Método da Rigidez Direta

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Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 13 – Método da Rigidez Direta – Exercício proposto 1 
 
Reproduziu-se a seguir um arquivo de dados de entrada e saída de um modelo de pórtico plano para um 
programa de computador. 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X Y Desloc. X Desloc. Y Rotação Z 
 (m) (m) 
 1 0.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 
 2 6.0 0.0 Livre Fixo Livre 
 3 0.0 4.0 Livre Livre Livre 
 4 6.0 6.0 Livre Livre Livre 
 5 0.0 8.0 Livre Livre Livre 
 6 6.0 10.0 Livre Livre Livre 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m^2) (m^2) (m^4) 
 1 1 3 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 2 2 4 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 3 3 4 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 4 3 5 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 5 4 6 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 6 5 6 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 
Dados de Cargas Nodais 
Nó Fx (kN) Fy (kN) Mz (kNm) 
Nenhum 
 
Dados de Carregamentos Uniformente Distribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 3 Local 0.0 -8.0 
 6 Local 0.0 -8.0 
 
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais 
Nó Desloc. X Desloc. Y Rotação Z 
 (m) (m) (rad) 
 1 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 2 +3.367e-03 0.000e+00 -4.892e-05 
 3 +3.308e-03 -9.868e-05 -8.009e-04 
 4 +3.660e-03 -4.280e-04 -4.892e-05 
 5 +5.277e-03 -1.880e-04 -3.703e-04 
 6 +5.300e-03 -5.307e-04 -1.571e-04 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm) 
 1 +24.7 -24.7 +32.0 -32.0 +84.0 +44.0 
 2 +71.3 -71.3 +16.0 -16.0 0.0 0.0 
 3 -36.3 +36.3 +14.6 +36.0 -19.2 -48.7 
 4 +22.3 -22.3 -7.0 +7.0 -24.8 -3.3 
 5 +25.7 -25.7 +23.0 -23.0 -48.7 +43.3 
 6 +13.7 -13.7 +19.0 +31.6 +3.3 -43.3 
 
Com base nos resultados do modelo estrutural, pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural e a sua configuração deformada (exagerando a escala de valores dos 
deslocamentos e rotações). 
(b) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores. 
(c) Ao verificar os diagramas desenhados no item (b), pode-se constatar que existem dois erros nos resultados 
fornecidos pelo programa de computador. Indique esses erros. 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
 
Modelo Estrutural 
 
x 
y 
 
Configuração deformada (exagerada) 
 
 
 
Diagrama de Esforços Normais [kN] 
 
 
Diagrama de Esforços Cortantes [kN] 
 
O diagrama de esforços 
cortantes para esta barra 
não pode estar correto: 
não existe reação 
horizontal no apoio 
abaixo, logo o esforço 
cortante na barra deve 
ser nulo. 
 
 
Diagrama de Momentos Fletores [kNm] 
 
O diagrama de momentos 
fletores para esta barra 
não pode estar correto: 
não existe equilíbrio de 
momentos no nó abaixo 
(momentos tracionam 
fibras opostas). O 
diagrama correto para 
esta barra seria o 
mostrado em pontilhado. 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 13 – Método da Rigidez Direta – Exercício proposto 2 
 
Reproduziu-se a seguir um arquivo de dados de entrada e saída de um modelo de pórtico plano para um 
programa de computador. 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X Y Desl.X Desl.Y Rot.Z Mola X Mola Y Mola Z 
 (m) (m) (kN/m) (kN/m) (kNm/rad) 
 1 0.0 0.0 Livre Fixo Livre 1.0e+03 0.0e+00 1.0e+05 
 2 10.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 0.0e+00 0.0e+00 0.0e+00 
 3 0.0 3.0 Livre Livre Livre 0.0e+00 0.0e+00 0.0e+00 
 4 6.0 3.0 Livre Livre Livre 0.0e+00 0.0e+00 0.0e+00 
 5 -2.0 6.0 Livre Livre Livre 0.0e+00 0.0e+00 0.0e+00 
 6 0.0 6.0 Livre Livre Livre 0.0e+00 0.0e+00 0.0e+00 
 7 2.0 6.0 Livre Livre Livre 0.0e+00 0.0e+00 0.0e+00 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m^2) (m^2) (m^4) 
 1 1 3 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 2 3 4 Não Sim 1.0e+08 0.01 0.001 
 3 3 6 Não Sim 1.0e+08 0.01 0.001 
 4 4 2 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 5 5 6 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 6 6 7 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 7 7 4 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 
Dados de Cargas Nodais 
Nó Fx (kN) Fy (kN) Mz (kNm) 
 5 0.0 -20.0 0.0 
 
Dados de Carregamentos Uniformente Distribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 2 Local 0.0 -12.0 
 6 Global 0.0 -12.0 
 
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais 
Nó Desloc. X Desloc. Y Rotação Z 
 (m) (m) (rad) 
 1 -2.459e-03 0.000e+00 -1.064e-04 
 2 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 3 -1.550e-03 -2.760e-04 -5.361e-04 
 4 -1.516e-03 -2.157e-03 +3.155e-04 
 5 -6.879e-04 -7.671e-04 +3.056e-04 
 6 -6.879e-04 -4.226e-04 -9.440e-05 
 7 -7.045e-04 -1.107e-03 -4.773e-04 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm) 
 1 +92.0 -92.0 -24.6 +24.6 +10.6 -18.0 
 2 -5.8 +5.8 +43.1 +28.9 +42.9 0.0 
 3 +48.9 -48.9 -8.3 +8.3 -24.9 0.0 
 4 +16.4 -16.4 -17.7 +17.7 +38.0 -50.6 
 5 +5.0 -5.0 -20.0 +20.0 0.0 -40.0 
 6 +8.3 -8.3 +28.9 -4.9 +40.0 -6.3 
 7 +3.7 -3.7 +8.9 -8.9 +6.3 +38.0 
 
Com base nos resultados do modelo estrutural, pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural e a sua configuração deformada (exagerando a escala de valores dos 
deslocamentos e rotações). 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
(b) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores. 
(c) Ao verificar os diagramas desenhados no item (b), pode-se constatar que existem três erros nos resultados 
fornecidos pelo programa de computador para os esforços internos. Indique esses erros. 
 
 
 
Solução 
 
Modelo Estrutural e 
Configuração deformada (exagerada) 
 
Diagrama de Esforços Normais [kN] 
 
 
O diagrama de esforços 
normais para esta barra não 
pode estar correto: não existe 
força horizontal aplicada no 
nó naextremidade do balanço. 
 
 
 
Diagrama de Esforços Cortantes [kN] 
 
 O diagrama de esforços cortantes para esta barra não 
pode estar correto: o produto da constante de mola 
(1.0 x 10+3kN/m) pelo deslocamento horizontal do 
nó 1 (–2.459 x 10-3m), que é a reação horizontal na 
mola e o esforço cortante nesta barra, resulta em um 
valor igual a –2.459 kN e não –24.6 kN. 
 
