Funções Exponenciais e Logarítmicas

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Cálculo II
EXPRESSÕES E 
EQUAÇÕES 
EXPONENCIAIS E 
LOGARÍTMICAS E MAIS...
GRÁFICO DE 
FUNÇÕES 
EXPONENCIAIS E 
 LOGARÍTMICAS
FUNÇÕES 
EXPONENCIAIS E 
LOGARÍTMICAS
APRESENTAÇÃO
Prezado(a) aluno(a), você está iniciando uma experiência fascinante e enriquecedora. Bem-vindo(a) à nossa discussão.
Espero que você aproveite todo o conteúdo que lhe for oferecido, para que possa atingir 
o seu objetivo neste novo processo de aprendizagem.
Neste módulo você vai estudar as funções exponenciais e as funções logarítmicas. 
Essas funções são amplamente aplicadas na matemática e na ciência, pois possibilitam 
abordar problemas que envolvam o crescimento populacional, a velocidade de uma 
reação química, a desintegração radioativa e até mesmo a frequência das vibrações que 
geram notas musicais.
Estou torcendo pelo seu sucesso!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo, você será capaz de:
• Resolver expressões e equações exponenciais e logarítmicas;
• Identificar e construir gráfico de funções exponenciais e logarítmicas;
• Reconhecer as funções exponenciais e logarítmicas na solução de problemas que envolvem 
crescimento e decrescimento de quantidades.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes P. Araújo
Transposição Pedagógica
Flávia Juliana da Silva
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Nathan Ackerman Chagas de Souza
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA 
Profa. Dayse Magda Fialho Sodré
Prof. Renaldo Sodré
BELO HORIZONTE - 2013
FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
E LOGARÍTMICAS
Função Exponencial
Você sabe o que é uma função exponencial?
Para iniciar esse assunto, é importante que você saiba esse conceito, 
vamos a ele!
Uma função exponencial é aquela em que a variável encontra-se no expoente e a base é 
uma constante:
( ) expoentebas
x
ey f x a
→
→= =
ATENÇÃO
É importante lembrar que a base “a” tem que ser diferente de 1 e maior que 0, ou seja, 
a ≠ 1 e a > 0 . 
Vejamos alguns exemplos de funções exponenciais:
a) -( ) 2 xf x =
b) 1( )
3
x
f x  =  
 
c) ( ) xf x e=
d) ( ) xf x π=
Observe que f (x) = x2 ou f (x) = e3, não são funções exponenciais, pois a variável não 
está no expoente.
SAIBA MAIS 
A constante “e”, que pode ser observada no exemplo do item (c) é um número irracional e foi 
estudada pelo matemático e físico Leonhard Euler. É chamada de base exponencial natural e 
tem um valor aproximado de 2,718281...
Funções Exponenciais e Logarítmicas 7
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
É sempre bom lembrar as propriedades operatórias da potenciação para que você consiga 
resolver uma equação exponencial:
.m n m na a a +=
( ) .m m mab a b=
m
m n
n
a a
a
−=
( )m n mna a=
( )
m
m
m
a a
b b
=
1n
na a
− =
1a =
m
n mna a=
Agora, observe alguns exemplos numéricos:
a) 3 5 4 3 5 4 122 .2 .2 2 2+ += =
b) 
4
4 2 2
2
3 3 3
3
−= =
c) 3 5 15(2 ) 2=
d) 4 4 4(2.3) 2 .3=
e) 
2
2
2
2 2( )
5 5
=
f) 2( ) 1
3
=
g) 3
3
12
2
− =
h) 
2
3 235 5=
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Para resolver uma equação exponencial, é recomendável que você transforme os membros 
da equação em potência de mesma base.
Veja o exemplo: 2x = 16
Para resolver esta equação, os dois lados da igualdade devem ficar com a mesma base “2”. 
Você se lembra quando estudou matemática no 1º grau e aprendeu sobre fatoração? Para 
que essa equação fique com a mesma base você deve fatorar o número 16 (16 = 24). 
Então, igualando as bases, 2x = 24. Agora sim, como as bases ficaram iguais os expoentes 
também podem ser igualados. Portanto, x = 4.
Acompanhe comigo outro exemplo: 3x2–x–3 = 27
Igualando as bases temos: 3(x2–x–3) = 33
Igualando os expoentes: x2 – x – 3 = 3
Perceba que chegamos a seguinte equação de 2º grau: x2 – x – 6 = 0
Para resolvê-la vamos usar a fórmula de Bhaskara e assim obter os dois valores de x.
