Método dos Deslocamentos (c redução de deslocabilidades)

Prévia do material em texto

Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 1 – Figura 11-80 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






−
+
⇒
0
0
32/916/3
16/34/5
20
45
2
1
D
D
EI 





+=
−=
⇒
EI
D
EI
D
679.105
8519.51
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
2 1 
SH 
β20 = –20 kN β10 = +45 kNm 
+45 
0 0 
0 0 
0 
[kNm] 
M0 
0 0 0 
0 
x D1 
M1 
D1 = 1 
0 
0 
K21 = +3EI/16 
K11 = +5EI/4 
0 
0 
0 
0 
+3EI/4 
+3EI/6 
K11 
K21 
3EI/42 
0 
0 
M2 
D2 = 1 
+3EI/42 
0 
D2 = 1 D2 = 1 
0 
0 0 
+3EI/42 
+6EI/42 
+6EI/42 
3EI/43 
3EI/43 12EI/43 
x D2 
K22 = +9EI/32 K12 = +3EI/16 
K12 
K22 
–6EI/42 
0 
0 
0 
0 
–19.1 
+19.1 –39.6 
+39.6 
+39.6 +19.8 
45 
[kNm] 
M 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 2 – Figura 11-81 
 
 
 
 
Sistema Hipergeométrico (SH) 
 
 
1 
2 
 
caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
β10 = – 16 kNm 
β20 = + 83 kN 
[kNm] 
–16 +16 –16 
M0 
0 
0 
0 
0 
0 –54 
(16÷2=8) 
(ΣFy=0)⇒ 
(12·6·(5/8)=45) 
0 
 
 
caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
 
K21 = +EI/4 
0 
K11 = +2EI 
x D1 
M1 
(ΣFy=0)⇒ 
0 
0 
0 
0 0 
+4EI 
4 
+3EI 
3 
2EI 
4·2 
–2EI 
4 
+2EI 
4 D1 = 1 
 
 
caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
 
M2 
D2 = 1 
θ2 = 1/2 
(ΣFy=0)⇒ 
+4EI 
4 
·θ2 
–4EI 
5 
+2EI 
4 
·θ2 
+3EI 
5 
·θ2 
4EI 
5·2 
3EI 
6
3
 
K12 = +EI/4 
K22 = +149EI/360 
0 
0 
0 
0 
+3EI 
6
2
 
x D2 
 
Sistema de Equações de Equilíbrio 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
−
0
0
360/1494/1
4/12
83
16
2
1
D
D
EI 





⋅−=−=
⋅+=+=
⇒
−
−
m
EI
D
rad
EI
D
3
2
3
1
10171.6
142.222
10994.0
768.35
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Momentos Fletores finais 
22110 DMDMMM ++= 
 
M [kNm] 
–66.6 
+143.8 –77.2 –35.8 
+35.8 
–72.5 
0 
0 
0 
0 
 
 
M [kNm] 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 3 – Figura 11-82 
 
 
 
 
Sistema Hipergeométrico (SH) 
 
1 
2 
 
caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
β10 = – 36.0 kNm 
β20 = – 22.5 kN 
M0 
[kNm] 
0 
0 
0 
0 
–54 +54 
–36 
–36 +36 
0 
 
 
caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
 
M1 
K11 = 4EI/6 + 
 3EI/4 + 
 3EI/4 
D1 = 1 +3EI/4 +2EI/6 –2EI/6 
K21 = +5EI/48 
6EI/6
2
 
6EI/6
2
 
0 
0 
0 
0 
2EI/6·4 + 
3EI/4
2
 – 
3EI/4
2
 = 
2EI/6·4 K11 = +13EI/6 
0 
2EI/6·4 
+4EI/6 
+3EI/4 
3EI/4
2
 
2EI/6 
2EI/6·4 
K21 = 3EI/4
2
 – 
 2EI/6·4 
6EI/6
2
 
6EI/6
2
 
3EI/4
2
 
3EI/4
2
 
3EI/4
2
 
3EI/4
2
 
3EI/4 
3EI/4 2EI/6 
4EI/6 x D1 
 
 
caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
 
M2 
K22 = (7EI/6·4)·θ2 
 + 3EI/4
3
 
D2 = 1 
K12 = +5EI/48 
0 
(7EI/6·4)·θ2 
+ 3EI/4
3
 
= 23EI/192 
K22 = +23EI/192 
+3EI/4
2
 K12 = –(2EI/6)·θ2 
 + 3EI/4
2
 
3EI/4
3
 
3EI/4
3
 
3EI/4
2
 
x D2 
θ2 = 1/4 
–(3EI/6)·θ2 
+(3EI/6)·θ2 
θ2 
θ2 
–(4EI/6)·θ2 +(4EI/6)·θ2 
–(2EI/6)·θ2 
0 
0 
0 
(4EI/6)·θ2 
(7EI/6·4)·θ2 
(3EI/6)·θ2 
(7EI/6·4)·θ2 
(4EI/6)·θ2 
(2EI/6)·θ2 
(6EI/6
2
)·θ2 
(6EI/6
2
)·θ2 
(3EI/6)·θ2 
(3EI/6
2
)·θ2 
(3EI/6
2
)·θ2 
(9EI/6
2
)·θ2 
(9EI/6
2
)·θ2 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Sistema de Equações de Equilíbrio 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






−
−
0
0
192/2348/5
48/56/13
5.22
0.36
2
1
D
D
EI 





⋅+=⋅+=
⋅+=⋅+=
⇒
−
−
m
EI
D
rad
EI
D
3
2
3
1
10539.7
1
191
34560
10330.0
1
191
1512
 
Momentos Fletores finais 
22110 DMDMMM ++= 
 
M [kNm] 
0 
–31.4 
+31.4 
0 
0 
–8.5 
+8.5 
–45.8 
+39.9 
+5.9 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 4 – Figura 11-83 
 
 
 
 
Sistema Hipergeométrico 
 
 
2 
1 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
β10 = + 16 kNm 
β20 = – 20/3 kN 
[kNm] 
+16 –16 
M0 
0 
0 
0 
0 
0 
+16 
16 
24 
(16+24)/6 = 20/3 
20/3 
20/3 
–24 
+24 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
 
 
+4EI/4 
M1 
0 
0 
0 
0 0 
0 
+2EI/4 
–2EI/4 
2EI/4 2EI/4⋅6 
2EI/4⋅6 
K21 = –3EI/6
2
 + 2EI/4⋅6 = 0 
K11 = 4EI/4 + 3EI/6 = +3EI/2 
x D1 
D1 = 1 
K11 
K21 
+3EI/6 
 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
 
 
M2 
x D2 
D2 = 1 
K12 
K22 
θ2 = 1/6 
+4EI 
4 
·θ2 
+2EI 
4 
·θ2 
+3EI 
4 
·θ2 
+3EI 
6
2
 
–4EI 
4 
·θ2 
–3EI 
4 
·θ2 
–3EI 
6
2
 
0 
0 0 
EI/6 7EI/144 
K22 = 2·3EI/6
3
 + 7EI/144 = + 11EI/144 
K12 = (2EI/4)·θ2 – 3EI/6
2
 = 0 
EI/8 
7EI/144 
3EI/6
3
 
3EI/6
3
 + 7EI/144 
 
 
Sistema de Equações de Equilíbrio 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