Diagrama de Momentos Fletores [kNm] 
 
 
O diagrama de momentos fletores 
para esta barra não pode estar 
correto: não existe equilíbrio de 
momentos no nó superior da barra 
(momentos tracionam fibras opostas). 
O diagrama correto para esta barra 
seria o mostrado em tracejado. 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 13 – Método da Rigidez Direta – Exercício proposto 3 
 
Reproduziu-se a seguir um arquivo de dados de entrada e saída de um modelo de pórtico plano para um 
programa de computador. Observe que os valores dos esforços internos da barra 2 não puderam ser recuperados 
do arquivo. 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X Y Desloc. X Desloc. Y Rotação Z 
 (m) (m) 
 1 0.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 
 2 8.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 
 3 8.0 3.0 Livre Livre Livre 
 4 0.0 9.0 Livre Livre Livre 
 5 8.0 9.0 Livre Livre Livre 
 6 0.0 15.0 Livre Livre Livre 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m^2) (m^2) (m^4) 
 1 1 4 Não Sim 2.0e+08 0.006 0.00027 
 2 2 3 Não Não 2.0e+08 0.006 0.00027 
 3 3 5 Não Não 2.0e+08 0.006 0.00027 
 4 4 3 Não Não 2.0e+08 0.006 0.00027 
 5 4 6 Não Não 2.0e+08 0.006 0.00027 
 6 6 5 Não Sim 2.0e+08 0.006 0.00027 
 
Dados de Cargas Nodais 
Nó Fx (kN) Fy (kN) Mz (kNm) 
 3 -10.0 0.0 0.0 
 5 -10.0 0.0 0.0 
 
Dados de Carregamentos Uniformente Distribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 4 Local 0.0 -8.0 
 6 Local 0.0 -8.0 
 
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais 
Nó Desloc. X (m) Desloc. Y (m) Rotação Z (rad) 
 1 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 2 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 3 -1.343e-02 +5.228e-05 +5.826e-03 
 4 -1.550e-02 -1.117e-03 +2.496e-03 
 5 -5.174e-02 -1.280e-04 +6.665e-03 
 6 -5.230e-02 -1.257e-03 +3.608e-03 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm) 
 1 +148.9 -148.9 -3.4 +3.4 -31.0 0.0 
 2 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 
 3 +36.1 -36.1 -2.5 +2.5 -15.1 0.0 
 4 -114.2 +114.2 +65.6 +14.4 +176.5 +79.1 
 5 +27.9 -27.9 -55.5 +55.5 -176.5 -156.4 
 6 +27.6 -27.6 +55.6 +24.4 +156.4 0.0 
 
Com base nos resultados do modelo estrutural, pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural, indicando dimensões, apoios, cargas e rótulas. 
(b) Desenhe (na forma de um esboço) a configuração deformada da estrutura, exagerando a escala de valores 
dos deslocamentos e rotações. 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
(c) Com base nos valores dos deslocamentos e rotações nodais fornecidos e nos coeficientes de rigidez locais da 
barra 2, determine os valores dos esforços internos que estão faltando para essa barra. 
(d) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos. 
 
Solução 
 
N 
[kN] 
Q 
[kN] 
M 
[kNm] 
Item (a) – Modelo estrutural Item (b) – Configuração deformada 
Item (d) – Diagramas de esforços internos 
Item (c) – Determinação dos esforços internos na barra 2 a partir dos deslocamentos do nó 3 
3
x∆ 
3
zθ 
Qi 
Ni 
Mi 
3
y∆ 
Nf 
Mf 
Qf 
3
x∆ 
(12EI/33) 3x∆ 
(6EI/32) 3x∆ 
(12EI/33) 3x∆ 
(6EI/32) 3x∆ 
Deformada da barra 2 e esforços 
internos com sentidos positivos 
(nas direções dos eixos locais) 
Isolando efeito do deslocamento 
horizontal do nó 3 (esforços 
indicados nos sentidos físicos) 
3
zθ 
Isolando efeito da rotação 
do nó 3 (esforços indicados 
nos sentidos físicos) 
(6EI/32) 3zθ 
(4EI/3) 3zθ 
(6EI/32) 3zθ (2EI/3)
3
zθ 
Nf = +(EA/3)
3
y∆ = + 20.9 kN 
Ni = –(EA/3)
3
y∆ = – 20.9 kN 
Qf = +(12EI/33)
3
x∆ – (6EI/3
2) 3zθ = + 112.6 kN 
Qi = –(12EI/33)
3
x∆ + (6EI/3
2) 3zθ = – 112.6 kN 
Mf = –(6EI/32)
3
x∆ + (4EI/3)
3
zθ = – 64.0 kNm 
Mi = –(6EI/32)
3
x∆ + (2EI/3)
3
zθ = – 273.7 kNm 
E = 2.0x108 kN/m2 
A = 6.0x10-3 m2 I = 2.7x10-4 m4 
3
y∆ = +5.228x10-5 m 
3
x∆ = –1.343x10
-2 m 
3
zθ = +5.826x10
-3 rad 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 13 – Método da Rigidez Direta – Exercício proposto 4 
 
Reproduziu-se a seguir um arquivo de dados de entrada e saída de um modelo de pórtico plano para um 
programa de computador. Observe que os valores dos esforços internos da barra 2 não puderam ser recuperados 
do arquivo. 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X Y Desl.X Desl.Y Rot.Z Mola X Mola Y Mola Z 
 (m) (m) (kN/m) (kN/m) (kNm/rad) 
 1 5.0 -8.0 Fixo Fixo Fixo 0.0e+00 0.0e+00 0.0e+00 
 2 2.0 -4.0 Livre Livre Livre 0.0e+00 0.0e+00 0.0e+00 
 3 5.0 -4.0 Livre Livre Livre 0.0e+00 0.0e+00 0.0e+00 
 4 2.0 0.0 Livre Livre Livre 0.0e+00 0.0e+00 0.0e+00 
 5 0.0 0.0 Fixo Livre Livre 0.0e+00 1.0e+04 1.0e+03 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m2) (m2) (m4) 
 1 2 3 Não Não 2.0e+08 0.001 0.00024 
 2 3 1 Não Sim 2.0e+08 0.001 0.00024 
 3 4 2 Não Não 2.0e+08 0.001 0.00024 
 4 4 3 Não Não 2.0e+08 0.001 0.00024 
 5 5 4 Não Não 2.0e+08 0.001 0.00024 
 
Dados de Carregamentos Uniformente Distribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 4 Local 0.0 -24.0 
 
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais 
Nó Desloc. X (m) Desloc. Y (m) Rotação Z (rad) 
 1 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 2 -4.490e-03 -1.490e-03 -4.956e-04 
 3 -4.437e-03 -1.649e-03 +6.822e-04 
 4 -9.216e-04 -1.303e-03 -1.485e-03 
 5 0.000e+00 +1.045e-03 -1.008e-03 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm) 
 1 -3.5 +3.5 +9.4 -9.4 -4.8 +32.9 
 2 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 
 3 -9.4 +9.4 -3.5 +3.5 +19.0 +4.8 
 4 +73.3 -73.3 +64.7-55.3 +40.9 -17.5 
 5 +92.2 -92.2 +10.5 -10.5 +1.0 -21.9 
 
Com base nos resultados do modelo estrutural, pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural, indicando dimensões, apoios, cargas e rótulas. 
(b) Com base nos valores dos deslocamentos e rotações nodais fornecidos e nos coeficientes de rigidez locais da 
barra 2, determine os valores dos esforços internos que estão faltando para essa barra. 
(c) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores. 
(d) Ao verificar os diagramas desenhados no item (c), pode-se constatar que existem três erros nos resultados 
fornecidos pelo programa de computador para os esforços internos. Indique esses erros. 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
 
 
N 
[kN] 
Q 
[kN] 
M 
[kNm] 
Item (a) – Modelo estrutural 
Item (c) – Diagramas de esforços internos 
Item (b) – Determinação dos esforços internos na barra 2 a partir dos 
 deslocamentos do nó 3 
3
x∆
3
zθ 
Qf 
Nf 
Mf 
3
y∆
Ni 
Mi 
Qi 
Deformada da barra 2 e esforços 
internos com sentidos positivos 
(nas direções dos eixos locais) 
Ni = +(EA/4)
3
y∆ = + 82,5 kN 
Nf = –(EA/4)
3
y∆ = – 82.,5 kN
E = 2,0x108 kN/m2 
I = 2,4x10-4 m4 
3
y∆ = –1.649x10
-3 m 
3
x∆ = –4,437x10
-3 m 
3
zθ = +6,822x10
-4 rad 
3
x∆
(3EI/43) 3x∆ 
(3EI/43) 3x∆ 
Isolando efeito do deslocamento 
horizontal do nó 3 (esforços 
indicados nos sentidos físicos) 
3
zθ
Isolando efeito da rotação 
do nó 3 (esforços indicados 
nos sentidos físicos) 
(3EI/42) 3zθ 
(3EI/4) 3zθ 
(3EI/42) 3zθ 
Qi = –(3EI/43)
3
x∆ + (3EI/4
2) 3zθ = –3,8 kN 
Qf = +(3EI/43)
3
x∆ – (3EI/4
2) 3zθ = +3,8 kN 
Mi = –(3EI/42)
3
x∆ + (3EI/4)
3
zθ = –15,4 kNm 
Mf = 0 
A = 1,0x10-3 m2 
(3EI/42) 3x∆ 
Item (d) – Erros nos diagramas: 
 
(d.1) – Como o deslocamento vertical do 
nó 5 é positivo (para cima), a reação 
vertical da mola tem que ter o sentido 
para baixo. O cortante na barra 5 está 
inconsistente com este sentido de reação. 
 
