Pfannkuch-Budgett2017

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Raciocinando a partir de um Eikosograma: um estudo exploratório
* Maxine Pfannkuch 
m.pfannkuch@auckland.ac.nz
Departamento de Estatística, Universidade de Auckland, 38 Princes St, Auckland 1010, Nova Zelândia
Stephanie Budgett 
s.budgett@auckland.ac.nz
1
Int. J. Res. Graduação. Matemática. Ed. (2017) 3:283–310
Publicado online: 18 de outubro de 2016
DOI 10.1007/s40753-016-0043-0
# Springer International Publishing Suíça 2016
Palavras-chave Probabilidade introdutória. Visualizações interativas. Gráfica.
A tecnologia está facilitando muitas novas maneiras de visualizar dados categóricos. Embora dados categóricos 
exibidos em gráficos de barras e tabelas de contagens, proporções e probabilidades sejam comuns, exibições 
gráficas visuais ou diagramas ainda estão em desenvolvimento (Hofmann 2000). Na última década, muitos 
gráficos, como eikosogramas, gráficos em mosaico, mapas de árvores e até mesmo gráficos que não possuem 
nomes, estão sendo promovidos ou criados para
Resumo Embora a compreensão dos alunos sobre as informações de frequência apresentadas em tabelas de 
duas entradas tenha sido explorada pela primeira vez na década de 1990, há uma surpreendente falta de 
pesquisa nessa área. Além disso, pesquisadores e profissionais continuam a destacar as dificuldades dos alunos 
em compreender a probabilidade, incluindo conceitos relacionados ao condicionamento.
Melhorias para a ferramenta e tarefa e implicações da pesquisa são discutidas.
Maxine Pfannkuch1 & Stephanie Budgett1
Condicionamento . educação em probabilidade
Usando um eikosograma interativo, uma representação visual de uma tabela bidirecional de informações, 
exploramos seis comportamentos introdutórios de raciocínio, interação e compreensão dos alunos associados à 
exibição. Nossas descobertas sugerem que o eikosograma pode ter o potencial de auxiliar: raciocínio proporcional, 
capacidade de comparar proporções, consideração de proporções nas dimensões horizontal e vertical; o 
desbloqueio e verbalização de histórias de probabilidade simples, condicionais e conjuntas a partir dos dados; e 
visualizar representações para a independência. Os alunos acreditavam que a representação do eikosograma 
seria benéfica para o aprendizado de probabilidade.
Introdução
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Literatura
Graficidade significa a capacidade de entender e usar um gráfico
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1
Em particular, nos concentramos em sua compreensão de probabilidades condicionais e conjuntas 
e independência.
O Eikosograma
Tradicionalmente, as tabelas de contingência têm sido usadas para dados categóricos, que não são 
representações esquemáticas porque mostram Brows e colunas de números que não possuem as 
qualidades analógicas ou computacionais dos diagramas^ (Politzer 2015, p .
responder a perguntas específicas, comunicar informações e auxiliar o raciocínio sobre dados 
categóricos multidimensionais (por exemplo, Oldford e Cherry 2006; Wickham e Hofmann 2011). 
Apesar do crescimento dessas novas representações, parece haver pouca pesquisa sobre como os 
alunos podem raciocinar com elas e se elas podem promover um melhor desenvolvimento conceitual 
do que as representações tradicionais. Portanto, há uma necessidade de aprender sobre como os 
alunos podem interagir e raciocinar com eles.
Os gráficos do eikosograma também podem exibir contagens como proporções e, com outras 
variantes, podem levar à visualização de associações e dados categóricos multidimensionais.
Primeiro descrevemos a representação do eikosograma e outras representações relacionadas e 
discutimos os argumentos promovidos para usar o eikosograma no ensino da probabilidade.
4). Quando a tabela é dividida em áreas retangulares que são proporcionais à contagem, proporção 
ou probabilidade subjacente, ela se torna um diagrama, pois transmite visualmente conceitos e 
informações. Este tipo de diagrama tem uma variedade de nomes, como eikosograma, plotagem 
em mosaico ou plotagem do produto. Por exemplo, a partir de dados obtidos de uma pesquisa na 
web de estudantes de estatística, a Fig. 1(a) mostra uma tabela de contingência de contagens para 
as variáveis Cor dos olhos e Usar óculos (Sim/Não), Fig. 1(b) uma tabela não numérica eikosograma 
das informações contidas na tabela de contingência, Fig. 1(c) um eikosograma exibindo as 
contagens, enquanto se as variáveis Cor dos olhos e Usar óculos fossem independentes, a Fig. 1(d) 
mostra a representação resultante.
Em pesquisas anteriores, com base em entrevistas com sete praticantes e na literatura, 
propusemos que condicionamento, aleatoriedade, distribuição e matemática eram os principais 
elementos fundamentais que sustentavam o desenvolvimento de um modo de pensar probabilístico 
(Pfannkuch et al. 2016) . Para o elemento matemático, os praticantes significavam um amplo 
conhecimento matemático que ia desde o senso numérico até a habilidade de manipular símbolos 
e argumentar e raciocinar matematicamente. Os praticantes também identificaram o condicionamento 
e as ideias associadas como áreas problemáticas para os alunos. Portanto, neste artigo, exploramos 
como seis estudantes de probabilidade introdutória interagem e raciocinam a partir de um 
eikosograma, que é uma representação visual de uma tabela bidirecional de informações.
Uma vez que estamos interessados em melhorar a compreensão conceitual dos alunos sobre o 
condicionamento, então nos concentramos na literatura de pesquisa relacionada à probabilidade 
condicional que seguimos com uma breve discussão sobre como o desenvolvimento conceitual 
pode ser promovido através do uso de visualizações. Finalmente, propomos um potencial quadro 
teórico para explorar os comportamentos dos alunos que podem estar associados à grafia1 .
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19715 
23 
38
Sim 24 123 17 
18 
35
Cor dos olhos
211 
408
Nº 50 110
18 
10 
28
Óculos Azul Marrom Verde Avelã Outro Total
Total 74 233
2
2
3
Fig. 1 Tabela de contingência e representações de eikosograma para cor dos olhos e uso de óculos (sim/não)
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por exemplo, P(AÿB) = P(A|B)xP(B)
A resposta 24/74 pode ser lida na Fig. 1(a) e (c)
(d) Eikosograma exibindo independência
(a) Tabela de contingência
(c) Eikosograma numérico
(b) Eikosograma não numérico
Passar de dados categóricos para interpretar as informações como 
distribuições de probabilidade requer o ajuste do quadro de referência e 
os tipos de perguntas feitas e as informações coletadas. Por exemplo, 
uma pergunta sobre os dados da Figura 1(a) e (c) poderia ser BQual 
proporção de pessoas com olhos azuis usa óculos? qual é a probabilidade 
de que a pessoa use óculos dado que ela tem olhos azuis ? Compare a 
Fig. 1(b) e (d).) Para independência, observe que os alunos estão 
familiarizados com a matemática
Wickham e Hofmann (2011) descrevem uma família comparável de gráficos em sua estrutura 
de gráficos de produtos paravisualizar dados categóricos. Gráficos de produto são nomeados 
para aludir ao cálculo da área como um produto de altura e largura, e o conceito estatístico 
de gerar uma distribuição conjunta do produto de distribuições condicionais e marginais^ (p. 
2223). Sua estrutura abrange mais de 20 visualizações. Eles observam que pode existir um problema de percepção em relação à comparação de áreas, que discutiremos 
mais adiante.
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Acreditamos que a exibição do eikosograma bidimensional, bem como as outras novas visualizações 
multidimensionais, precisam ser investigadas no que diz respeito aos processos de raciocínio dos alunos e em 
consideração a pesquisas já realizadas sobre o raciocínio probabilístico dos alunos e seu desenvolvimento de 
conceitos relacionados ao condicionamento.
Esses equívocos incluem, mas não estão limitados a: confusão do inverso - onde P(A|B) é confundido com 
P(B|A); a falácia da taxa básica - a tendência das pessoas de ignorar uma taxa básica da população ao julgar 
probabilidades; a falácia da conjunção - a falta de consciência de que é impossível para uma probabilidade 
conjunta exceder qualquer probabilidade de evento único; e independência e exclusividade mútua — uma 
crença de que se dois eventos são mutuamente exclusivos, então eles são independentes. Além disso, os 
alunos acham mais fácil reconhecer situações condicionais e independentes ao lidar com ferramentas clássicas 
de probabilidade, como moedas, dados e bolas em urnas, mas têm dificuldade quando confrontados com 
contextos sociais (Watson e Moritz 2002) . A linguagem dos problemas de probabilidade, onde um
O eikosograma, uma palavra construída a partir das palavras gregas eikos que significa probabilidade e 
gramma que significa desenho ou imagem, apareceu pela primeira vez no trabalho de Oldford e Cherry ( 2006), 
que argumentaram persuasivamente que os diagramas de eikosograma facilitavam o estudo da probabilidade. 
