PC_2020-2_EP13_Exponencial-Logaritmo

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Pré-Cálculo 2020-2 EP 13 1 de 14 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
EP 13 – Função Exponencial e Função Logaritmo 
____________________________________________________________________________ 
Caro aluno 
As funções de hoje são muito importantes: exponencial e logaritmo. 
Os logaritmos foram introduzidos no século XVII e deram aos cientistas da época um poder de cálculo 
até aquele momento inimaginável. A função exponencial tem uma grande importância nas aplicações da 
ciência, da engenharia, da sociedade. Questões como crescimento populacional, crescimento 
bacteriano, pandemia, decaimento radiativo, rendimento de dinheiro envolvem essas funções. 
Podemos dizer ainda mais, a exponencial é consequência dos logaritmos. O aparecimento do logaritmo 
ocorreu no começo do século XVII onde as grandes navegações, comércios, empréstimos de dinheiros 
exigiam cálculos muito laboriosos, portanto, havia uma necessidade na época para que esses cansativos 
cálculos fossem simplificados. A essência era substituir complicados cálculos de multiplicação e divisão, 
por operações mais simples como a soma e a subtração respectivamente. 
Os dois matemáticos que desenvolveram os logaritmos foram o suíço Jobst Bürgi (1552-1632) e o 
escocês John Napier (1550-1617) cujos trabalhos foram desenvolvidos independentemente. 
Orientação de estudo da Semana 13: 
É muito importante que vocês leiam a Aula 31 – Funções exponencial e logaritmo do Módulo 4, 
Volume II que trata com detalhe essas funções. 
Vamos apresentar aqui apenas um resumo das principais características dessas funções. 
Observação sobre o EP12, ainda não disponibilizado. 
Na semana 16 será disponibilizado o EP12, cujo conteúdo é Função Potência de Expoente Racional: 
domínio, propriedades e gráficos. Esse tópico é do programa da disciplina, mas não será cobrado neste 
período por causa de ajustes no calendário devido à pandemia. Disponibilizaremos esse material para 
que o aluno possa estudar o conteúdo quando precisar do mesmo. 
 
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Função exponencial 
Em geral, uma função exponencial de base 𝒂 é uma função da forma: 
 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 , 𝒂 ∈ ℝ , 𝒂 > 0 , 𝑎 ≠ 1, 𝑥 ∈ ℝ 
O domínio de 𝒇 são os números reais, 𝑫𝒐𝒎 (𝒇) = ℝ. 
O que significa 𝒂𝒙? 
Se 𝑥 = 𝑛 , um inteiro positivo, então 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × ……× 𝑎⏟ 
𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
 
Se 𝑥 = 0 , 𝑎0 = 1 
Se 𝑥 = −𝑛 , onde 𝑛 é um inteiro positivo, então 𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
 
Se 𝑥 =
𝑝
𝑞
 , um número racional, onde 𝑝 e 𝑞 são números inteiros e primos entre si e 𝑞 > 0, então 𝑎𝑥 = 𝑎
𝑝
𝑞 =
 √𝑎𝑝
𝑞
 = (√𝑎
𝑞
)
𝑝
 
Essas propriedades nós já conhecemos, agora, nos perguntamos: o que significa 𝑎√2 , 𝑎𝜋 ? 
O que significa 𝒂𝒙 , quando 𝒙 é um número irracional? 
Nesse momento, vocês terão que acreditar que esses números existem! Explicar o significado de 
3√2 , 2𝜋 exige conceitos que serão abordados nas disciplinas de Cálculo: infinito, limite, limites de 
sequência. Mas não se preocupem, isso não nos impedirá de estudar a função exponencial e a função 
logaritmo. 
Temos que; 
 
 
 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 , 𝒂 > 1 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 , 𝟎 < 𝑎 < 1 𝒇(𝒙) = 𝟏𝒙 = 𝟏 
 função crescente, injetora função decrescente, injetora função constante 
 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = ℝ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = ℝ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = ℝ 
 𝑰𝒎(𝒇) = (𝟎 , +∞) 𝑰𝒎(𝒇) = (𝟎 , +∞) 𝑰𝒎(𝒇) = {𝟏} 
 