(d.2) – Esforço cortante na barra 4 está 
inconsistente com a carga distribuída e 
com o diagrama de momentos fletores na 
barra. 
 
 (d.3) – Momentos fletores no nó 4 não 
estão equilibrados. 
c.1 
c.3 
c.2 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 13 – Método da Rigidez Direta – Exercício proposto 5 
 
Reproduziu-se a seguir um arquivo de dados de entrada e saída de um modelo de pórtico plano para um 
programa de computador. 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X Y Desl.X Desl.Y Rot.Z 
 (m) (m) 
 1 0.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 
 2 2.0 0.0 Livre Livre Livre 
 3 6.0 0.0 Livre Livre Livre 
 4 0.0 8.0 Fixo Fixo Fixo 
 5 8.0 8.0 Livre Livre Livre 
 6 12.0 8.0 Livre Livre Livre 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m2) (m2) (m4) 
 1 1 2 Não Não 1.2e+08 0.001 0.0006 
 2 2 3 Não Não 1.2e+08 0.001 0.0006 
 3 3 6 Não Não 1.2e+08 0.001 0.0006 
 4 4 5 Não Não 1.2e+08 0.001 0.0006 
 5 5 2 Não Sim 1.2e+08 0.001 0.0006 
 6 5 6 Não Não 1.2e+08 0.001 0.0006 
 
Dados de Cargas Nodais 
Nó Fx (kN) Fy (kN) Mz (kNm) 
 3 0.0 -30.0 0.0 
 
Dados de Carregamentos Uniformente Distribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 6 Global 0.0 -6.0 
 
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais 
Nó Desloc. X (m) Desloc. Y (m) Rotação Z (rad) 
 1 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 2 -5.263e-04 -2.952e-03 -2.477e-03 
 3 -7.701e-04 -1.360e-02 -1.982e-03 
 4 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 5 +2.105e-03 -8.768e-03 -1.793e-03 
 6 +2.349e-03 -1.585e-02 -1.059e-03 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm) 
 1 +31.6 -31.6 +51.3 -51.3 +140.5 -37.9 
 2 +7.3 -7.3 +23.4 -23.4 +37.9 +55.7 
 3 -0.9 +0.9 -9.8 +9.8 -55.7 -42.4 
 4 -31.6 +31.6 +2.7 -2.7 +26.9 -5.4 
 5 +36.9 -36.9 -2.7 +2.7 -26.6 0.0 
 6 -7.3 +7.3 +30.6 -6.6 +32.0 +42.4 
 
Com base nos resultados do modelo estrutural, pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural, indicando dimensões, apoios, cargas e rótulas. 
(b) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores. 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
 
Item (a) – Modelo estrutural e configuração deformada (escala de 
deslocamentos exagerada) 
 
 
 
Item (b) – Diagramas de esforços internos – Esforços normais 
 
 
 
 
 
 
N 
[kN] 
 
 
 
Item (b) – Diagramas de esforços internos – Esforços cortantes 
 
 
Q 
[kN] 
 
 
 
Item (b) – Diagramas de esforços internos – Momentos fletores 
 
 
 
 
M 
[kNm] 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 13 – Método da Rigidez Direta – Exercício proposto 6 
 
Reproduziu-se a seguir um arquivo de dados de entrada e saída de um modelo de pórtico plano para um 
programa de computador. 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X Y Desl.X Desl.Y Rot.Z 
 (m) (m) 
 1 2.0 0.0 Fixo Fixo Livre 
 2 14.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 
 3 0.0 6.0 Livre Livre Livre 
 4 2.0 6.0 Livre Livre Livre 
 5 14.0 6.0 Livre Livre Livre 
 6 0.0 12.0 Livre Livre Livre 
 7 2.0 12.0 Livre Livre Livre 
 8 14.0 12.0 Livre Livre Livre 
 9 22.0 12.0 Fixo Fixo Livre 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m2) (m2) (m4) 
 1 1 4 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 2 2 5 Não Sim 1.2e+08 0.006 0.0006 
 3 3 4 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 4 4 5 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 5 4 7 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 6 5 8 Sim Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 7 5 9 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 8 6 7 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 9 7 8 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
10 8 9 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 
Dados de Cargas Nodais 
Nó Fx (kN) Fy (kN) Mz (kNm) 
 3 0.0 -30.0 0.0 
 6 0.0 -30.0 0.0 
 
Dados de Carregamentos Uniformemente Distribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 2 Local 0.0 -12.0 
 4 Global 0.0 -12.0 
 9 Global 0.0 -12.0 
10 Global 0.0 -12.0 
 
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais 
Nó Desloc. X (m) Desloc. Y (m) Rotação Z (rad) 
 1 +0.000e+00 +0.000e+00 +1.069e-04 
 2+0.000e+00 +0.000e+00 +0.000e+00 
 3 +1.366e-03 -1.076e-03 -6.346e-05 
 4 +1.366e-03 -1.759e-03 -8.968e-04 
 5 +1.716e-03 -1.786e-03 +3.006e-03 
 6 +6.356e-04 -1.832e-03 -1.136e-04 
 7 +6.356e-04 -2.615e-03 -9.469e-04 
 8 +2.182e-04 -2.831e-03 +1.152e-03 
 9 +0.000e+00 +0.000e+00 +4.586e-04 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm) 
 1 +211.1 -211.1 -4.0 +4.0 0.0 -24.1 
 2 +214.3 -214.3 +46.7 +25.3 +64.3 0.0 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 3 0.0 0.0 -30.0 +30.0 0.0 -60.0 
 4 -21.0 +21.0 +78.3 +65.7 +158.6 -82.5 
 5 +102.7 -102.7 -25.0 +25.0 -74.5 -75.7 
 6 +125.4 -125.4 +5.4 -5.4 0.0 +32.5 
 7 +21.7 -21.7 +12.8 -12.8 +82.5 +45.9 
 8 0.0 0.0 -30.0 +30.0 0.0 -60.0 
 9 +25.0 -25.0 +72.7 +71.3 +135.7 -127.1 
10 +19.6 -19.6 +54.1 +41.9 +94.6 -45.9 
 
Com base nos resultados do modelo estrutural, pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural, indicando dimensões, apoios, cargas e rótulas. 
(b) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores. 
 
 
Solução 
 
Item (a) 
 
 
 
 
Item (b) 
 
 
Diagrama de Esforços Normais 
 
 
N 
[kN] 
 
 
 
Item (b) 
 
 
Diagrama de Esforços Cortantes 
 
Q 
[kN] 
 
 
 
Item (b) 
 
Diagrama de Momentos Fletores 
 
M 
[kNm] 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 13 – Método da Rigidez Direta – Exercício proposto 7 
 
Reproduziu-se a seguir um arquivo de dados de entrada e saída de um modelo de pórtico plano para um 
programa de computador. Observe que o valor da rotação do nó 1 não pode ser recuperado do arquivo. 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X Y Desl.X Desl.Y Rot.Z Mola X Mola Y Mola Z 
 (m) (m) (kN/m) (kN/m) (kNm/rad) 
 1 18.0 0.0 Fixo Fixo Livre 0.0 0.0 16000.0 
 2 10.0 6.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 3 18.0 6.0 Fixo Fixo Livre 0.0 0.0 0.0 
 4 0.0 12.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 5 2.0 12.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 6 10.0 12.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 7 18.0 12.0 Fixo Fixo Livre 0.0 0.0 0.0 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m^2) (m^2) (m^4) 
 1 1 3 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 2 2 1 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 3 2 3 Não Sim 1.0e+08 0.01 0.001 
 4 2 6 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 5 3 7 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 6 4 5 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 7 5 2 Sim Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 8 5 6 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 9 6 7 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 
Dados de Carregamentos Uniformente Distribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 3 Global 0.0 -12.0 
 6 Local 0.0 -12.0 
 8 Global 0.0 -12.0 
 9 Local 0.0 -12.0 
 