Funções Exponenciais e Logarítmicas8
Você se lembra da fórmula de Bhaskara?
2 4
2
b b acx
a
− ± −
=
Vamos aplicá-la na equação x2 – x – 6 = 0
1 1 24 2
2 3
xx
x
± + = −
= =
=
Desta maneira temos os dois valores para o x do nosso exemplo.
Vamos ao último exemplo:
23 12
16
x x− =
Fatorando o denominador: 
23
4
12
2
x x− =
Passando o 24 para o numerador, naturalmente com o expoente negativo, temos: 
2(3x–x2) = 2(–4) -
Utilizando a fórmula de Bhaskara na equação: -x2 + 3x + 4 = 0 , obtemos os seguintes valores 
de x: 1x = − e 4x =
Olha aluno(a), com esses exemplos, 
acabamos de rever como se calcula uma 
equação exponencial. Agora está na hora 
de aprendermos a construir gráficos de 
funções exponenciais. Vamos a eles!
GRÁFICO
Caro(a) aluno(a), sempre que for construir o gráfico de uma função, você deve analisar o 
comportamento dela em alguns aspectos, como o seu domínio, a interseção com os eixos 
coordenados e o cálculo de limites, sempre que esta função apresentar pontos críticos, 
para avaliar a existência de assíntotas. Esses conhecimentos você já obteve no Cálculo I, 
lembra? Então vamos revê-los.
No caso das exponenciais, teremos dois tipos de gráfico, pois como já foi citado as bases 
podem ser: a > 0 e a ≠ 1
Portanto teremos aquele gráfico que representa a > 1 e outro que representa 0 < a < 1. 
Vamos ao primeiro caso: a > 1.
Exemplo 1
( ) 2xf x = , note que a = 2, ou seja, a > 1
Funções Exponenciais e Logarítmicas 9
Vejamos aquelas análises que são necessárias antes de construirmos o gráfico desta 
função:
Domínio: Você aprendeu no Cálculo I, que para achar o domínio de uma função, temos 
que analisar as condições de existência dela. Na função em questão:
Domínio: x∈ ,você pode atribuir qualquer valor a x de ( ),−∞ +∞ .
Interseção com os eixos coordenados: Para a construção de um gráfico, é sempre impor-
tante você saber os valores dos interceptos do eixo x e do eixo y. Então vamos a eles:
- Quando a curva intercepta o eixo x: y=0 então 2x = 0. 
ATENÇÃO
Mas esta equação é impossível! Porque nenhum valor atribuído à x fará com que essa equa-
ção seja igual a ‘0’ portanto, a curva não intercepta o eixo x. 
- Quando a curva intercepta o eixo y: x=0, então: 
2 1y y= ∴ = , então teremos a coordenada (0,1)
Comportamento nos infinitos/assíntotas: Para que possamos fazer o gráfico, vamos 
calcular os limites nos infinitos, em busca de alguma assíntota, já que não temos outros 
pontos críticos no domínio da função.
Sabemos, do Cálculo 1, que assíntotas são retas imaginárias que nos auxiliam na 
execução de um gráfico. Elas podem ser horizontais verticais, ou oblíquas. Para que surja 
uma assíntota, uma grandeza tem que tender aos infinitos, no caso em questão “x” e a 
outra, “y”, que é a resposta do limite, tender a um número finito, nesse caso, 0. Sempre 
que isso acontece, temos uma assíntota horizontal:
 1 1lim 2 2 0 ( ) 0
2
x
x
surge uma assíntota horizontal AH y−∞ ++∞→−∞ = = = = → =+∞
Observe neste limite, que não haverá assíntotas, porque x tende ao infinito e y também:
lim 2 2 , .x
x
neste caso não há assíntotas+∞
→+∞
= =+∞ 
Agora, vamos representar a análise realizada
 no gráfico!
Funções Exponenciais e Logarítmicas10
GRÁFICO 01: FUNÇÃO EXPONENCIAL Y = F(X) = 2X
1
1
2
3
4
y
2 3 4
x
-1
0-1-2-3-4
AH y = 0
Fonte: próprio autor
Analisando o gráfico: 
Regiões de crescimento e decrescimento: Como podemos observar no gráfico, esta 
função cresce em todo o seu domínio, ou seja, de (–∞, +∞).
