Geometria Análitica - Questõesorientadas

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Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos 
P do plano, tais que a distância em relação a um ponto 
fi xo C (chamado centro) é, também, fi xa e igual a R
(chamado raio).
Considerando o ponto C(xC,yC), o centro da 
circunferência de raio R e o ponto P(x,y) um ponto 
qualquer dessa circunferência, temos que: 
dPC = R
Essa é a chamada equação reduzida da 
circunferência. É utilizada sempre que se deseje 
encontrar a equação de uma circunferência quando 
conhecidos o centro e o raio.
EQUAÇÃO REDUZIDA DA 
CIRCUNFERÊNCIA
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 01 
Associe de maneira correta os itens I, II e III com os itens A, 
B e C. 
I. Circunferência com raio igual a 4 e centro (3,4).
II. Circunferência com raio igual a 2 e centro (2, –1). 
III. Circunferência com raio igual a √5 e centro ( –4,0).
A. (x + 4)2 + y2 = 5
B. (x – 3)2 + (y – 4)2 = 16
C. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4
A I-B, II-C, III-A
B I-C, II-B, III-A
C I-A, II-B, III-C
D I-B, II-A, III-C
E I-A, II-C, III-B
EQUAÇÃO GERAL DA 
CIRCUNFERÊNCIA
A equação geral de uma circunferência é obtida 
desenvolvendo a equação reduzida da seguinte forma:
• (x – xC)
2 + (y – yC)
2 = R2
• x2 – 2.xC.x + xC
2 + y2 – 2.yC.y + yC
2 = R2
• x2 + y2 – 2.xC.x – 2.yC.y + (xC
2 + yC
2 – R2) = 0
Tornando –2.xC = A, –2.yC = B e xC
2 + yC
2 – R2 = C, temos: 
x2 + y2 + A.x + B.y + C = 0
Essa equação é chamada de equação geral da 
circunferência em que o centro é o ponto e o raio 
R é tal que R2 = xC
2 + yC
2 – C. 
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 02 
(UFSM) A massa utilizada para fazer pastéis folheados, 
depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de 
igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da 
circunferência que limita o círculo é x2 + y2 - 4x - 6y - 36 = 
0 e adotando π = 3,14, o diâmetro de cada disco e a área 
da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, 
respectivamente, 
A 7 e 113,04 
B 7 e 153,86 
C 12 e 113,04 
D 14 e 113,04 
E 14 e 153,86 
CAPÍTULO 15.3
CIRCUNFERÊNCIA
MATEMÁTICA
MÓDULO 15CONTEÚDO E ORIENTADAS
927
MÓDULO 15 | 15.3 CIRCUNFERÊNCIA
As equações com a forma x2 + y2 + A.x + B.y + C ≤0 
e x2 + y2 + A.x + B.y + C < 0 representam círculos. A 
primeira representa um círculo fechado (em que a 
circunferência faz parte) e a segunda representa um 
círculo aberto (em que a circunferência não faz parte).
CONDIÇÕES DE VALIDADE DA 
EQUAÇÃO GERAL
Vimos que a equação geral de uma circunferência tem a 
forma x2 + y2 + A.x + B.y + C = 0. Porém, nem toda equação 
com essa forma representa realmente uma circunferência.
Inicialmente, devemos observar que nessa equação:
• os coeficientes de x2 e y2 são iguais;
• não há nenhum termo que multiplique as variáveis x e 
y (termo em x.y).
Note ainda que os coeficientes de x2 e y2 não precisam ser 
iguais a 1 já que a equação toda pode ser multiplicada por 
algum número, porém estes coeficientes devem ser iguais.
Assim, equações como x2 + 3y2 – 8x + 2y + 1 = 0 e x2 + 
y2 + 4xy + 10y – 4 = 0 não representam circunferências, a 
primeira devido ao fato de os coeficientes de x2 e y2 serem 
diferentes e a segunda por possuirem um termo em xy.
Por fim, para que equações com a forma x2 + y2 + A.x + B.y 
+ C = 0 representem circunferência é necessário que R2 = xC
2 
+ yC
2 – C seja um valor positivo.
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 03 
(UFPA) Qual das equações a seguir é uma equação de 
circunferência?
A x2 + y2 + 1 = 0 
B x2 + y2 + 2x + 2y + 4 = 0 
C x2 + y2 + 2xy + 2x + 4y = 64 
D x2 + y2 + 2x – 4y = 0 
E x2 + 2xy + y2 = 32 
QUESTÃO 04 
(UDESC) Para que a equação x2 + y2 – 4x + 8y + K = 0 
represente uma circunferência, devemos ter: 
A K < 20
B K > 13
C K < 12
D K > 12
E K < 10 
Caso R2 seja igual a zero, a equação não representará 
uma circunferência e será satisfeita apenas pelo 
ponto que seria o seu centro e representará no plano 
cartesiano, um conjunto unitário.
Ex: A equação x2 + y2 – 2x + 6y + 10 = 0 representa o 
conjunto {(1, –3)}. 
Caso R2 assuma um valor negativo, a equação 
não representará uma circunferência e não haverá 
nenhum ponto do plano cartesiano que a satisfaça 
sendo, portanto, um conjunto vazio.
Ex: A equação x2 + y2 – 2x + 6y + 14 = 0 representa o 
conjunto vazio. 