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais 
Nó Desloc. X (m) Desloc. Y (m) Rotação Z (rad) 
 1 0.000e+00 0.000e+00 X.XXXe-XX 
 2 -1.489e-03 -7.887e-03 -2.861e-04 
 3 0.000e+00 0.000e+00 -4.447e-04 
 4 -1.430e-03 -8.222e-03 -6.553e-04 
 5 -1.430e-03 -9.613e-03 -8.153e-04 
 6 -7.428e-04 -8.476e-03 +4.568e-04 
 7 0.000e+00 0.000e+00 +1.259e-03 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm) 
 1 0.0 0.0 +1.3 -1.3 +19.8 -12.3 
 2 +354.1 -354.1 -7.2 +7.2 -44.3 -28.1 
 3 -186.1 +186.1 +54.0 +42.0 +48.3 0.0 
 4 +98.2 -98.2 +7.0 -7.0 +8.6 +33.3 
 5 0.0 0.0 +13.6 -13.6 +12.3 +69.1 
 6 0.0 0.0 0.0 +24.0 0.0 -24.0 
 7 +108.3 -108.3 -1.3 +1.3 0.0 -12.6 
 8 -85.9 +85.9 +42.0 +54.0 +24.0 -72.2 
 9 -92.9 +92.9 +44.2 +51.8 +38.8 -69.1 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Com base nos resultados do modelo estrutural, pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural, indicando dimensões, apoios, cargas e rótulas. 
(b) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores. 
(c) Calcule o valor da rotação do nó 1. A rotação é positiva se tiver o sentido anti-horário e negativa se tiver o 
sentido horário. 
 
 
Solução 
 
Itens (a) e (b) 
 
N 
[kN] 
 
 
 
 
Q 
[kN] 
 
M 
[kNm] 
 
 
 
Item (c) 
 
θ1 
θ1 
 
Momento atual atuante na mola 
(vindo das barras 1 e 2): 
Mmola = 28.1 – 19.8 = + 8.3 kNm (sentido anti-horário) 
 
Rotação da mola: 
θ1 = Mmola / Kmola 
 
Portanto: 
 
θ1 = + 8.3 / 16000 = +5.2 x 10-4 rad 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 13 – Método da Rigidez Direta – Exercício proposto 8 
 
Reproduziu-se a seguir um arquivo de dados de entrada e saída de um modelo de pórtico plano para um 
programa de computador. Observe que os valores dos deslocamentos do nó 3 e dos esforços cortantes e momentos 
fletores da barra 1 não puderam ser recuperados do arquivo. 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X Y Desloc. X Desloc. Y Rotação Z Mola X Mola Y Mola Z 
 (m) (m) (tipo) (tipo) (tipo) (kN/m) (kN/m) (kNm/rad) 
 1 0.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 0.0 0.0 0.0 
 2 6.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 0.0 0.0 0.0 
 3 -3.0 3.0 Mola Mola Livre 1000.0 10000.0 0.0 
 4 0.0 3.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 5 6.0 3.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m2) (m2) (m4) 
 1 1 4 Sim Não 1.0e+08 0.001 0.00036 
 2 2 5 Não Não 1.0e+08 0.001 0.00036 
 3 4 3 Não Não 1.0e+08 0.001 0.00036 
 4 4 5 Não Não 1.0e+08 0.001 0.00036 
 
Dados de Carregamentos UniformenteDistribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 2 Local 0.0 8.0 
 3 Local 0.0 12.0 
 4 Global 0.0 -12.0 
 
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais 
Nó Desloc. X (m) Desloc. Y (m) Rotação Z (rad) 
 1 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 2 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 3 xxxxxxexxx xxxxxxexxx -3.614e-04 
 4 -1.349e-03 -1.882e-03 -2.263e-04 
 5 -1.915e-03 -9.653e-04 +1.169e-03 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm) 
 1 +62.7 -62.7 xxx.x xxx.x xxx.x xxx.x 
 2 +32.2 -32.2 -14.6 -9.4 -23.9 +16.2 
 3 +1.3 -1.3 -22.9 -13.1 -14.8 0.0 
 4 +9.4 -9.4 +39.8 +32.2 +39.1 -16.2 
 
Com base nos resultados do modelo estrutural, pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural, indicando dimensões, apoios, cargas e rótulas. 
(b) Calcule os valores dos deslocamentos vertical e horizontal do nó 3, indicando o sinal. 
(c) Com base nos valores dos deslocamentos e rotações nodais fornecidos e nos coeficientes de rigidez locais da 
barra 1, determine os valores dos esforços internos que estão faltando para essa barra. 
(d) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores. 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
 
Item (a) 
 
 
 
 
 
 
Item (b) 
 
kN3.13 +=xF (reação horizontal no nó 3, vide Item (c)) 
x
x
x
k
F 33
−=∆ (deslocamento é sempre contrário à reação do apoio elástico) ⇒ m103.1
kN/m1000
kN3.1 3-3
×−=−=∆x 
kN1.133 +=yF (reação vertical no nó 3, vide Item (c)) 
y
y
y
k
F 3
3
−=∆ ⇒ m1031.1
kN/m10000
kN1.13 3-3
×−=−=∆y 
 
 
 
Item (c) 
 
 Determinação dos esforços internos na barra 1 a partir dos deslocamentos do nó 4: 
4
x∆ 
4
zθ 
Qi 
Ni 
Mi 
4
y∆ 
Nf 
Mf 
Qf 
Deformada da barra 1 e esforços 
internos com sentidos positivos 
(nas direções dos eixos locais) 
E = 1.0x108 kN/m2 
I = 3.6x10-4 m4 
4
x∆ = –1.349x10
-3 m 
4
zθ = –2.263x10
-4 rad 
4
x∆ 
(3EI/33) 4x∆ 
(3EI/33) 4x∆ 
Isolando efeito do deslocamento 
horizontal do nó 4 (esforços 
indicados nos sentidos físicos) 
4
zθ 
Isolando efeito da rotação 
do nó 4 (esforços indicados 
nos sentidos físicos) 
(3EI/32) 4zθ (3EI/3)
4
zθ 
(3EI/32) 4zθ 
Qi = –(3EI/33)
4
x∆ – (3EI/3
2) 4zθ = –8.1 kN 
Qf = +(3EI/33)
4
x∆ + (3EI/3
2) 4zθ = +8.1 kN 
Mf = –(3EI/32)
4
x∆ – (3EI/3)
4
zθ = –24.3 kNm 
Mi = 0 
(3EI/32) 4x∆ 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Item (d) 
 
Diagrama de esforços normais 
 
 
N 
[kN] 
3
xF 
xk 
 
 
 
 
Diagrama de esforços cortantes 
 
 
Q 
[kN] 
3
yF 
yk 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores 
 
 
M 
[kNm] 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 13 – Método da Rigidez Direta – Exercício proposto 9 
 
Reproduziu-se a seguir um arquivo de dados de entrada e saída de um modelo de pórtico plano para um 
programa de computador. Observe que os valores do momento fletor na extremidade final da barra 4 e dos 
esforços cortantes e momentos fletores da barra 3 não puderam ser recuperados do arquivo. 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X Y Desloc. X Desloc. Y Rotação Z Mola X Mola Y Mola Z 
 (m) (m) (tipo) (tipo) (tipo) (kN/m) (kN/m) (kNm/rad) 
 1 0.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 0.0 0.0 0.0 
 2 6.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 0.0 0.0 0.0 
 3 10.0 0.0 Fixo Fixo Mola 0.0 0.0 100000.0 
 4 0.0 3.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 5 6.0 3.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m2) (m2) (m4) 
 1 1 4 Não Não 1.0e+08 0.003 0.00036 
 2 4 5 Não Não 1.0e+08 0.003 0.00036 
 3 5 2 Não Sim 1.0e+08 0.003 0.00036 
 4 5 3 Não Não 1.0e+08 0.003 0.00036 
 