Imagem: A imagem, que é lida no eixo y, retrata todos os valores de y que estão asso-
ciados a algum valor de x, portanto:
( )0, y ∈ +∞
Repare que nessa condição, a curva do gráfico 01 está inteiramente situada acima do eixo 
x, já que não toca o eixo das abscissas, por se tratar de uma assíntota horizontal.
No exemplo 2, vamos analisar outro tipo de função exponencial, aquela cuja base é fracio-
nária, acompanhe comigo.
Exemplo 2
1( ) 
2
xy = Note que 
1 
2
a = , então, 0 < a < 1.
Damesma forma como fizemos no exemplo 1, vamos analisar esta nova função nas prin-
cipais características necessárias para a construção do seu gráfico:
Domínio: x∈
Interseção com os eixos coordenados:
1: 0 ( ) 0 
2
xEixo x y = → = impossível,portanto,o gráfico não intercepta o eixo x.
1: 0 ( ) 1 0,
2
( 1)Eixo y x y y° = → = ∴ =
Comportamento nos infinitos/assíntotas:
1 1lim ( ) ( ) 2 
2 2
x
x
−∞ +∞
→−∞
= = =+∞ não há assíntota
1 1 1 1lim ( ) ( ) 0
2 2 2 
x
x
+∞ +
+∞→+∞
= = = =
+∞
, surge uma assíntota horizontal (AH) y = 0
Funções Exponenciais e Logarítmicas 11
GRÁFICO 02: FUNÇÃO EXPONENCIAL 
1( ) ( )
2
xy f x= = 
1
1
2
3
4
y
2 3 4
x
-1
0-1-2-3-4
1( )
2
xy =
Fonte: próprio autor
Regiões de crescimento e decrescimento: A função é estritamente decrescente no inter-
valo de (–∞, +∞)
Imagem: ( ) 0, y ∈ +∞
Agora caro(a) aluno(a), no gráfico a seguir, estão desenhadas várias funções exponenciais.
GRÁFICO 03: FAMÍLIA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS: 
1
1
2
3
4
y
2 3 4
x
-1
0-1-2-3-4
( )1
2
x ( )1
3
x ( )1
10
x
10 x 3 x 2 x
Fonte: Cálculo, volume 1, Howard Anton
Você pode observar a semelhança dos gráficos das funções cuja base é fracionária, as da 
esquerda (0 < a < 1) e aquelas cuja base é maior que 1 (a > 1), as funções da direita. 
Funções Exponenciais e Logarítmicas12
E para finalizar, vamos resolver um problema 
onde teremos a oportunidade de colocar em 
prática os conhecimentos adquiridos.
Problema: Uma cultura com 100 bactérias reproduz-se em condições ideais, por divisão 
celular, duas outras bactérias idênticas por hora.
a) Qual a população dessa cultura após 6 horas do instante inicial?
b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51.200 bactérias?
Solução
a) No instante inicial são apenas 100 bactérias. Como a reprodução é de 2 bactérias 
por hora, veja a evolução:
Instante inicial – 100 bactérias
Após 1 hora - 100. 2
Após 2 horas - (100. 2). 2 = 100. 22
Após 3 horas - (100. 22). 2 = 100. 23
E assim por diante. Chegamos à conclusão que após “t“ horas, a fórmula para calcular a 
produção é: P = 100. 2t.
Para t = 6 horas, temos que P = 100. 26 = 6 400 bactérias.
Então serão produzidas 6 400 bactérias após 6 horas de cultura.
b) Nesse caso, o número de bactérias produzidas será de 51 200, portanto 
P = 51 200. Desejamos saber o valor de t, então:
P = 100. 2t
51 200 = 100 . 2t
2t = 51200
100
, simplificando,
2t = 512, fatorando e reduzindo à mesma base 2,
2t = 29, igualando os expoentes,
t = 9 horas.
Com este exemplo, você pode observar o quanto uma operação exponencial nos auxilia 
na resolução de problemas que envolvem números muito grandes.
Então aluno(a), após ter entendido tudo isto 
vamos nos envolver com a função inversa 
à exponencial: as funções logarítmicas. 
Você vai aprender que para resolvermos 
um logaritmo, devemos transformá-lo numa 
exponencial. Vamos ver como faremos isso!
Funções Exponenciais e Logarítmicas 13
Função Logarítmica
Os logaritmos surgiram para facilitar a solução de problemas que envolvessem números 
muito grandes (como astronomia, por exemplo) ou números muito pequenos (como no 
estudo molecular).
