TeoriaDasFilasCompleto

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2 - João Carlos Teixeira dos Santos 
 
 
 
 

O













 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este capítulo intenciona apresentar de maneira compacta, porém coerente, 
da prática da Teoria das Filas na tentativa de desvencilhá-la um pouco do seu 
intrínseco universo teórico. Para tanto, estudaremos as distribuições de 
probabilidades binomial, de Poisson e exponencial como seus pressupostos 
estatísticos. Em seguida, os modelos de filas onde há apenas chegadas, filas 
com apenas saídas, filas com 1 única estação de trabalho e filas com k 
estações de trabalho. 
 
Para justificar algumas de suas fórmulas, usaremos planilhas de simulação no 
Ms Excel que comprovarão seus resultados no mundo concreto. Estas 
confirmações compensam a ausência de suas demonstrações formais, o que 
exigiria conhecimentos avançados de equações diferenciais. Além disso, 
vamos usar este mesmo programa para efetuar todos os seus cálculos, 
sobretudo no modelo com k estações de trabalho. 
Teoria das Filas - 3 
 
 
 
Aleatório é algo que não se pode prever exatamente, mas 
se pode atribuir uma probabilidade, uma chance, para que 
ocorra em determinadas condições. 
 
 
 
 
 
 
 
No primeiro caso, a administração das filas poderá ajudar 
no seu controle. No segundo, indicam-se o treinamento e 
a otimização dos processos. 
 
 
 
 
 
 
Através das médias dos números de clientes que chegam 
e dos que são atendidos em cada caixa, podemos obter 
teoricamente estes resultados, utilizando o modelo de 
teoria de filas para k estações. 
 
 
 
 
 
 
 
Por exemplo, existem lojas com muitos vendedores que 
garantem a prontidão no atendimento de todos os clientes 
que chegam, mas o administrador deverá julgar se poderia 
oferecer o serviço com menos pessoal e talvez com 
alguma espera de clientes. 
 
 
 
 
 
Para tanto, usaremos o Ms Excel ao longo de nossas 
exposições.
CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
Em qualquer lugar onde se prestam serviços, é bastante provável a 
formação de filas porque os serviços são solicitados e executados em 
intervalos de tempos aleatórios. Estas filas, se não administradas, poderão 
crescer indefinidamente e implicar no descontentamento dos clientes ou na 
baixa produtividade devido ao longo tempo de espera, além da sobrecarga de 
trabalhos dos funcionários. O administrador poderá utilizar esta técnica de PO 
com duas finalidades complementares: 
1ª) conhecer o seu sistema, compreendendo a formação de filas e quais são 
seus parâmetros numéricos relevantes; 
2ª) saber que medidas tomar para controlar as filas dentro de níveis ideais ou 
aceitáveis. 
 
Uma administração centrada no bem estar de seus clientes preza pelo 
controle das filas para que aqueles não percam muito tempo esperando para 
serem atendidos nem percam tempo sendo atendidos de forma muito lenta. 
 
Exemplo A 
Numa agência bancária, em certo dia do mês e num determinado horário, o 
administrador chegou à conclusão de que a média dos tempos (em minutos) 
de espera dos clientes em fila depende substancialmente dos números de 
caixas atendentes chegando aos seguintes valores: 
 
caixas 10 11 12 13 
minutos 64 9 2 <1 
 
Desta forma, poderá destinar, para esta circunstância, um número exato de 
funcionários para os caixas, de modo a garantir um bom funcionamento da sua 
agência e a satisfação de seus clientes. Por exemplo, se no momento 
estiverem trabalhando 10 caixas, o gerente poderá obter uma melhoria muito 
significativa se colocasse mais um de seus funcionários no caixa, reduzindo o 
tempo médio de espera de mais de 1 hora para 9 minutos. 
 