Observamos que a função 𝒇(𝒙) = 𝟏𝒙 = 𝟏 foi colocada aqui apenas para compararmos os gráficos, ela 
não é considerada função exponencial, lembre que na definição de 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙, a base 𝒂 deve ser 
positiva e diferente de 1. 
Nos gráficos das funções 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 , 𝒂 > 1 e 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 , 𝟎 < 𝑎 < 1 observamos que: 
• a imagem de 𝑓é o intervalo (0,∞). 
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• para 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 , 𝒂 > 1, quanto mais 𝒙 decresce, tornando-se cada vez mais negativo, mais o 
valor da ordenada 𝒂𝒙 aproxima-se de zero. 
• para 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 , 𝟎 < 𝑎 < 1 , quanto mais 𝒙 cresce, mais o valor da ordenada 𝒂𝒙 aproxima-se 
de zero. 
• o gráfico de 𝑓 tem concavidade para cima. 
 
As principais propriedades da função exponencial: 
Se as constantes 𝒂 e 𝒃 são números reais positivos e diferentes de 1, 𝒙 e 𝒚 números reais 
quaisquer, então 
1. 𝑎0 = 1 𝑎1 = 𝑎 
2. 𝑎𝑥 > 0 , para todo 𝑥 ∈ ℝ 
3. 𝑎𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = 0 
4. 𝑎𝑥+𝑦 = 𝑎𝑥𝑎𝑦 5. 𝑎𝑥−𝑦 =
𝑎𝑥
𝑎𝑦
 
6. (𝑎𝑥)𝑦 = 𝑎𝑥𝑦 7. (𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥𝑏𝑥 
8. 𝑎 < 𝑏 e 𝑥 > 0 ⇒ 𝑎𝑥 < 𝑏𝑥 
9. 𝑎 > 1 e 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦 . Isto significa que 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 , 𝒂 > 1 é uma função crescente 
10. 0 < 𝑎 < 1 e 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑎𝑥 > 𝑎𝑦. Isto significa que 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 , 𝟎 < 𝑎 < 1 é uma função 
decrescente 
11. 𝒂𝒙 = 𝒂𝒚 ⟺ 𝒙 = 𝒚 
 
 
 
Vamos esboçar alguns gráficos da 
“família” 𝒚 = 𝒂𝒙 
 
 
Domínio = ℝ = (−∞,∞) 
 
Imagem = (0,∞). 
 
 
 
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A propriedade 8 anterior diz que 𝒂 < 𝑏 e 𝒙 > 0 ⇒ 𝒂𝒙 < 𝒃𝒙 . 
Do gráfico podemos observar que para 
 𝒙 > 0 , (
1
7
)
𝑥
 < (
1
4
)
𝑥
 < (
1
2
)
𝑥
 < (
3
2
)
𝑥
 < 2𝑥 < 4𝑥 < 9𝑥 
e 
𝒙 < 0 , (
1
7
)
𝑥
> (
1
4
)
𝑥
> (
1
2
)
𝑥
> (
3
2
)
𝑥
> 2𝑥 > 4𝑥 > 9𝑥 
Lembre que 
1
7
< 
1
4
 <
1
2
< 
3
2
< 2 < 4 < 9 
 
É importante não confundir 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 (função exponencial de base constante 𝒂) com 𝒈(𝒙) = 𝒙𝒂 
(função potência de expoente constante 𝒂). 
Como exemplo vamos comparar graficamente as funções 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 e 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐. 
A função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 é uma exponencial de base 2 e a função 𝑔(𝑥) = 𝑥2 é uma função polinomial de 
grau 2 , ou seja, uma função potência de expoente 2. 
Para 𝒙 = 𝟐 , 𝒇(𝟐) = 𝟐𝟐 = 𝟒 = 𝒈(𝟐) e para 𝒙 = 𝟒 , 𝒇(𝟒) = 𝟐𝟒 = 𝟏𝟔 = 𝟒𝟐 = 𝒈(𝟒) . 
Portanto, os pontos (2 , 4) 𝑒 (4,16) são pontos dos gráficos das funções 𝑓 e 𝑔 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dos gráficos dessas funções, observamos que essas funções têm um outro ponto em comum, cuja 
abscissa 𝑥1 é tal que −1 < 𝑥1 < 0. Não é possível determinar essa abscissa 𝑥1, mas existem resultados 
que garantem a existência desse ponto de interseção e formas de dar uma boa aproximação desse 
valor. 
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Também não é possível provarmos aqui, mas é verdade e podemos observar nos gráficos que: 
✓ para 𝑥 ∈ (−∞ , 𝑥1) , 𝒙
𝟐 > 𝟐𝒙 
✓ para 𝑥 ∈ ( 𝑥1 , 2) , 𝒙
𝟐 < 𝟐𝒙 
✓ para 𝑥 ∈ ( 2 , 4) , 𝒙𝟐 > 𝟐𝒙 
✓ para 𝑥 ∈ (4 , +∞) , 𝒙𝟐 < 𝟐𝒙 
 