Argumentando de uma perspectiva de probabilidade, eles sugeriram que os diagramas de Venn não deveriam 
ser usados no ensino de probabilidade. Em sua crítica aos diagramas de Venn para a introdução de 
probabilidade, eles demonstraram sua inadequação para quantificar probabilidades, as mensagens visuais 
mistas incorridas para representações de eventos B disjuntos, mas dependentes [e] eventos sobrepostos, mas 
possivelmente dependentes^ (p. 17) e a falta de um diagrama para eventos dependentes e independentes. Os 
diagramas de Venn vêm de uma visão de teoria de conjuntos de probabilidade, que, de acordo com Oldford e 
Cherry, pode resultar em problemas de probabilidade sem sentido que obscurecem os conceitos de 
probabilidade e banalizam sua aplicação estatística^ (p. 23). Além disso, os diagramas de Venn não são úteis 
para explicar a natureza das relações entre diferentes eventos ou variáveis aleatórias^ (p. 19), incluindo a 
probabilidade condicional. O eikosograma é construído em um quadrado unitário representando uma 
probabilidade de um com regiões retangulares não sobrepostas representando eventos com áreas 
correspondentes às probabilidades. Oldford e Cherry mostram como o eikosograma pode fundamentar 
visualmente a probabilidade como uma proporção e como o eikosograma é semanticamente consistente com 
as regras de probabilidade. Por exemplo, probabilidades condicionais, conjuntas e marginais e independência 
e dependência podem ser construídas, integradas cognitivamente e visualizadas dentro do diagrama porque 
as áreas proporcionais e, portanto, as probabilidades são preservadas.
Conceitos de Condicionamento
Pesquisadores (por exemplo, Jones et al. 1997; Watson 1995) propuseram que os conceitos subjacentes de 
probabilidade condicional e independência sejam introduzidos a partir de uma perspectiva intuitiva e que isso 
possa ocorrer em um estágio inicial sem a necessidade de probabilidades numéricas e frações. No entanto, 
as intuições podem desviar os alunos e dar origem a muitos equívocos (Fischbein 1975; Kahneman 2011; 
Nickerson 2004).
definição P(A|B) = P(A), o que significa que saber que B ocorre não afeta a probabilidade de A ocorrer, mas 
não estão familiarizados com uma representação visual. Para uma discussão completa sobre como interpretar 
eikosogramas, veja Oldford e Cherry4 (2006).
Uma versão inicial deste artigo apareceu em 2002
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2002; Watson 1995). Watson e Callingham (2014) afirmam, no entanto, que as tabelas bidirecionais 
de frequências podem ser difíceis para os alunos porque eles precisam coordenar e interpretar 
informações e usar o raciocínio proporcional.
Cerca de 20% dos alunos basearam suas conclusões em conhecimentos prévios (por exemplo, fumar 
causa câncer de pulmão) e não nos dados fornecidos; uma descoberta confirmada em outra pesquisa, 
que sugeriu que as crenças dos alunos sobre a causalidade podem resultar em ignorar evidências de 
independência. Além disso, menos da metade dos professores do estudo poderia sugerir estratégias 
para melhorar o desempenho dos alunos. Watson e Callingham sugeriram que uma estrutura visual 
simplificada destacando células internas e totais poderia ser usada para identificar aspectos salientes 
e que os alunos deveriam ser encorajados a sempre considerar as relações entre os números na 
tabela usando porcentagens ou proporções^ (p. 279). Alguns professores do seu estudo consideraram 
que colocar a variável independente na dimensão horizontal, semelhante a uma situação de 
representação gráfica, tornaria o problema mais fácil para os alunos, mas não disseram porquê. 
Watson e Callingham responderam que os professores deveriam ajudar os alunos a serem flexíveis o 
suficiente em seu pensamento para considerar proporções em qualquer direção (p. 279).
Gigerenzer e associados (por exemplo, Gigerenzer e Hoffrage 1995; Gigerenzer 2002, 2014) 
sugeriram que uma maneira de lidar com os equívocos da probabilidade condicional, em particular a 
confusão do inverso e da falácia da taxa básica, era usar frequências naturais em vez de probabilidades. 
Eles descobriram em seus estudos que especialistas (por exemplo, médicos) e não especialistas 
melhoraram seu raciocínio e inferências quando as informações foram apresentadas em um formato 
de frequência em comparação com um formato de probabilidade. Garcia-Retamero e Hoffrage (2013), 
no entanto, demonstraram que o uso de visualizações em formato de ícone acompanhado de 
frequências era superior ao uso de frequências isoladas, sendo que ambas eram melhores do que o 
uso de probabilidades. Para ajudar os alunos nos níveis escolar e introdutório, foram feitos movimentos 
para representar condições em tabelas de duas vias usando frequências (por exemplo, Pfannkuch et al.
Observando a falta de pesquisas sobre tabelas bidirecionais,Watson e Callingham (2014) usaram 
dois problemas do trabalho de Batanero et al. (1996) em seu estudo sobre alunos e professores.
Suas descobertas em 110 alunos da 6ª à 11ª série sugeriram que apenas cerca de 12% poderiam 
coordenar adequadamente todas as informações em uma tabela e empregar o raciocínio proporcional.
Com base nos resultados dessas pesquisas sobre probabilidade condicional e tabelas bidirecionais, 
acreditamos que o desafio da pesquisa nos níveis escolar e introdutório é encontrar melhores 
visualizações para aprimorar o raciocínio proporcional dos alunos ao desenvolver conceitos de 
condicionamento. De acordo com Clark e Paivio (1991), as representações visuais, que oferecem a 
oportunidade de geração de imagens mentais, têm um impacto positivo na aprendizagem, enquanto 
Anderson e Contino ( 2013) relatam que há um crescente corpo de pesquisa sugerindo que as 
visualizações promovem a aprendizagem conceitual . Mas a formação da compreensão conceitual 
também requer que os alunos verbalizem explicações sobre o que eles percebem nas visualizações, 
como mostram Budgett e Wild (2014) e Pfannkuch e Budgett (2014) em suas pesquisas sobre o 
raciocínio dos alunos a partir de visualizações dinâmicas. Além disso, Presmeg (2006) afirma que o 
ensino que promove o pensamento visual é caracterizado por aspectos como facilitar a construção e o 
uso de imagens pelos alunos, encorajar os alunos a buscar padrões, uso tardio de simbolismo e uso 
deliberado de dissonância cognitiva. Surgem então perguntas sobre como os alunos podem decodificar 
visualmente e raciocinar a partir do eikosograma, o que pode ser evidência de compreensão do aluno 
e que tipo de desenvolvimento conceitual o eikosograma pode promover.
uma pequena mudança no texto pode alterar a probabilidade que está sendo calculada, também pode 
ser problemática para os alunos (Kapadia 2014).
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Além da decodificação visual estar associada à natureza das tarefas de julgamento, as tarefas de 
julgamento requerem três comportamentos do aluno: (a) verbalizar a linguagem apropriada para a 
exibição, (b) interpretar informações em quatro níveis de interrogatório e (c) entender as relações entre 
e dentro telas (Friel et al. 2001).
Uma vez que o eikosograma pode exibir dados, as estruturas relacionadas ao processamento de 
informações do gráfico pelo aluno são pertinentes a este estudo. Em uma revisão das pesquisas sobre 
a compreensão de gráficos estatísticos, Friel et al. (2001) concluíram que não havia uma estrutura 
coerente para o domínio da gráfica. Além disso, o escopo da literatura foi limitado a gráficos 
convencionais simples. Hegarty (2011) observou que os cientistas cognitivos elucidaram muitos 
princípios de design sobre a eficácia de exibições visuais relativamente simples, mas eles precisam 
abordar as exibições visual-espaciais mais complexas que estão sendo desenvolvidas atualmente. Em 
particular, há uma necessidade de estudar como as pessoas B interagem, percebem e raciocinam com 
[essas novas] exibições visuais^ (p. 470). A pesquisa também tende a partir da perspectiva de que o 
propósito dos gráficos é para análise e comunicação, em vez de pensar em visualizações para 
desenvolvimento conceitual.
