Unidade 3 - [Slides] Moderna Teoria das Carteiras de Investimento

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18/05/2021
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ANÁLISE DE RISCO E
GESTÃO DE CARTEIRAS
Prof. Leopoldo Grajeda
PROF. LEOPOLDO GRAJEDA
Administrador de Carteiras com notório saber (CVM, 2010)
Master of Science (New York University,1998)
Mestre em Matemática –Análise e Matemática Aplicada (UFMG,1994)
Bacharel em Matemática (UFMG, 1993)
Website
MODELO DE MARKOWITZ:
FRONTEIRA EFICIENTE
Unidade 3 – Aula 1
Modelo de Markowitz
A partir da análise de risco e retorno para 
investimentos, Markowitz desenvolveu os pilares 
da Teoria das Carteiras. Ele aplicou técnicas de 
otimização para obter carteiras com desempenho 
ótimo, sempre em termos de risco-retorno.
O conjunto factível é o conjunto de todos os 
pontos do plano risco-retorno que correspondem a 
alguma carteira formada pelos ativos em questão: 
Modelo de Markowitz: conjunto factível Modelo de Markowitz: conjunto factível
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https://www.linkedin.com/in/leopoldograjeda/
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http://www.grajeda.com.br/
http://www.grajeda.com.br/
http://lattes.cnpq.br/9208772627948623
http://lattes.cnpq.br/9208772627948623
http://lattes.cnpq.br/9208772627948623
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Em geral, é difícil determinar a geometria do conjunto factível, 
mas, devido ao princípio da aversão ao risco, apenas a fronteira 
esquerda desse conjunto interessa ao investidor. 
Trata-se do conjunto de variância mínima:
Modelo de Markowitz: variância mínima Modelo de Markowitz: variância mínima
Markowitz mostrou como construir carteiras de ativos sobre o 
conjunto de variância mínima. Trata-se de um problema clássico 
de otimização financeira, no qual se busca o mínimo risco 
para o retorno esperado desejado.
O investidor pode escolher o retorno esperado que gostaria de 
obter e então calcular a carteira sobre o conjunto de variância 
mínima correspondente a esse nível.
Modelo de Markowitz: otimização
Markowitz provou que o conjunto de variância mínima será um 
ramo de uma hipérbole, independente do número de ativos de 
renda variável utilizados para formar as carteiras.
A parte superior do conjunto de variância mínima é chamada de 
fronteira eficiente. É sobre ela que se deve investir.
Modelo de Markowitz: fronteira eficiente
Modelo de Markowitz: fronteira eficiente
Construir uma carteira de ativos sobre a fronteira eficiente é 
também um problema clássico de otimização financeira, no qual 
se busca o máximo retorno esperado para o nível de risco 
escolhido. O investidor pode escolher o risco tolerado, conforme 
seu perfil, e então calcular o ponto sobre a fronteira eficiente 
correspondente a esse risco.
Modelo de Markowitz: otimização
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MODELO DE MARKOWITZ:
O MELHOR FUNDO
Unidade 3 – Aula 2
Markowitz considerou, então, o efeito do incluir um título 
sem risco na composição das carteiras de investimento.
Isso permite construir carteiras eficientes com qualquer 
nível de risco desejado.
Modelo de Markowitz: título sem risco
Modelo de Markowitz: título sem risco
Finalmente, Markowitz usou técnicas de otimização para 
carteiras com um título sem risco para encontrar uma 
carteira ótima para qualquer nível de risco desejado.
Essa carteira ótima será a mesma para todos os 
investidores e é conhecida como o melhor fundo.
Modelo de Markowitz: o melhor fundo
Modelo de Markowitz: o melhor fundo Modelo de Markowitz: o melhor fundo
Com o teorema do melhor fundo, Markowitz 
provou que, estatisticamente, o melhor que todo 
investidor pode fazer é repartir o seu capital 
entre um ativo sem risco e o melhor fundo, 
independente de sua propensão ao risco.