+
+
⋅+






−
+
0
0
144/110
02/3
3/20
16
2
1
D
D
EI 





⋅+=+=
⋅−=−=
⇒
−
−
m
EI
D
rad
EI
D
3
2
3
1
10636.3
11
960
10444.0
3
32
 
Momentos fletores finais 
22110 DMDMMM ++= 
 
[kNm] 
M 
+12.6 –6.8 
0 
0 
–12.6 +6.8 
0 
+7.3 
+13.1 
–13.1 
 
 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 5 – Figura 11-84 
 
 
 
 
Sistema Hipergeométrico (SH) 
 
 1 
2 
 
caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
0 
β10 = – 24 kNm 
β20 = + 30 kN 
M0 
[kNm] 
0 
-24 
0 0 0 
0 
0 0 
0 
18 kN 
(sentido 
positivo) 
 
 
 
caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
 
x D1 
M1 
3EI/42 3EI/4
2 3EI/42 3EI/4
2 
3EI/42 
3EI/4 3EI/4 
K11 = 3EI/4 + 3EI/4 + 4EI/6 
D1 = 1 
+3EI/4 
+3EI/4 
+4EI/6 
4EI/6 
+2EI/6 
2EI/6 
2EI/6 
–2EI/6 
K21 = –EI/12 
6EI/62 
6EI/62 
6EI/62 
6EI/62 
2EI/6·4 2EI/6·4 
0 
0 
0 
0 
0 
3EI/42 – 2EI/6·4 
ΣFy = 0 ⇒ K21 + 3EI/4
2 – (3EI/42 – 2EI/6·4) = 0 
K11 
K11 = +13EI/6 
(sentido positivo) 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
 
x D2 M2 
3EI/43 
θ2 = 1/4 
D2 = 1 
K22 = +EI/6 
0 
ΣFy = 0 ⇒ K22 – 3EI/4
3 – (7EI/6·42+ 3EI/43) = 0 
K12 
3EI/43 
3EI/43 3EI/4
3 
3EI/43 
3EI/42 3EI/4
2 
2EIθ2/6 
4EIθ2/6 
3EIθ2/6 4EIθ2/6 
3EIθ2/6 
6EIθ2/6
2 
6EIθ2/6
2 
9EI/62·4 
3EIθ2/6
2 
3EIθ2/6
2 
7EIθ2/6·4 
7EIθ2/6·4 
9EI/62·4 
7EI/6·42+ 3EI/43 
0 
0 
–3EI/42 +3EI/42 
–2EI/6·4 
K12 = –3EI/4
2 + 3EI/42 
 – 2EI/6·4 
K12 = –EI/12 
–3EI/6·4 
–4EI/6·4 
+4EI/6·4 
+3EI/6·4 
(sentido positivo) 
 
 
 
Sistema de Equações de Equilíbrio 





⋅−=
⋅+=
⇒






=






⋅





+−
−+
⋅+






+
−
⇒



=++
=++
EI
D
EI
D
D
D
EI
DKDK
DKDK
1
17
3024
1
17
72
0
0
6/112/1
12/16/13
30
24
0
0
2
1
2
1
22212120
21211110
β
β
 
 
Momentos Fletores finais 
22110 DMDMMM ++= 
 
 
M [kNm] 
0 0 –30.2 +12.5 
0 +17.7 
+31.1 
–31.1 –22.2 
+22.2Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 6 – Figura 11-85 
 
 Sistema Hipergeométrico 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
−
⇒
0
0
192/6148/1
48/112/37
50
24
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
92,157
853,8
2
1
 
Momentos fletores finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
x D2 x D1 
M1 
1 
2 
Caso (0) – Solicitação externa 
 isolada no SH 
0 
–24 
[kNm] 
β20 
β10 
M0 
β20 = + 50 kN β10 = – 24 kNm 
ΣFy = 0 ⇒ β20 – 20 – 48 + 18 =0 
0 
0 
0 
0 0 0 
+4EI/3 
D1 = 1 
–2EI/3 
+2EI/3 
6EI/42 
K11 = +37EI/12 
K11 
+4EI/4 
+2EI/4 +3EI/4 
2EI/4 
3EI/42 
2EI/(3⋅4) 
K21 
0 
K21 = +EI/48 
ΣFy = 0 
0 
M2 
K22 
K12 
K22 = +61EI/192 
–(4EI/3)⋅θ2 
12EI/43 
θ2 = 1/4 
–(2EI/3)⋅θ2 
0 
(4EI/3)⋅θ2/4 
ΣFy = 0 
0 –3EI/42 
+6EI/42 
+6EI/42 
3EI/43 
+(4EI/3)⋅θ2 
6EI/42 
K12 = +EI/48 
D2 = 1 
[kNm] 
M 
0 –54,8 
+58,6 
0 –58,6 
–50,4 
+38,1 
+12,3 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 7 – Figura 11-86 
 
 
 
Sistema Hipergeométrico (SH) 
 
 
1 
2 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
 
β20 = + 6 kN 
β10 = + 4 kNm 
[kNm] 
–36 
M0 
(36÷6=6) 
(ΣFx=0) 
+36 
0 
⇑ 
+36 –32 
0 
0 
 
 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
 
 
M1 
(ΣFx=0) 
⇑ 
0 
K21 = +EI/4 K11 = +2EI 
+4EI 
4 
2EI 
4·6 
+2EI 
4 
D1 = 1 
3EI 
32 
0 
0 +3EI 
3 
x D1 
–2EI 
4 
 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
 
 
M2 
(ΣFx=0) 
⇑ 
0 
K12 = +EI/4 
K22 = +5EI/36 
D2 = 1 
+3EI 
32 
0 
0 
x D2 
θ2 = 1/6 
+4EI 
4 
θ2 
–2EI 
4 
θ2 
–4EI 
4 
θ2 
3EI 
33 
4EI 
4·6 
θ2 
 
 
Sistema de Equações de Equilíbrio 
 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
+
0
0
36/54/1
4/12
6
4
2
1
D
D
EI 





⋅−=−=
⋅+=+=
⇒
−
−
m
EI
D
rad
EI
D
4
2
5
1
10097.7
097.51
10093.6
387.4
 
Momentos Fletores finais 
 
22110
DMDMMM ++= 
 
[kNm] 
+44.6 
M 
–32.0 
+25.3 
–12.6 
–25.3 
0 
0 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 8 – Figura 11-87 
 
 
Sistema Hipergeométrico 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





+−
−+
⋅+






−
−
⇒
0
0
40/2340/23
40/235/14
5,48
25
2
1
D
D
EI 





+=
+=
⇒
EI
D
EI
D
38,117
034,33
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
x D2 x D1 
0 
–25 
+25 
0 
0 
0 
0 
–25 0 0 
[kNm] 
β20 
β10 
M0 
β20 = – 48,5 kN 
β10 = – 25 kNm 
ΣFx = 0 ⇒ β20 + 36 + 12,5 =0 
60 kN 
36 kN 
48 kN 
1 
2 
SH 
12,5 kN 12,5 
12,5 
25 
+4EI/4 
2EI/(5⋅2) 
D1 = 1 
0 0 
M1 
+3EI/3 
+2EI/5 
–2EI/5 
+4EI/5 
+2EI/4 
K21 
0 
0 
6EI/42 
K11 = +14EI/5 
K21 = –23EI/40 
ΣFx = 0 
M2 
–6EI/42 
K22 
K12 
K22 = +23EI/40 
–(4EI/5)⋅θ2 
0 
0 
12EI/43 
D2 = 1 
θ2 = 1/2 
–(2EI/5)⋅θ2 
–(3EI/4)⋅θ2 
+(31EI/20)⋅θ2 
0 
K12 = –23EI/40 
(31EI/20)⋅θ2/2 
ΣFx = 0 
–6EI/42 
0 
[kNm] 
M 
0 
0 
0 
–8,8 
–44,0 +52,8 
–27,5 
+33,0 
–11,0 
–22,0 
K11 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 9 – Figura 11-88 
 