Se a tarefa de julgamento for extrair informações sobre uma quantidade, o design do gráfico pode 
influenciar a compreensão (Kosslyn 1994). Se o julgamento da tarefa exigir a integração de informações 
e a descoberta de relações, como a proporção de dois valores, fazendo comparações parte a parte... 
ou parte a todo... quantitativa ou qualitativamente,... ou fazendo estimativas para determinar diferenças 
relativas ou proporções^ (Friel et al. 2001, p. 137), há uma interação com a decodificação visual. Por 
exemplo, Simkin e Hastie (1987) descobriram que julgamentos de comparação envolvendo comparações 
de comprimento ou uma quantidade eram menos precisos para gráficos de pizza, médios para gráficos 
de barras divididas e mais precisos para gráficos de barras simples. No entanto, para julgamentos de 
proporção em que o julgamento era uma estimativa da proporção do todo, os gráficos de pizza eram 
tão precisos quanto os gráficos de barras simples e mais precisos do que os gráficos de barras divididas. 
Portanto, se as pessoas raciocinassem de maneira semelhante com áreas retangulares em vez de 
áreas setoriais de gráficos de pizza, raciocinar com um eikosograma pode ser problemático para 
comparar comprimentos absolutos em uma dimensão, mas não para julgamentos de proporção de parte 
para todo.
Quadro teórico
No entanto, a decodificação visual depende do conhecimento prévio dos usuários sobre as convenções 
gráficas e o segundo componente central, a tarefa de julgamento executada pelo usuário.
Para Friel et al. os três componentes centrais da compreensão gráfica foram a decodificação visual, 
a natureza das tarefas de julgamento e o efeito do contexto, que podem estar relacionados aos 
comportamentos dos alunos que eles propuseram (ver Tabela 1) . A decodificação visual, o primeiro 
componente, relaciona-se com a forma como as pessoas processam as informações perceptivamente de uma tela.
(a) Linguagem verbalizante: Dot plots, histogramas, gráficos de séries temporais, box plots, scatterplots 
e o eikosograma têm uma linguagem estatística específica associada a eles e os alunos precisam 
ser capazes de comunicar as ideias inerentes a essas abstrações usando a linguagem apropriada.
No entanto, a pesquisa disponível pode fornecer uma estrutura a partir da qual pensar sobre como os 
alunos podem interagir e raciocinar a partir dos eikosogramas. Em particular, Friel et al. (2001) 
propuseram um construto, que eles chamaram de sentido do gráfico, e identificaram possíveis 
comportamentos dos alunos que poderiam fornecer evidências de compreensão do gráfico.
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Com base na construção de Friel et al. (2001) para evidências da compreensão do gráfico 
do aluno, desenvolvemos descritores e códigos associados para o eikosograma para cada um 
dos comportamentos do aluno que Friel et al. proposto. Assim, a Tabela 1 apresenta nosso 
referencial teórico que usamos como base para descrever e analisar como os alunos estavam 
interagindo e raciocinando a partir do eikosograma.
(b) Interpretação da informação: Três níveis de interrogação para coletar informações de um 
gráfico são capturados por Curcio (1987) como: (1) ler os dados onde a informação é 
simplesmente extraída do gráfico; (2) ler entre os dados onde há integração de vários 
elementos de informação no gráfico incluindo encontrar relações; e (3) ler além dos 
dados que envolvem inferências e previsões. A esses níveis, Shaughnessy (2007) 
adicionou um quarto nível(4) olhar por trás dos dados onde possíveis fatores contextuais 
e causas são postulados para explicar causa especial ou variação sistemática ou 
explicações alternativas são sugeridas para padrões percebidos nos dados. (c) 
Compreender as relações entre e dentro das exibições: Refere-se à necessidade de 
pensamento flexível e ser capaz de alternar perfeitamente entre as representações, uma 
marca registrada de um pensador matemático especializado e essencial para o 
desenvolvimento conceitual (Thomas 2008) .
O terceiro componente central observado por Friel et al. (2001) (Tabela 1), o efeito do 
contexto, refere-se a como o conhecimento prévio dos alunos pode afetar sua interpretação 
dos dados, o que foi documentado na pesquisa sobre tabelas bidirecionais (Watson e 
Callingham 2014) . Além disso, o pensamento estatístico requer a integração do conhecimento 
contextual e estatístico ao interrogar e tirar conclusões dos dados (Wild e Pfannkuch 1999).
Interprete as informações em quatro 
níveis de interrogação
Comportamentos dos 
alunos (Friel et al. 2001, p. 146)
(1) Extrair informações (I1 - Interrogar no nível 1)), 
(2) encontrar relações (I2), (3) inferir relações 
(I3), (4) sugerir fatores contextuais (I4)
Verbalize Language (VL) para declarações 
simples, condicionais e conjuntas de 
probabilidade/proporção e independência
Componentes de 
compreensão
Esteja ciente de seu relacionamento com
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Representações dentro do eikosograma (RW), como 
informações visuais e numéricas
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1. Decodificação visual
Descritores de Eikosograma com códigos
Representações de link entre (RB) outros monitores e 
eikosograma e link
Verbalize o idioma específico da tela ao 
raciocinar sobre as informações
o contexto e entender as restrições do 
contexto ao fazer uma interpretação
Reconhecer os componentes e suas 
inter-relações
2. Tarefas de julgamento
O conhecimento contextual e estatístico (CS) deve ser 
usado em conjunto para interpretações sensatas
Tabela 1 Referencial teórico para compreensão e interpretação do eikosograma
e duas dimensões
3. Contexto
Decodifique visualmente (VD) as variáveis em um
Entenda as relações entre e dentro 
dos monitores
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Como parte de um projeto de pesquisa exploratória maior, projetamos quatro ferramentas interativas e tarefas 
complementares com o objetivo de aprimorar a compreensão dos conceitos de probabilidade pelos alunos. 
As ferramentas são protótipos, que testamos com os alunos para explorar o potencial das ferramentas para 
melhorar o desenvolvimento conceitual em uma área problemática identificada de probabilidade. Para cada 
ferramenta foi realizado um pequeno estudo exploratório para determinar a sua viabilidade na melhoria dos 
processos de raciocínio probabilístico dos alunos. Para probabilidade condicional, projetamos duas ferramentas, 
um pachinkogram e um eikosogram. O pachinkograma, baseado em uma árvore de probabilidade interativa, 
permite que os alunos explorem, por meio de simulações, probabilidades condicionais em relação à confusão 
do inverso e à falácia da taxa básica (Budgett e Pfannkuch 2016; Budgett et al. 2016 ) . O eikosograma, o foco 
deste artigo, inclui ideias sobre probabilidades condicionais e conjuntas e independência.
& Qual é o potencial do eikosograma, uma representação visual, para facilitar o desenvolvimento do 
pensamento dos alunos sobre probabilidade?
Questões de pesquisa
Ocasionalmente, os dois autores intervinham para esclarecer o que os alunos estavam pensando.
& O que os alunos podem aprender com a representação do eikosograma?
Participantes, coleta e análise de dados
A principal questão de pesquisa que este artigo abordará é:
Os participantes deste estudo foram seis alunos do primeiro ano (de 18 a 19 anos) que concluíram um curso 
introdutório de probabilidade. Devido a considerações éticas, como alunos tendo uma vantagem de nota em 
seu curso se participassem do estudo, não poderíamos recrutá-los antes ou durante o curso. Portanto, eles já 
foram
& Dado que os alunos de graduação deste estudo aprenderam sobre probabilidade a partir de uma abordagem 
matemática tradicional em seu curso de primeiro ano, que novas ideias e considerações sobre conceitos 
relacionados ao condicionamento surgiram como resultado de apresentá-los a uma tarefa e a um 
eikosograma interativo?
O objetivo deste pequeno estudo de pesquisa exploratória foi investigar o potencial de um eikosograma 
interativo e sua tarefa de acompanhamento para melhorar a compreensão de probabilidade dos alunos 
introdutórios. Como um estudo exploratório, é equivalente a um ensaio pré-clínico onde se investiga, 
experimenta e modifica a ferramenta e a tarefa com base nas respostas dos alunos durante e após o ensaio 
(Schoenfeld 2007) . Para encorajar os alunos a pensar em voz alta enquanto realizavam as tarefas, usamos 
um protocolo para duas pessoas, no qual os alunos podiam discutir uns com os outros as ações propostas e 
o que estavam pensando.