 Muito tempo para ser atendido em filas grandes ou que crescem 
continuamente constituem um sério risco para o progresso de qualquer 
negócio. Por outro lado, a ausência total de filas é igualmente preocupante, 
porque sinaliza desperdício de tempo e dinheiro na forma de mão de obra 
ociosa. Desta forma, através da Teoria das Filas, o administrador poderá chegar 
a um ponto de equilíbrio entre a ociosidade das estações de trabalho (como os 
caixas de um supermercado) e a espera dos clientes na fila. Seu modelo 
matemático, no entanto, apresenta relativa complexidade conceitual e 
operacional. Conceitualmente, parte de 2 pressupostos: o de que os clientes 
chegam em números por unidade de tempo com distribuição de Poisson e que 
são atendidos em durações de tempos distribuídos exponencialmente. Desta 
forma, um razoável conhecimento de Estatística é desejável, razão que nos 
levou a apresentar as distribuições de probabilidade envolvidas antes dos seus 
modelos. Operacionalmente, suas fórmulas e procedimentos sugerem 
fortemente o uso do computador para que sejam obtidos mais rapidamente, 
liberando a mente para uma compreensão mais ampla das inúmeras relações 
entre os seus elementos. 
4 - João Carlos Teixeira dos Santos 
 
 
Em Estatística, chamamos aleatória a qualquer variável 
cujos valores possíveis de serem assumidos possam ser 
associados a chances ou probabilidades. Assim, o número 
de meninas neste grupo com 10 crianças de sexos 
desconhecidos é uma variável aleatória e veremos agora 
como associar cada um de seus possíveis valores (0, 1, 2, 
..., 10) a probabilidades respectivas. 
 
 
 
 
 
Utilizamos a letra a para sinalizar menina e a letra o para 
menino. Veja que a possibilidade ooa é diferente de oao, 
pois, apesar de ambos os resultados terem 1 única 
menina, no primeiro, temos a menina como a filha caçula 
e, no segundo, como a filha do meio. 
 
X é a variável aleatória número de meninas. Assim, X 
poderá ser 0, 1, 2 ou 3, valores associados às 
probabilidades obtidas na contagem do espaço amostral. 
 
 
 
 
 
Obviamente, esta fórmula pode ser demonstrada 
utilizando-se árvore de probabilidades e análise 
combinatória. Além disso, não é aplicada apenas para 
sexos desconhecidos de crianças, mas para todos os 
fenômenos que puderem ser modelados da mesma 
maneira: probabilidade de x sucessos em n tentativas, 
onde f é a chance em cada uma delas. A origem do 
termo binomial está associada às duas possibilidades, 
sucesso ou insucesso, em cada uma das n tentativas. 
A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 
 Considere 10 crianças de sexos desconhecidos sorteadas 
aleatoriamente de um grupo muito grande com igual número de meninas e 
meninos. Qual será o número de meninas? Obviamente, tal resposta não 
poderá ser dada com 100% de certeza. Porém, podemos, praticamente 
descartar as respostas 0 e 10 meninas, pois estes valores seriam bastante 
improváveis. Teremos, com certeza, bem mais chances em acertar se 
afirmarmos 4, 5 ou 6 meninas. 
 
 Assim, o número de meninas neste grupo é uma variável aleatória, 
pois poderá assumir os valores 0, 1, 2, 3, ..., 4, 5, ..., 9, 10, cada um deles com 
uma determinada probabilidade. 
 
Exemplo B 
Um casal tem 3 crianças de sexos desconhecidos. Quais são as probabilidades 
de que sejam 0, 1, 2 e 3 meninas? 
 
 
  = {ooo, ooa, oao, oaa, aoo, aoa, aao, aaa} 
 
 
O espaço amostral  é o conjunto de todas as possibilidades quanto ao sexo 
das 3 crianças. Fazendo a contagem e considerando que todos os resultados 
são igualmente prováveis, temos que cada resultado terá a probabilidade de 
1/8 = 0,1250. Assim, a função de probabilidade p(x), número de meninas, 
será dada por: 
 
x 0 1 2 3 
p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
Isso explica porque é mais comum termos valores centrais de meninas, isto é, 
números próximos entre meninos e meninas em N crianças. 
 