 
Sistema Hipergeométrico 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





+−
−+
⋅+






+
−
⇒
0
0
192/6124/5
24/515/44
78
16
2
1
D
D
EI 





−=
−=
⇒
EI
D
EI
D
73.253
57.12
2
1
 
Momentos fletores finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
x D2 x D1 
Caso (0) – Solicitação externa 
 isolada no SH 
[kNm] 
M 
1 
2 
–24 
[kNm] 
M0 
β20 = + 78 kN 
β10 = – 16 kNm 
ΣFy = 0 ⇒ β20 + 24 – 6 – 2⋅48 = 0 
0 
0 
0 
0 
0 0 +24 
24/4 = 6 
–16 +16 
M1 +4EI/3 
D1 = 1 
–2EI/3 
6EI/42 
K11 = +44EI/15 
+4EI/4 
+2EI/3 
+3EI/5 
2EI/4 
2EI/(3⋅4) 
0 
K21 = –5EI/24 
ΣFy = 0 
0 
0 0 
+2EI/4 
0 
M2 
K22 = +61EI/192 
+(4EI/3)⋅θ2 
12EI/43 
θ2 = 1/4 
+(2EI/3)⋅θ2 
ΣFy = 0 
0 
–6EI/42 
–6EI/42 
–(25EI/12)⋅θ2 
6EI/42 
K12 = –5EI/24 
D2 = 1 
0 
0 
D2 = 1 +(3EI/4)⋅θ2 
((25EI/12)⋅θ2)/4) = 25EI/192 
0 
–59.0 
+116.5 
–93.0 
–7.5 
+104.9 +66.5 
0 
0 –23.5 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 10 – Figura 11-89 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
−
⇒
0
0
6/148/5
48/512/17
76
24
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
06.489
90.52
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
2 
1 
SH 
β20 = +76 kN 
β10 = –24 kNm 
–24 +24 
0 0 
0 
0 
0 
0 
0 0 
[kNm] 
M0 
2EI/6 
2EI/(6⋅4) 
2EI/(6⋅4) 
K21 = + 3EI/42 – 2EI/(6⋅4) 
K11 = + 4EI/6 + 3EI/4 
M1 x D1 
D1 = 1 
+4EI/6 
+3EI/4 
–2EI/6 
+2EI/6 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
K21 = +5EI/48 
K11 = +17EI/12 
M2 
D2 = 1 θ2 = 1/4 
7EI/(6⋅4⋅4) 
+3EI/42 
D2 = 1 
–(4EI/6)⋅θ2 
–(3EI/6)⋅θ2 
+(4EI/6)⋅θ2 
+(3EI/6)⋅θ2 
–(2EI/6)⋅θ2 
(3EI/6)⋅θ2 
(4EI/6)⋅θ2 7EI/(6⋅4⋅4) 
–3EI/42 
K12 = + 3EI/42 
 – 2EI/(6⋅4) 
K12 = +5EI/48 
7EI/(6⋅4⋅4) + 3EI/43 
3EI/43 
K22 = + 7EI/(6⋅4⋅4) +3EI/43 + 3EI/43 
0 
x D2 
0 
0 
K22 = +EI/6 
3EI/42 – 2EI/(6⋅4) 
–76.0 
0 
+115.7 
[kNm] 
M 
0 0 
+76.0 
–61.1 –99.1 
+61.1 
+99.1 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 11 – Figura 11-90 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





+−
−+
⋅+






+
+
⇒
0
0
72/314/3
4/320/61
84
24
2
1
D
D
EI 





−=
−=
⇒
EI
D
EI
D
262.365
687.97
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
[kNm] 
M 
2 
1 
SH 
[kNm] 
M0 
+24 
–36 
0 
0 
0 
0 0 
β20 = + 84 kN 
+36 
–36 
(ΣFy=0) ⇒ 
β10 = + 24 kNm 
0 
M1 
K11 = +61EI/20 
+4EI 
5 
D1 = 1 
0 0 
0 
0 
+2EI 
5 
+3EI 
4 
–2EI 
5 
0 
+3EI 
2 
K21 = –3EI/4 (ΣFy=0) ⇒ 
3EI 
22 
x D1 M2 
D2 = 1 
–3EI 
22 
3EI 
23 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
12EI 
63 
+6EI 
62 
–6EI 
62 
K12 = –3EI/4 
K22 = +31EI/72 (ΣFy=0) ⇒ 
+6EI 
62 
x D2 
–49.3 
–96.9 
0 
–78.1 
–39.1 
0 
0 
–24.9 
+64.0 
+127.4 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 12 – Figura 11-91 
 
 
Equações de equilíbrio: 


=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





+−
−+
⋅+






+
−
⇒
0
0
1080/4639/1
9/112/25
49
18
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
62.113
58.2
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
2 
1 
SH 
–24 
+6 
0 
0 
[kNm] 
M0 0 
β10 = –18 kNm 
–6 
+6 
0 
0 
0 
β10 = – 24 + 6 
β20 = +49 kN 
ΣFy = 0 ⇒ β20 – 12⋅4 – 1 = 0 
⇓ 
6 
6/6 = 1 6/6 = 1 
⇓ 
1 kN 
M2 
θ2 = 1/6 
–(4EI/3)⋅θ2 θ2 
θ2 
0 
0 
0 
0 
0 
–(2EI/3)⋅θ2 
–(3EI/5)⋅θ2 
+(4EI/3)⋅θ2 
+(3EI/5)⋅θ2 
K12 = –EI/9 
29EI/90 
29EI/90⋅6 
29EI/540 
29EI/90⋅6 
3EI/23 
–3EI/22 
3EI/22 
K22 – 3EI/8 – 29EI/540 = 0 
ΣFy = 0 
⇑ 
⇑ 
K22 = +463EI/1080 
x D2 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
K21 = –EI/9 
ΣFy = 0 
D1 = 1 
+3EI/4 
+4EI/3 
K11 = + 3EI/4 + 4EI/3 
K11 = +25EI/12 
+2EI/3 
–2EI/3 
M1 
2EI/3 
2EI/3⋅6 2EI/3⋅6 
EI/9 
x D1 
⇑ 
[kNm] 
M 
–22.1 
+22.1 
0 
0 
+21.0 
–32.3 
0 
0 +11.3 
+85.2 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 13 – Figura 11-92 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
+
⇒
0
0
6/148/5
48/512/17
5.22
36
2
1
D
D
EI 





−=
−=
⇒
EI
D
EI
D
86.124
231.16
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
 