Mais especificamente, estamos interessados em:
Método
Antecedentes da Pesquisa
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Em uma pré-avaliação individual, eles receberam três problemas de probabilidade semelhantes aos que 
haviam resolvido em seu curso, além de serem solicitados a explicar e representar probabilidades simples, 
condicionais e conjuntas e independência. Leo e Anna usaram diagramas visuais, fórmulas básicas de 
probabilidade e métodos numéricos para resolver os problemas, enquanto a abordagem dos outros quatro alunos 
foi inteiramente matemática com o uso de fórmulas de probabilidade Bayesiana. Para uma representação visual 
da independência, Anna e Leo produziram diagramas do tipo Venn mostrando eventos disjuntos, Helen tentou 
um eikosograma, enquanto os outros três alunos não conseguiram produzir uma representação.
Introdução à tarefa
Como fizemos duas das tentativas durante o segundo semestre (a outra tentativa ocorreu entre os semestres), 
Helen e Anna estavam atualmente matriculadas em um curso de probabilidade do segundo ano. Eles nos 
contaram que o instrutor de seu curso havia recentemente apresentado a eles um eikosograma estático (um 
diagrama no papel) em um tutorial para mostrar probabilidades visualmente e mostrar independência e 
dependência. Uma vez que as representações do eikosograma normalmente não fazem parte do curso, não 
prevemos tal comprometimento em nosso estudo de pesquisa.
A partir de uma questão colocada no trabalho de Froelich e Stephenson (2013), desenhamos uma tarefa que 
envolvia duas variáveis, cor dos olhos e sexo. Para introduzir a tarefa, pedimos aos alunos que resolvessem 
várias questões (ver Tabela 2). Muitos pesquisadores (por exemplo, Konold e Kazak 2008) observaram que, 
antes de iniciar uma tarefa de probabilidade, as intuições dos alunos devem ser buscadas porque isso ajuda os 
alunos a entender o
Os alunostrabalharam por cerca de 2 horas na tarefa Eikosogram durante o qual eles foram gravados em 
vídeo e áudio, incluindo o uso do Camtasia para capturar um registro do que estava na tela do computador. 
Depois que a tarefa foi concluída, os alunos tiveram uma entrevista gravada para verificar o que eles acreditavam 
ter aprendido com a tarefa e sugerir melhorias para a ferramenta e a tarefa. As transcrições de suas interações 
foram analisadas qualitativamente contra a estrutura (Tabela 1) para identificar características salientes da 
compreensão dos alunos que pareciam emergir durante o estudo.
Tarefa e ferramenta
introduziu a probabilidade relacionada ao condicionamento. Eles eram voluntários que responderam a um e-mail 
enviado a alunos selecionados aleatoriamente de uma coorte de 200 alunos de probabilidade do primeiro ano. 
Amostramos aleatoriamente (n = 50) até termos o consentimento de seis alunos para participar neste estudo, 
número que consideramos suficiente para um pequeno estudo exploratório e possível dentro das restrições de 
tempo do projeto. As duplas de alunos que trabalharam na tarefa do Eikosograma foram: Martin e Leo, Helen e 
Hugo e Anna e Ben. Os alunos foram recompensados pelo seu tempo.
Com base em entrevistas de profissionais sobre áreas problemáticas na aprendizagem dos alunos, que 
conduzimos antes deste estudo, e na literatura (consulte Pfannkuch e Budgett 2016), a tarefa do Eikosograma 
visava facilitar: (1) intuições para probabilidade por meio da criação e teste de conjecturas ; (2) estratégias de 
alfabetização, incluindo alfabetização verbal, para descompactar e comunicar as informações probabilísticas 
relevantes de um determinado contexto; e (3) a ligação de múltiplas representações (por exemplo, palavras, 
tabelas numéricas bidirecionais, gráficos de barras, eikosograma, símbolos matemáticos).
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situação apresentada e as previsões fornecem motivação para explorar o problema e preparam os alunos 
para olhar para características específicas dos dados. Pfannkuch e Ziedins (2014) também observam que 
previsões teóricas sobre a estrutura subjacente da situação são, na verdade, uma prática de probabilistas 
aplicados quando eles começam a modelar uma situação e, portanto, os alunos devem ser encorajados a 
fazer previsões.
A tarefa foi aquela em que os alunos progrediram gradualmente através dos diferentes recursos da 
ferramenta interativa. Em cada etapa da progressão, fizemos perguntas aos alunos. Antes de os alunos 
realizarem a tarefa, os dados de uma pesquisa na web de estudantes de estatística (n = 408) foram 
importados para a ferramenta (consulte: http://docker.stat.auckland.ac. nz/spawn/?application=probability) . 
Cor dos olhos e gênero foram as variáveis selecionadas. O primeiro encontro dos alunos com o eikosograma 
é mostrado na Fig. 2. Para
A tarefa e a ferramenta
Perguntas pré-tarefa
(a) Você acha que a cor dos olhos de uma pessoa depende de ela ser homem ou mulher? (b) Suponha que a cor dos olhos 
seja uma das cinco possibilidades: Marrom, Azul, Castanho, Verde, Outro
292
eu. Na Nova Zelândia, que proporção da população você estima ter olhos castanhos? ii. Forneça 
uma representação de sua distribuição estimada da cor dos olhos.
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iii. Se a cor dos olhos e o gênero forem independentes, forneça uma representação de sua distribuição estimada de olho
Tabela 2 Perguntas para apresentar a tarefa
Fig. 2 Eikosograma com a cor dos olhos no eixo horizontal
cor e gênero. 4. Repita 
a parte (iii) assumindo que a cor dos olhos e o gênero são dependentes.
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http://docker.stat.auckland.ac.nz/spawn/?application=probability
http://docker.stat.auckland.ac.nz/spawn/?application=probability
Depois de regressar à Fig. 2 , foi-lhes pedido que previssem e justificassem a representação 
da independência. Para verificar se estavam corretos, eles marcaram o botão Mostrar 
independência. Depois disso, eles verificaram os botões, contagens e proporções do Show Data 
Label, que são sobrepostos no eikosograma (ver Fig. 1(c)) e continuaram a interpretar os 
eikosogramas. A expectativa era que os alunos articulassem declarações conjuntas e 
condicionais usando as porcentagens reais em vez de estimativas das porcentagens. Os alunos 
foram questionados especificamente se a cor dos olhos e o gênero eram independentes e 
também para refletir sobre suas representações iniciais para as perguntas da Tabela 2. Com 
base em seu conhecimento prévio e experiência de variabilidade de amostragem para dados 
categóricos (n = 408), esperávamos alunos a considerar que os dados observados não fornecem 
evidências de dependência. Outra resposta possível era questionar a integridade dos dados, 
como o fato de ser uma pesquisa na web e a cor dos olhos ter sido auto-relatada.
promovem o raciocínio visual e o pensamento, nenhuma contagem ou proporção foi inicialmente 
exibida (cf. Presmeg 2006). Pediu-se aos alunos que nos contassem que história a representação 
lhes contava. Esperávamos que os alunos estimassem as proporções para cor dos olhos e 
gênero e articulassem declarações conjuntas e condicionais com base em áreas. Algumas 
possibilidades poderiam ser: Bcerca de um quarto dos entrevistados eram mulheres^ de olhos 
castanhos (declaração conjunta), e Bcerca de metade dos entrevistados de olhos azuis eram 
mulheres^ (declaração condicional). Depois de algum tempo, os alunos foram solicitados a 
pressionar Swap Factors (Fig. 3) e novamente foram solicitados a verbalizar as histórias nos 
dados. Agora esperávamos que as declarações condicionais fossem condicionadas ao gênero 
e não à cor dos olhos.
Finalmente, os alunos foram convidados a fazer suas próprias investigações em qualquer uma 
das outras variáveis de dados. Estávamos interessados nas perguntas que eles faziam, nos 
tipos de histórias que contavam a partir dos dados e em suas conclusões.
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Fig. 3 Eikosograma com gênero no eixo horizontal
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Nesta seção, apresentamos uma breve sinopse de como os alunos responderam às perguntas pré-tarefa 
(ver Tabela 2) para mostrar como as perguntas ajudaram os alunos a representar a independência. Todos 
os alunos responderam que a cor dos olhos independe do gênero. Suas estimativas para a proporção da 
população da Nova Zelândia com olhos castanhos variaram de 20 a 70%. A representação de Martin e 
Leo da distribuição estimada da cor dos olhos foi uma tabela numérica de duas vias, enquanto os outros 
alunos produziram um gráfico de barras. A produção dessas representações parecia permitir que todos 
pensassem em uma representação apropriada para a independência. Considerando que, por exemplo, no 
pré-teste, Leo produziu um diagrama do tipo Venn de eventos disjuntos, enquantoMartin não tinha ideia 
de como representar a independência. Nesta pré-tarefa, Leo produziu a Fig. 4 com Martin comentando, 
Bessa é uma boa maneira de fazer isso^ e Bso como 70% têm olhos castanhos e 50% das pessoas com 
olhos castanhos são mulheres.^ Hugo (ver Fig. 5) e Ben também conseguiu estender seu gráfico de 
barras para representar a independência. Anna (ver Fig. 6) e Helen produziram diagramas do tipo 
eikosograma com base em sua experiência atual em um curso de probabilidade do segundo ano. Do 
ponto de vista pedagógico, essas perguntas na pré-tarefa envolveram os alunos no problema ao fazerem 
conjecturas, que na tarefa real eles foram capazes de testar contra os dados e refletir sobre suas 
representações em comparação com o eikosograma.