Dados de Cargas Concentradas em Nós 
Nó Fx (kN) Fy (kN) Mz (kNm) 
 4 20.0 0.0 0.0 
 
Dados de Carregamentos Uniformemente Distribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 4 Local 0.0 -8.0 
 
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais 
Nó Desloc. X (m) Desloc. Y (m) Rotação Z (rad) 
 1 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 2 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 3 0.000e+00 0.000e+00 +1.564e-04 
 4 +4.087e-04 +1.683e-05 -1.120e-04 
 5 +8.577e-05 -1.208e-04 -2.144e-04 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm) 
 1 -1.7 +1.7 +3.9 -3.9 +7.1 +4.4 
 2 +16.1 -16.1 -1.7 +1.7 -4.4 -5.7 
 3 +12.1 -12.1 xxx.x xxx.x xxx.x xxx.x 
 4 +8.5 -8.5 +19.3 +20.7 +12.4 xxx.x 
 
Com base nos resultados do modelo estrutural, pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural, indicando dimensões, apoios, cargas e rótulas. 
(b) Calcule o valor do momento fletor na extremidade final da barra 4. 
(c) Com base nos valores dos deslocamentos e rotações nodais fornecidos e nos coeficientes de rigidez locais da 
barra 3, determine os valores dos esforços internos que estão faltando para essa barra. 
(d) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores. 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
 
Item (a) 
 
 
 
 
 
 
Item (b) 
 
rad10564.1 43 −×+=zθ (rotação do nó 3 obtida da tabela de resultados de deslocamentos e rotações nodais) 
kNm/rad100000=zK (coeficiente de rigidez à rotação do apoio elástico rotacional) 
33
xzx KM ∆⋅−= (reação momento no apoio elástico no nó 3 é sempre contrária à rotação) 
⇒ kNm6.1510564.1100000 -43 −=×⋅−=zM (negativo indica sentido horário) 
A direção do momento fletor na extremidade final da barra 4 tem o mesmo sentido e sinal da reação momento. 
Portanto: 
 kNm6.154 barrafinal −=M (negativo indica sentido horário) 
 
 
 
Item (c) 
 
 Determinação dos esforços internos na barra 3 a partir dos deslocamentos do nó 5: 
5
x∆ 5
zθ 
Qf Mf 
Mi 
Qi 
Deformada da barra 3 e esforços 
internos com sentidos positivos 
(nas direções dos eixos locais) 
E = 1.0x108 kN/m2 
I = 3.6x10-4 m4 
5
x∆ = +8.577x10
-5 m 
5
zθ = –2.144x10
-4 rad 
(3EI/33) 5x∆ 
(3EI/33) 5x∆ 
Isolando efeito do deslocamento 
horizontal do nó 5 (esforços 
indicados nos sentidos físicos) 
Isolando efeito da rotação 
do nó 5 (esforços indicados 
nos sentidos físicos) 
(3EI/32) 5zθ (3EI/3)
5
zθ 
(3EI/32) 5zθ 
Qf = –(3EI/33)
5
x∆ + (3EI/3
2) 5zθ = +2.2 kN 
Qi = +(3EI/33)
5
x∆ – (3EI/3
2) 5zθ = –2.2 kN 
Mi = +(3EI/32)
5
x∆ – (3EI/3)
5
zθ = –6.7 kNm 
Mf = 0 
(3EI/32) 5x∆ 
5
x∆5
zθ 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Item (d) 
 
Diagrama de esforços normais 
 
 N 
[kN] 
 
 
 
 
Diagrama de esforços cortantes 
 
 
Q 
[kN] 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores 
 
 
M 
[kNm] 
3
zM 
zK 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 13 – Método da Rigidez Direta – Exercício proposto 10 
 
Reproduziu-se a seguir um arquivo de dados de entrada e saída de um modelo de pórtico plano para um 
programa de computador. Observe que os valores dos esforços internos da barra 2 não puderam ser recuperados 
do arquivo. 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X Y Desloc. X Desloc. Y Rotação Z 
 (m) (m) 
 1 0.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 
 2 8.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 
 3 8.0 3.0 Livre Livre Livre 
 4 0.0 9.0 Livre Livre Livre 
 5 8.0 9.0 Livre Livre Livre 
 6 0.0 15.0 Livre Livre Livre 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m^2) (m^2) (m^4) 
 1 1 4 Não Sim 2.0e+08 0.006 0.00027 
 2 2 3 Não Não 2.0e+08 0.006 0.00027 
 3 3 5 Não Não 2.0e+08 0.006 0.00027 
 4 4 3 Não Não 2.0e+08 0.006 0.00027 
 5 4 6 Não Não 2.0e+08 0.006 0.00027 
 6 6 5 Não Sim 2.0e+08 0.006 0.00027 
 
Dados de Cargas Nodais 
Nó Fx (kN) Fy (kN) Mz (kNm) 
 3 -10.0 0.0 0.0 
 5 -10.0 0.0 0.0 
 
Dados de Carregamentos Uniformente Distribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 4 Local 0.0 -8.0 
 6 Local 0.0 -8.0 
 
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais 
Nó Desloc. X (m) Desloc. Y (m) Rotação Z (rad) 
 1 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 2 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 3 -1.343e-02 +5.228e-05 +5.826e-03 
 4 -1.550e-02 -1.117e-03 +2.496e-03 
 5 -5.174e-02 -1.280e-04 +6.665e-03 
 6 -5.230e-02 -1.257e-03 +3.608e-03 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm) 
 1 +148.9 -148.9 -3.4 +3.4 -31.0 0.0 
 2 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 
 3 +36.1 -36.1 -2.5 +2.5 -15.1 0.0 
 4 -114.2 +114.2 +65.6 +14.4 +176.5 +79.1 
 5 +27.9 -27.9 -55.5 +55.5 -176.5 -156.4 
 6 +27.6 -27.6 +55.6 +24.4 +156.4 0.0 
 
Com base nos resultados do modelo estrutural, pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural, indicando dimensões, apoios, cargas e rótulas. 
(b) Com base nos valores dos deslocamentos e rotações nodais fornecidos e nos coeficientes de rigidez locais da 
barra 2, determine os valores dos esforços internos que estão faltando para essa barra. 
(c) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores. 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
 
 
N 
[kN] 
Q 
[kN] 
M 
[kNm] 
Item (a) – Modelo estrutural Configuração deformada (escala de deslocamentos exagerada) 
Item (c) – Diagramas de esforços internos 
Item (b) – Determinação dos esforços internos na barra 2 a partir dos deslocamentos do nó 3 
3
x∆
3
zθ
Qi 
Ni 
Mi 
3
y∆ 
Nf 
Mf 
Qf 
3
x∆
(12EI/33) 3x∆ 
(6EI/32) 3x∆ 
(12EI/33) 3x∆ 
(6EI/32) 3x∆ 
Deformada da barra 2 e esforços 
internos com sentidos positivos 
(nas direções dos eixos locais) 
Isolando efeito do deslocamento 
horizontal do nó 3 (esforços 
indicados nos sentidos físicos) 
3
zθ
Isolando efeito da rotação 
do nó 3 (esforços indicados 
nos sentidos físicos) 
(6EI/32) 3zθ 
(4EI/3) 3zθ 
(6EI/32) 3zθ (2EI/3)
3
zθ 
Nf = +(EA/3)
3
y∆ = + 20.9 kN 
Ni = –(EA/3)
3
y∆ = – 20.9 kN 
Qf = +(12EI/33)
3
x∆ – (6EI/3
2) 3zθ = + 112.6 kN 
Qi = –(12EI/33)
3
x∆ + (6EI/3
2) 3zθ = – 112.6 kN 
Mf = –(6EI/32)
3
x∆ + (4EI/3)
3
zθ = – 64.0 kNm 
Mi = –(6EI/32)
3
x∆ + (2EI/3)
3
zθ = – 273.7 kNm 
E = 2.0x108 kN/m2 
A = 6.0x10-3 m2 I = 2.7x10-4 m4 
3
y∆ = +5.228x10
-5 m 
3
x∆ = –1.343x10
-2 m 
3
zθ = +5.826x10
-3 rad 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 13 – Método da Rigidez Direta – Exercício proposto 11 
 