Sistema Hipergeométrico 
2 
1 
SH 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
β20 = +22.5 kN 
β10 = +36 kNm 
–36 
0 
[kNm] 
M0 
0 
–54 
0 
0 
0 
+36 
+54 
+36 
36 
54 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
M1 
D1 = 1 
0 
K21 = +5EI/48 
K11 = +17EI/12 
0 
0 
+3EI/4 
x D1 
+4EI/6 
+2EI/6 
–2EI/6 2EI/6 
2EI/(6⋅4) 
2EI/(6⋅4) 
0 
0 
K21 = +3EI/42 – 2EI/(6⋅4) 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
M2 
D2 = 1 
0 
0 
0 
–3EI/42 3EI/43 
x D2 
θ2 = 1/4 
+3EI/42 
–(3EI/6)⋅θ2 
+(3EI/6)⋅θ2 
–(4EI/6)⋅θ2 
–(2EI/6)⋅θ2 +(4EI/6)⋅θ2 
3EI/42 
K22 = +EI/6 
K22 = +3EI/43 + 3EI/43 + (7EI/6⋅4)⋅θ2 
K12 = +5EI/48 
K12 = +3EI/42 – (2EI/6)⋅θ2 
(3EI/6)⋅θ2 
(4EI/6)⋅θ2 
(7EI/6⋅4)⋅θ2 
(7EI/6⋅4)⋅θ2 
–20.6 
0 
[kNm] 
M 
–38.4 
0 
0 
+35.6 
+38.4 
+20.6 –35.6 
+23.4 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 14 – Figura 11-93 
 
 Sistema Hipergeométrico 
Equação de equilíbrio: 
011110 =+ DKβ 0)4/9(30 1
3 =⋅⋅+⇒ DEI 
EI
D
3
440 2
1
⋅
−=⇒ 
Momentos Fletores Finais: 
110 DMMM ⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
1 SH β10 = + 30 kN [kNm] 
M0 
0 
0 
0 0 
0 
0 
0 
0 
0 0 
0 
0 
ΣFx = 0 ⇒ 
D1 D1 
θ1 
θ1 
θ1 
θ1 
D1 = 1 
θ1 = 1/4 
D1 = 1 
θ1 = 1/4 
θ1 = 1/4 
K11 
K11 
(3EI/4)⋅θ1 
(3EI/4)⋅θ1 
(3EI/4)⋅θ1 
(3EI/42)⋅θ1 (3EI/42)⋅θ1 
(3EI/42)⋅θ1 
(3EI/42)⋅θ1 
(6EI/42)⋅θ1 (3EI/42)⋅θ1 (3EI/42)⋅θ1 
3EI/43 
3EI/43 
(3EI/4)⋅θ1 
3EI/43 
(3EI/42)⋅θ1 
(6EI/42)⋅θ1 
3EI/43 
(6EI/42)⋅θ1 
(6EI/42)⋅θ1 
x D1 
3EI/43 
3EI/42 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
+3EI/42 
–3EI/42 
–3EI/42 
+3EI/42 
(3EI/42)⋅θ1 
(6EI/4)⋅θ1 
(6EI/4)⋅θ1⋅(1/4) = 6EI/43 
–3EI/42 
+6EI/42 
M1 
K11 = +9EI/43 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
–40 
+40 
+40 
–40 
+40 
–80 
[kNm] 
M 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 15 – Figura 11-94 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅










+
+
⋅+










+
+
⇒
0
0
144
11
0
0
2
3
3
70
52
2
1
D
D
EI 





−=
−=
⇒
EI
D
EI
D
11
3360
3
104
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico 
1 
2 
SH 
0 
0 0 
16 
60 
(16+60)/6 = 38/3 
–16 
+16 
β20 = + 70/3 kN 
[kNm] 
M0 
β10 = + 52 kNm 
–60 
–36 +36 
+16 +60 
2·(8·6·3/8) – 38/3 = +70/3 
0 
0 
0 0 
0 
0 
K11 = +3EI/2 
x D1 
+2EI/4 
+4EI/4 
K21 = +2EI/(4⋅6) – 3EI/62 
D1 = 1 
–2EI/4 
+3EI/6 
2EI/4 
2EI/(4⋅6) 
M1 
K21 = 0 
0 
0 
0 
x D2 M2 
–3EI/62 
3EI/63 
D2 = 1 
θ2 = 1/6 
+(2EI/4)⋅θ2 
–(4EI/4)⋅θ2 
3EI/62 
K12 = 0 
–(3EI/4)⋅θ2 
+(4EI/4)⋅θ2 
+(3EI/4)⋅θ2 
+3EI/62 
K22 = +11EI/144 
EI/6 EI/8 
7EI/144 
7EI/144 
K22 = +7EI/144 + 3EI/63 + 3EI/63 
K12 = (2EI/4)⋅θ2 – 3EI/62 
7EI/144 + 3EI/63 
[kNm] 
M 
–61.5 +44.1 
0 
0 0 
–98.2 
+98.2 +84.2 
–84.2 
–44.1 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 16 – Figura 11-95 
 
 
Sistema Hipergeométrico 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
−
⇒
0
0
40/198/1
8/12
45
12
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
926.97
120.12
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
1 
2 
SH 
[kNm] 
M0 
0 
–12 
β20 = + 45 kN 
β10 = – 12 kNm 
0 
0 
+12 
0 
0 
ΣFy = 0 
0 –12 
–4 
12 
3 3 
x D1 
M1 
K11 = +2EI 0 +2EI/4 
+4EI/4 
0 
K21 = +EI/8 
D1 = 1 
–2EI/4 
+3EI/3 
2EI/(4⋅4) 
ΣFy = 0 
0 
0 
0 
0 
x D2 
3EI/23 
M2 
0 
+3EI/22 
K22 = +19EI/40 
+(2EI/4)⋅θ2 
0 
D2 = 1 
θ2 = 1/4 
+(4EI/4)⋅θ2 
+(3EI/5)⋅θ2 
–(8EI/5)⋅θ2 
0 
K12 = +EI/8 
(8EI/5)⋅θ2/4 = 
EI/10 
ΣFy = 0 
0 
0 
0 
+21.1 
0 
0 
0 –12.1 
–14.7 
–6.4 
+12.1 
–77.4 
18 
4 
[kNm] 
M 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 17 – Figura 11-96 
 
 
EI = 104 kNm2 
 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 18 – Figura 11-97 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 








=








⋅








+−
−+
⋅+








+
−
⇒
0
0
192/10748/5
48/512/17
58
24
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
31.102
418.9
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
1 
2 
SH 
Sistema Hipergeométrico 
β20 = +58 kN 
β10 = –24 kNm 
–16 
0 
[kNm] 
M0 0 
–24 
0 
+16 
16 
0 
–16 
0 
0 
4 4 
M1 
D1 = 1 
0 
K21 = –5EI/48 
K11 = +17EI/12 
0 
0 
+3EI/4 
x D1 
+4EI/6 
+2EI/6 –2EI/6 
2EI/6 
2EI/(6⋅4) 
2EI/(6⋅4) 
0 
0 
K21 = –3EI/42 + 2EI/(6⋅4) 
0 
M2 
D2 = 1 
0 
0 
–3EI/42 
x D2 
θ2 = 1/4 
–EI/8 
+(3EI/6)⋅θ2
= +EI/8
+(4EI/6)⋅θ2 
= +EI/6 
+EI/12 =
+(2EI/6)⋅θ2
–19EI/24 = 
–EI/6 
–5EI/8 
K22 = +107EI/192 
K22 = +53EI/192 + 9EI/32 
K12 = –5EI/48 K12 = –3EI/42 + EI/12 
11EI/48 = 
(EI/8 + 19EI/24)/4 
+(2EI/4)⋅θ2 
+6EI/42 
= +EI/2 
+5EI/8 = 
+(4EI/4)⋅θ2 
+6EI/42 
EI/8 19EI/24 
11EI/48 
9EI/32 = 
(5EI/8 + 
EI/2)/4 
53EI/192 = 
3EI/43 + 
11EI/48 
–67.2 
0 
0 
–2,2 
+61.8 
–12.8 
+2,2 
–47.9 +12.8 
–13.9 
[kNm] 
MAnálise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 19 – Figura 11-98 
 