Introdução à tarefa
Descobertas
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Fig. 4 Tabela desenhada por Leo para representar a independência da cor dos olhos e gênero
294
Fig. 5 Gráfico desenhado por Hugo para representar a independência da cor dos olhos e gênero
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Fig. 6 Diagrama desenhado por Anna para representar a independência da cor dos olhos e gênero
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…
Quando apresentados pela primeira vez ao formato não numérico do eikosograma (Fig. 2), os 
alunos passaram algum tempo decodificando as dimensões horizontal e vertical no contexto do 
problema e depois compararam frequências em uma coluna vertical. Por exemplo:
Anna: A maioria das mulheres tem olhos castanhos. E há mais mulheres com olhos 
castanhos do que homens.
A tarefa
Martin: Bem, a primeira coisa é que a largura deles decide o tipo de, a porcentagem da 
cor dos olhos, de pessoas com aquela cor de olhos e a altura é uma espécie de 
porcentagem de homens e mulheres. Sim.
Nesta seção, focamos na interação dos alunos com a tarefa, baseando-nos em características 
marcantes de seus processos de raciocínio à medida que aprenderam a interpretar o 
eikosograma, fizeram inferências sobre independência e exploraram outros dados. Na análise, 
os códigos da Tabela 1 são usados para destacar evidências de comportamentos associados 
à compreensão e interpretação.
Helen: Quase 50% das pessoas têm olhos castanhos, então é mais do que pensávamos. 
Verde e avelã têm aproximadamente a mesma proporção, cerca de 10% e o azul parece 
cerca de 20, definitivamente parece que há mais pessoas do sexo feminino que fizeram a pesquisa.
Entendendo o Eikosograma
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Leão: 15.
Entrevistador: Continue.
Hugo: Ok, então você diria, hum, como os alunos fazendo estatísticas, mais, oh, eu não sei.
Martin: Cor total dos olhos, então 50%.
Martin também refletiu sobre como a representação o fazia pensar: Se você não tem os dados reais... 
você pode ter uma ideia do tipo de proporção um pouco mais fácil.^
Para todos os alunos, foram necessários prompts para encontrar relações (I2) e verbalizações de 
linguagem mais completas (VL) para declarações condicionais como a porcentagem de B, o que ocorreu 
novamente quando o entrevistador pediu aos alunos que olhassem para uma coluna e contassem a 
história.
Martin: Ah, sim 15. Estou falando que a proporção entre homens e mulheres é de cerca de 50% 
[para olhos azuis].
Hugo: Daqueles com olhos verdes, mais deles eram mulheres do que homens.
Inicialmente, a decodificação (VD) levou à extração de informações (I1) e à verbalização de 
declarações de probabilidade simples (VL), conforme indicado nos exemplos acima. Ao comparar as 
porcentagens na coluna vertical dos olhos azuis, uma conversa entre Martin e Leo formou-se em torno 
de determinar a que resultado a porcentagem se referia: uma questão crítica para probabilidade.
Leo: Então [60%] das pessoas com olhos verdes são mulheres e 40% das pessoas com olhos 
verdes são homens.
Ben: Também está mostrando a proporção total... mostra o total como cerca de metade de todos 
os homens e mulheres com olhos castanhos.
Entrevistador: Então 60% de quê?
Leo: Então isso é talvez 60%, acho que 60%, 40% e assim...[pausa]
Léo: Sim. Para a cor total dos olhos.
Entrevistador: Como você diria isso em porcentagens?
Hugo: Há mais mulheres do que homens com olhos verdes nesta amostra em particular. Talvez 
três quintos a dois quintos.
Martin: Ok, então o azul é cerca de 50% ao que parece.
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Depois de dar sentido à informação transmitida, concentrando-se numa dimensão de cada vez, os 
alunos centraram-se na informação contida numa área e na sua relação com toda a área. Para Martin 
e Leo houve uma sensação de realização sobre toda a área, que eles batizaram de população:
Leo: Você pode ver que a caixa feminina parece um pouco mais larga do que a caixa masculina 
porque presumo que mais mulheres responderam à pesquisa.
Martin: Ah sim, porque você tem essa coisa de ser a população e então você tem, por exemplo, 
olhos castanhos, garotas de olhos castanhos, sim... um pouco mais do que os caras.
Leo: Acho que a área de uma caixa individual representaria...
Leo e Martin pareciam ver a probabilidade conjunta como uma proporção de área em relação à 
área total, enquanto Helen e Hugo, ao comparar uma relação parte-a-todo, concentraram-se em fazer 
um cálculo aproximado da área Byou disse que é cerca de 10 % (olhos verdes) então você esperaria 
que dois quintos de 10% da classe fossem homens e tivessem olhos verdes^ (Helen). Assim, eles 
também capturaram uma declaração de probabilidade conjunta, mas de uma perspectiva numérica 
(I2). Anna e Ben precisavam ser solicitados a considerar as informações contidas em uma caixa e 
focar em uma coluna B a proporção de homens que têm olhos verdes^ (Ben), uma resposta I1, em 
vez de relacionar a proporção ao todo.
Martin: Sim, uma porcentagem total da população.
Como demonstram os trechos acima, dar sentido a uma representação desconhecida leva tempo, 
pois é preciso muita decodificação e descompactação de significado no sentido estatístico e no sentido 
do contexto. Gradualmente, todos eles reconheceram a consciência das proporções e suas relações 
uns com os outros. Ao desvendar as histórias nos dados, suas verbalizações foram hesitantes e 
grosseiramente formuladas, com percentuais estimados que ficaram desarticulados em termos de 
contexto, pois pareciam incapazes de formar verbalizações completas.
Leo: Uma porcentagem total de mulheres que têm olhos castanhos e estou supondo que a 
probabilidade conjunta é esta e esta [refere-se ao comprimento e largura da caixa].
Os fatores agora foram trocados (Fig. 3) com Martin afirmando: Bisso é interessante^ e Hugo 
dizendo Bit é incrível como é diferente, apenas trocando como está organizado... é muito mais fácil 
ver uma coisa do que a outra.^ A relação entre proporções econtagens (RW) agora surgiram 
espontaneamente de sua tentativa de interpretar a Fig. 3. Essa relação pareceu ser uma revelação 
para os alunos, pois eles retornaram a essa ideia várias vezes, inclusive quando as contagens e 
proporções foram realmente colocadas no eikosograma. No trecho a seguir, Martin e Leo primeiro 
interpretaram as diferentes larguras das caixas masculina e feminina e depois ponderaram sobre a 
comparação das alturas e larguras de duas caixas, levando a uma compreensão sobre a relação entre 
proporções e contagens (números).
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Martin: Sim.
Hugo e Helen tiveram uma conversa semelhante:
Léo: A proporção é maior. O número total pode não ser maior, mas a proporção é definitivamente 
maior porque você pode ver que a barra está um pouco mais alta.
Helen: Não, não necessariamente. Acho que as áreas são iguais, mas essa é maior porque 
essa é menos larga.
Da mesma forma, quando Leo e Martin estavam olhando para a Fig. 8 , eles comentaram sobre 
as diferenças nas contagens em comparação com as diferenças nas proporções, por exemplo, 
diferença BA de um chega a uma diferença de 2% [comparando gênero e olhos castanhos] enquanto 
uma diferença de 30 chega a uns 13% de diferença [comparando gênero e olhos castanhos]^ (Martin).
Martin: Mas isso não significa necessariamente que há mais homens de olhos azuis do que 
mulheres de olhos azuis.
Martin: Mas é mais ou menos aí que eu queria chegar, porque parece mais alto se você está 
apenas olhando dessa maneira, parece maior, mas quando você considera a largura também, 
você não é, pelo menos sim, eu diria é maior, mas não tenho certeza.