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO 
E CIRCUNFERÊNCIA
As imagens a seguir representam a três posições que um 
ponto pode assumir em relação a uma circunferência.
Uma dica extremamente útil para determinar a 
posição que um ponto assume em relação a uma 
circunferência consiste em substituir os valores de x e y 
do ponto na equação da circunferência. Se o resultado 
da substituição for:
• positivo, o ponto é externo.
• negativo, o ponto é interno.
• zero, o ponto pertence à circunferência.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E 
CIRCUNFERÊNCIA
A figura a seguir ilustra as posições que uma reta pode 
assumir em relação a uma circunferência.
d
centro,reta
 > R d
centro,reta
 = R d
centro,reta
 < R
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MÓDULO 15 | 15.3 CIRCUNFERÊNCIA
Para determinar se uma reta é externa, tangente ou 
secante a uma circunferência devemos calcular a distância 
do centro da circunferência à reta (distância entre ponto e 
reta) e comparar essa distância com a medida do raio R.
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 05 
(UFCE) O número de pontos na interseção dos subconjuntos 
do plano cartesiano r = {(x,y) ∈ R2; – x + y + 1 = 0} e c = {(x,y) 
∈ R2; x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0} é: 
A 0
B 1
C 2
D 3
E 4
QUESTÃO 06 
(UNIT) Para que a reta r : y = 2x + b seja tangente à 
circunferência C : x2 + y2 = 4y, o valor da constante b, real, 
deve ser
A 2 - 2√3 ou 2 + 2√3
B 2 - 2√5 ou 2 + 2√5
C 3 - 3√2 ou 3 + 3√2
D 3 - 3√5 ou 3 + 3√5
E 5 - 5√3 ou 5 + 5√3 
Se uma reta r é tangente a uma circunferência no 
ponto P, então o segmento OP é perpendicular à reta r.
Se uma reta s é secante a uma circunferência nos 
pontos P e Q e se o ponto M é ponto médio de PQ, 
então o segmento OM é perpendicular à PQ.
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 07 
(UFRGS) Um círculo tangencia a reta r, como na fi gura a seguir.
O centro do círculo é o ponto (7,2) e a reta r é defi nida pela 
equação 3x – 4y + 12 = 0. 
A equação do círculo é 
A (x – 7)2 + (y – 2)2 = 25
B (x + 7)2 + (y + 2)2 = 25 
C (x – 7)2 + (y + 2)2 = 36
D (x – 7)2 + (y – 2)2 = 36 
E (x + 7)2 + (y – 2)2 = 36 
QUESTÃO 08 
(UNIT) Em um jardim, no canteiro central de forma circular, 
plantam-se fl ores dispostas sobre uma corda MN da 
circunferência K, que cerca o canteiro. Considerando-se a 
equação de K, (x + 1)2 + (y + 1)2 = 16 e P(1,2), ponto médio 
de MN , pode-se afi rmar que a equação da reta que contém 
a corda MN é
A 2x + 3y – 8 = 0
B 2x – 3y + 2 = 0
C 2x – 3y + 4 = 0 
D 3x – 2y + 4 = 0
E 3x + 2y + 4 = 0 
Para encontrar o(s) ponto(s) de interseção entre uma reta e 
uma circunferência, caso existam, basta resolver o sistema 
formado por suas equações. Para tal, isolamos na equação 
da reta uma das variáveis (a que for mais fácil) e substituímos 
na equação da circunferência formando uma equação de 2º 
grau com uma única variável.
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 09 
(PUC-SP) A circunferência λ= x2 + y2 – 4x – 10y + 13 = 0,de 
centro C, e a reta r : x + y – 11 = 0 se interceptam nos pontos 
P e Q. A área do triângulo PCQ, em unidades de área, é 
A 6
B 7
C 8
D 9 
E 10 
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MÓDULO 15 | 15.3 CIRCUNFERÊNCIA
Para encontrar o(s) ponto(s) de interseção entre 
uma circunferência e os eixos coordenados, caso 
existam, basta substituir na equação da circunferência 
x = 0 (interseção com o eixo y) ou y = 0 (interseção com 
o eixo x), formando uma equação de 2º grau com uma 
única variável.
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 10 
(UFRGS) Os pontos de interseção do círculo de equação (x – 
4)2 + (y – 3)2 = 25 com os eixos coordenados são vértices de 
um triângulo. A área desse triângulo é 
A 22.
B 24.
C 25.
D 26.
E 28. 
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS 
CIRCUNFERÊNCIAS
Se duas circunferências não se intersectam, podem ser:Externas Internas
d
C1,C2
 > R
1
 + R
2
d
C1,C2
 < | R
1
 – R
2
 |
Se duas circunferências se intersectam em apenas um 
ponto, podem ser:
Tangentes Externas Tangentes Internas
d
C1,C2
 = R
1
 + R
2
d
C1,C2
 = | R
1
 – R
2
 | 
Se duas circunferências se intersectam em dois pontos, 
então elas serão secantes.
Secantes
| R
1
 – R
2
 | < d
C1,C2
 < R
1
 + R
2
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 11 
(EFOMM) Quanto à posição relativa, podemos classificar as 
circunferências (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9 e x2 + y2 – 8x + 15 = 0 
como
 
A secantes. 
B tangentes internas. 
C tangentes externas. 
D externas. 
E internas. 
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11
GABARITO