LISTA 7 - GEOMETRIA- POLÍGONOS

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TEOREMA MILITAR 
LISTA 7- GEOMETRIA PLANA- POLÍGONOS 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
NÍVEL 1- ESA e EEAR 
 
1.(EEAR – 2017.1) Ao somar o número de diagonais e 
o número de lados de um dodecágono obtém-se: 
 
A) 66 
B) 56 
C) 44 
D) 42 
 
2. (EEAR – 2013) Se 𝐴 é o número de diagonais de um 
icoságono e 𝐵 o número de diagonais de um 
decágono, então 𝐴 − 𝐵 é igual a: 
 
A) 85 
B) 135 
C) 165 
D) 175 
 
3. (EEAr – 2015) Se um dos ângulos internos de um 
pentágono mede 100° então a soma dos outros 
ângulos internos desse polígono é 
 
A) 110° 
B) 220° 
C) 380° 
D) 440° 
 
4. (EEAR – 2007) Dois polígonos convexos têm o 
número de lados expresso por 𝑛 e por 𝑛 + 3. Sabendo 
que um polígono tem 18 diagonais a mais que o outro, 
o valor de 𝑛 é: 
 
A) 10 
B) 8 
C) 6 
D) 4 
 
5. (EEAR – 2006) Sejam 𝐴, 𝐵 e 𝐶 três polígonos 
convexos. Se 𝐶 tem 3 lados a mais que 𝐵, e este tem 3 
lados a mais que 𝐴, e a soma das medidas dos ângulos 
internos dos três polígonos é 3240°, então o número 
de diagonais de 𝐶 é: 
 
A) 46 
B) 44 
C) 42 
D) 40 
 
6. (EEAR – 2017.2) O polígono regular cujo ângulo 
externo mede 24° tem _____ lados. 
 
A) 20 
B) 15 
C) 10 
D) 5 
 
 
 
 
7.(EEAR – 2018.1) A metade da medida do ângulo 
interno de um octógono regular, em graus, é: 
 
A) 67,5 
B) 78,6 
C) 120 
D) 85 
 
8.(EEAR – 2008) Em um polígono regular, a medida de 
um ângulo interno é o triplo da medida de um ângulo 
externo. Esse polígono é o 
 
A) hexágono. 
B) octógono. 
C) eneágono. 
D) decágono. 
 
9.(EsSA – 2007) Se um polígono regular é tal que a 
medida de um ângulo interno é o triplo da medida do 
ângulo externo, o número de lados desse polígono é: 
 
A) 2 
B) 9 
C) 6 
D) 4 
E) 8 
 
10. (EsSA – 2007) Considere um polígono regular 
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹. .. Sabe-se que as mediatrizes dos lados 𝐴𝐵 e 
𝐶𝐷 formam um ângulo de 20° e sua região 
correspondente contém os vértices 𝐵 e 𝐶 do polígono. 
Assim sendo, quantas diagonais deste polígono 
passam pelo centro, dado que o seu número de 
vértices é maior que seis? 
 
A) 17 
B) 15 
C) 16 
D) 18 
E) 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NÍVEL 2 
 
1. (G1 - cftmg 2018) Considere um hexágono regular 
ABCDEF. A partir dos pontos médios dos lados traça-
se um novo hexágono A 'B'C'D'E'F'. 
 
 
 
A medida do ângulo ˆBA'B', em graus, é 
a) 20. 
b) 30. 
c) 40. 
d) 60. 
 
2. (G1 - ifce 2016) Um hexágono convexo possui três 
ângulos internos retos e outros três que medem y 
graus cada. O valor de y é 
a) 135. 
b) 150. 
c) 120. 
d) 60. 
e) 30. 
 
3. (G1 - ifpe 2019 - Adaptada) As lutas de UFC 
acontecem num ringue com formato de um octógono 
regular, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Para a montagem das laterais do ringue, o responsável 
pelo serviço precisaria da medida do ângulo externo 
formado entre dois lados consecutivos, de modo que 
pudesse montar sem erros. Consultando o manual do 
ringue, ele verificou que o ângulo que precisava media 
a) 45 . 
b) 60 . 
c) 120 . 
d) 135 . 
e) 150 . 
 
4. (Uece 2019) Considere MXYZW um pentágono 
regular e XYO um triângulo equilátero em seu interior 
(o vértice O está no interior do pentágono). Nessas 
condições, a medida, em graus, do ângulo ˆXOZ é 
a) 116. 
b) 96. 
c) 126. 
d) 106. 
 
5. (G1 - ifce 2019) O polígono regular convexo cujo 
ângulo interno é 
7
2
 do seu ângulo externo é 
a) octógono. 
b) dodecágono. 
c) decágono. 
d) icoságono. 
e) eneágono 
 
6. (G1 - utfpr 2016) O valor de x no pentágono 
abaixo é igual a: 
 
 
a) 25 . 
b) 40 . 
c) 250 . 
d) 540 . 
e) 1.000 . 
 
7. (Uece 2016) Se a partir de cada um dos vértices de 
um polígono convexo com n lados podemos traçar 
tantas diagonais quanto o total das diagonais de um 
hexágono convexo, então, o valor de n é 
a) 9. 
b) 10. 
c) 11. 
d) 12. 
 