Quando colocaram contagens e proporções no eikosograma (Fig. 7), esses alunos mencionaram 
novamente essa relação (RW). Eles observaram que 37 mulheres e 37 homens tinham olhos azuis 
(Fig. 7(a)) , mas a proporção de mulheres com olhos azuis era diferente da proporção de homens com 
olhos azuis (Fig. 7(b)). Anna também notou esta relação: BEles têm o mesmo número de pessoas. A 
proporção, de todo o grupo em que estão, homens e mulheres, é diferente.^ Anna e Ben, no entanto, 
só reconheceram essa relação depois que consideraram a independência e, para sua surpresa, 
descobriram que as contagens e proporções eram diferentes e então descobriram por que .
Leo: A proporção de homens azuis, sim, de olhos azuis é maior do que a proporção de 
mulheres de olhos azuis.
Leo: Mas você pode ver que a proporção de homens com olhos azuis é maior do que a 
proporção de mulheres com olhos azuis porque é maior assim.
Hugo: Mais homens do que mulheres têm olhos azuis.
Entrevistador: Então quando você está falando a proporção, a proporção de quê?
Hugo: Certo, então você teria que fazer o condicional para dizer isso. Portanto, a probabilidade 
de alguém ter olhos azuis, dado que é homem, é maior do que a probabilidade de alguém ter 
olhos azuis, dado que é mulher. … [depois de lutar com a ideia] … se as áreas forem as 
mesmas e você escolher um ponto aleatório, é provável que você esteja naquela caixa. Mas assim que você condicionar... não seria igual.
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Todos os alunos notaram que era mais fácil ver as distribuições feminina e masculina no 
formato da Fig. 7 . A luta para verbalizar declarações condicionais de duas maneiras foi 
exemplificada por Ben: BA probabilidade de ter olhos azuis dado que são homens, 50%, mas 
a probabilidade de ter olhos azuis é de 18%. Acho que estou errado.3 Com a ajuda de Anna, 
ele finalmente conseguiu acertar as probabilidades e verbalizar, embora não muito 
fluentemente, as duas declarações condicionais. Anna, por outro lado, observou que no 
formato da Fig. 8(b) do eikosograma, se você soubesse que 50% das pessoas com olhos 
azuis eram mulheres, então poderia descobrir que 50% das pessoas com olhos azuis eram homens.
No entanto, no formato da Fig. 7(b), se você soubesse que 20% dos homens têm olhos azuis, 
não poderia calcular a porcentagem de mulheres com olhos azuis. Esse lado condicional das 
coisas, como ela disse, parecia conter um insight, do qual ela não tinha consciência 
anteriormente, ou seja, ideias sobre a comparação com a mesma taxa básica e probabilidades 
condicionais e seus inversos. Tal percepção poderia levar naturalmente a uma transição para 
representações matemáticas, o que poderia esclarecer a situação que ela estava observando.
Fig. 7 Eikosogramas com gênero no eixo horizontal exibindo contagens (a) e proporções (b)
Fig. 8 Eikosogramas com a cor dos olhos no eixo horizontal exibindo contagens (a) e proporções (b)
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(b)(a)
(a) (b)
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Depois de entender o eikosograma, todos os alunos foram capazes de visualizar como seria a 
representação (ver Fig. 1(d)) sob independência (RB) e fornecer uma justificativa convincente:
Martin: Se o gênero fosse efetivamente irrelevante, deveria estar no meio do caminho para 
todos eles e a única coisa que mudaria seria a largura das barras, a porcentagem.
No entanto, quando os alunos foram questionados se gênero e cor dos olhos eram 
independentes (I3) para a Fig. 2 , houve uma resposta mista. A reação imediata de Martin e Leo 
foi que gênero e cor dos olhos não eram independentes, pois havia muita variação:
Leão: O resultado da cor dos olhos não importa o sexo deles.
Leo: Bem, considerando o fato de que o número diz 408 pessoas, acho que é um tamanho 
de amostra bastante alto para dizer que há um grande desvio aqui. Se você tivesse levado 
apenas um número realmente pequeno de pessoas, um desvio poderia ser uma pessoa 
ou algo assim. Mas neste caso parece que são mais algumas pessoas, então acho que o 
desvio é muito alto para o tamanho da amostra dizer que será independente.
Ter duas representações separadas para a variável condicionante, que neste caso foi 
colocada na dimensão horizontal, pareceu resultar em uma diferença perceptiva percebida. 
Portanto, a facilidade de troca de fatores parecia ajudar os alunos a ver os dados de outra 
perspectiva (ou seja, condicionada ao gênero (Fig. 3) e não à cor dos olhos (Fig. 2)).
Helen e Hugo achavam que sexo e cor dos olhos eram independentes, mas não tinham 
certeza sobre o nível esperado de variação, Bit é difícil saber o que seria uma quantidade 
razoável^ (Hugo) e sentiram, Bit é bem limítrofe e você precisaria testar e descobrir fora 
realmente^ (Helen). Também sabemos que o gênero não dependerá da cor dos olhos^ (Helen), 
sugerindo que o contexto também influenciou o pensamento deles. Ben inicialmente pensou que 
os fatores não eram independentes, mas depois pareceu concordar com Anna, que suspeitava 
que eles fossem independentes^ por causa de como as pessoasna pesquisa poderiam decidir a 
cor dos olhos: BI esperava que mais mulheres dissessem que tinham outras cores cor dos olhos 
em vez de homens.^ Quando Martin e Leo trocaram os fatores, eles decidiram que determinar a 
independência era mais complicado, mas eles se apegaram às suas conclusões, sugerindo que 
os dados estavam influenciando seu pensamento. Eles expressaram surpresa que os fatores 
não eram independentes e quando foram questionados sobre quais poderiam ser as razões para 
a não-independência (CS), eles não conseguiram pensar em nada, exceto sugerir genética e 
novamente disseram que os dados poderiam estar com uma pequena porcentagem de erro. ̂ 
para independência, mas para esses dados o desvio foi muito alto. Esses alunos demonstram 
que estavam fazendo inferências (E3) com base em seus conhecimentos contextuais e 
estatísticos (CS), ainda que, no caso de Martin e Leo, sua possível falta de experiência com
Entrevistador: Então, por que traçar essa linha reta transversalmente?
Fazendo uma inferência sobre a independência
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não conheciam este teste.
Um teste ÿ2 de independência fornece uma estatística de teste de 2,11 e um valor p de 0,72 para este conjunto de dados. Alunos
Explorando outras variáveis
Martin: Sim, parece que as pessoas que usam óculos têm menos probabilidade de comprar álcool [ver 
Fig. 9(a)].
Leo: Se você usa óculos, é menos provável que compre álcool. [Eles trocam fatores.] 48% das pessoas 
compram álcool [ver Fig. 9(b)]. Isso é surpreendentemente baixo para os alunos. Bem, novamente, você 
poderia realizar uma discussão sobre pesquisas e quão honestas elas estão sendo. …
Os alunos agora foram solicitados a explorar outras variáveis categóricas da pesquisa na web do aluno. Na 
ferramenta de software, para ver os outros fatores, tudo o que eles precisavam fazer era usar as caixas 
suspensas para Fator 1 e Fator 2 (consulte a Fig. 2). Enquanto eles exploravam a associação entre duas 
variáveis, observamos que agora eles estavam integrando todas as informações anteriores que haviam obtido 
da interpretação do eikosograma. As declarações condicionais foram verbalizadas (VD, I1, I2, VL, RW), a 
independência foi considerada em conexão com as declarações condicionais (I3, RB) e as justificativas para 
sua percepção de não independência focaram se a não independência fazia sentido a partir de um contexto 
perspectiva textual e perspectiva estatística ao considerarem a quantidade de variação esperada (CS). Para 
demonstrar como eles exploraram os dados e os tipos de verbalizações e considerações que faziam, 
apresentamos e discutimos algumas de suas conversas.
Acho bastante interessante que, a partir disso, pareça que eles 
não são independentes. …Baseado nos dados que temos, eu realmente não gostaria de dizer [eles são 
independentes] porque é uma grande diferença. Você tem 8% de variação disso para aquilo.
a variabilidade amostral para dados categóricos levou-os a uma inferência incorreta5 . etapa apenas 
Anna procurou questionar implicitamente a qualidade dos dados e como eles foram coletados, ou seja, ela 
estava levando em consideração as restrições do contexto ao fazer uma interpretação (Tabela 1) .
Martin: Acho que é bastante interessante que seja meio que o estereótipo de que se você usa óculos, 
você é mais nerd e esse tipo de coisa e menos propenso a sair e beber.