 As probabilidades encontradas na última tabela poderão também ser 
obtidas a partir de uma fórmula especialmente desenvolvida para isso. Esta 
dispensa a determinação do espaço amostral bem como a contagem que foi 
feita sobre os resultados do mesmo e a coloca sob a forma do número 
n
( )
x
: 
 
 
 − =   − 
 
x n xnp(x) f (1 f)
x
 
 
 
onde: 
p(x) é a probabilidadede haver x meninas; 
n é o número de crianças de sexos desconhecidos; 
f é a probabilidade de cada criança ser uma menina. 
 
O valor entre parênteses é chamado número binomial e serve para realizar a 
contagem das combinações de n elementos tomados x a x. Para obtê-lo, 
podemos usar a fórmula seguinte ou o Triângulo de Pascal: 
 
 
   = 
− 
n n!
x (n x)! x!
 
 
Teoria das Filas - 5 
Para n e x pequenos, podemos utilizar o Triângulo de 
Pascal para calcular os números binomiais, onde o 
primeiro e o último números em cada linha são iguais a 1 e 
os intermediários são obtidos a partir da soma de 2 
números: o imediatamente acima e o anterior a este: 
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Veja que 1 3 3 
1 (4ª linha) são exatamente as contagens dos casos para 0, 
1, 2 e 3 meninas! 
 
 
 
 
Podemos fazer uma analogia a 20 crianças desconhecidas, 
onde desejamos que 3 tenham um fator genético que 
aparece em apenas 7% das pessoas. 
 
 
= 
−  
    
= = 
−   
   
= = 
 
n n!
x (n x)! x!
20 20! 20 19 18 17!
3 (20 3)! 3! 17! 3!
20 20 19 18
1.140
3 6
 
 
Aqui, o número binomial foi calculado por sua fórmula, ao 
contrário do exemplo anterior, onde os binomiais foram 
obtidos diretamente do triângulo de Pascal. Veja que o 
símbolo fatorial ("!") indica o produto do número por todos 
os seus antecessores até se chegar ao número 1. 
Definições especiais para 0! = 1! := 1. 
 
 
 
 
 
 
Por exemplo, a chance de os 20 carros serem roubados é 
7,98 x 10-24, um número muito próximo a zero. 
Exemplo C 
Obtenha os resultados do exemplo anterior usando a fórmula apresentada, 
considerando f igual a 0,50, isto é, a probabilidade individual de uma criança 
ser menina: 
 
 
 −
−
−
−
−
 
=   − 
 
 
=   − =   = 
 
 
=   − =   = 
 
 
=   − =   = 
 
 
=   − =   = 
 
x n x
0 3 0 3
1 3 1 2
2 3 2 2
3 3 3 3
n
p(x) f (1 f)
x
3
p(0) 0,5 (1 0,5) 1 1 0,5 0,125
0
3
p(1) 0,5 (1 0,5) 3 0,5 0,5 0,375
1
3
p(2) 0,5 (1 0,5) 3 0,5 0,5 0,375
2
3
p(3) 0,5 (1 0,5) 1 0,5 1
3
0,125
 
 
 
 
Verifique como tais resultados concordam rigorosamente com os obtidos no 
exemplo anterior. Como f era igual a 50%, as probabilidades de 0, 1, 2 e 3 
meninas dependeram unicamente da força dos números binomiais. 
 
Exemplo D 
Uma empresa de seguros conhece a probabilidade de 7% que um tipo de carro 
tem de ser roubado ao longo de um ano. Considerando agora 20 carros deste 
mesmo tipo, qual será a chance de que 3 sejam roubados? 
 
 
 
−
−
=
=
=
 
=   − 
 
 
=   − 
 
=   =
x n x
3 20 3
3 17
n 20
x 3
f 0,07
n
p(x) f (1 f)
x
20
p(3) 0,07 (1 0,07)
 3
 1140 0,07 0,93 0,1139
 
 
 
 
Assim, a probabilidade de que 3 dentre 20 carros deste tipo sejam roubados é 
de 11,39%. O cálculo do número binomial foi feito à parte, na coluna auxiliar 
para não carregar o quadro acima. Este resultado, 0,1139, integra a função de 
probabilidade de X, número de carros roubados dentre 20. Esta tabela pode 
ser facilmente obtida com o auxílio da função DISTRBINOM() corretamente 
parametrizada do Ms Excel: 
 
 
 
Veja que, para x  8, a probabilidade p(x) é expressa como 0,0000, o que não 
significa impossível, mas pouco provável de ocorrer. 
 
