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Matemática
Radicais
Professor Dudan
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Matemática
RADICAIS
Certas situações envolvendo radicais podem ser simplificadas utilizando algumas técnicas 
matemáticas. Vamos através de propriedades, demonstrar como simplificar números na forma 
de radicais, isto é, números ou letras que podem possuir raízes exatas ou não. Nesse último 
caso, a simplificação é primordial para os cálculos futuros e questões de concurso.
Definição
Se perguntássemos que número multiplicado por ele mesmo tem resultado 2, não 
encontraríamos nenhum número natural, inteiro ou racional como resposta.
Uma raiz nada mais é que uma operação inversa à potenciação, sendo assim, ela é utilizada 
para representar, de maneira diferente, uma potência com expoente fracionário.
Radiciação de números relativos é a operação inversa da potenciação. Ou seja:
an = b ⇔ b = n�a (com n > 0)
Regra do “SOL e da sombra”
 
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Exemplos:
a) 7 7 343
b) 2 2
c) 3 3
d) 32 2
e)10 10 10 10 10000
3
5 35 5
34
3
4
1
2
3
5
3
0 8
8
10
4
5 45 5
= =
=
=
=
= = = =, 
a) 7 7 343
b) 2 2
c) 3 3
d) 32 2
e)10 10 10 10 10000
3
5 35 5
34
3
4
1
2
3
5
3
0 8
8
10
4
5 45 5
= =
=
=
=
= = = =,
Atenção: negativo IRpar ≠
Propriedades
I. Simplificação de radicais
Regra da chave-fechadura
Exemplos:
a) �27 = b) = �32
c) 3 �16 = d) = 5�32
e) �36 = f) = 4�512
g) �243 = h) = 3�729
i) �108 = j) = 3�-64
Atenção!
n�an = a
II. Soma e subtração de radicais
Exemplos:
a) �5 − 5�20 + �45 − 7�125 + �320 = 
b) 3�2 − 3�54 + 3�128 =
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III. Multiplicação de raízes de mesmo índice
n�a . n�b = n�a . b
Exemplos:
a) �2 . �5 = 4.5 = �10
b) 3�4 . 3�2 = 
3
4.2 = 3�8 = 2
c) 2�27 . 2�3
d) 3�16 . 3�2
IV. Divisão de raízes de mesmo índice
a
b
a
b
n
n
n=
Exemplos: Atenção:
a)
20
5
20
5
4 2
b)
4
2
4
2
2
1 44
144
100
144
100
12
10
1 2
a a
a) 64 64 64 2 2
b) 3 3 3
3
3
3 3
nm m.n
3 2.3 6 66
45 5.4 20
= = =
= =
= = = =
=
= = = =
= =
, ,
 
a)
20
5
20
5
4 2
b)
4
2
4
2
2
1 44
144
100
144
100
12
10
1 2
a a
a) 64 64 64 2 2
b) 3 3 3
3
3
3 3
nm m.n
3 2.3 6 66
45 5.4 20
= = =
= =
= = = =
=
= = = =
= =
, ,
V. Raiz de raiz
a)
20
5
20
5
4 2
b)
4
2
4
2
2
1 44
144
100
144
100
12
10
1 2
a a
a) 64 64 64 2 2
b) 3 3 3
3
3
3 3
nm m.n
3 2.3 6 66
45 5.4 20
= = =
= =
= = = =
=
= = = =
= =
, ,
Exemplos:
a)
20
5
20
5
4 2
b)
4
2
4
2
2
1 44
144
100
144
100
12
10
1 2
a a
a) 64 64 64 2 2
b) 3 3 3
3
3
3 3
nm m.n
3 2.3 6 66
45 5.4 20
= = =
= =
= = = =
=
= = = =
= =
, ,
 
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VI. Simplificação de índice e expoente
a a
a) 9 3 3
b) 7 7 7
a b a b
a) 5 7 5 7
b) 2 5 2 5 2 5
m.pn.p mn
4 24
68 2 32 4 34
m n n mm.n
3 4 4 312
25 34 2 4 3 520 8 1520
=
= =
= =
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ = ⋅⋅ ⋅
..
Exemplos:
a a
a) 9 3 3
b) 7 7 7
a b a b
a) 5 7 5 7
b) 2 5 2 5 2 5
m.pn.p mn
4 24
68 2 32 4 34
m n n mm.n
3 4 4 312
25 34 2 4 3 520 8 1520
=
= =
= =
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ = ⋅⋅ ⋅
..
VII. Multiplicação de raízes de índices distintos
a a
a) 9 3 3
b) 7 7 7
a b a b
a) 5 7 5 7
b) 2 5 2 5 2 5
m.pn.p mn
4 24
68 2 32 4 34
m n n mm.n
3 4 4 312
25 34 2 4 3 520 8 1520
=
= =
= =
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ = ⋅⋅ ⋅
..
Exemplos:
a a
a) 9 3 3
b) 7 7 7
a b a b
a) 5 7 5 7
b) 2 5 2 5 2 5
m.pn.p mn
4 24
68 2 32 4 34
m n n mm.n
3 4 4 312
25 34 2 4 3 520 8 1520
=
= =
= =
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ = ⋅⋅ ⋅
..
Exercícios
1. Se x = �2 e y = �98 − �32 − �8 então:
a) y = 3x
b) y = 5x
c) y = x
d) y = − x
e) y = 7x
2. Se a = �2 e b = �2 − �8, então a/b é um número:
a) racional positivo.
b) racional não inteiro.
c) racional.
d) irracional.
e) complexo não real.
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3. O numeral 5120,555 é equivalente a:
a) 32.
b) 16�2.
c) 2.
d) �2.
e) 5�2.
4. O valor de 
...,
...,
1110
7771
 é:
a) 4,444...
b) 4.
c) 4,777...
d) 3.
e) 4/3.
5. O valor de (16%)50% é:
a) 0,04%
b) 0,4%
c) 4%
d) 40%
e) 400
6. O valor de  8 14 6 4322 + + +  é:
a) 2�3
b) 32�2
c) �5
d) 2�5
e) 5�2
7. Se a = 23,5, então:
a) 6 < a < 8,5.
b) 8,5 < a < 10.
c) 10 < a < 11,5.
d) 11,5 < a < 13.
e) 13 < a < 14,5.
Gabarito: 1. C 2. C 3. A 4. B 5. D 6. A 7. C