Esta é a definição da função logarítmica: 
( ) ay f x log x= = Logaritmando
Base
As condições de existência de um logaritmo são:
e0; 0 1x a a> > ≠
Pelo fato da função logarítmica ser a função inversa da função exponencial, para resolver 
um logaritmo, você deve transformá-lo numa exponencial. Veja o exemplo:
alog x y= , então ya x= , invertendo as variáveis: 
xa y=
Observe um exemplo numérico:
3 
28 2 8 2 2
y ylog y= → = → = , então 3y =
IMPORTANTE
Saiba que quando a base do logaritmo for 10, não é necessário escrevê-la.
log10x = log x
E se a base for o número de Euler (e ≅ 2,718281…), vamos ter um logaritmo natural ou 
neperiano, que representaremos por lnx:
logex = ln x
Então, o logaritmo de x na base ‘e’, é igual ao logaritmo neperiano ou natural de x.
Acompanhe comigo alguns exemplos:
a) log6 36=m, 6m=36, igualando as bases: 6m=62, então: 2m =
b) log 0,01=m,
Neste caso, como a base não foi colocada, você já sabe que ela é 10, então: 
10m = 0,01.
No ensino médio, você aprendeu através da potência de 10 que 0,01 = 10–2, então igua-
lando as bases:
10m = 10 -2 assim, 2m = −
Funções Exponenciais e Logarítmicas14
LOGARITMOS ESPECIAIS
Vejamos alguns logaritmos que são chamados de especiais, porque a resposta deles é 
imediata. Observe:
a) loga1 = 0, o logaritmo de 1 em qualquer base é igual a 0, pois a° = 1
b) logaa = 1, quando o logaritmando for igual à base, o logaritmo é igual a 1, pois a1 = a
c) logaam = m, o logaritmo de am na base a, é igual a m, pois am = am
d) alogab = b, se a base a estiver elevada à um logaritmo de b na própria base a, a 
resposta para a equação é b, pois se falarmos que x = logba, ax = b.
Para que fique mais claro, veja um exemplo de cada um desses logaritmos:
a) log31 = 0
b) log55 = 1
c) ln e2 = 2
d) 4 log46 = 6
Veja agora estes exemplos para determinar o valor das expressões:
a) log773 + log91 + lne + log33 = 3 + 0 + 1 + 1 = 5
b) log216 + log28 – log31 + 2 log24 = 4 + 3 – 0 + 4 = 11
Agora é um desafio que deixo para você, 
Veja se consegue resolvê-lo! 
Log (log10) = 0
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
A princípio, veja abaixo algumas regras relacionadas às propriedades operatórias. Elas 
serão fundamentais para aprofundarmos no assunto. 
Regra do Produto: o logaritmo de um produto se transforma numa soma.
logab.c = logab + logac
Regra do Quociente: o logaritmo de um quociente se transforma numa subtração.
loga 
b
c 
= logab – logac
Regra da Potenciação: o expoente ‘n’ pode ser colocado à frente do logaritmo.
logabn = n logab
Funções Exponenciais e Logarítmicas 15
Para que você compreenda como na prática as regras mencionadas são aplicadas, veja 
abaixo um exemplo de cada propriedade:
Se log2 = 0,3 e log3 = 0,5, calcule:
a) log6 = log2.3 = log2 + log3 = 0,3 + 0,5 = 0,8 (Regra do produto)
b) log 
3
2 = log 3– log2 = 0,5 – 0,3 = 0,2 (Regra do quociente)
c) log23 = 3log2 =3.0,3 = 0,9 (Regra da potenciação)
Vamos agora aprender como se resolve uma equação logarítmica? 
Vamos lá!
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
A princípio, gostaria de chamar a sua atenção para algo necessário. É importante que 
você esteja atento ao domínio do logaritmo antes de resolver a equação. 