Vamos nos concentrar na função exponencial com uma base especial. A função 𝒇(𝒙) = 𝒆
𝒙, onde 𝒆 é 
chamada de "constante de Napier" ou "número de Néper", é o número irracional, cuja aproximação 
com 9 casas decimais é: 2,718281828. A função 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙, por várias razões não explicáveis aqui, é a 
mais importante para a modelagem de fenômenos naturais, físicos e econômicos. Vocês verão nas 
próximas disciplinas de Cálculo que as fórmulas de Cálculo ficam muito mais simplificadas quando 
usamos a base " 𝒆". 
Vamos lembrar aqui as características mais importantes dessa função 
A função 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙: 
 𝒇 ∶ ℝ → (𝟎 , +∞) 
 𝑥 ↦ 𝑒𝑥 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = (0 , +∞) 
Como 𝑒 > 1, a função 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 é crescente e o seu gráfico 
tem concavidade para cima. 
Você pode encontrar a notação: 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 = 𝒆𝒙𝒑(𝒙). 
 
Importante: 
 𝑒𝑥 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ .𝑒𝑥 > 𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ . 
 𝑒0 = 1 . 
 𝑒𝑥+𝑦 = 𝑒𝑥𝑒𝑦 , ∀ 𝑥 , 𝑦 ∈ ℝ ou em outra notação exp(𝑥 + 𝑦) = exp(𝑥) exp(𝑦) . 
 
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Como 2 < 𝑒 < 3 então 2𝑥 < 𝑒𝑥 < 3𝑥 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico de 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 e suas importantes reflexões: 
𝑦 = 𝑓(−𝑥) = 𝑒−𝑥 . Reflexão em torno do eixo 𝒚. 
𝒚 = −𝒇(𝒙) = −𝒆𝒙 . Reflexão em torno do eixo 𝒙 
𝒚 = −𝒇(−𝒙) = −𝒆−𝒙. Reflexão em torno do eixo 𝒚, 
 seguida de uma reflexão em torno do eixo 𝒙. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝒚 = −𝒆𝒙 𝒚 = 𝒆−𝒙 
 𝑫𝒐𝒎 = ℝ 𝑰𝒎 = (−∞, 𝟎) 𝑫𝒐𝒎 = ℝ 𝑰𝒎 = (𝟎,+∞) 
 
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𝒚 = −𝒆−𝒙 
𝑫𝒐𝒎 = ℝ 𝑰𝒎 = (−∞, 𝟎) 
 
 
A função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 , 𝑓: ℝ ⟶ (0,∞) é um a um, basta observar o seu gráfico e ver que ele 
atende o “Teste da Reta Horizontal”. Portanto, a função exponencial de base 𝒂 é inversível. 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 , 𝒂 > 1 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 , 𝟎 < 𝑎 < 1 
 função crescente, injetora função decrescente, injetora 
Vamos ver alguns exemplos 
Exemplo 1: Resolva em ℝ , a equação (125)𝑥 = 0,04 
Solução: 
(125)𝑥 = 0,04 ⟺ (53)𝑥 = 4 × 10−2 ⟺ 53𝑥 = 
4
100
= 
1
25
 ⟺ 53𝑥 = 5−2 
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟. 11.
⇔ 
 3𝑥 = −2 ⟺ 𝑥 = −
2
3
 . O conjunto solução é {− 
2
3
 }. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exemplo 2: Resolva em ℝ , a inequação (0,2)𝑥−2 > 1 
Solução: 
(0,2)𝑥−2 > 1 ⟺ (0,2)𝑥−2 > (0,2)0. Como a base 0,2 é tal que 0 < 0,2 < 1 então a exponencial é 
decrescente e, portanto, 𝑥 − 2 < 0. Logo, 𝑥 < 2 . 
Assim, o conjunto solução é (−∞ , 2). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
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Exemplo 3: Resolva em ℝ , a equação 2 × 5𝑥 + 3 × 5𝑥+1 = 425 
Solução: 
2 × 5𝑥 + 3 × 5𝑥+1 = 425 ⟺ 2 × 5𝑥 + 3 × 5𝑥 × 5 = 17 × 52 ⟺ 5𝑥(2 + 15) = 17 × 52 ⟺
 5𝑥 = 52 ⇒ 𝑥 = 2 . O conjunto solução é { 2 }. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exemplo 4: Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑒−𝑥 − 2 . Use transformações em gráficos para esboçar o 
gráfico da função 𝑓 e esboce a sequência de gráficos que você usou até encontrar esse gráfico. Descreva 
em palavras as transformações ocorridas. 
Solução: 
Uma possível sequência de transformações é: 
 𝑦 = 𝑒𝑥 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜
 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑦 
→ 𝑦 = 𝑒−𝑥 
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: 
1
2
 