 
EI = 2.88x104 kNm2 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) – Exercício proposto 20 – Figura 11-99 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





+−
−+
⋅+






+
−
⇒
0
0
192/10748/5
48/512/17
5.22
36
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
120.36
757.22
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico 
2 
SH 
1 
β20 = +22.5 kN 
β10 = –36 kNm 
–36 
0 
[kNm] 
M0 
0 
–54 
0 
+36 
36 
0 
0 
22.5 
+54 
–36 
54 
22.5 
β20 β10 
M1 
2EI/6 
D1 = 1 
0 
K21 = –5EI/48 
K11 = +17EI/12 
0 
0 
+3EI/4 
x D1 
+4EI/6 +2EI/6 
–2EI/6 
2EI/(6⋅4) 
2EI/(6⋅4) 
0 
0 
K21 = –3EI/42 
 + 2EI/(6⋅4) 
0 
K11 = +3EI/4 + 4EI/6 
K11 
K21 
5EI/48 
M2 
D2 = 1 
0 
0 
–3EI/42 
x D2 
θ2 = 1/4 
–EI/8 
+(3EI/6)⋅θ2 
= +EI/8 
+(4EI/6)⋅θ2 
= +EI/6 
+EI/12 =
+(2EI/6)⋅θ2
–EI/6 
–5EI/8 = 
–19EI/24 
K22 = +107EI/192 
K22 = +53EI/192 + 9EI/32 
K12 = –5EI/48 
K12 = –3EI/42 + EI/12 
(EI/8 + 19EI/24)/4 
= 11EI/48 
+EI/2 = 
+(2EI/4)⋅θ2 
+6EI/42 
+5EI/8 = 
+(4EI/4)⋅θ2 
+6EI/42 
EI/8 
19EI/24 
11EI/48 
9EI/32 = 
(5EI/8 + 
EI/2)/4 
3EI/43 + 
11EI/48 = 
 53EI/192 
K12 
θ2 
K22 
–22.6 
0 
0 
–23.8 +37.6 
–49.5 
+23.8 
–18.1 
+49.5 
–15.0 
[kNm] 
M 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 21 - Figura 11-100 
 
 
EI = 4x104 kNm2 
 
 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 22 - Figura 11-101 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
+
⇒
0
0
27/29/2
9/23/4
5.33
51
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
675
25.74
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
–123.7 
0 
–27.0 
+27.0 
–65.2 
+65.2 
[kNm] 
M 
Sistema Hipergeométrico 
2 
SH 
1 β20 = +33.5 kN 
β10 = +51 kNm 
–36 
0 
[kNm] 
M0 
–15 
+36 
+15 
+15 
2.5 
15 
2.5 
β20 
β10 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
M1 
2EI/6 
D1 = 1 
K21 = +2EI/9 
K11 = +4EI/3 
x D1 
+4EI/6 
+2EI/6 
–2EI/6 
2EI/(6⋅6) 2EI/(6⋅6) 
0 
K21 = +6EI/62 
 +2EI/(6⋅6) 
K11 = +4EI/6 
 + 4EI/6 
EI/18 
+2EI/6 
+4EI/6 EI/3 
6EI/62 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
M2 
D2 = 1 
0 
+6EI/62 
x D2 
θ2 = 1/6 
+(4EI/6)⋅θ2 
= +EI/9 
+EI/18 =
+(2EI/6)⋅θ2
K22 = +2EI/27 
K22 = +EI/54 + 12EI/63 
K12 = +2EI/9 
K12 = +6EI/62 + EI/18 
θ2 
–EI/9 
+6EI/62 
EI/6 
12EI/63 
EI/9 
EI/(9⋅6) EI/(9⋅6) 
EI/54 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 23 - Figura 11-102 
 
 
EI = 3.6x104 kNm2 
 
Sistema Hipergeométrico (SH) 
 
1 
2 
 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
β20 = – 12 kN 
β10 = + 36 kNm 
[kNm] 
+36 –36 
M0 
(36÷3=12) 
(ΣFx=0) 
0 
+36 
0 
0 
0 
0 
⇑ 
 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
 
M1 
(ΣFx=0) 
0 
0 
0 
⇑ 
K21 = +7EI/9 
K11 = +2EI 
x D1 
+4EI 
6 
+4EI 
3 
2EI 
6·3 
–2EI 
6 
+2EI 
6 
D1 = 1 
+2EI 
3 
6EI 
32 
 
 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
 
M2 
(ΣFx=0) 
0 
0 
⇑ 
K22 = +26EI/27 
x D2 
8EI 
9·3 
D2 = 1 
+6EI 
32 
θ2 = 1/3 
+2EI 
6 
θ2 
+6EI 
32 
+4EI 
6 
θ2 +3EI 
3 
θ2 3EI 
32 
+ 
–8EI 
9 
+3EI 
32 
θ2 3EI 
33 
+ 
12EI 
33 
K12 = +7EI/9 
 
Sistema de Equações de Equilíbrio 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






−
+
0
0
27/269/7
9/72
12
36
2
1
D
D
EI 





⋅+=+=
⋅−=−=
⇒
−
−
m
EI
D
rad
EI
D
3
2
3
1
10093.1
364.39
10925.0
308.33
 
 
Momentos Fletores finais 
22110
DMDMMM ++= 
 
[kNm] 
+18.2 
M 
0 
0 
+26.2 
–38.3 
–18.2 
+4.0 
+12.1 
 
 
[kNm] 
M 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 24 - Figura 11-103 
 
 
 
2 
SH 
1 
2.5 
15 
2.5 
0 0 0 
–15 
+15 
–12 +12 
–15 
β20 
β10 
β20 = +9.5 kN 
β10 = –3 kNm 
[kNm] 
M0 
Sistema Hipergeométrico Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
 
 
 Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
−
⇒
0
0
216/289/1
9/13/4
5.9
3
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
81
9
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
–22.5 
0 
–40.5 
+27.0 
–4.5 
+4.5 
0 
+13.5 
[kNm] 
M 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 25 - Figura 11-104 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 
1
2
16 51/20 53/120 0
75 53/120 19/80 0
D
EI
D
− + −       
⇒ + ⋅ ⋅ =      
+ − +       
 
