Ondas_02de08w

Prévia do material em texto

8/18/2010 
Prof. Ronai Lisboa 
ronailsb@gmail.com 
ONDAS 
AULA 02/08 
OBJETIVOS 
Recordar a equação de onda; 
 
Recordar a velocidade de propagação de onda numa corda; 
 
Analisar as velocidades de propagação de ondas em diferentes meios; 
 
Enunciar o princípio de superposição (PS) de ondas; 
 
Reconhecer o PS como uma interferência de ondas; 
 
Estudar a reflexão de ondas conforme as condições de contorno; 
 
Estudar a reflexão e tranmissão de ondas numa descontinuidade do meio. 
EQUAÇÃO DE ONDA 
 A equação de onda para a pertubação abaixo 
𝜕2𝜓(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝜓(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡2
 
Vimos que: 
 
• 𝑣 é a velocidade de propagação de onda; 
• 𝑣 depende do meio de propagação. 
 Em geral, 
𝑣 =
𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
 
𝐹𝑇
𝜕2𝜓
𝜕𝑥2
= 𝜇
𝜕2𝜓
𝜕𝑡2
 
 
=ݒ
𝐹𝑇
𝜇
 
é a velocidade de propagação 
 de onda numa corda. 
EQUAÇÃO DE ONDA 
A velocidade de propagação do som num fluido 
A partir das Leis de Newton, a equação de onda ( equação de movimento ) 
A análise dimensional da razão 𝐵/𝜌 permite concluir que 
=ݒ
𝐵
𝜌
 
𝜌
𝜕2𝜓
𝜕𝑥2
=𝐵
𝜕2𝜓
𝜕𝑡2
 
 𝑣 =
𝛾𝑝
𝜌
 
𝑣 =
𝛾𝑅𝑇
𝑀
 
Equação de onda/pulso 
AR: 
 
P = 1,03 x 105 N/m2 T = 293 K 
 
𝜌 = 1,293 Kg /m3 M = 29 x 10-3 kg/mol 
 
 𝛾 = 1,4 
 
 R = 8,314 J / mol.k 
 
𝑣 =
𝛾𝑝
𝜌
= 331 𝑚/𝑠 𝑣 =
𝛾𝑅𝑇
𝑀
= 342𝑚/𝑠 
ÁGUA: B = 2,2 x 109 N/m2 
 𝜌 = 103 kg/m3 
=ݒ
𝐵
𝜌
= 1482𝑚/𝑠 
 
Equação de onda/pulso 
A velocidade de propagação de ondas elásticas numa haste 
A velocidade de propagação de ondas elásticas numa mola 
A velocidade de propagação na superfície de um líquido 
𝑣 =
𝑌
𝜌
 Y é o módulo de Young. 
ρ é a densidade do material. 
𝑣 =
𝜅 (𝐿 − 𝐿0)
𝑚
 
𝜅 é a constante elástica. 
𝐿 é o comprimento; 
𝑚 é a massa. OBS: 𝑇 = 𝑘𝐿 
𝑣 =
𝑔𝜆
2𝜋
+
2𝜋𝜏
𝜚𝜆
 
λ é o comprimento de onda; 
τ é a tensão superficial. 
Equação de onda 
A velocidade de propagação eletromagnética no vácuo 
𝑐 =
1
𝜖0𝜇0
 
A velocidade de propagação eletromagnética num dielétrico 
𝑣 =
𝑐
𝑛
 
𝜖0 = 8.854 x 10-12 F.m-1 
𝜇0 = 4𝜋 x 10
-7 H.m-1 
n é o índice de refração 
A velocidade de propagação na superfície de um líquido (limites) 
𝑣 =
𝑔𝜆
2𝜋
 λ é o comprimento de onda; 𝑣 =
2𝜋𝜏
𝜚𝜆
 gravidade capilares 
Mensagem 
Onda é uma pertubação ou variação que transfere energia progressivamente 
de um ponto ao outro em um meio que pode ter a forma de uma deformação 
elástica ou de uma variação de pressão, ou intensidade dos campos elétricos e 
magnéticos, ou temperatura. 
 
