ANÁLISE DE ESTRUTURAS II

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CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2004 
Segunda Prova – 08/11/2004 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, obter 
o diagrama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 3x104 kNm2, com exce-
ção da barra horizontal superior que é infinitamente 
rígida à flexão. 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Considere a viga abaixo cujas barras têm inércia à flexão EI = 2.4x104 kNm2. Utilizando a Analogia da Viga 
Conjugada, determine o diagrama de momentos fletores na viga provocado pela carga indicada. 
 
 
A C
B
D
 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. Todas as barras têm a relação 
indicada entre a rigidez à torção GJt e a rigidez à 
flexão EI. 
 
 
EIGJt ⋅= 2
5
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
 
 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
D
bcad
debf
D
D
D
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
−
⇒
0
0
6/148/5
48/512/17
76
24
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
06.489
90.52
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH
 
2
1
SH 
β20 = +76 kN 
β10 = –24 kNm –24 +24 
0 0 
0 
0 
0 
0 
0 0 
[kNm]
M0
2EI/6 
2EI/(6⋅4) 
2EI/(6⋅4) 
K21 = + 3EI/42 – 2EI/(6⋅4) 
K11 = + 4EI/6 + 3EI/4
M1 x D1
D1 = 1 +4EI/6 
+3EI/4 
–2EI/6 
+2EI/6 
0 
0 
0 
0 0 0 
K21 = +5EI/48
K11 = +17EI/12
M2
D2 = 1
θ2 = 1/4 
7EI/(6⋅4⋅4) 
+3EI/42 
D2 = 1
–(4EI/6)⋅θ2 
–(3EI/6)⋅θ2
+(4EI/6)⋅θ2 
+(3EI/6)⋅θ2
–(2EI/6)⋅θ2 
(3EI/6)⋅θ2 
(4EI/6)⋅θ2 7EI/(6⋅4⋅4) 
–3EI/42
K12 = + 3EI/42
 – 2EI/(6⋅4)
K12 = +5EI/48
7EI/(6⋅4⋅4)
+ 3EI/43 
3EI/43
K22 = + 7EI/(6⋅4⋅4) +3EI/43 + 3EI/43 
0 
x D2
0 0 
K22 = +EI/6 
3EI/42 
–2EI/(6⋅4) 
–76.0 
0 
+115.7 
[kNm]
M
0 0 
+76.0 
–61.1 –99.1 
+61.1 
+99.1 
 
2ª Questão 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MA = 0 
QA ≠ 0 
MC = 0 
QC = QC dir esq
MD = 0 
QD = 0 
C
C
C
C C 
C 
C 
MC = 0 ⇒ – (4MC/EI)⋅8/3 + (4MD/EI)⋅16/3 = 0 C 
vA = 0 
θA ≠ 0 
vC = 0 
θC = θC dir esq
vD = 0 
θD = 0 
MA = 0 ⇒ + (1800/EI)⋅6 – (6MC/EI)⋅8 – (4MC/EI)⋅44/3 + (4MD/EI)⋅52/3 = 0 
C 
MC⋅6/EI MC/EI 
MD/EI 
1800/EI 
MD = 75 kNm 
MC = 150 kNm ∴∴∴∴ 
A 
B 
C
MD
D
–MC 
– 
+ 
+MB 
x
M(x) 
+MD
300 
MB = – MC/2 + 300 
MD/EI 
MC/EI 
MB/EI 
A
C
C
A
MC⋅4/EI 
MD⋅4/EI 
8 
8/3 16/3 
4 8/3 16/3 
6 6 
MB = 225 kNm 
300/EI 
 
 
3ª Questão 
 
Equação de compatibilidade: 
011110 =+ Xδδ 
tGJEI
1
35043
31443
3723
1
67203
3
161443
6
1
67203
6
161443
3
1
6723
3
165043
3
16723
6
1
6723
3
165043
6
16723
3
1
31443
3
13183
3
13723
3
1
10 ⋅










⋅⋅−
⋅⋅−
⋅⋅−
+⋅




























⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
=δ 
EIEIEIGJEI t
8.9838
5
1231224914123124914
10 −=⋅
⋅−−=−−=δ 
tGJEI
1
6)3()3(
6)3()3(3)3()3(1333
3
1611 ⋅





⋅−⋅−+
⋅−⋅−+⋅−⋅−
+⋅










 ⋅⋅⋅+⋅=δ
EIEIEIGJEI t
108
5
13525413554
11 +=⋅
⋅++=++=δ 
01088.9838 1 =⋅+−⇒ XEIEI
 kN1.911 +=∴ X 
Momentos Fletores Finais: 
110 XMMM ⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Caso (1) – Hiperstático X1 isolado no SP 
x X1 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g = 1) 
Momentos Torsores Finais: 
110 XTTT ⋅+= 
EIGJt ⋅= 2
5
 
SP 
X1 
[kNm] 
M0 
+144 
[kNm] T0
0 +504 +72 
M1 
X1 = 1 
T1 
X1 = 1 
[kNm] 
M 
[kNm] T
0 +230.7–201.3 
–129.3