Reproduziu-se a seguir um arquivo de dados de entrada e saída de um modelo de pórtico plano para um 
programa de computador. Observe que os valores da rotação no nó 3 e dos esforços cortantes e momentos fletores 
da barra 2 não puderam ser recuperados do arquivo. 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X Y Desloc. X Desloc. Y Rotação Z Mola X Mola Y Mola Z 
 (m) (m) (tipo) (tipo) (tipo) (kN/m) (kN/m) (kNm/rad) 
 1 -16.0 0.0 Fixo Fixo Livre 0.0 0.0 0.0 
 2 0.0 0.0 Fixo Fixo Livre 0.0 0.0 0.0 
 3 16.0 0.0 Fixo Fixo Mola 0.0 0.0 5000.0 
 4 -8.0 6.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 5 0.0 6.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 6 8.0 6.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 7 0.0 12.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m^2) (m^2) (m^4) 
 1 2 4 Sim Não 2.4e+07 0.01 0.001 
 2 2 5 Sim Não 2.4e+07 0.01 0.001 
 3 2 6 Sim Não 2.4e+07 0.01 0.001 
 4 4 1 Não Não 2.4e+07 0.01 0.001 
 5 5 4 Não Sim 2.4e+07 0.01 0.001 
 6 5 6 Não Não 2.4e+07 0.01 0.001 
 7 5 7 Não Não 2.4e+07 0.01 0.001 
 8 6 3 Não Não 2.4e+07 0.01 0.001 
 9 7 4 Não Não 2.4e+07 0.01 0.001 
10 7 6 Não Não 2.4e+07 0.01 0.001 
 
Dados de Carregamentos Uniformente Distribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 4 Local 0.0 12.0 
 5 Local 0.0 24.0 
 6 Local 0.0 -24.0 
 9 Local 0.0 12.0 
 
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais 
Nó Desloc. X (m) Desloc. Y (m) Rotação Z (rad) 
 1 0.000e+00 0.000e+00 -1.275e-02 
 2 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 3 0.000e+00 0.000e+00 xxxxxxxxxx 
 4 2.366e-03 -1.046e-02 +1.720e-03 
 5 +1.934e-03 -6.629e-03 +7.061e-04 
 6 +1.221e-03 -5.381e-03 +3.208e-03 
 7 +4.750e-04 -7.661e-03 +2.405e-03 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN)(kNm) (kNm) 
 1 +196.1 -196.1 +0.7 -0.7 0.0 +7.4 
 2 +265.1 -265.1 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 
 3 +54.0 -54.0 +2.7 -2.7 0.0 +26.7 
 4 +105.3 -105.3 -73.1 -46.9 -130.6 0.0 
 5 +12.9 -12.9 -119.7 -72.3 -190.0 0.0 
 6 +21.4 -21.4 +104.1 +87.9 +152.9 -88.1 
 7 +41.3 -41.3 +10.5 -10.5 +24.7 +38.3 
 8 +100.9 -100.9 +2.6 -2.6 +22.3 +3.5 
 9 -4.1 +4.1 -55.0 -65.0 -73.5 +123.2 
10 +18.5 -18.5 +7.4 -7.4 +35.2 +39.1 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Com base nos resultados do modelo estrutural, pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural, indicando dimensões, apoios, cargas e rótulas. 
(b) Calcule o valor da rotação do nó 3 em radianos, indicando seu sentido (horário ou anti-horário). 
(c) Com base nos valores dos deslocamentos e rotações nodais fornecidos e nos coeficientes de rigidez locais da 
barra 2, determine os valores dos esforços internos que estão faltando para essa barra. 
(d) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores. 
 
 
Solução 
 
Item (a) 
 
 
 
Item (b) 
kNm5.333 +=⋅−= zzz KM θ (reação momento no apoio elástico no nó 3 obtida do resultado de momento fletor na 
extremidade final da barra 8). A reação momento no apoio elástico é sempre contrária à rotação do apoio. 
A direção do momento fletor na extremidade final da barra 8 tem o mesmo sentido e sinal da reação momento. 
kNm/rad5000=zK (coeficiente de rigidez à rotação do apoio elástico rotacional). 
⇒ rad1007500053 43 −×−=−= ./.zθ (rotação do nó 3: negativo indica sentido horário) 
 
Item (c) 
 Determinação dos esforços internos na barra 2 a partir dos deslocamentos e rotação do nó 5: 
Qi 
Mf 
Qf 
Esforços internos na barra 2 com 
sentidos positivos (nas direções 
dos eixos locais) 
E = 2.4x107 kN/m2 
I = 0.001 m4 
5
x∆ = +1.934x10
–3 m 
5
zθ = +7.061x10
–4 rad 
(3EI/63) 5x∆ 
(3EI/63) 5x∆ 
Efeito do deslocamento 
horizontal do nó 5 (esforços 
indicados nos sentidos físicos) 
Efeito da rotação do nó 5 
(esforços indicados nos 
sentidos físicos) 
(3EI/62) 5zθ (3EI/6)
5
zθ 
(3EI/62) 5zθ 
Qf = –(3EI/63)
5
x∆ – (3EI/6
2) 5zθ = –2.1 kN 
Qi = +(3EI/63)
5
x∆ + (3EI/6
2) 5zθ = +2.1 kN 
Mf = +(3EI/62)
5
x∆ + (3EI/6)
5
zθ = +12.3 kNm 
Mi = 0 
(3EI/62) 5x∆ 
5
x∆ 
5
zθ 
Mi = 0 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Item (d) 
 
Diagrama de esforços normais 
 
 
N 
[kN] 
 
 
 
 
Diagrama de esforços cortantes 
 
 
Q 
[kN] 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores 
 
 
M 
[kNm] 
3
zM 
zK 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 13 – Método da Rigidez Direta – Exercício proposto 12 
 
Reproduziu-se a seguir um arquivo de dados de entrada e saída de um modelo de pórtico plano para um 
programa de computador. Observe que os valores do deslocamento horizontal e da rotação do nó 1 não puderam 
ser recuperados do arquivo. 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X Y Desloc. X Desloc. Y Rotação Z Mola X Mola Y Mola Z 
 (m) (m) (tipo) (tipo) (tipo) (kN/m) (kN/m) (kNm/rad) 
 1 0.0 0.0 Mola Fixo Mola 1000.0 0.0 100000.0 
 2 10.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 0.0 0.0 0.0 
 3 0.0 3.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 4 6.0 3.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 5 -2.0 6.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 6 0.0 6.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 7 2.0 6.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m^2) (m^2) (m^4) 
 1 1 3 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 2 3 6 Não Sim 1.0e+08 0.01 0.001 
 3 4 2 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 4 4 3 Sim Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 5 5 6 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 6 6 7 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 7 7 4 Não Não 1.0e+08 0.01 0.001 
 
Dados de Cargas Concentradas em Nós 
 Nó Fx (kN) Fy (kN) Mz(kNm) 
 5 0.0 -20.0 0.0 
 
Dados de Carregamentos Uniformente Distribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 4 Local 0.0 12.0 
 6 Local 0.0 -12.0 
 
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais 
Nó Desloc. X (m) Desloc. Y (m) Rotação Z (rad) 
 1 xxxxxxxxxx +0.000e+00 xxxxxxxxxx 
 2 +0.000e+00 +0.000e+00 +0.000e+00 
 3 -1.550e-03 -2.760e-04 -5.361e-04 
 4 -1.516e-03 -2.157e-03 +3.155e-04 
 5 -6.879e-04 -7.671e-04 +3.056e-04 
 6 -6.879e-04 -4.226e-04 -9.440e-05 
 7 -7.045e-04 -1.107e-03 -4.773e-04 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm) 
 1 +92.00 -92.00 -2.46 +2.46 +10.64 -18.01 
 2 +48.86 -48.86 -8.29 +8.29 -24.86 +0.00 
 3 +16.37 -16.37 -17.72 +17.72 -38.00 -50.62 
 4 -5.83 +5.83 +28.85 -43.15 +0.00 +42.87 
 5 +0.00 +0.00 -20.00 +20.00 +0.00 -40.00 
 6 +8.29 -8.29 +28.86 -4.86 +40.00 -6.29 
 7 +3.71 -3.71 +8.86 -8.86 +6.29 -38.00 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Com base nos resultados do modelo estrutural, pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural, indicando dimensões, apoios, cargas e rótulas. 
(b) Calcule o valor do deslocamento horizontal do nó 1 em metros, indicando seu sentido (para a esquerda ou 
para a direita) e calcule o valor da rotação do nó 1 em radianos, indicando seu sentido (horário ou anti-
horário). 
(c) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores. 
(d) Ao verificar os diagramas desenhados no item (c), pode-se constatar que existem dois erros nos resultados 
fornecidos pelo programa de computador. Indique esses erros. 
 