Por exemplo: 
a) log3(x–1) = 2 Domínio: x – 1 > 0
 x > 1
Solução: 32 = x – 1
 x – 1 = 9 ∴ x = 10 como 10 é maior que 1, a resposta é: 10x =
b) log (x+1) (19–x) = 2 Domínio: 19 – x > 0 ∴ x < 19
 x + 1 > 0 → x > – 1
 x + 1 ≠ 1 → x ≠ 0
Solução: (x+1)2 = 19 – x
 x2 + 2x + 1 = 19 – x → x2 + 3x – 18 = 0
 x ' = – 6 e x" = 3
 Verificando o domínio, você pode notar que a única resposta possível é: 3x =
Agora vamos utilizar as propriedades operatórias para resolver estas equações logarítmicas: 
a) log2 (x+2) + log2 (x–2) = 5 Domínio: x + 2 > 0 → x > – 2
 x – 2 > 0 → x > 2
Como: loga b.c = loga b + logac:
 log2 (x+2) (x–2) = 5, então 25 = (x + 2) (x – 2)
 32 = x2–4
 x2 = 36 ∴ x ± 6
 Verificando o domínio: 6x =
Funções Exponenciais e Logarítmicas16
b) log2 (x+2) – log2 (x–1) = 3 Domínio: x+2 > 0 → x > –2
 x–1 > 0 → x > 1
Como: loga 
b
c 
=logab–loga c:
 log2 
2
1
x
x
+
−
=3, então 23 = 
2
1
x
x
+
−
 
2
1
x
x
+
−
= 8 ∴ x + 2 = 8x – 8
 –7x = – 10
 Sendo coerente com o domínio, temos: 
10 
7
x =
MUDANÇA DE BASE
Como você pode verificar, as equações anteriores possuem a mesma base. Mas se as 
bases são diferentes, para resolver a equação você deve igualá-las. E a propriedade que 
permite mudar a base de um logaritmo é esta: 
 cb
c
log alog a
log b
=
Repare que a base b foi trocada pela base c.
Para que você compreenda melhor, observe os exemplos:
Escreva os seguintes logaritmos na base 3:
a) 32
3
66 
2
loglog
log
=
b) 33
3
33 
3
loglog
log
=
c) 3
3
22 
10
loglog
log=
d) 35
3
44 
5
loglog
log
=
Agora você consegue resolver esta equação:
2 4 16 7log x log x log x+ + = para x > 0
Mudando para a base 2:
2 2
2
2 2
 7
4 16
log x log xlog x
log log
+ + =
2 2
2 72 4
log x log xlog x + + = , tirando o m.m.c:
2 2 2
2
4 2 7 7 28
4
log x log x log x log x+ + = ∴ =
4
2 4 2log x x= ∴ =
 16x =
Funções Exponenciais e Logarítmicas 17
Então aluno(a) está compreendendo os conceitos que foram 
apresentados até este momento? Se ainda está em dúvida retome 
a leitura e faça os exemplos acima em seu caderno. Lembre-se 
que cálculo só se aprende realizando muitos exercícios. 
Agora, vamos ver os elementos necessários para a construção 
dos gráficos das funções logarítmicas. Vamos lá!
GRÁFICO
Como na função exponencial, teremos também na função logarítmica, dois tipos de gráfico: 
o gráfico que representa a > 1 e outro que representa 0 < a < 1.
No exemplo 1 vamos falar dos logaritmos cuja base a > 1
Exemplo 1
( ) 2y f x log x= = note que a > 1
• Domínio: x > 0, ou seja ( ) 0, x∈ +∞
• Interseção com os eixos coordenados:
( )
2 : 0 0
2 1 1,0
Eixo x y log x
x x°
= → =
= ∴ =
ATENÇÃO
 : 0 Eixo y x = → Impossível! Veja domínio 
Portanto o gráfico não intercepta o eixo y.
• Comportamento nos pontos críticos/assíntotas: Nesse caso vamos calcular os limi-
tes à direita de 0 e em +∞, de acordo com o domínio da função.
Já vimos anteriormente que uma assíntota é necessária sempre que uma grandeza 
tende a um número finito, no caso x está tendendo a 0 e a outra tende aos infinitos, 
no caso y, que é a resposta do limite, está tendendo a –∞.
Sempre que isso acontece, temos uma assíntota vertical.
2 2 0 
0
limlog x log
x
+
+
= =−∞ →
→
 Aqui temos uma assíntota vertical 
 0x =
( )2 2 limlog x log
x
= +∞ = +∞ →
→ +∞
 Não há assíntota
Veja como foram feitos os cálculos:
2
1 10 2 0 2 0 0
2
ylog y+ + −∞ + ++∞= → = → = → = =+∞ ,então 
 y ∞= −
( )2 2 2ylog y +∞+∞ = → = +∞ → = +∞ ,então y ∞= +
Funções Exponenciais e Logarítmicas18
GRÁFICO
1
1
2
3
4
-4
-3
-2
y
2 3 4
x
-1
0-1-2-3-4
2y log x=
AV x = 0
Fonte: próprio autor 
• Regiões de crescimento e decrescimento: 
f é estritamente crescente de (0 + ∞)
• Imagem: ( ) ,x∈ −∞ +∞
No exemplo 2, vamos construir o gráfico da função logarítmica de base 0 < a < 1 
Exemplo 2
( ) 1
2
 y f x log x= = a base agora é 1
2
, então 0 < a < 1 
• Domínio: ( ) 0, x∈ +∞
• Interseção com os eixos coordenados:
1
2
1 : 0 0 1
2
1,0Eixo x y log x x x
°
 = → = → = ∴ = 
 
Eixo y:x = 0 → impossível,portanto não intercepta o Eixo y.