1
2
71.428
448.62
D
EI
D
EI

= −
⇒ 
 = −

 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
1 
2 
SH 
18 
3 
3 
0 
–18 0 +18 
0 0 
–16 
0 
+16 
[kNm] 
M0 
β20 = +75 kN 
β10 = –16 kNm 
ΣFy = 0 
0 
x D1 
M1 
K11 = +51EI/20 
+2EI/4 
+4EI/4 
0 
K21 = –53EI/120 
D1 = 1 
–2EI/5 
+3EI/4 
2EI/(5⋅6) 
ΣFy = 0 
0 0 0 
+4EI/5 
+2EI/5 6EI/4
2 
x D2 
M2 
–6EI/42 
K22 = +19EI/80 
0 D2 = 1 
θ2 = 1/6 –(3EI/3)⋅θ2 
–(4EI/5)⋅θ2 
+(9EI/5)⋅θ2 
0 
K12 = –53EI/120 
(9EI/5)⋅θ2/6 = 
EI/20 
ΣFy = 0 
0 
0 
–6EI/42 
–(2EI/5)⋅θ2 
12EI/43 
[kNm] 
M 
+148.5 
0 
0 0 
–53.6 
–27.2 
+56.8 –88.0 
+80.8 
+31.2 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 26 - Figura 11-105 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 
1
2
30 25/12 1/9 0
65 1/9 869/8640 0
D
EI
D
+ + +       
⇒ + ⋅ ⋅ =      
+ + +       
 
1
2
21.324
669.82
D
EI
D
EI

= +
⇒ 
 = −

 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
1 
2 
SH 
6 
1 1 
0 
–24 0 +24 
0 
0 
–6 
0 
+6 
+6 
[kNm] 
M0 
β20 = +65 kN 
β10 = +30 kNm 
ΣFy = 0 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico 
x D1 
M1 
K11 = +25EI/12 
0 
+2EI/3 
+4EI/3 
0 
K21 = +EI/9 
D1 = 1 
–2EI/3 
+3EI/4 
2EI/(3⋅6) 
ΣFy = 0 
0 
0 
0 
0 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
x D2 
3EI/43 
M2 
0 +3EI/42 
K22 = +869EI/8640 
+(2EI/3)⋅θ2 
0 
D2 = 1 
θ2 = 1/6 
+(4EI/3)⋅θ2 
+(3EI/5)⋅θ2 
–(29EI/15)⋅θ2 
0 
K12 = +EI/9 
(29EI/15)⋅θ2/6 = 
29EI/540 ΣFy = 0 
0 
0 
K12 = +2EI/(3⋅6)[kNm] 
M +207.6 0 
0 
0 
0 
–40.0 
–67.0 
+40.0 
–149.6 
–140.6 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 27 - Figura 11-106 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 
1
2
36 13/6 25/72 0
66 25/72 95/432 0
D
EI
D
− + +       
⇒ + ⋅ ⋅ =      
+ + +       
 
1
2
86.634
436.93
D
EI
D
EI

= +
⇒ 
 = −

 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH Sistema Hipergeométrico 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
[kNm] 
M 
1 
2 
SH 
x D1 
M1 
K11 = +13EI/6 
0 
+2EI/6 
+4EI/6 
K21 = +25EI/72 
D1 = 1 
–2EI/6 
+3EI/6 
2EI/(6⋅6) 
ΣFy = 0 
0 
+4EI/4 
+2EI/4 
3EI/62 6EI/4
2 
2EI/4 
[kNm] 
M0 
β20 = +66 kN 
β10 = –36 kNm 
ΣFy = 0 
18 
3 
+18 
0 
–54 
+18 
3 
0 0 0 
–18 
+25.7 0 
0 
–37.7 
+37.7 
+51.5 
–120.5 
–77.2 
x D2 
3EI/63 
M2 
–3EI/62 
K22 = +95EI/432 
+(2EI/6)⋅θ2 
D2 = 1 
θ2 = 1/6 
+(4EI/6)⋅θ2 
0 
K12 = +25EI/72 
(4EI/6)⋅θ2/6 = 
4EI/63 
ΣFy = 0 
0 
12EI/43 
–(4EI/6)⋅θ2 
+6EI/42 
+6EI/42 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 28 - Figura 11-107 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 
1
2
72 13/6 25/72 0
60 25/72 95/432 0
D
EI
D
+ + −       
⇒ + ⋅ ⋅ =      
+ − +       
 
1
2
103.02
435.53
D
EI
D
EI

= −
⇒ 
 = −

 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH Sistema Hipergeométrico 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
[kNm] 
M 
1 
2 
SH 
[kNm] 
M0 
β20 = +60 kN 
β10 = +72 kNm 
ΣFy = 0 
36 
6 
+36 
+36 
+36 
6 
0 0 0 
–36 
β10 
β20 
0 
x D1 
M1 
K11 = +13EI/6 
0 
+2EI/6 
+4EI/6 
K21 = –25EI/72 
D1 = 1 
–2EI/6 
+3EI/6 
2EI/(6⋅6) 
ΣFy = 0 
0 
+4EI/4 
+2EI/4 
3EI/62 6EI/42 
2EI/4 
(sentido contrário ao indicado) 
x D2 
3EI/63 
M2 
+3EI/62 
K22 = +95EI/432 
–(2EI/6)⋅θ2 
D2 = 1 
θ2 = 1/6 
+(4EI/6)⋅θ2 
0 
K12 = –25EI/72 
(4EI/6)⋅θ2/6 = 
4EI/63 
ΣFy = 0 
0 
12EI/43 
–(4EI/6)⋅θ2 
–6EI/42 
–6EI/42 (sentido 
contrário ao 
indicado) 
+60.3 
0 
0 
–22.0 
+22.0 
+111.8 
–51.8 
–8.5 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 29 - Figura 11-108 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 
1
2
20 29/12 5/48 0
22.5 5/48 23/192 0
D
EI
D
− + +       
⇒ + ⋅ ⋅ =      
− + +       
 
1
2
0.1869
187.66
D
EI
D
EI

= +
⇒ 
 = +

 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
0 –54 
0 
+54 0 
[kNm] 
M0 
β20 = –22.5 kN 
β10 = –20 kNm 
β10 
β20 
+36 
–36 
–36 +16 –16 
54 
36 
1 
2 
SH 
x D1 
M1 K11 = +29EI/12 
0 
+2EI/4 
+4EI/4 
K21 = +5EI/48 
D1 = 1 
–2EI/6 +3EI/4 2EI/(6⋅4) 
0 
0 
0 
+4EI/6 
+2EI/6 
2EI/6 
2EI/(6⋅4) 
K11 
K21 
K21 = 3EI/42 – 2EI/(6⋅4) 
K11 = 3EI/4 + 4EI/6 + 4EI/4 
x D2 
M2 
0 
+3EI/42 
–(2EI/6)⋅θ2 
0 
D2 = 1 
θ2 = 1/4 
–(4EI/6)⋅θ2 
0 
0 
K22 
K12 
–(3EI/6)⋅θ2 
θ2 
θ2 
+(3EI/6)⋅θ2 
+(4EI/6)⋅θ2 
(3EI/6)⋅θ2 
(4EI/6)⋅θ2 
D2 = 1 
(7EI/(6⋅4))⋅θ2 
(7EI/(6⋅4))⋅θ2 
K22 = +23EI/192 
K12 = +5EI/48 
K12 = 3EI/42 – (2EI/6)⋅θ2 
K22 = 3EI/43 + (7EI/(6⋅4))⋅θ2 
–30.5 
+30.5 
+4.8 
–4.8 
–51.5 +16.2 –15.9 
0 
0 
+35.3 
[kNm] 
M 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 30 - Figura 11-109 
 
 
EI = 4x104 kNm2 
 
 
 