→ 𝑦 =
1
2
𝑒−𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑒
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 
 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑒−𝑥 − 2 
 
 
 
 
 
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: 
1
2
 
→ 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜
 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑦 
→ 
 
 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑒
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 
 
 
 
 
 
 
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Função logaritmo 
 
Como vimos anteriormente a função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 com 𝒂 ∈ ℝ , 𝒂 > 0 , 𝑎 ≠ 1 é inversível. 
Portanto, existe uma função inversa 𝒇−𝟏, chamada função logaritmo na base 𝒂 , denotada por 𝒍𝒐𝒈𝒂. 
Como 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = (0 , +∞) então 
 𝑫𝒐𝒎(𝒇−𝟏) = (𝟎 , +∞) e 𝑰𝒎(𝒇−𝟏) = ℝ ou seja, 
 
𝑫𝒐𝒎(𝒍𝒐𝒈𝒂) = (𝟎 , +∞) e 𝑰𝒎(𝒍𝒐𝒈𝒂) = ℝ 
 
Como 𝑓−1(𝑥) = 𝑦 ⇔ 𝑓(𝑦) = 𝑥 então 
 𝒍𝒐𝒈𝒂(𝒙) = 𝒚 , 𝒙 ∈ (𝟎 , +∞) ⇔ 𝒂
𝒚 = 𝒙 , 𝒚 ∈ ℝ 
Por exemplo, 
 𝑙𝑜𝑔10(0,0001) = −4 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 10
−4 = 0,0001 
 
Assim, 
 𝒍𝒐𝒈𝒂(𝟏) = 𝟎 já que 𝒂
𝟎 = 𝟏 
 
Sabemos que: 𝑓(𝑓−1(𝑥) = 𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) 
 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 
Portanto, 
𝒂𝒍𝒐𝒈𝒂(𝒙) = 𝒙 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 > 0 
𝒍𝒐𝒈𝒂(𝒂
𝒙) = 𝒙 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ∈ ℝ 
 
 
Gráficos de 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝒂(𝒙) com vários valores da 
base 𝑎 > 1. 
 
 
 
 
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As principais propriedades da função logaritmo: 
Seja 𝒂 ∈ ℝ , 𝒂 > 0 , 𝑎 ≠ 1. Se 𝑥 e 𝑦 .forem números positivos, então 
 
1. 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥 ) + 𝑙𝑜𝑔𝑎( 𝑦) 
A função logaritmo nos transporta do mundo da multiplicação para o mundo da adição. 
2. 𝑙𝑜𝑔𝑎 (
𝑥
𝑦
) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥 ) − 𝑙𝑜𝑔𝑎( 𝑦) 
3. 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥
𝑟) = 𝑟𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥 ) (onde 𝑟 é qualquer número real) 
4. 𝑎 > 1 𝑒 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥 ) < 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑦 ). Isto significa que 𝒇(𝒙) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥 ) , 𝒂 > 1 
é uma função crescente. 
5. 0 < 𝑎 < 1 𝑒 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥 ) > 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑦 ). Isto significa que 𝒇(𝒙) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥 ) , 𝟎 < 𝑎 < 1 
é uma função decrescente. 
6. 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒚 ⟺ 𝒙 = 𝒚 
 
Mudança de base: 
Para 𝑎, 𝑏 > 0 e diferentes de 1 e se 𝑥 > 0, vale a seguinte fórmula de mudança de base: 
loga 𝑥 =
logb 𝑥
logb 𝑎
 
 
 
Vamos falar agora do Logaritmo Natural 
Logaritmo na base 𝒆 é chamado de logaritmo natural ou 
logaritmo neperiano e têm uma notação especial : 
 𝒍𝒐𝒈𝒆(𝒙) = 𝒍𝒏(𝒙). 
 
