Integrais Duplas: Propriedades e Interpretação Geométrica

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CÁLCULO IV
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
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Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
1- Resolver as primeiras integrais duplas;
2- Reconhecer algumas propriedades das integrais duplas;
3- Analisar o Teorema de Fubini;
4- Avaliar a interpretação geométrica.
1 Introdução
Apresentaremos o conteúdo de integral que envolve calcular integrais duplas e suas propriedades como
extensões naturais da integral de Riemann de funções reais de uma variável real, mostrando assim a importância
da interdisciplinaridade. Esta aula permitirá resgatar conteúdos de disciplinas anteriores e exercitarmos as
primeiras integrais duplas. Ocorrerá constantemente uma interdisciplinaridade dos conhecimentos adquiridos
anteriormente. Verificaremos a interpretação geométrica da integral dupla e acrescentaremos ao conhecimento
das disciplinas de cálculo o Teorema de Fubini.
2 Integrais múltiplas
Nesta aula, aprenderemos integrais múltiplas, mais especificamente integrais duplas.
Contudo, para iniciarmos é necessário recordar a integral já estudada, aí então poderemos estender esse
conhecimento para chegarmos à integral dupla.
Na disciplina de Cálculo, apresentada anteriormente, aprendemos sobre integral definida.
Vamos relembrar?
3 Integral definida
Seja f uma função definida ao menos no intervalo fechado [a,b].
Então, a área com sinal sob o gráfico de f entre x = a e x = b é denotada por:
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Portanto, podemos escrever:
Agora iremos acrescentar um símbolo de integral a esta aprendida anteriormente.
Você sabe o que a Integral dupla terá como notação?
Acertou se você pensou:
Observe que se antes a função era de uma variável f(x), agora estamos trabalhando com duas integrais e,
portanto com funções de diversas variáveis.
No caso deste exemplo a função será f(x,y), denotaremos como z = f(x,y).
Outra observação é o intervalo que antes era fechado em [a,b], agora trabalharemos com a função real f(x,y) e
esta será definida e contínua no retângulo [a,b] x [c,d].
Agora já estamos prontos.
Vamos à interpretação Geométrica da Integral Dupla?
4 Interpretação geométrica da integral dupla
Considere uma função real z = f(x,y) definida e contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d].
O retângulo R pode ser escrito também como:
R = { (x,y) ∈ R | a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d }.2
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É possível que você esteja se perguntando...ambas as notações podem ser usadas?
A resposta é sim, pois estão descrevendo a mesma região.
Antes com a integral definida
nossa região descrevia a área da função y = f(x) no intervalo [a,b].
Geometricamente seria descrita por:
Agora com a integral definida como
suponhamos que f(x, y) ≥ 0 em R, então z = f(x, y) é uma superfície situada acima do retângulo R.
A região que se formará no espaço chamaremos de W e será definida pelo retângulo R e os quatro planos:
• x = a
• x = b
•
•
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• x = b
• y = c
• y = d
Observe a figura abaixo:
Podemos observar que agora a região W estará definindo um volume. Chamaremos este volume de integral
dupla de f sobre R, denotado por:
5 Resolvendo a primeira integral dupla
Vamos voltar ao exemplo anterior.
Se:
• f(x,y) = 1 – x;
• R = [0,1] x [0,1].
...usando a definição de integral dupla aprendida anteriormente escrevemos:
•
•
•
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Onde a é o limite inferior da integral mais externa e b o limite superior da integral mais externa, da mesma forma
c é o limite inferior da integral mais interna e d o limite superior da integral mais interna.
Mas como integrar a integral dupla?
Iniciamos sempre pela integral mais interna, ou seja:
Esta integral será feita como aprendido anteriormente na disciplina de cálculo, usando as mesmas propriedades.
Neste caso teremos:
Agora entramos na segunda etapa da resolução da integral dupla.
É muito simples, pegaremos o resultado da primeira resolução (da integral mais interna) e aplicaremos na
segunda integral, ficará:
Resolvendo esta integral teremos ½ y aplicando os limites de integração teremos como resultado ½ .
Portanto, a integral dupla terá como resultado ½ , podemos escrever então:
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Reparou que a integral dupla nada mais é do que o mesmo processo aprendido na disciplina de Cálculo?
Porém, você estará resolvendo duas vezes o processo de integração.
Portanto todas as propriedades de integral que usava continuará a valer agora na integral dupla.
Passaremos agora para a definição mais rigorosa da integral dupla através do método das somas de Riemann.
Este método foi apresentado anteriormente na disciplina de cálculo para integral de funções de uma variável,
agora estenderemos este teorema a integral dupla.
6 Integral dupla sobre um retângulo
Consideremos P e P duas partições regulares de ordem de [a,b] e [c,d], isto é, divida o intervalo [a,b] e [c,d]
1 2
n 
em partes iguais com:
X X = (b-a) /n;
j+1 j
Y - Y = (d-c)/n.
k+1 k 
Ficando assim:
• P = {X , X , ..., X };
1 0 1 n
• P = {Y . Y , …, Y }.
2 0 1 n
Onde:
• a = X < X <… < X =b;
0 1 n
• c = Y < Y < … < Y = d.
0 1 n
Representando graficamente o produto cartesiano P , x P teremos:
1 2
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Notação: P, x P2 será chamada de partição regular de ordem n do retângulo R. Esta decomposição do retângulo R
gera n sub-retângulos.2
Usando a ideia da soma de Riemann aplicado na disciplina de cálculo anteriormente podemos desenvolver o
raciocínio:
Suponha que z = f(x,y) é uma função real limitada em R.
Se calcularmos a região de cada sub-retângulo e somarmos todos os valores encontraremos a região do
retângulo R.