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Modelo de Markowitz: o melhor fundo
MODELO DE MARKOWITZ:
CRÍTICA
Unidade 3 – Aula 3
Modelo de Markowitz: o bom
✓ Estrutura de risco-retorno.
✓ Relevância da diversificação.
✓ Matriz de correlação.
✓ Otimização.
✓ Carteira de variância mínima.
✓ Teorema do melhor fundo. 
✓ Sólido embasamento científico-filosófico.
Modelo de Markowitz: o mau
✓ Só vale para 1 período de tempo.
✓ Estratégia buy–and–hold.
✓ Parâmetros constantes.
✓ Complexidade computacional.
Modelo de Markowitz: o feio
✓ Instabilidade do melhor fundo.
✓ Estimativas confiáveis de retorno esperado são 
muito difíceis de obter.
✓ Falha feio no longo prazo, porque não leva em 
conta o efeito corrosivo do risco sob o retorno.
CAPITAL ASSET
PRICING MODEL
Unidade 3 – Aula 4
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Capital Asset Pricing Model
Em 1964, William Sharpe publicou o artigo
“Capital Asset Prices: A Theory of Market 
Equilibrium under Conditions of Risk”.
William Forsyth Sharpe 
Fonte: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-
sciences/laureates/1990/sharpe-bio.html
Capital Asset Pricing Model
O CAPM é um modelo que combina o modelo de 
Markowitz com a teoria de equilíbrio econômico.
É o principal modelo da teoria financeira, sendo 
amplamente utilizado nos principais mercados de 
todo o mundo, inclusive no Brasil.
Capital Asset Pricing Model: hipóteses
✓ Todos os investidores usam o modelo de Markowitz.
✓ Todos os investidores usam as mesmas estimativas de 
retorno e de risco para todos os ativos.
✓ Todos os investidores têm crédito ilimitado, à taxa de juros 
sem risco, e não pagam custos de transação.
Capital Asset Pricing Model
Sob essas hipóteses, sejam quais forem as suas 
preferências individuais de risco, todos os 
investidores vão aplicar nos mesmos dois ativos: 
o título sem risco e o melhor fundo.
Capital Asset Pricing Model: carteira do mercado
Ora, se todos os investidores aplicam seus 
recursos em ativos de risco da mesma maneira, 
no melhor fundo, então o melhor fundo tem que 
ser igual à carteira formada por todos os ativos 
do mercado, na proporção de seus respectivos 
valores de mercado.
Capital Asset Pricing Model: reta do mercado
Capital 
Market Line
Market 
Portfolio
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Capital Asset Pricing Model: reta do mercado
No Brasil, a reta do mercado de capitais (CML) é 
determinada por dois pontos, correspondentes à 
taxa SELIC e ao índice ibovespa.
Capital Asset Pricing Model: preço do risco
O coeficiente angular da reta do mercado de 
capitais é conhecido como o “preço do risco”. 
Δr
Δσ
Prêmio de Risco:
Δr
Δσ
CRÍTICAS AO CAPM
Unidade 3 – Aula 5
Capital Asset Pricing Model: o bom
✓ Equilíbrio de mercado.
✓ Carteira do mercado.
✓ Capital Market Line (CML).
✓ Preço do risco.
✓ Sólido embasamento científico-filosófico.
✓ Funciona muito bem.
Capital Asset Pricing Model: o mau
✓ Hipóteses difíceis de acreditar. 
✓ Estratégia buy–and–hold.
✓ Parâmetros constantes.
✓ Sem seleção de ativos.
Capital Asset Pricing Model: hipóteses
✓ Todos os investidores 
usam o modelo de Markowitz.
✓ Todos os investidores
usam as mesmas estimativas de retorno e de risco para 
todos os ativos.
✓ Todos os investidores
têm crédito ilimitado, à taxa de juros sem risco, e não 
pagam custos de transação.
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Capital Asset Pricing Model: o feio
✓ Investimento em todos os ativos.