 
Vamos reunir aqui, importantes informações sobre o Logaritmo Natural 
1. A função logaritmo está definida para os números reais positivos, isto é, domínio = (0,∞). 
2. 𝑙𝑛 𝑥 pode ser um número positivo, negativo ou nulo, isto é, imagem = (−∞,∞). 
3. 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑦 , 𝑥 ∈ (0 , +∞) ⇔ 𝑒𝑦 = 𝑥 , 𝑦 ∈ ℝ 
4. 𝑙𝑛(𝑒𝑥) = 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝒙 ∈ ℝ 
5. 𝑒𝑙𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 > 0 
6. 𝑙𝑛 1 = 0 e 𝑙𝑛 𝑒 = 1 . 
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7. 𝑙𝑛 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 1 e 𝑙𝑛 𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = 𝑒 
8. 𝑙𝑛 𝑥 > 0 ⇔ 𝑥 > 1 e 𝑙𝑛 𝑥 < 0 ⇔ 0 < 𝑥 < 1 
9. Se 0x e 0y , então: 𝑙𝑛(𝑥 𝑦) = 𝑙𝑛(𝑥 ) + 𝑙𝑛( 𝑦) 
 𝑙𝑛 (
𝑥
𝑦
) = 𝑙𝑛(𝑥 ) − 𝑙𝑛( 𝑦) 
 𝑙𝑛(𝑥𝑟) = 𝑟𝑙𝑛(𝑥 ) (onde 𝑟 é qualquer número real) 
10. Se 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 e se 𝑥 > 0 então loga 𝑥 =
ln 𝑥
ln 𝑎
 (mudança de base) 
11. Se 0x e 0y , então: ln 𝑥 = ln 𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑦 
 
 
O gráfico de 𝒈(𝑥 ) = 𝒍𝒏 (𝒙) e suas importantes reflexões: 
 
𝒚 = 𝒈(−𝑥 ) = 𝐥𝐧(−𝒙). Reflexão em torno do eixo 𝒚 
𝒚 = −𝒈(𝑥 ) = − 𝐥𝐧(𝒙) . Reflexão em torno do eixo 𝒙 
𝒚 = −𝒈(−𝑥 ) = − 𝐥𝐧(−𝒙) . Reflexão em torno do eixo 𝒚 , seguida de uma reflexão em torno do eixo 𝒙. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Mais exemplos envolvendo logaritmo e exponencial. 
Exemplo 5: Encontre 𝑥 sendo que 𝑙𝑛(𝑥) = −3. 
Solução: 
Sabemos que 𝑙𝑛(𝑥) = −3 ⇔ 𝑒−3 = 𝑥 . Logo, 𝑥 = 𝑒−3. 
Uma outra forma de resolver essa questão é: 
𝑙𝑛(𝑥) = −3 ⇔ 𝑒𝑙𝑛(𝑥) = 𝑒−3 ⇔𝑥 = 𝑒−3 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exemplo 6: Resolva em ℝ , 𝑒√𝑥−1 = 5 
Solução: 
Para que a raiz quadrada possa ser calculada é preciso que 𝑥 − 1 ≥ 0 , ou seja 𝑥 ≥ 1. 
𝑒√𝑥−1 = 5 ⟺ 𝑙𝑛(𝑒√𝑥−1 ) = 𝑙𝑛(5) ⟺ √𝑥 − 1 = 𝑙 𝑛(5) ⇒ 𝑥 − 1 = 𝑙𝑛 2(5) 
 ⇒ 𝑥 = 1 + 𝑙𝑛 2(5) . Sabemos que 𝑙𝑛 2(5) ≥ 0 ⟹ 1 + 𝑙𝑛 2(5) ≥ 1, logo 1 + 𝑙𝑛 2(5) é solução. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exemplo 7: Resolva em ℝ , (
1
3
)
𝑥
<
1
81
 