Quanto mais particionamos a região R, mais retângulos estaremos somando e mais próximo do valor exato
estaremos.
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Agora vamos ver como podemos escrever a soma de Rimann de f sobre R?
Formalmente podemos escrever a soma de Rimann de f sobre R como:
Suponha que:
Z = f (x,y) → é uma função real limita em R
R → é o sub-retângulo [X , X ] x [Y Y ] e
jk j j+1 k, k+1
C → é um ponto qualquer de R
jk jk
A soma será descrita como:
 
Se a sequência das somas de Riemann da função f tem limite s pertencente aos reais quando n tende para o +∞ e
este limite independe da escolha dos pontos c nos subretângulos R dizemos que f é integrável sobre R.
jk jk
Com base neste raciocínio podemos escrever o Teorema:
Toda função contínua definida num retângulo R é integrável sobre R.
Integral dupla sobre um retângulo
Para visualizar a interpretação geométrica da soma de Rimann, aplicada a integral dupla, vamos utilizar
novamente a definição:
Suponha que z = f(x,y) é uma função contínua e positiva num retângulo R = [a,b] x [c,d].
Considere a região W do espaço limitada pelo gráfico de z = f(x,y), o retângulo e os planos x = a, x = b, y = c e y =
d.
Se tomarmos C um ponto de máximo de f(x,y) no sub-retângulo R , então f(C ) ∆x ∆y representa o volume da
jk jk jk
caixa retangular de base R e altura f(C ).
jk jk
Atenção:
Lembre-se: volume da caixa retangular é base vezes altura.
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Repare que quanto mais particionamos a região R mais próximos ao volume real de f(x,y) chegaremos.
Veja:
Observe que:
Utilizando novamente o mesmo raciocínio da disciplina de Cálculo poderemos afirmar que se a função z = f(x,y) é
limitada no retângulo R = [a,b] x [c,d] mas possui um conjunto de pontos de descontinuidade podemos descrever
f como uma união finita de gráficos de funções contínuas, então f continuará a ser integrável sobre R.
Finalmente podemos escrever, baseados no teorema de Riemann, a integral dupla como:
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Lembre-se: dA = dx dy
7 Propriedades
Veremos agora algumas propriedades fundamentais para integral dupla:
Linearidade
Sejam f e g funções integráveis em um retângulo R e ci, c2 constantes reais. Então ci f + c2 g é integrável sobre R.
Podemos escrever:
De uma maneira menos formal podemos dizer que a constante pode sair da integral, ficando apenas a função f(x,
y) para ser integrada.
Monotonicidade
Sejam f e g funções integráveis em um retângulo R e f(x,y) ≥ g(x,y), (x,y) ∈ R, então:
De um jeito menos formal podemos dizer que se conhecemos duas funçõese podemos afirmar que uma é menor
ou igual a outra, esta propriedade será preservada na integral dupla.
Aditividade
Se o retângulo R é subdividido em n retângulos e se f é integrável sobre cada R , i = 1, ..., n, então f é integrável
j
sobre R, podemos escrever:
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Informalmente podemos dizer que se a função possui um conjunto de pontos de descontinuidade poderemos
descrever f como uma união finita de gráficos de funções contínuas, então f continuará a ser integrável sobre R.
8 Teorema de Fubine
Apresentaremos agora esse importante teorema que muitas vezes será fundamental para resolver a integral
dupla.
Vejamos:
Se z = f(x,y) é contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então a integral dupla de f sobre R pode ser
obtida através de integrais iteradas, ou seja:
Observe que quando trocamos a ordem de resolução da integral o diferencial da variável independente muda
junto, ou seja, o dx está amarrado ao limite a < x < b e dy está amarrado a c < y < d.
Além disto observe que ainda será válida a afirmação de que se f é descontínua apenas numa região finita de
gráficos de funções contínuas.
Usando o teorema de Fubini, por exemplo para a função f(x,y) em R = [-1,1] x [0, π/2], podemos escrever:
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EXEMPLO
Antes de dar continuidade a seus estudos, veja um exemplo para entender melhor:
9 Integrais dupla sobre regiões mais gerais
O conceito de integral dupla nas regiões de integração retangulares pode ser estendida para regiões mais gerais,
para isto definiremos:
Seja:
D um subconjunto limitado e fechado do plano xy;
R = [a,b]x[c,d] um retângulo que contém D;
f uma função contínua, portanto limitada em D.
Definimos uma nova função g (limitada) em R por:
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g é contínua, exceto, possivelmente, na fronteira de D.
Se a fronteira de D consiste de um número finito de gráficos de funções continuas, então g é integrável sobre R
conforme definimos anteriormente.
Portanto, definiremos os que trabalharemos com integral dupla.dois tipos de regiões D
O que vem na próxima aula
Na próxima aula, você vai estudar:
• Mudança de Variável na Integral Dupla;
• Aplicações da mudança de variável na Integral Dupla.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Reconheceu integrais duplas;
• Verificou a importância da interdisciplinaridade;
• Utilizou o conhecimento dos cálculos anteriores;
• Visualizou geometricamente a integral dupla;
• Partiu do conhecimento anterior da disciplina de Cálculo para fazer uma extensão para o conteúdo 
aprendido nesta aula;
• Acrescentou ao seu conhecimento o Teorema de Fubini.
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•
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•
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	Olá!
	1 Introdução
	2 Integrais múltiplas
	3 Integral definida
	4 Interpretação geométrica da integral dupla
	5 Resolvendo a primeira integral dupla
	6 Integral dupla sobre um retângulo
	7 Propriedades
	8 Teorema de Fubine
	9 Integrais dupla sobre regiões mais gerais
	O que vem na próxima aula
	CONCLUSÃO