 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 31 - Figura 11-110 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 
1
2
44 17 /12 5/48 0
47.5 5/48 1/6 0
D
EI
D
+ + +       
⇒ + ⋅ ⋅ =      
+ + +       
 
1
2
10.590
278.38
D
EI
D
EI

= −
⇒ 
 = −

 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH Sistema Hipergeométrico 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
[kNm] 
M 
1 
2 
SH 
x D1 
M1 K11 = +17EI/12 
K21 = +5EI/48 
D1 = 1 
–2EI/6 
+3EI/4 
2EI/(6⋅4) 
0 0 0 
+4EI/6 
+2EI/6 
5EI/48 
 
0 
0 
K11 
0 
ΣFy = 0 
2EI/6 
2EI/(6⋅4) 
3EI/42 – 2EI/(6⋅4) 
12 
7.5 7.5 
0 
–18 
0 +18 
0 
–12 
+12 
[kNm] 
M0 
β20 = +47.5 kN 
β10 = +44 kNm 
ΣFy = 0 
0 
+32 
+12 18 
(3/8)·16·4 – 7.5 
x D2 
M2 
–3EI/42 
K22 = +EI/6 
D2 = 1 
θ2 = 1/4 –(3EI/6)⋅θ2 
0 
(7EI/6)⋅θ2/4 = 
7EI/96 
ΣFy = 0 
0 
0 
+3EI/42 
3EI/43 
+(3EI/6)⋅θ2 
+(4EI/6)⋅θ2 
–(4EI/6)⋅θ2 
–(2EI/6)⋅θ2 
(3EI/6)⋅θ2 (4EI/6)⋅θ2 
7EI/96 
3EI/43 + 7EI/96 
K12 
K22 = +3EI/43 + 3EI/43 + 7EI/96 
K12 = +5EI/48 
0 
–16.8 +52.2 
+16.8 
0 
–30.9 
+28.1 
0 
+30.9 
–28.1 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 32 - Figura 11-111 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 
1
2
32 5 /3 7 /24 0
12 7 /24 53 /192 0
D
EI
D
− + +       
⇒ + ⋅ ⋅ =      
+ + +       
 
1
2
32.889
78.222
D
EI
D
EI

= +
⇒ 
 = −

 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH Sistema Hipergeométrico 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
[kNm] 
M 
1 
2 
SH 
48 
12 12 
0 
–16 
0 
–48 
[kNm] 
M0 
β20 = +12 kN 
β10 = –32 kNm 
ΣFy = 0 
0 
–48 
+16 
+48 
x D1 
M1 
K11 = +5EI/3 
K21 = +7EI/24 
D1 = 1 
–2EI/6 
+4EI/4 
2EI/(6⋅4) 
0 0 
0 
+4EI/6 
+2EI/6 
K11 
ΣFy = 0 
2EI/6 
2EI/(6⋅4) 
6EI/42 
+2EI/4 
2EI/(6⋅4) 
x D2 
M2 
–3EI/42 
K22 = +53EI/192 
D2 = 1 
θ2 = 1/4 
0 
ΣFy = 0 
0 
+6EI/42 
+(4EI/6)⋅θ2 
–(4EI/6)⋅θ2 
–(2EI/6)⋅θ2 
(4EI/6)⋅θ2 
EI/24 
12EI/43 
K12 = +7EI/24 
+6EI/42 
3EI/43 
EI/24 
EI/24 
–28.9 
+14.7 0 
+19.6 
+72.0 
0 
–19.6 
–72.0 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 33 - Figura 11-112 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 
1
2
62 44 /15 1/2 0
44 1/2 2 /3 0
D
EI
D
+ + +       
⇒ + ⋅ ⋅ =      
− + +       
 
1
2
37.133
93.850
D
EI
D
EI

= −
⇒ 
 = +

 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH Sistema Hipergeométrico 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
[kNm] 
M 
0 
–12 
0 
[kNm] 
M0 
β20 = –44 kN 
β10 = +62 kNm 
ΣFx = 0 
0 
+12 
+50 
+12 
0 
0 
0 80 kN 
48 kN 
12 
4 
4 
0 
ΣFx = 0 
0 
0 
0 
x D1 
M1 
K11 = +44EI/15 
K21 = +EI/2 
D1 = 1 
–2EI/4 
+3EI/5 
+4EI/4 
+2EI/4 
K11 
2EI/(4⋅3) 
6EI/32 +2EI/3 
+4EI/3 
2EI/3 
x D2 
M2 
K22 = +2EI/3 
D2 = 1 
θ2 = 1/3 
+6EI/32–(4EI/4)⋅θ2 
–(2EI/4)⋅θ2 
12EI/33 +6EI/32 
D2 = 1 
0 
0 
0 
0 
6EI/32 
–(3EI/3)⋅θ2 
+2EI⋅θ2 
+2EI⋅θ2/3 
K12 
ΣFx = 0 
K12 = +EI/2 
1 
SH 
2 
0 
+27.7 
0 
0 
–31.3 
–40.8 
+13.1 +93.1 
–61.8 
+37.8 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 34 - Figura 11-113 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 
1
2
12 17 /12 5 /48 0
43.5 5 /48 1 /6 0
D
EI
D
− + +       
⇒ + ⋅ ⋅ =      
+ + +       
 
1
2
28.994
279.121
D
EI
D
EI

= +
⇒ 
 = −

 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
[kNm] 
M 
1 
SH 
2 
Sistema Hipergeométrico 
0 
–12 
[kNm] 
M0 
β20 = +43.5 kN β10 = –12 kNm 
ΣFY = 0 
0 +12 
+24 0 
12 
7.5 
18 
–18 
–24 
β10 
β20 
+18 +12 
7.5 
+22.5 kN 
= 30 – 7.5 
18+18+7.5 = 
 +43.5 kN 
Alternativa: –24 +12 = 
–12 kNm 
K21 = +5EI/48 
–2EI/6 
+2EI/6 
D1 = 1 
0 0 
0 
0 
0 
0 
+4EI/6 
+3EI/4 
6EI/62 
6EI/62 
2EI/6 
2EI/(6⋅4) 2EI/(6⋅4) 
K11 = +17EI/12 
5EI/48 
5EI/48 = 3EI/42–2EI/(6⋅4) 
x D1 
M1 
D2 = 1 θ2 = 1/4 
–(4EI/6)⋅θ2 
+3EI/42 
0 
0 0 
3EI/43 
K12 = +5EI/48 
–(3EI/6)⋅θ2 
+(3EI/6)⋅θ2 
+(4EI/6)⋅θ2 
–(2EI/6)⋅θ2 
5EI/48 = 3EI/42–2EI/(6⋅4) 
3EI/(6⋅4) 4EI/(6⋅4) 
7EI/(6⋅42) 7EI/(6⋅42) 
–3EI/42 
3EI/42 
x D2 
M2 
K22 = +EI/6 EI/6 = 3EI/43+3EI/43+7EI/(6⋅42) 
23EI/192 = 
3EI/43+7EI/(6⋅42) 
+54.6 
–44.2 –16.9 
+16.9 
+44.2 
–54.6 +76.3 
0 
0 0 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 35 - Figura 11-114 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 
1
2
12 7 /3 5/24 0
21 5/24 61/192 0
D
EI
D
+ + +       
⇒ + ⋅ ⋅ =      
+ + +       
 