8. (G1 - utfpr 2016) O número de diagonais de um 
polígono regular cujo ângulo externo mede 18 é: 
a) 5. 
b) 170. 
c) 14. 
d) 135. 
e) 275. 
 
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9. (G1 - cftmg 2015) Somando-se todos os ângulos 
internos de três polígonos convexos obtém-se 2160 . 
Sabe-se que o número de lados desses polígonos é 
n 2,− n e n 2.+ Dentre eles, o que possui menor 
número de lados é um 
a) triângulo. 
b) quadrilátero. 
c) pentágono. 
d) hexágono. 
 
10. (G1 - utfpr 2015) Os ângulos externos de um 
polígono regular medem 15 . O número de diagonais 
desse polígono é: 
a) 56. 
b) 24. 
c) 252. 
d) 128. 
e) 168. 
 
11. (G1 - ifsul 2015) Sabe-se que a medida de cada 
ângulo interno de um polígono regular é 144 , então 
qual é o número de diagonais de tal polígono? 
a) 10 
b) 14 
c) 35 
d) 72 
 
12. (Uece 2014) Se, em um polígono convexo, o 
número de lados n é um terço do número de 
diagonais, então o valor de n é 
a) 9. 
b) 11. 
c) 13. 
d) 15. 
 
GABARITO NÍVEL 1 
 
1. A 
2. B 
3. D 
4. C 
5. B 
6. B 
7. A 
8. B 
9. E 
10. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO NÍVEL 2 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Como um hexágono regular possui como soma dos 
ângulos internos 720 e cada ângulo mede 120 logo 
o ângulo B mede 120 e como o novo hexágono é 
traçado nos pontos médios temos que A'B BB'= e 
assim o triangulo A'B'B é isósceles. 
 
Nesse sentido, sabendo que o ângulo B mede 120 
tem-se que os outros dois ângulos possuem a mesma 
medida e assim: 
A ' 30
A ' B' 120 180
B' 30
= 
+ +  =   
= 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
A soma dos ângulos internos de um hexágono é dada 
por: 
S 180 (6 2) 720=   − =  
 
Portanto: 
3 90 3 y 720 3y 450 y 150  +  =   =   =  
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Calculando: 
5
360
e 45
8

= =  
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Desde que o triângulo XYO é equilátero, temos 
ZY OY YX XO.= = = Ademais, como cada ângulo 
interno do pentágono regular MXYZW mede 
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180 (5 2)
108 ,
5
  −
=  
 
temos ZYO 108 60 48 .=  −  =  
Por outro lado, sendo o triângulo YZO isósceles de 
base ZO, vem 
180 48
ZOY 66 .
2
 − 
= =  
 
A resposta é 
XOZ XOY ZOY
60 66
126 .
= +
=  + 
= 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [E] 
 
Observação: Todo polígono regular é convexo. 
 
Considerando que e é a medida do ângulo externo do 
polígono regular de n lados e 
7e
2
 a medida de seu 
ângulo interno, temos a seguinte equação: 
i e 180
7e
e 180
2
7e 2e 360
9e 360
e 40
360
40 n 9
n
+ = 
+ = 
+ = 
= 
= 

=  =
 
 
Portanto, o polígono citado é um eneágono regular. 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo 
pode ser calculada através da fórmula a seguir, onde n 
é o número de lados do polígono. Ou seja: 
i iS 180 (n 2) 180 (5 2) 180 3 S 540=   − =   − =   → =  
 
Assim, sabendo que a soma dos ângulos internos é 
540 , pode-se escrever: 
5
540 2x 30 x 2x 2x 50 4x 40
2
5
540 10x x 40 1000 25x x 40
2
= + + + + + + −
= + + → = → = 
 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Um hexágono convexo possui 
6 (6 3)
9
2
 −
= diagonais. 
Portanto, temos n 3 9,− = o que implica em n 12.= 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
( ) ( )
externos
n n vértices ou lados
S 360 n 18 n 20 vértices ou lados
n n 3 20 20 3
Diagonais 170
2 2
= 
=  =   → =
 −  −
= = =
 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Calculando a soma dos ângulos internos de cada 
polígono, temos: 
180 (n 2 2) 180 (n 2) 180 (n 2 2) 2160  − − +   − +  + − =  
 
Dividindo os dois membros da igualdade por 180 , 
temos: 
n 4 n 2 n 12 3n 18 n 6− + − + =  =  =Portanto, n 2 4− = e o polígono com o menor número 
de lados é um quadrilátero. 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
A soma dos ângulos internos de um polígono de n 
lados é sempre 360 , daí, temos: 
n 15 360 n 24  =   = 
 
Logo, o número de diagonais de um polígono de 24 
lados será dado por: 
( )
252
2
32424
d =
−
= 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
Como trata-se de um polígono regular, a soma dos 
ângulos internos será igual a 144 n,  sendo n o 
número de lados do polígono. Pela fórmula da soma 
dos ângulos internos, tem-se: 
 
S 144n 180 (n 2) 144n 180n 360 36n 360 n 10= =  − → − = − → = → = 
 
Sabendo que o polígono tem n 10= lados, aplica-se a 
fórmula do número de diagonais: 
 
n (n 3) 10 (10 3) 70
d d 35
2 2 2
 −  −
= = = → =