A solução da equação de onda 
𝜕2𝜓
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝜓
𝜕𝑡2
 
A solução da equação diferencial 
Requer condições iniciais: 
 
- O deslocamento inicial 
ψ 𝑥, 𝑡 = 𝑐1𝑦1 𝑥, 𝑡 + 𝑐2𝑦2 𝑥, 𝑡 
Ψ 𝑥, 0 = 𝑓0(𝑥) 
𝜕Ψ(𝑥, 0)
𝜕𝑡
= 𝑔1(𝑥) 
Ψ 0, 𝑡 = Ψ 𝐿, 𝑡 = 0 
- A velocidade inicial 
E as condições de contorno (exemplo): 
A solução geral será do tipo 
A solução da equação de onda 
O princípio de superposição: 
Qualquer combinação linear de soluções também é uma solução: 
Solução: 
ψ 𝑥, 𝑡 = 𝑐1𝑦1(𝑥, 𝑡) + 𝑐2𝑦2(𝑥, 𝑡) 
𝜕2ψ
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2ψ
𝜕𝑡2
 
𝜕2
𝜕𝑡2
Ψ 𝑥, 𝑡 = 𝑐1
𝜕2𝑦1
𝜕𝑡2
+ 𝑐2
𝜕2𝑦2
𝜕𝑡2
 
𝜕2
𝜕𝑥2
Ψ 𝑥, 𝑡 = 𝑐1
𝜕2𝑦1
𝜕𝑥2
+ 𝑐2
𝜕2𝑦2
𝜕𝑥2
 
Um pulso passa pelo outro 
após a “colisão”, 
prosseguindo como se nada 
tivesse acontecido 
Há uma interferência que 
poderá ser construtiva ou 
destrutiva. 
Caso 1 
Suponhamos que a corda sofra um deslocamento inicial, 
 
 𝑓0 𝑥 ≠ 0 
e seja solta do repouso, 
 𝑔1 𝑥 = 0 
Solução do problema: 
Ψ 𝑥, 𝑡 = 
1
2
[𝑓0 𝑥 − 𝑣𝑡 + 𝑓0 𝑥 + 𝑣𝑡 ] 
Caso 2 
O que ocorre quando o pulso atinge a extremidade fixa de uma corda muito longa ? 
Solução geral: 
Ψ 𝑥, 𝑡 = 𝑓 𝑥 − 𝑣𝑡 + 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡) 
A condição de contorno: 
Ψ 0, 𝑡 = 0 , ∀ 𝑡 
As condições iniciais: 
𝑓 𝑥 − 𝑣𝑡 = 0 
𝑔 𝑥 + 𝑣𝑡 ≠ 0 
Ψ 𝑥, 𝑡 = −𝑔 𝑣𝑡 − 𝑥 + 𝑔(𝑣𝑡 + 𝑥) 
O pulso reflete invertido. Na reflexão numa extremidade fixa há uma inversão do pulso. 
Solução do problema: 
Link 
http://www.youtube.com/watch?v=LTWHxZ6Jvjs
Caso 3 
O que ocorre quando o pulso atinge a extremidade livre de uma corda muito longa? 
Solução geral: 
Ψ 𝑥, 𝑡 = 𝑓 𝑥 − 𝑣𝑡 + 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡) 
A condição de contorno: 
𝜕
𝜕𝑥
Ψ 0, 𝑡 = 0, ∀ 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 
Daí: 
𝑓′ 0 − 𝑣𝑡 + 𝑔′ +𝑣𝑡 = 0, ∀t 
Ψ 𝑥, 𝑡 = +𝑔 𝑣𝑡 − 𝑥 + 𝑔(𝑣𝑡 + 𝑥) 
O pulso reflete sem inversão. Na reflexão numa extremidade livre não há inversão do pulso 
Solução do problema: 
Link 
http://www.youtube.com/watch?v=aVCqq5AkePI
Caso 2 e 3: compare ! 
Link 
http://www.youtube.com/watch?v=1GyiHMj67JE
Reflexão e Transmissão 
O que ocorre com o pulso sobre a fronteira onde há uma descontinuidade do meio ? 
𝑟 =
𝑣2 − 𝑣1
𝑣2 + 𝑣1
=
𝑕𝑟
𝑕𝑖𝑛
 𝑡 =
2𝑣2
𝑣2 + 𝑣1
=
𝑕𝑡
𝑕𝑖𝑛
 
O pulso transmitido nunca é invertido e o pulso refletido é invertido se v2 < v1. 
O pulso será refletido e transmitido dependendo das velocidades de propagação. 
=ݒ
𝑇
𝜇
 
Leitura e exercícios recomendados 
Para a aula 02/08 
Tipler – Vol.1, 8a. Edição: 
 
Leitura – Cap. 15 – Seção 15-4 ( até página 521); 
 
Exemplos resolvidos das Seções: 15-4 
 
Exercícios: Cap. 15 (Link) 
 68,69*,70,71* 
 
Leitura complementar 
Moyses Nussenzveig – Vol.2, 3a. Edição: 
 Cap.5 – Seções 5-3, 5-4, 5-6* 
(*) Fortemente recomendados. 
http://dl.dropbox.com/u/5006597/PFTO/Exercicios/cap15.pdf
PRÓXIMA AULA 
Próxima aula .... 
 
 
Ondas harmônicas