 
 
 
 
6 - João Carlos Teixeira dos Santos 
 
 
Dica 01: a probabilidade de Alfredo vencer uma partida foi 
obtida a partir do número partidas vencidas por Alfredo 
dividido pelo número total de partidas disputadas pelos 
dois. Deve-se considerar que esta probabilidade (0,70) não 
será afetada pelo fato de Alfredo ter vencido ou perdido a 
partida anterior. 
 
 
 
Dica 02: a probabilidade individual de manutenção num dia 
será 3/25. Para obter (c) e (d), não é necessário utilizar a 
fórmula da distribuição binomial novamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica 06: o problema cairá numa equação do 2º grau. Para 
resolvê-la, use a fórmula de Bhaskara −  −=
2b b 4ac
x
2a
. 
 
Dica 07: o problema cairá numa equação cúbica. Para 
resolvê-la, use o método de Newton: sucessivos cálculos 
da função  = −(x) x f(x) / f'(x) onde x deverá ser tomado 
igual ao resultado anterior de (x). 
 
EXERCÍCIOS 
 
01) Alfredo e Bruno disputarão cinco partidas de tênis onde não há empates. 
Sabemos que Alfredo possui uma chance de vencer cada partida igual a 0,70 
e Bruno, 0,30. Qual a probabilidade de: 
a) Alfredo perder todas as partidas? 
b) Alfredo vencer todas as partidas? 
c) Bruno vencer apenas 2 partidas? 
d) Alfredo vencer mais partidas do que Bruno? Pode-se concluir que a repetição 
de partidas para se definir o campeão prejudica ou beneficia o favorito? 
 
02) Um operador de máquinas verificou que, a cada 25 dias de trabalho, em 3 
há a necessidade de parada na produção para manutenção dos equipamentos. 
Assim, considerando um período de 7 dias, qual é a chance: 
a) de não haver manutenção? 
b) de haver manutenção em apenas um dia? 
c) de haver manutenção, no máximo, de um dia? 
d) de haver mais de um dia de manutenção? 
 
03) Numa faculdade, apenas 65% dos alunos que nela ingressam conseguem 
concluir o curso. Num grupo de 8 amigos calouros, qual é a probabilidade de 
que: 
a) nenhum conclua; 
b) todos concluam. 
c) Com que probabilidade pode-se afirmar que, pelo menos, uma pessoa do 
grupo não concluirá o curso? 
 
04) Uma máquina produz uma média de 95 peças perfeitas para cada 100 
peças fabricadas. Numa amostra de 10 peças, qual é a probabilidade de que 
no máximo 2 sejam defeituosas? 
 
05) Um fabricante de radiadores para automóveis sabe que 0,5% do que 
fabrica apresenta incorreções para o perfeito encaixe às demais peças de um 
automóvel. Um teste com 25 radiadores será feito por uma montadora de 
veículos e, caso todos estes radiadores estejam perfeitos, tais radiadores 
passarão a compor sua linha de montagem. Quais as chances para o negócio 
ser fechado? 
 
 
EXERCÍCIOS AVANÇADOS 
 
06) Em dois tiros, a chance de um atirador errar um deles é de 8/25. Assim, 
qual é a chance de que acerte um tiro, se o fato de acertar ou errar o 1º não 
influenciar sobre a chance de acertar ou errar o 2º, sabendo que o atirador 
acerta mais do que erra? 
 
07) A probabilidade de um gene estar presente em 2 dentre 3 pessoas foi 
calculada em 0,140625. Qual é a probabilidade de que esteja presente numa 
única pessoa escolhida aleatoriamente? 
 
