; m=2 kg). x1(0) = 0 mm; x2(0) = 6 mm; v1(0) = 2 
m/s e v2(0) = 2 m/s. Neste sistema, despreza-se o atrito. 
 
 
 
3ª) No sistema mostrado abaixo, a massa m1 é excitada por uma força harmônica tendo um valor 
máximo de 50 N e uma frequência de 2 Hz. Determine a expressão da vibração forçada de cada 
massa, sendo m1=10 kg, m2=5kg, k1=8000N/m, e k2=2000 N/m. Plote os gráficos utilizando o 
Matlab ou outro software de programação. 
 
 
 
4ª) Uma máquina em repouso pesando 2,1352104 N é observada defletir 3,05 cm quando 
colocada sobre os seus isoladores tipo mola. Em operação, uma força harmônica de amplitude 
máxima de 444,8 N induz ressonância no sistema. (i) Projete um neutralizador de vibrações sem 
amortecimento de forma que ele tenha uma amplitude máxima de 4 mm; (ii) Qual é o valor da 
relação das massas? 
 
 
 
 
5ª) Deduzir o modelo matemático para o sistema da figura abaixo, usando as coordenadas 
generalizadas x(t) e (t). Represente as equações na forma matricial. Adote (m=1,0 kg e k=1000 
N/m) 
 
6ª) Uma ponte rolante consiste em uma viga (rigidez à flexão EI = 17,22109 Nm2 e comprimento 
L = 9,15 m), um carro (massa m1 = 3627,5 kg) e um cabo de aço (E = 2,0710
11 N/m2, área da 
seção reta A = 7,110-4 m2e comprimento l = 6,1 m), conforme ilustra a figura (a). A figura (b) 
mostra o modelo adotado. Se a carga suportada é de m2 = 907 kg, calcular as frequências naturais 
do sistema. 
 
 
 
7ª) Desenvolver em série de Fourier a excitação periódica da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8ª) Determinar os coeficientes de Fourier para a excitação periódica da figura. 
 
 
 
9ª) Desenvolver um programa de computador (em qualquer linguagem de programação ou em 
uma planilha eletrônica como o Excel), genérico, que calcule numericamente os coeficientes de 
Fourier. 
 
 
10ª) Determinar as frequências associadas ao movimento angular (arfagem) e linear vertical 
(oscilação) e a localização dos centros de oscilação de um automóvel da Figura abaixo com os 
seguintes dados: 
massa = m = 1000 kg 
raio de giração = r = 0,9 m 
distância entre eixo dianteiro e C.G. = l1 = 1,0 m 
distância entre eixo traseiro e C.G. = l2 = 1,5 m 
rigidez das molas dianteiras = kf = 18 kN/m 
rigidez das molas traseiras = kr = 22 kN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11ª) Determinar a resposta de regime permanente do sistema mostrado na figura abaixo em que a 
massa m1 sofre a ação da força F1(t) = F10 cos ωt. Traçar a curva de resposta em frequência. 
 
 
12ª) Um motor diesel, pesando 3000 N, está montado sobre um pedestal. Observou-se que o motor 
induz vibrações na área através do pedestal quando opera a 6000 rpm. Determinar os parâmetros 
do absorvedor que reduzirão as vibrações do motor quando montado no pedestal. A magnitude da 
força que produz a vibração no motor é 250 N e a amplitude do movimento da massa auxiliar está 
limitada em 2mm. 
 
13ª) Um conjunto motor-gerador, mostrado na figura abaixo é projetado para operar na faixa de 
2000 a 4000 rpm. Entretanto, o conjunto vibra violentamente em 3000 rpm devido a um pequeno 
desbalanceamento no rotor. Propõe-se colocar uma viga engastada com uma massa na 
extremidade como absorvedor para eliminar o problema. Quando a viga com uma massa de 2 kg, 
sintonizada a 3000 rpm, é ligada ao conjunto, as frequências naturais do sistema obtidas foram de 
2500 rpm e 3500 rpm. Projetar o absorvedor a ser ligado (especificando sua massa e sua rigidez) 
de forma que as frequências naturais do sistema fiquem fora da faixa de operação do conjunto 
motor-gerador. 
 
 
 
14ª) Determinar a resposta de regime permanente da válvula de controle hidráulico mostrada na 
Fig. 4.1(a), quando submetida à pressão mostrada na Fig. 4.1(b), Fig. 4.2, Fig. 4.3, 4.4 e 4.5. 
 
 
 
 
 
 
 
15ª) Uma bomba centrífuga para água de velocidade variável, usada em laboratório de ensaio, 
vibra de forma violenta na velocidade de operação de 764 rpm que se torna impossível realizar a 
leitura da pressão no manômetro do tubo de descarga. Para evitar o problema, sugere-se que se 
instale um absorvedor de vibração na carcaça da bomba, fazendo-se um furo com rosca na carcaça 
de modo a fixar uma haste de aço de 7 mm de diâmetro. Quais deverão ser o comprimento da 
haste e o peso a ser colocado em sua extremidade para que a leitura do manômetro possa ser 
realizada? Como o sistema passará a ter duas frequências naturais, será necessário desmontar o 
absorvedor quando a bomba necessitar operar próximo a estas frequências. Assim, quais os 
valores das frequências naturais do conjunto se a massa da bomba é de 103 kg? Dados: E = 206 
GPa e ρ = 7.800 kg/m3. 
 
 
 
 
 
 
16ª) Para o sistema massa-mola de três graus de liberdade representados pela figura abaixo, 
determine: 
 
 
 
a) Desenhe os diagramas de corpo livre; 
 
b) Formule as equações de movimento; 
 
c) Defina as soluções; 
 
d) Faça 
1 2
m m m= = , 
3
2m m= , 
1 2 3
k k k k= = = e 
4 5 6
2k k k k= = = e formule as equações 
das amplitudes; 
 
e) Formule a equação característica; 
 
f) Calcule analiticamente, as frequências naturais; 
 
g) Substitua as frequências naturais, (item f) nas equações das amplitudes do (item d), 
calcule os modos naturais de vibrações e desenhe as formas modais para cada 
frequência natural; 
 
h) Formule as respostas para cada frequência natural, considerando as seguintes condições 
iniciais: ( )1 0 1,2x m= , ( )2 0 0x = , ( )1 0 0x = e ( )2 0 0x = ; 
 
i) Trace as curvas respostas (item h) em função do tempo usando o MATLAB. 
 
j) Identifique a matriz massa e a matriz rigidez.