 
Solução 
 
Item (a) 
 
 
 
 
 
Item (b) 
Reação força horizontal no apoio elástico translacional no nó 1: 1 1x x zF K= − ⋅ ∆ 
(a reação força horizontal no apoio elástico translacional é sempre contrária ao deslocamento horizontal do apoio). 
Reação força horizontal no apoio elástico translacional no nó 1 é obtida do resultado de esforço cortante na 
extremidade inicial da barra 1: 1 2.46 kNiQ = − . 
A direção do esforço cortante positivo na extremidade inicial da barra 1 tem o sentido contrário da reação força 
horizontal positiva, pois o eixo y local da barra está voltado para a esquerda: 1 1x iF Q= − . 
Portanto, 1 1 2.46 kNx x zF K= − ⋅ ∆ = + . 
1000 kN/mxK = (coeficiente de rigidez do apoio elástico translacional). 
⇒
1 32 46 1000 2 460 10 mx . / .
−
∆ = − = − × (desloc. horizontal do nó 1: negativo indica sentido para a esquerda)1 1 10.64 kNmz z zM K θ= − ⋅ = + (reação momento no apoio elástico rotacional no nó 1 obtida do resultado de 
momento fletor na extremidade inicial da barra 1). A reação momento no apoio elástico rotacional é sempre 
contrária à rotação do apoio. 
A direção do momento fletor na extremidade inicial da barra 1 tem o mesmo sentido da reação momento. 
100000 kNm/radzK = (coeficiente de rigidez à rotação do apoio elástico rotacional). 
⇒
1 410 64 100000 1 064 10 radz . / .θ
−
= − = − × (rotação do nó 1: negativo indica sentido horário) 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Item (c) 
 
Diagrama de esforços normais 
 
 
N 
[kN] 
 
 
 
Diagrama de esforços cortantes 
 
 
Q 
[kN] 
Errado 
Correto 
 
 
Diagrama de momentos fletores 
 
 
M 
[kNm] 
Errado 
Correto 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Item (d) 
 
O primeiro erro está indicado no diagrama de esforços cortantes. 
O esforço cortante na extremidade inicial da barra 4 (como está indicado na tabela fornecida) deve ser –28.85 kN 
em vez de +28.85 kN. 
O nó inicial da barra 4 está na direita da barra e o nó final está na esquerda. Portanto, o eixo local x está orientado 
para a esquerda e o eixo local y está orientado para baixo. 
Dessa forma, o valor positivo (+28.85 kN) do esforço cortante na extremidade inicial dessa barra (dado na tabela) 
indica uma força atuando para baixo na extremidade direita; e o valor negativo (–43.15 kN) do esforço cortante na 
extremidade final indica uma força atuando para cima na extremidade esquerda da barra. 
Além disso, as forças transversais atuando nas extremidades da barra devem estar em equilíbrio com a resultante 
da carga transversal atuando no interior da barra. 
A resultante do carregamento transversal é de 12 kN/m x 6 m = 72 kN para baixo. 
Portanto, as duas forças transversais atuando nas extremidades da barra devem ter uma resultante iqual a 72 kN 
para cima. Para que isso aconteça, é necessário que a força transversal na extremidade direita da barra esteja 
orientada para cima, o que não está ocorrendo. 
 
O segundo erro está indicado no diagrama de momentos fletores. 
A barra 4 tem um rótula na extremidade direita (nó 4). Dessa forma, os momentos fletores nas barras 7 e 3 no nó 4 
devem iguais e tracionando fibras do mesmo lado, pois não tem momento fletor nesse nó vindo pela barra 4 
(rótula). Observa-se que isso não está ocorrendo. A interpretação dos valores e sinais dos momentos fletores da 
tabela nas barras 7 e 3 indica que na barra 7 o momento fletor no nó 4 é igual a 38 kNm, tracionando as fibras 
superiores, e na barra 3 o momento fletor no nó 4 é igual a 38 kNm, tracionando as fibras inferiores. 
O enunciado não pede para indicar a correção desse erro, mas a solução correta está indicada na figura. 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 13 – Método da Rigidez Direta – Exercício proposto 13 
 
Reproduziu-se a seguir um arquivo de dados de entrada e saída de um modelo de pórtico plano para um 
programa de computador. 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X Y Desloc. X Desloc. Y Rotação Z 
 (m) (m) 
 1 0.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 
 2 4.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 
 3 7.0 0.0 Fixo Fixo Livre 
 4 4.0 3.0 Livre Livre Livre 
 5 7.0 3.0 Livre Livre Livre 
 6 9.0 3.0 Livre Livre Livre 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m^2) (m^2) (m^4) 
 1 1 4 Não Não 2.0e+08 0.0046 0.000072 
 2 2 4 Sim Não 2.0e+08 0.0046 0.000072 
 3 3 5 Não Não 2.0e+08 0.0046 0.000072 
 4 5 4 Não Não 2.0e+08 0.0046 0.000072 
 5 5 6 Não Não 2.0e+08 0.0046 0.000072 
 
Dados de Carregamentos Uniformente Distribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 1 Local 0.0 -16.0 
 4 Local 0.0 16.0 
 5 Global 0.0 -16.0 
 
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais 
Nó Desloc. X (m) Desloc. Y (m) Rotação Z (rad) 
 1 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 2 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 3 0.000e+00 0.000e+00 +2.185e-04 
 4 +3.572e-04 -2.230e-04 +5.830e-04 
 5 +3.679e-04 -1.902e-04 -8.050e-04 
 6 +3.679e-04 -4.022e-03 -2.286e-03 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm) 
 1 -28.0 +28.0 +42.6 -37.4 +38.0 -25.3 
 2 +68.4 -68.4 +3.4 -3.4 0.0 -10.1 
 3 +58.3 -58.3 -3.3 +3.3 0.0 -9.8 
 4 -3.3 +3.3 -26.3 -21.7 -22.2 +15.2 
 5 0.0 0.0 -32.0 0.0 -32.0 0.0 
 
Com base nos resultados do modelo estrutural, pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural, indicando dimensões, apoios, cargas e rótulas. 
(b) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores. 
(c) Ao verificar os diagramas desenhados no item (b), pode-se constatar que existem quatro erros nos resultados 
fornecidos pelo programa de computador. Indique esses erros. 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
 
Item (a) 
 
 
 
 
 
Item (b) 
 
Diagrama de esforços normais 
 
 N 
[kN] 
 
 
 
Diagrama de esforços cortantes (com erros indicados) 
 
 Q 
[kN] 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores (com erros indicados) 
 
 M 
[kNm] 
 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Item (c) 
 
 
Q 
[kN] 
M 
[kNm] 
Diagramas com erros indicados: 
Diagramas com correções indicadas: 
Erro 1: esforços cortantes nas extremidades 
da barra inclinada não estão em equilíbrio 
com a carga uniformemente distribuída 
aplicada. 
 
Erro 2: esforços cortantes na barra em 
balanço não são compatíveis com a carga 
aplicada. 
Erro 3: momentos fletores no nó central não 
satisfazem equilíbrio do nó. 
 