1
2
0.806
66.627
D
EI
D
EI

= +
⇒ 
 = −

 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
[kNm] 
M 
1 
SH 
2 
β20 = +21 kN 
β10 = +12 kNm 
ΣFY = 0 
–12 
+12 
0 0 
0 
0 +24 
+12 
[kNm] 
M0 
3 3 
12 
0 
ΣFY = 0 
0 0 
x D1 
M1 
K11 = +7EI/3 
K21 = +5EI/24 
D1 = 1 
–2EI/3 
+4EI/4 
+2EI/4 
6EI/42 
+2EI/3 
+4EI/3 2EI/4 
2EI/(3⋅4) 2EI/(3⋅4) 
2EI/3 
2EI/(3⋅4) x D2 
M2 
K22 = +61EI/192 
D2 = 1 θ2 = 1/4 
+6EI/42 
–(4EI/3)⋅θ2 
–(2EI/3)⋅θ2 
3EI/43 
+6EI/42 
D2 = 1 
0 0 
6EI/42 
ΣFY = 0 
12EI/43 
+(4EI/3)⋅θ2 
–3EI/42 
3EI/42 
K12 = +5EI/24 
(4EI/3)⋅θ2 
(4EI/(3⋅4))⋅θ2 
(4EI/(3⋅4))⋅θ2 
2
4
3 4
EI
θ⋅
⋅
 
+36.5 0 0 
–24.6 –24.2 
+10.7 
–10.7 
+24.2 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 36 - Figura 11-115 
 
– 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 1
2
36.0 17 /12 5/48 0
22.5 5/48 107 /192 0
D
EI
D
+ + +       
⇒ + ⋅ ⋅ =      
+ + +       
 
1
2
22.756
36.120
D
EI
D
EI

= −
⇒ 
 = −

 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH Sistema Hipergeométrico 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
[kNm] 
M 
1 
SH 
2 
β10 = +36 kNm 
–36 +36 
0 
0 
0 
0 
–54 
[kNm] 
M0 
54 
+36 
+54 
0 β10 
36 
22.5 
22.5 β20 
β20 = +22.5 kN 
–37.6 +23.8 
+18.1 
0 
+22.6 
–49.5 
+37.6 
0 
+26.9 
–23.8 
x D1 
M1 
0 
0 0 
K11 = +17EI/12 
K21 = +5EI/48 
D1 = 1 
+4EI/6 
+2EI/6 
6EI/62 
+3EI/4 
5EI/48 
2EI/(6⋅4) 
2EI/(6⋅4) 
2EI/6 
0 
–2EI/6 
0 
0 
6EI/62 
K21 = +3EI/42 – 2EI/(6⋅4) 
D2 = 1 
θ2 = 1/4 
–(4EI/6)⋅θ2 –(2EI/6)⋅θ2 
0 
0 
+(4EI/6)⋅θ2 
+3EI/42 
–6EI/42–(4EI/4)⋅θ2 
= –5EI/8 
K12 = +3EI/42 – (2EI/6)⋅θ2 = +5EI/48 
(4EI/6)⋅θ2 
11EI/48 
11EI/48 
x D2 M2 
–(3EI/6)⋅θ2 
3EI/4 
–6EI/42–(2EI/4)⋅θ2 = –EI/2 
12EI/43+(6EI/42)⋅θ2 
= 9EI/32 
53EI/192=11EI/48+3EI/43 
K12 
K22 
K22 = +9EI/32 + 53EI/192 = +107EI/192 
+3EI/4 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 37 - Figura 11-116 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 1
2
69 19/64 5/32 0
3 5/32 7 /64 0
D
EI
D
− + −       
⇒ + ⋅ ⋅ =      
+ − +       
 
1
2
878.561
1227.66
D
EI
D
EI

= +
⇒ 
 = +

 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
[kNm] 
M 
Sistema Hipergeométrico 
1 
SH 
2 
0 
[kNm] 
M0 
β20 = +3 kN 
0 
+24 
0 
54 
27 
54 
–54 
β10 
β20 
+54 
27 
–(48÷2)+27 = 
 +3 kN 
0 
0 
0 
–54 
+54 
β10 = –69 kN 
–(48÷2)–(3×48÷8)–27 = 
 –69 kN 
D1 = 1 θ1 = 1/4 
+3EI/42 
0 
0 
0 
K21 = –5EI/(8⋅4) = –5EI/32 
–(3EI/6)⋅θ1 
= –EI/8 
+(3EI/6)⋅θ1 
EI/8 
5EI/(8⋅4) 
x D1 
M1 
D1 = 1 
0 
0 
0 +(3EI/6)⋅θ1 
+6EI/42 = 
+ (3EI/4)⋅θ1 
+ 3EI/42 
–EI/2 = 
– (3EI/6)⋅θ1 
– 6EI/42 
EI/2 
5EI/(8⋅4) 
K21 
+3EI/43 
+6EI/43 
K11 
K11 = +5EI/(8⋅4) + 3EI/43 + 6EI/43 = +19EI/64 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
D2 = 1 
θ2 = 1/4 
K12 = –7EI/(16⋅4) – (3EI/42)⋅θ2= –5EI/32 
+(3EI/6)⋅θ2 
= +EI/8 
–(3EI/6)⋅θ2 
EI/8 
7EI/(16⋅4) 
x D2 
M2 
D2 = 1 
–(3EI/6)⋅θ2 
–(3EI/4)⋅θ2 
+5EI/16 = 
+ (3EI/6)⋅θ2 
+ (3EI/4)⋅θ2 
5EI/16 
7EI/(16⋅4) 
K22 
K12 
K22 = +7EI/(16⋅4) = +7EI/64 
0 
(3EI/42)⋅θ2 
–97.6 
+188.7 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
–97.6 
+97.6 
+99.2 
–1.6 –97.6 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 11 – Método dos Deslocamentos (c/ redução de deslocabilidades) - Exercício proposto 38 - Figura 11-117 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 
1
2
36 13/6 25/72 0
66 25/72 95/432 0
D
EI
D
− + +       
⇒ + ⋅ ⋅ =      
+ + +       
 
1
2
86.634
436.93
D
EI
D
EI

= +
⇒ 
 = −

 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH Sistema Hipergeométrico 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
[kNm] 
M 
1 
2 
SH 
x D1 
M1 
K11 = +13EI/6 
0 
+2EI/6 
+4EI/6 
K21 = +25EI/72 
D1 = 1 
–2EI/6 
+3EI/6 
2EI/(6⋅6) 
ΣFy = 0 
0 
+4EI/4 
+2EI/4 
3EI/62 6EI/4
2 
2EI/4 
[kNm] 
M0 
β20 = +66 kN 
β10 = –36 kNm 
ΣFy = 0 
18 
3 
+18 
0 
–54 
+18 
3 
0 0 0 
–18 
+25.7 0 
0 
–37.7 
+37.7 
+51.5 
–120.5 
–77.2 
x D2 
3EI/63 
M2 
–3EI/62 
K22 = +95EI/432 
+(2EI/6)⋅θ2 
D2 = 1 
θ2 = 1/6 
+(4EI/6)⋅θ2 
0 
K12 = +25EI/72 
(4EI/6)⋅θ2/6 = 
4EI/63 
ΣFy = 0 
0 
12EI/43 
–(4EI/6)⋅θ2 
+6EI/42 
+6EI/42