A conversa seguinte de Martin e Leo foi sobre as variáveis Usar óculos (Sim/Não) e Comprar álcool (Sim/
Não) (Fig. 9). As características de sua conversa eram declarações condicionais, verificando a independência 
e verificando se os dados faziam sentido para eles usando conhecimento contextual e conhecimento estatístico, 
que estão destacados em itálico. Eles também pensaram nos motivos pelos quais os dados foram distribuídos 
de uma determinada maneira (E4) e agora começaram a pensar na qualidade dos dados da pesquisa e na 
honestidade das respostas dos alunos.
Leo: Eu não acho que você poderia dizer que eles são independentes.
Neste
Martin: Sim, não. Não, os números são muito diferentes.
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O fato de os dados confirmarem seus estereótipos de pessoas pareceu manter os 
alunos muito engajados, como Helen disse: Quero ver todos eles para ser honesto.
Estereótipos.^ Também sugeriu que os alunos estavam cientes de sua relação com 
o contexto (ver Tabela 1). Ao olhar para as variáveis Tatuado (Sim/Não) e Comprar 
álcool (Sim/Não) (Fig. 10) Helen e Hugo disseram:
Helen: Então, se alguém é tatuado, é bem provável que compre álcool, cerca 
de 75% se não tiver tatuagens, uma probabilidade menor de comprar álcool [ver Fig. 10(a)] .
Fig. 9 Eikosogramas exibindo proporções para Usar Óculos (Sim/Não) no eixo horizontal (a) e Comprar Álcool (Sim/Não) 
no eixo horizontal (b)
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Fig. 10 Eikosogramas exibindo proporções para Tatuado (Sim/Não) no eixo horizontal e Compra de Álcool (Sim/Não) no 
eixo vertical com (a) exibindo proporções observadas e (b) exibindo proporções teóricas se as variáveis fossem 
independentes
…
(b)(a)
(a) (b)
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(a) (b)
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Fig. 11 Eikosogramas exibindo proporções para gênero no eixo horizontal em relação ao uso de óculos (sim/não) (a) e 
para uso de óculos (sim/não) no eixo horizontal em relação à cor dos olhos (b)
Hugo: Podemos ver o que seria a independência [ver Fig. 10(b)]? Eu estou curioso sobre 
isso. Sim. OK. [É] não independente. … São as pessoas que têm tatuagens que têm uma 
chance muito maior de comprar álcool.
Observe novamente que eles estavam decodificando o eikosograma com mais facilidade, 
verbalizando declarações condicionais, embora não fluentemente, e pensando em independência. 
Eles sempre pensaram em por que o estereótipo pode ser verdadeiro, mesmo quando ficaram 
surpresos. Por exemplo, para as variáveis Sexo e Usar óculos (Sim/Não) (ver Fig. 11 (a)), Hugo 
disse; Isso é interessante. Portanto, é menos provável que os homens usem óculos, o que é 
estranho.^ Ao que Helen respondeu: BNa verdade, não. As meninas são mais propensas a 
detectar o problema e fazer exames oftalmológicos. Os caras vão ser estóicos e [dizer] eu posso 
ver bem, não preciso de óculos.^ Aqui eles estavam pensando em fatores contextuais para 
explicar a distribuição (E4). Da mesma forma, Anna e Ben ficaram surpresos ao descobrir que 
de todos os que usam óculos, 62% têm olhos castanhos [ver Fig. 11(b)]... das pessoas com 
olhos azuis, 67% não usam óculos [ver Fig. 1( c)]^ (Anna) e eles achavam que um motivo 
poderia ser a etnia (E4). Martin e Leo também pensaram em fatores interativos que poderiam 
explicar algumas das distribuições (I4) e quiseram explorar três fatores. Por exemplo, ao olhar 
para tatuagens e piercings, Martin queriaBthrow em gênero^ porque BI não consigo pensar em 
ninguém que eu conheça que tenha uma tatuagem que seja uma garota que não tenha piercing.^ 
As declarações condicionais pareciam ser formadas naturalmente quando eles poderiam 
explorar os dados. As possíveis explicações para isso são: (1) fazer suas próprias perguntas 
levou a pensamentos intuitivos sobre o condicionamento; (2) o contexto dos dados foi mais 
propício ao pensamento condicional do que a cor dos olhos e as variáveis de gênero; e (3) sua 
exposição anterior à interpretação do modelo do eikosograma os ajudou a pensar condicionalmente.
A independência estava entrelaçada com o pensamento condicional, que pensamos poder ser 
atribuído diretamente à experiência anterior e à ferramenta de software, que possui uma caixa 
de seleção para mostrar qual seria a relação entre as variáveis se fossem independentes. Para 
determinar a independência, eles basearam-se em suas percepções anteriores da quantidade 
de desvio esperado. Eles também se basearam em seu conhecimento contextual sobre
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304 Int. J. Res. Graduação. Matemática. Ed. (2017) 3:283–310
Após as tarefas, os alunos foram solicitados a refletir sobre suas percepções sobre o raciocínio a partir 
de um eikosograma e sugerir melhorias. Suas principais percepções eram de que a visualização das 
informações da tabela bidirecional como proporções era útil, incluindo a facilidade de troca de fatores. Ao 
refletir sobre sua abordagem de aprendizado atual para probabilidade, eles acreditaram que o eikosograma 
era uma ferramenta útil para dar a eles outra maneira de pensar sobre tabelas de duas vias. Em particular, 
eles mencionaram que era útil começar com um eikosograma não numérico, pois parecia que representar 
proporções como uma área dava a eles um melhor senso intuitivo dos pesos e influências de cada 
resultado possível.
Hugo: É bom não se confundir com números ou qualquer coisa assim e apenas observar as 
proporções.
Reflexões sobre a tarefa e a ferramenta
Leo: Foi muito mais fácil ver as diferenças, principalmente nas proporções dos dados. Acho que 
apenas coloca sua mente, não coloca sua mente, ajuda você a ver a proporção dos dados e as 
coisas um pouco mais realistas sobre isso.
Martin: Mais fácil mostrar independência ou não definitivamente. … Como porque uma das 
perguntas no pré-teste era como você desenha a independência? Eu não fazia ideia. Mas acho 
que apenas ver as coisas na tela foi uma maneira bastante útil de ver como você pode visualizar 
os dados.
se a não independência faz sentido, incluindo pensar sobre a honestidade das respostas dos alunos; uma 
faceta não observada, além de Anna, na tarefa de cor dos olhos e gênero, possivelmente porque o 
contexto não os levou a pensar que a cor dos olhos era a percepção dos alunos na pesquisa ou eles não 
estavam acostumados a consultar a qualidade dos dados em uma configuração de probabilidade . A partir 
desta tarefa, agora observamos toda a gama de comportamentos dos alunos propostos na estrutura 
(Tabela 1).
Hugo: Quando penso em independência, a primeira coisa que penso é a regra da multiplicação. 
Para mim é menos intuitivo do que o condicionamento. Este [o eikosograma] é muito diretamente 
sobre a definição de condicionamento com independência realmente útil.
Ao considerar sua experiência anterior de independência no curso introdutório, que não incluía 
nenhuma imagem visual e era centrado na regra da multiplicação, eles acreditavam que a capacidade de 
visualizar a independência era uma característica útil do eikosograma, incluindo sua relação com o 
condicionamento e fazendo-os pensar sobre sua aplicação em situações do mundo real.
Martin: Acho que o eikosograma coloca sua mente mais em um lugar de proporções do que em 
pequenos números, que é mais ou menos o que você tem aqui [compara com a tabela deles, Fig. 4 ].
Helen: Acho que proporções... Pensando em que tipo de espaço isso ocuparia no espaço amostral 
e como isso afetaria seu resultado geral.
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agora eles responderam:
Parecia que trocar os fatores os ajudava a pensar em um nível mais profundo sobre as ideias de 
probabilidade e a perceber que, quando estavam usando tabelas de duas entradas, talvez precisassem ser 
flexíveis em seus pensamentos. A troca de fatores e o próprio eikosograma, no entanto, exigia o pensamento 
dos alunos, pois era necessário esforço para B descobrir o caminho ao redor das condições, por exemplo, 
mulher com olhos azuis ou olhos azuis com mulher (Anna) e B para entrar em nossas cabeças que as 
proporções podem ser as mesmas, mas o número de pessoas pode ser diferente; levamos umas três ou quatro 
tentativas para conseguir isso^ (Ben).
Quando questionados sobre quaisquer novos entendimentos sobre a probabilidade de que eles possam ter
Leo: Sim, isso aconteceu apenas mudando as variáveis, como as duas. Sim, você viu coisas diferentes... 
Não é algo que eu jamais teria pensado em fazer antes.