Solução: 
(
1
3
)
𝑥
<
1
81
 ⟺ (
1
3
)
𝑥
<
1
34
 ⟺ (
1
3
)
𝑥
< (
1
3
)
4
 Como a base é menor que 1 , então a exponencial é 
decrescente e portanto, 𝑥 > 4 . O conjunto solução é 𝑆 = (4 , +∞). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exemplo 8: Resolva em ℝ , 𝑙𝑛(𝑥2 − 1) = 2 
Solução: 
𝑙𝑛(𝑥2 − 1) = 2 ⟺ 𝑒𝑙𝑛(𝑥
2−1) = 𝑒2 ⟺ 𝑥2 − 1 = 𝑒2 ⟺ 𝑥2 = 1 + 𝑒2 ⟺ 
𝑥 = √1 + 𝑒2 𝑜𝑢 𝑥 = − √1 + 𝑒2 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exemplo 9: Estude o sinal da função , 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(2 − 𝑥2) 
Solução: 
Para que 𝑙𝑛(2 − 𝑥2) possa ser calculado é preciso que 2 − 𝑥2 > 0 . 
Mas, 2 − 𝑥2 > 0 ⇔ 𝑥2 < 2 ⇔ √ 𝑥2 < √2 ⇔ | 𝑥 | < √2 ⇔ −√2 < 𝑥 < √2 . 
Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−√2 , √2 ) 
Sabemos que, 𝑙𝑛 (𝑢) > 0 ⇔ 𝑢 > 1 , logo 
▪ 𝑙𝑛(2 − 𝑥2) > 0 ⇔ 2 − 𝑥2 > 1 ⇔ 1 > 𝑥2 ⇔ 𝑥2 < 1 ⇔ −1 < 𝑥 < 1 . 
Levando em consideração que, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−√2 , √2 ) , concluímos que, 
▪ 𝑙𝑛(2 − 𝑥2) < 0 ⇔ 𝑥 ∈ (−√2 , −1) ∪ (1 , √2 ). 
e 
▪ 𝑙𝑛(2 − 𝑥2) = 0 ⇔ 2 − 𝑥2 = 1 ⇔ 𝑥2 = 1 ⇔ 𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = 1 . 
 
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Exemplo 10: Resolva as equações: 
a) 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑙𝑛 (𝑥 − 3) = 2𝑙𝑛 (2) b) 3𝑥−5 = 7 
Solução: 
a) Para que a propriedade a seguir, ln(𝑥) + ln(𝑥 − 3) = ln(𝑥(𝑥 − 3)) possa ser aplicada é preciso 
que 𝑥 > 0, 𝑥 − 3 > 0 𝑒 𝑥(𝑥 − 3) > 0. Mas 𝑥 > 0, 𝑥 − 3 > 0 ⟹ 𝑥(𝑥 − 3) > 0 . 
Assim, basta 𝑥 > 0, 𝑥 − 3 > 0 , ou seja, é preciso que 𝑥 > 3. 
 
Resolvendo a equação, 
ln(𝑥) + ln (𝑥 − 3) = 2 ln 2 
ln(𝑎)+ln(𝑏)=ln (𝑎𝑏)
⇒ ln(𝑥(𝑥 − 3)) = 2 ln 2 
𝑟 ln𝑎=𝑙𝑛(𝑎𝑟)
⇔ ln(𝑥2 − 3𝑥) = ln 22 
 ⟺ 𝑥2 − 3𝑥 = 4 ⟺ 𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0 ⟺ 𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = 4 
Verificando se as possíveis soluções satisfazem a condição inicial, 
𝑥 = −1 < 3, logo 𝑥 = −1 não é solução. 
𝑥 = 4 > 3, logo 𝑥 = 4 é solução. 
Portanto, a única solução é 𝑥 = 4. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
b) 3𝑥−5 = 7 
 𝑎>0, 𝑏>0, 𝑎=𝑏 ⟺ ln𝑎=ln𝑏 
⇔ ln(3𝑥−5) = ln 7 
𝑙𝑛(𝑎𝑟)=𝑟 ln𝑎
⇔ (𝑥 − 5) ln 3 = ln 7 ⟺ 
 𝑥 − 5 =
ln 7
ln 3
 ⟺ 𝑥 = 5 +
ln 7
ln 3
. 
Única solução: 𝑥 = 5 +
ln 7
ln 3
. 
E agora, aos exercícios: 
_____________________________________________________________________________________ 
 