✓ Instabilidade dos betas.
✓ Favorece fortemente aos investidores grandes.
A FÓRMULA DO CAPM
E O BETA DE UM ATIVO
Unidade 3 – Aula 6
Capital Asset Pricing Model: reta do mercado
Se a carteira do mercado é eficiente, então 
nenhuma combinação de ativos pode superar a 
reta do mercado de capitais. 
Nem mesmo a combinação de um ativo com a 
carteira do mercado não pode superar a reta do 
mercado de capitais.
Capital Asset Pricing Model: reta do mercado
Capital 
Market Line
Market 
Portfolio
Ativo
Capital Asset Pricing Model: efeito da covariância
Sharpe mostrou que o ganho de retorno esperado 
de um ativo de risco (diferença entre o retorno 
esperado do ativo e a taxa de juros sem risco) é 
proporcional à covariância do ativo com a carteira 
do mercado (AM).
Capital Asset Pricing Model: beta de um ativo
O  de um ativo é proporcional à covariância do 
ativo com a carteira do mercado e éo parâmetro 
de referência da maioria dos investidores, 
reunindo informações sobre a variância do ativo, 
a variância da carteira do mercado e a correlação 
entre o ativo e a carteira do mercado.
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Capital Asset Pricing Model: a fórmula do CAPM
O retorno esperado de qualquer ativo é:
rA = rf +  (rM - rf)
onde:
 = A M /
2
M
rA = retorno esperado do ativo
rf = retorno do título sem risco (SELIC)
rM = retorno esperado do índice (ibovespa)
Capital Asset Pricing Model: beta de um ativo
Fonte: http://rivanews.com/pulso/beta.php
Capital Asset Pricing Model: fórmula de desconto
A fórmula do CAPM pode ser usada diretamente 
para descontar a valor presente um fluxo de caixa 
F de valor aleatório ocorrendo daqui a um período 
(na mesma unidade das taxas):
E(F)
1+ rf +  (rM - rf)
VP =
Capital Asset Pricing Model: fórmula de desconto
Da mesma maneira, para calcular o valor 
presente de um fluxo de caixa F com valor 
aleatório e ocorrendo daqui a t períodos (na 
mesma unidade das taxas):
E(F)
[1+ rf +  (rM - rf)]
t
VP =
O BETA DE UMA CARTEIRA
DE AÇÕES E O HEDGE COM
ÍNDICE FUTURO
Unidade 3 – Aula 7
Capital Asset Pricing Model: exemplo de carteira
É comum que um fundo de investimento tenha 
uma carteira com inúmeros ativos de risco:
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Capital Asset Pricing Model: beta de uma carteira
O  de uma carteira é simplesmente a média 
ponderada dos ’s dos ativos que a compõem,
usando como pesos a participação de cada ativo 
na composição da carteira:
 = w11 + w22 + w33 + ... +wnn
Capital Asset Pricing Model: beta de uma carteira
O  de uma carteira é usado, por exemplo, para 
fazer o hedge da carteira com índice futuro.
O número N de contratos a ser vendidos para 
fazer o hedge é determinada pelo valor V da 
carteira e por seu :
N =  .V / ibovespa .
O CAPM E A
ESTRUTURA DO
MERCADO FINANCEIRO
Unidade 3 – Aula 8
Capital Asset Pricing Model: preço do risco
Δr
Δσ
Prêmio de Risco:
Δr
Δσ
Capital Asset Pricing Model: análise de risco
Risco Sistêmico
Risco Específico
Ativo
Capital Asset Pricing Model: estrutura do mercado
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Referências bibliográficas
DUARTE JÚNIOR, Antônio Marcos. Gestão de 
Riscos para Fundos de Investimento. São 
Paulo: Pearson, 2008.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática 
Financeira: aplicações à análise de investimentos. 
5 ed. São Paulo: Pearson, 2010.
Referências Iconográficas e Audiovisuais
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