Ben: Em um exame… para independência você não tem muito tempo para pensar que talvez no mundo 
real não seja tão fácil. Eles não são exatamente iguais, mas sempre há um pouco de espaço para se 
mover. Pode ter ligeiros desvios… mas ainda assim podemos esperar independência.
Para melhorias na tarefa e na ferramenta, Hugo notou que estava confuso sobre o eikosograma no início: 
era muito difícil entender todos os diferentes fatores e todas as diferentes porções.^ Ele sugeriu começar com 
dois gráficos de pizza para cada um. variável para controlar as proporções antes de passar para o eikosograma. 
Sua sugestão nos lembrou dos gráficos de produto de Wickham e Hofmann (2011) , onde você começa com 
dois eikosogramas de uma variável, que são então combinados em um eikosograma de duas variáveis. Vários 
alunos recomendaram ter uma caixa de seleção para poder mostrar numericamente as contagens e proporções 
das juntas, pois atualmente a ferramenta mostra apenas as marginais. Essa recomendação também pode 
ajudar os alunos a aprender como prestar atenção com mais facilidade às relações parte-todo. Anna e Ben 
sugeriram que
Helen: Eu gostei de poder inverter. Isso realmente me fez pensar sobre o condicionamento e o 
condicionamento da maneira certa e o que você está inferindo do condicionamento e da maneira como 
está condicionando.
Helen também comentou que o assunto Bactual em si é interessante, como queremos saber se há 
independência entre piercings e tatuagens, então é mais provável que você explore [ao invés de] informações 
chatas^; uma faceta que observamos em sua interação com a ferramenta e a tarefa. Do nosso ponto de vista 
da tarefa, os alunos estavam muito engajados no raciocínio a partir do eikosograma e pareciam gostar de 
explorar as variáveis e encontrar histórias nos dados. Hugo acrescentou que o melhordo software [ferramentas] 
é que eles realmente fazem você pensar sobre o que está anotando... qualquer um pode obter as respostas 
certas fazendo os cálculos... [com a ferramenta que você] está usando para pensar sobre o que está 
acontecendo, sugerindo que ele apreciou, assim como os outros alunos, a oportunidade de pensar sobre as 
ideias de probabilidade subjacentes. Anna e Ben gostaram de pensar sobre razões contextuais para as 
distribuições, como por que estamos vendo o que temos^ (Ben). Embora Helen já tivesse sido exposta a um 
eikosograma em um tutorial, ela notou que agora tinha uma compreensão maior das ideias de probabilidade 
subjacentes ao ver por que isso acontece e como você chegou lá.^
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Discussão
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para aprender a pensar a partir de um eikosograma, a tarefa inicial deveria ter uma proporção 
muito maior de mulheres, o que seria perceptivamente óbvio e, portanto, reconhecido como 
saliente. Martin e Leo também propuseram que a ferramenta pudesse ser ampliada para 
permitir a exploração de três variáveis. Acreditamos que essas sugestões têm mérito e as 
exploraremos em pesquisas futuras.
Nosso referencial teórico (Tabela 1), adaptado do trabalho de Friel et al. (2001), surgiu 
de uma pesquisa em que o propósito declarado dos gráficos era para análise e comunicação. 
Neste estágio, não temos conhecimento de nenhuma pesquisa que tenha usado e confirmado 
o construto proposto por Friel et al. (2001) para comportamentos associados com grafismo 
no domínio do eikosograma. Nossos achados parecem mostrar que esses alunos exibiram 
os comportamentos identificados por Friel et al. (2001) para compreensão e interpretação 
do eikosograma. Embora os alunos precisassem ser solicitados a interrogar os dados além 
de simplesmente extrair informações e verbalizar mais completamente a linguagem 
associada às probabilidades condicionais e conjuntas, eles pareciam decodificar visualmente 
o eikosograma, perceber relações dentro das exibições e envolver seu conhecimento 
contextual e estatístico. Portanto, nossos achados suportam provisoriamente o construto 
proposto por Friel et al. (2001).
Os descritores para o eikosograma que propusemos (Tabela 1) foram baseados nos 
comportamentos dos alunos identificados por Friel et al. (2001) para os três componentes 
de compreensão de decodificação visual, tarefas de julgamento e contexto. A natureza do 
raciocínio dentro de cada um desses comportamentos não era conhecida e, portanto, não 
foi elucidada na estrutura. Seria necessário um grande estudo para desenvolver ainda mais 
a estrutura para descrever a natureza do raciocínio do aluno para cada um dos 
comportamentos ao interagir com um eikosograma. Nosso pequeno estudo, no entanto, 
começa a fornecer algumas maneiras possíveis pelas quais os alunos podem raciocinar. Por 
exemplo: Para o raciocínio dentro da representação (RW), todos esses alunos perceberam 
e racionalizaram a ligação entre contagens e proporções, um aspecto do raciocínio que não 
prevíamos ocorrer antes do estudo; enquanto para verbalizar a linguagem (VL) as 
declarações condicionais eram difíceis, um aspecto que foi documentado na literatura de 
pesquisa para interpretar declarações condicionais escritas, mas não para formular ou criar 
declarações condicionais. O próximo desafio de pesquisa é determinar a natureza do 
raciocínio do aluno e os conceitos que ele pode estar desenvolvendo com o eikosograma. 
Uma vez que nossas modificações recomendadas para a ferramenta interativa do 
eikosograma tenham sido implementadas e testadas em alguns alunos para verificar outras 
modificações, prevemos que um grande estudo possa ser realizado no qual os processos de 
raciocínio do aluno, a natureza do raciocínio e os conceitos desenvolvidos possam ser 
adicionados ao quadro.
Nosso propósito ao usar o eikosograma foi explorar seu potencial para melhorar a 
compreensão dos alunos introdutórios de alguns conceitos de probabilidade. Como o estudo 
foi exploratório e realizado com alunos que já haviam concluído um curso de graduação em 
probabilidade, reconhecemos que a discussão sobre os resultados envolve alguma 
especulação, mas serve como um indicador do possível potencial da ferramenta eikosograma 
para aprimorar o raciocínio dos alunos.
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Discutiremos agora nossas descobertas muito provisórias sobre os processos de raciocínio 
dos alunos ao interagir com o eikosograma em conhecimento da literatura. Como a estrutura foi 
uma parte central da análise, os códigos do descritor da estrutura são referenciados para sinalizar 
o aspecto que está sendo discutido.
Os alunos se envolveram com a tarefa e pareciam acreditar que uma característica positiva do 
modelo do eikosograma era que ele aumentava sua capacidade de visualizar proporções em 
relação umas às outras. A imagem visual de proporções e suas relações (RW), no entanto, precisa 
estar em harmonia com as verbalizações das histórias nos dados (I1, I2, I3, I4); uma faceta que 
inicialmente os alunos acharam difícil. Uma área problemática foi definir o resultado ao qual a 
porcentagem relacionada, que foi identificada por Gigerenzer (2014) como uma questão crítica a 
ser feita quando apresentados com dados. Conjecturamos que atender à porcentagem de Bwhat^ 
é crítico para raciocinar a partir de eikosogramas e, portanto, de tabelas bidirecionais. Além disso, 
as verbalizações dos alunos muitas vezes eram inadequadas e não totalmente formuladas, 
sugerindo que eles precisavam de mais experiência na verbalização da linguagem (VL) específica 
para informações da tabela bidirecional, uma faceta de Friel et al. (2001) considerado importante 
para a interpretação de exibições de dados.
Watson e Callingham (2014) observaram que a interpretação dos alunos das informações da 
tabela bidirecional é problemática, uma vez que é necessário raciocínio proporcional, coordenação 
e expressão de relacionamentos dentro e entre as células. Embora os alunos tivessem experiência 
anterior na interpretação de tabelas bidirecionais, eles inicialmente lutaram para decodificar o 
eikosograma não numérico (VD) e produzir algumas verbalizações adequadas (VL). A questão é 
se o tempo gasto para decodificar o eikosograma (VD) valeu o esforço.
Watson e Callingham (2014) sugeriram que os professores precisavam ajudar os alunos a 
serem flexíveis em seu pensamento para considerar proporções em qualquer direção (RW). 
Conjecturamos que nossa estratégia de mostrar duas visualizações do eikosograma (Figs. 2 e 3) 
pareceu ser útil para esses alunos, o que eles confirmaram, e pode ser útil para os alunos 
fazerem a transição para essa forma flexível de pensar quando confrontados com um mesa dupla. 
Para a visualização da independência o eikosgrama pareceu ser uma ferramenta útil, pois os 
alunos foram