 
 
Erro 4: momentos fletores na barra em 
balanço não são compatíveis com a carga 
aplicada. 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 13 – Método da Rigidez Direta – Exercício proposto 14 
 
Reproduziu-se a seguir um arquivo de dados de entrada e saída de um modelo de pórtico plano para um 
programa de computador. 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X Y Desloc. X Desloc. Y Rotação Z 
 (m) (m) 
 1 2.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 
 2 6.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 
 3 10.0 0.0 Fixo Fixo Livre 
 4 0.0 3.0 Livre Livre Livre 
 5 2.0 3.0 Livre Livre Livre 
 6 6.0 3.0 Livre Livre Livre 
 7 0.0 6.0 Livre Livre Livre 
 8 2.0 6.0 Livre Livre Livre 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m^2) (m^2) (m^4) 
 1 1 5 Não Não 2.0e+08 0.0012 0.00012 
 2 2 6 Não Não 2.0e+08 0.0012 0.000123 3 6 Não Não 2.0e+08 0.0012 0.00012 
 4 5 4 Não Não 2.0e+08 0.0012 0.00012 
 5 5 6 Não Sim 2.0e+08 0.0012 0.00012 
 6 5 8 Não Não 2.0e+08 0.0012 0.00012 
 7 7 8 Não Não 2.0e+08 0.0012 0.00012 
 8 8 6 Não Sim 2.0e+08 0.0012 0.00012 
 
Dados de Carregamentos Uniformente Distribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 3 Local 0.0 16.0 
 4 Local 0.0 8.0 
 5 Global 0.0 -8.0 
 7 Global 0.0 -8.0 
 8 Local 0.0 -16.0 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm) 
 1 +108.20 -108.20 -10.11 +10.11 -21.53 -8.81 
 2 +88.80 -88.80 -26.17 +26.17 -37.66 -40.85 
 3 -50.77 +50.77 +31.83 -48.17 -5.43 +40.85 
 4 0.00 0.00 +16.00 0.00 -16.00 0.00 
 5 +0.87 -0.87 +23.30 +8.70 +29.21 0.00 
 6 +68.90 -68.90 -9.25 +9.25 -4.40 +23.34 
 7 0.00 0.00 0.00 +16.00 0.00 -16.00 
 8 -24.34 +24.34 +47.87 +32.13 +39.34 0.00 
 
Com base nos resultados do modelo estrutural, pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural, indicando dimensões, apoios, cargas e rótulas. 
(b) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores. 
(c) Ao verificar os diagramas desenhados no item (b), pode-se constatar que existem quatro erros nos resultados 
fornecidos pelo programa de computador. Indique esses erros. 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
 
Item (a) 
 
 
 
 
 
Item (b) 
 
 
N 
[kN] 
Diagrama de esforços normais 
(sem erros): 
 
 
 
 Diagrama de esforços cortantes 
com erros indicados: 
Q 
[kN] 
Diagrama de momentos fletores 
com erros indicados: 
M 
[kNm] 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Item (c) 
 
 Diagramas com erros indicados: 
Diagramas com correções indicadas: 
Erro 1: esforços cortantes nas extremidades 
da barra inclinada 3 não estão em equilíbrio 
com a carga uniformemente distribuída 
aplicada. 
Erro 2: esforços cortantes na barra 4 em 
balanço não são compatíveis com a carga 
aplicada. 
Erro 3: momentos fletores no nó 8 não 
satisfazem equilíbrio do nó. 
Erro 4: momento fletor na extremidade 
inferior da barra 3 tem de ser nulo, pois a 
barra é a única a chegar em um apoio 
simples nessa extremidade. 
Q 
[kN] 
M 
[kNm] 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 13 – Método da Rigidez Direta – Exercício proposto 15 
 
Reproduziu-se a seguir um arquivo de dados de entrada e saída de um modelo de pórtico plano para um 
programa de computador. Observe que os valores da rotação do nó 2 e dos esforços cortantes e momentos fletores 
da barra 1 não puderam ser recuperados do arquivo. 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X Y Desl.X Desl.Y Rot.Z Mola X Mola Y Mola Z 
 (m) (m) (kN/m) (kN/m) (kNm/rad) 
 1 3.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 0.0 0.0 0.0 
 2 11.0 4.0 Fixo Fixo Livre 0.0 0.0 80000.0 
 3 0.0 8.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 4 3.0 8.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 5 11.0 8.0 Livre Livre Livre 0.0 0.0 0.0 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m^2) (m^2) (m^4) 
 1 1 4 Sim Não 2.0e+08 0.012 0.00012 
 2 2 5 Não Não 2.0e+08 0.012 0.00012 
 3 3 4 Não Não 2.0e+08 0.012 0.00012 
 4 5 4 Não Não 2.0e+08 0.012 0.00012 
 
Dados de Cargas Concentradas em Nós 
 Nó Fx (kN) Fy (kN) Mz(kNm) 
 3 0.0 -20.0 0.0 
 
Dados de Carregamentos Uniformente Distribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 2 Local 0.0 -30.0 
 4 Local 0.0 30.0 
 
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais 
Nó Desloc. X (m) Desloc. Y (m) Rotação Z (rad) 
 1 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 
 2 0.000e+00 0.000e+00 x.xxxe-xx 
 3 +7.194e-03 +1.206e-02 -2.923e-03 
 4 +7.194e-03 -4.569e-04 -6.673e-03 
 5 +7.173e-03 -2.049e-04 +5.434e-03 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm) 
 1 +137.1 -137.1 xxx.x xxx.x xxx.x xxx.x 
 2 +122.9 -122.9 +126.5 -6.5 +130.6 +135.4 
 3 0.0 0.0 -20.0 +20.0 0.0 -60.0 
 4 +6.5 -6.5 -122.9 -117.1 -135.4 +112.0 
 
Com base nos resultados do modelo estrutural, pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural, indicando dimensões, apoios, cargas e rótulas. 
(b) Calcule o valor da rotação do nó 2 em radianos, indicando seu sentido (horário ou anti-horário). 
(c) Com base nos valores dos deslocamentos e rotações nodais fornecidos e nos coeficientes de rigidez locais da 
barra 1, determine os valores dos esforços internos que estão faltando para essa barra. Os valores desses 
esforços internos podem ser verificados com base em equilíbrio nodal. 
(d) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores. 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
 
Item (a) 
 
 
 
 
 
Item (b) 
 
2 2 130.6 kNmz zM Kθ θ= − ⋅ = + (reação momento no apoio elástico rotacional no nó 2 obtida do resultado de 
momento fletor na extremidade inicial da barra 2). A reação momento no apoio elástico rotacional é sempre 
contrária à rotação do apoio. 
A direção do momento fletor na extremidade inicial da barra 2 tem o mesmo sentido da reação momento. 
80000 kNm/radK
θ
= (coeficiente de rigidez à rotação do apoio elástico rotacional). 
⇒
2 3130 6 80000 1 6325 10 radz . / .θ
−
= − = − × (rotação do nó 2: negativo indica sentido horário) 
 
 
Item (c) 
 
 Determinação dos esforços internos na barra 1 a partir do deslocamento horizontal e da rotação do nó 4: 
4
x∆ 4
zθ 
Qi Mi 
Mf 
Qf 
Deformada da barra 1 e esforços 
internos com sentidos positivos 
(nas direções dos eixos locais) 
E = 2.0x108 kN/m2 
I = 1.2x10-4 m4 
4
x∆ = +7.194x10
-3 m 
4
zθ = –6.673x10
-3 rad 
(3EI/83) 4x∆ 
(3EI/83) 4x∆ 
Isolando efeito do deslocamento 
horizontal do nó 4 (esforços 
indicados nos sentidos físicos) 
Isolando efeito da rotação 
do nó 4 (esforços indicados 
nos sentidos físicos) 
(3EI/82) 4zθ (3EI/8)
4
zθ 
(3EI/82) 4zθ 
Qi = +(3EI/83)
4
x∆ – (3EI/8
2) 4zθ = –6.5 kN 
Qf = –(3EI/83)
4
x∆ + (3EI/8
2) 4zθ = +6.5 kN 
Mf = +(3EI/82)
4
x∆ – (3EI/8)
4
zθ = –52.0 kNm 
Mi = 0 
(3EI/82) 4x∆ 
4
x∆ 
4
zθ 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Item (d) 
 
 N 
[kN] 
Diagrama de esforços normaisDiagrama de esforços cortantes Q 
[kN] 
 
 
 
 Diagrama de momentos fletores M 
[kNm]