Unidade 1 - Parte 3

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GEOMETRIA 
ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEAR
Prof. Ma. Fernanda Campanha Rejani
GEOMETRIA ANALÍTICA – PLANO
Equação Geral do Plano
Para determinar a equação do plano 𝜋, 
vamos considerar um ponto 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)
pertencente ao plano e o vetor não nulo 𝑛 =
𝑎, 𝑏, 𝑐 normal (ortogonal) ao plano. 
GEOMETRIA ANALÍTICA – PLANO
O plano 𝜋 pode ser definido como sendo o 
conjunto de todos os pontos 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) do espaço 
tais que o vetor 𝐴𝑃 é ortogonal a 𝑛. Logo, o ponto 
𝑃 pertence ao plano 𝜋 se, e somente se:
𝑛 ∙ 𝐴𝑃 = 0.
GEOMETRIA ANALÍTICA – PLANO
Assim, como 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) e 𝐴𝑃 = (𝑥 − 𝑥1, 𝑦 −
𝑦1, 𝑧 − 𝑧1), substituindo na equação anterior 
temos:
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∙ 𝑥 − 𝑥1, 𝑦 − 𝑦1, 𝑧 − 𝑧1 = 0
𝑎 𝑥 − 𝑥1 + 𝑏 𝑦 − 𝑦1) + 𝑐(𝑧 − 𝑧1 = 0
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 − 𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 − 𝑐𝑧1 = 0
GEOMETRIA ANALÍTICA – PLANO
Fazendo −𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 − 𝑐𝑧1 = 𝑑, obtemos a 
equação geral do plano 𝜋:
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎
GEOMETRIA ANALÍTICA – PLANO
Exemplo: Encontre a equação do plano que 
passa pelo ponto 1,−1,2 com vetor normal
𝑛 = 2,−3,1 :
GEOMETRIA ANALÍTICA – PLANO
Equações Paramétricas do Plano
Um ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) pertence ao plano 𝜋, que 
passa por 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e é paralelo a 𝑣1 =
𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 e 𝑣2 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 , se, e somente se, 
existem números reais ℎ e 𝑘 tais que:
𝐴𝑃 = ℎ𝑣1 + 𝑘𝑣2
GEOMETRIA ANALÍTICA – PLANO
Assim, podemos escrever:
ቐ
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎1ℎ + 𝑎2𝑘
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏1ℎ + 𝑏2𝑘
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐1ℎ + 𝑐2𝑘
GEOMETRIA ANALÍTICA – PLANO
Exemplo: Determine as equações paramétricas 
do plano que passa pelo ponto 1,2,1 com os 
vetores paralelos 𝑣1 = 2,3,−1 e 𝑣2 = 5,−7,2 :
ቐ
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎1ℎ + 𝑎2𝑘
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏1ℎ + 𝑏2𝑘
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐1ℎ + 𝑐2𝑘
GEOMETRIA ANALÍTICA – PLANO
Ângulo entre Dois Planos
O menor ângulo 𝜃 formado entre o vetor normal 
𝑛1 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 de 𝜋1 e o vetor normal 𝑛2 =
𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 de 𝜋2, com 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
, é chamado 
ângulo de dois planos e seu cosseno é dado por:
GEOMETRIA ANALÍTICA – PLANO
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑛1 ∙ 𝑛2
𝑛1 𝑛2
GEOMETRIA ANALÍTICA – PLANO
Exemplo: Calcule o ângulo entre os planos 𝑥 +
𝟑𝒚 + 𝟓𝒛 − 𝟕 = 𝟎 e 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝒛 + 𝟓 = 𝟎
GEOMETRIA ANALÍTICA – PLANO
Assim,
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑛1 ∙ 𝑛2
𝑛1 𝑛2
GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA E PLANO
Exemplo: Determine a interseção da reta r com o 
plano p, nos seguintes casos:
a) 
GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA E PLANO
b)