Exercício 1: Faça o que se pede: 
a) Resolva em ℝ a seguinte equação 3. 2𝑥+3 = 192. 3𝑥−3. 
b) Se 𝑥 ∈ ℝ e 2𝑥 + 2−𝑥 = 10 , encontre o valor de 4𝑥 + 4−𝑥 . 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 2: Resolva em ℝ as seguintes inequações: 
a) (
1
2
)
𝑥2−4
> 8 b) 22𝑥 − 6. 2𝑥 + 8 < 0 
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Pré-Cálculo 2020-2 EP 13 14 de 14 
Exercício 3: Resolva em ℝ as seguintes equações: 
a) ln(2𝑥 − 1) = 3 b) ln(ln(𝑥)) = 1 c) ln(𝑥) + ln(𝑥 − 1) = 1. 
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Exercício 4: Determine o domínio de cada uma das seguintes funções: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑒
𝑥
2𝑥2−5𝑥+3 b) 𝑔(𝑥) = ln(𝑥2 − 4) c) ℎ(𝑥) =
1
ln(𝑥−1)
 
d) 𝑗(𝑥) =
1
ln(𝑥)−1
 e) 𝑘(𝑥) = 𝑒√2−3𝑥 f) 𝑙(𝑥) = ln(5 − |𝑥|) 
g) 𝑚(𝑥) = √ln(𝑥) − 1 h) 𝑛(𝑥) =
𝑥
1−𝑒𝑥
 i) 𝑔(𝑥) = ln (
2𝑥+1
𝑥−2
) 
j) ℎ(𝑥) = 𝑒
(
√|𝑥|−3
𝑥2−16
)
 
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Exercício 5: Resolva em ℝ as seguintes inequações: 
a) ln(1 − 𝑥) < 3 b) ln(𝑥2 − 4) > 1 c) ln (
2𝑥+1
𝑥−2
) < 0 d) log2(𝑥) < log𝑥 2 
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Exercício 6: Estude o sinal da função 𝑓(𝑥) = ln(5 − |𝑥|) . Para isso encontre os valores reais de 𝑥 tais 
que 𝑓(𝑥) = 0 , 𝑓(𝑥) > 0 , 𝑓(𝑥) < 0 . 
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Exercício 7: Use as propriedades das funções exponencial e logaritmo para simplificar as seguintes 
expressões: 
a) ln(𝑥) +
 1 
2
ln(𝑥 − 1) b) ln (
𝑒2𝑥−1
𝑒𝑥
) c) 
𝑒4𝑥 
𝑒3𝑥+2∙𝑒3𝑥−2
 
d) ln (
1
𝑥
) + ln(2𝑥3) − ln 2 e) ln(𝑥2 − 9) − ln(𝑥 + 3). 
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Exercício 8: Resolva as seguintes equações: 
a) 𝑒2𝑥 = 4 b) 𝑒(𝑥−
4
𝑥
) = 1 c) 𝑒−2+√𝑥
2−3𝑥 = 1 
d) ln(𝑥2 − 1 + 𝑒) = 1 e) ln(𝑥2 − 2) − ln(𝑥) = 0 f) (2𝑥2 − 𝑥 − 3) ∙ 𝑒√𝑥−1 = 0 
g) 2𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥 = 1 h) 𝑒(√4𝑥−3 − 𝑥) = 1 i) ln(|𝑥 − 2| − 3) = 0. 
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Exercício 9 Esboce o gráfico das seguintes funções: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑒|𝑥| b) 𝑔(𝑥) = 𝑒|𝑥+1| c) 𝑗(𝑥) = −4 + 𝑒𝑥+2 
d) ℎ(𝑥) = 1 − 𝑒−𝑥+1 e) 𝑘(𝑥) = ln(|𝑥|) f) 𝑙(𝑥) = ln(|𝑥 − 1|) 
g) 𝑚(𝑥) = ln(𝑥 − 1) h) 𝑛(𝑥) = ln(−𝑥 − 1) i) 𝑟(𝑥) = ln(|𝑥| − 1) 
j) 𝑠(𝑥) = 6 ln(√𝑥 + 2
3
). 
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Bom trabalho!