• Comportamento nos pontos críticos/assíntotas:
1 1
2 2
0 
0
limlog x log
x
+
+
= =−∞ →
→
 Assíntota vertical 
0x =
( )1 1
2 2
 limlog x log
x
= +∞ =−∞ →
→ +∞
 Não há assíntota
Funções Exponenciais e Logarítmicas 19
Cálculos
1
2
1 1 1 10 ( ) 0 ( ) 0
2 2 2
ylog y+ + +∞ ++∞= → = → = = =+∞
, então y ∞= +
( )1
2
1 1 1( ) ( ) 2
2 2 2
ylog y −∞ +∞−∞+∞ = → = +∞ → = = = +∞ , então y ∞= −
GRÁFICO
1
1
2
3
4
-4
-3
-2
y
2 3 4
x
-1
0-1-2-3-4
1
2
y log x=
AVx=0
• Regiões de crescimento/ decrescimento:
f é estritamente crescente de (0 + ∞)
• Imagem: ( ) ,x∈ −∞ +∞
Agora, vamos a um exemplo prático, para que você tenha a oportunidade de aplicar o que 
foi aprendido.
Problema
Um satélite que requer 7 watts de potência para operar em plena capacidade, está equipa-
do com uma fonte de potência de radioisótopos cuja saída em watts é dada pela equação: 
P = 75 e -t/125, onde t é o tempo em dias que a fonte é usada.
Por quanto tempo o satélite pode operar na capacidade máxima?
Funções Exponenciais e Logarítmicas20
Solução
Como é necessário 7 watts de potência para a capacidade máxima, a Potência P decairá 
para 7 watts quando:
( /125)7 75 te −=
A solução para t é portanto:
( /125)7
75
te −=
Aplicando o logaritmo neperiano em ambos os lados, teremos:
/1257ln ln
75
te−=
Aplicando a Regra da Potência: 
7ln ln
75 1 25
t e−= , como já vimos que lne = 1,
Então 
7t 125 ln
75
= −
Com o uso de uma calculadora, você verá que 
7ln 2,37
75
= − , portanto a resposta do 
nosso problema é t ≈ 296,4, logo o satélite pode operar na capacidade máxima por cerca 
de 296 dias.
E agora, para que você pratique todos os conhecimentos adquiridos neste módulo, resolva 
todos os exercícios de fixação e sempre que aparecer alguma dúvida, retome a leitura e 
busque esclarecer as suas dúvidas, boa sorte!
Funções Exponenciais e Logarítmicas 21
Síntese 
Meu(minha) caro(a) aluno(a)! 
Nesse módulo vimos o conceito e a importância do estudo das características das 
funções exponencial e logarítmica para a solução de problemas e aprendemos também a 
representar graficamente tais características. Para melhor compreender esses conceitos, 
observamos a solução de equações logarítmicas e de equações exponenciais bem como 
as propriedades operatórias nelas envolvidas. Foi possível você compreender todos estes 
conceitos? Caso não tenha compreendido retome a leitura do módulo! Bons estudos! 
Referências Básicas
FLEMMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. – Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
THOMAS, G. B. – Cálculo - Volume 1. São Paulo: Addison Wesley, 2002.
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. – Cálculo – Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2007.
Referências Complementares
SANTANA, A., PONGELUPE, É. G. e SOUZA, R. C. – Matemática – Volume 2. Belo Horizonte, 2006.
LEITHOLD, L. – O Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1. São Paulo: Harbra Ltda, 1994.
LARSON, R. E., HOSTETLER, R. P. e EDWARDS, B. H. – Cálculo e Geometria Analítica – Volume 1. USA: LTC, 2006.
SIMMONS G. F. – Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1. São Paulo: Makron Books, 1987.
GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R. – Matemática: Uma Nova Abordagem. São Paulo: FTD, 1992.
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