 
Teoria das Filas - 7 
 
 
 
Na ocasião, as motos não foram consideradas, mas, se 
tivessem sido, acredita-se que as conclusões seriam as 
mesmas, apesar de os números serem diferentes. Em 
www.pagina10.com.br, encontra-se a planilha com os 
dados originais desta apuração. 
 
 
 
Assim, em 136 intervalos de 30 segundos, não houve 
veículos passando em frente de sua casa; em 83 intervalos 
de 30 segundos, apenas 1 veículo; em 19 intervalos, 2 
veículos e, em 2 intervalos de 30 segundos, 3 veículos. O 
quadro ao lado também nos mostra estas frequências em 
percentuais. 
 
 
 
 
 
Esta é a probabilidade de sucesso de, num segundo 
qualquer, 1 veículo passar em frente da casa do autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade teórica de passarem 4 carros no intervalo 
de 30 segundos é de 0,0017. Porém, na prática, isso não 
ocorreu na observação de 240 intervalos de 30 segundos. 
Obviamente, existirão as probabilidades teóricas de 
passarem também 5, 6, ..., 30 carros, sendo que nenhum 
destes fatos ocorreu na sua observação. 
 
 
 
Isso porque os clientes chegam ao sistema com a mesma 
aleatoriedade com que os carros passam nas ruas. 
OBSERVANDO AUTOMÓVEIS 
 
Exemplo E 
Quando o autor iniciou seus estudos sobre a Teoria das Filas, não estava muito 
convencido sobre um de seus pressupostos básicos: a de que o número de 
clientes que chegampor intervalo de tempo é uma variável aleatória com 
distribuição binomial. Assim, para por isso à prova, ficou no portão de sua casa 
anotando os momentos em que automóveis passavam exatamente em frente 
dela durante 2 horas. Isso porque, em geral, num sistema de filas, os clientes 
chegam de modo aleatório da mesma maneira que os carros passam numa 
rua. No total, observou que 127 carros passaram em frente à sua casa durante 
estas 2 horas, distribuídos em 240 intervalos de 30 segundos da seguinte 
maneira: 
 
Veículos Frequência % 
0 136 56,67% 
1 83 34,58 
2 19 7,92% 
3 2 0,83% 
Total 240 100,00% 
 
Estas frequências empíricas percentuais assim obtidas deveriam 
corresponder às probabilidades distribuídas binominalmente, pois, 
considerando-se um segundo qualquer, teremos a chance de um veículo 
passar ou não passar em frente à casa do autor. Assim, esta chance pode ser 
calculada como: 
 
 
 = 
127 veículos
f 0,0176
7.200 segundos
 
 
 
Adotando agora o modelo binomial e considerando que os carros passam em 
instantes espaçados de, no mínimo, 1 segundo, em 30 segundos, poderemos 
ter de 0 a 30 carros passando em frente da sua casa: 
 
x 
carros 
− =   −  
 
x n xnp(x) f (1 f)
x
 
0 
 
=   = 
 
0 3030p(0) 0,0176 0,9824 0,5870
0
 
1 
 
=   = 
 
1 2930p(1) 0,0176 0,9824 0,3155
1
 
2 
 
=   = 
 
2 2830p(2) 0,0176 0,9824 0,0820
2
 
3 
 
=   = 
 
3 2730p(3) 0,0176 0,98224 0,0137
3
 
4 
 
=   = 
 
4 2630p(4) 0,0176 0,9824 0,0017
4
 
Total 0,9999 
 
Observe como as probabilidades teóricas do modelo binomial espelham, 
aproximadamente, às frequências práticas de passagens de 0, 1, 2 e 3 
veículos. Fatos como este permitiram aos estudiosos a utilização das 
probabilidades teóricas que exigem, em seus cálculos, apenas a frequência 
individual de chegar um novo cliente no sistema. 
8 - João Carlos Teixeira dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, por exemplo, se a chance de um veículo ser 
roubado é de 2%, considerando-se 1.000 destes veículos, 
teremos, em média de 1.000 x 2% = 20 veículos 
roubados. 
 
 
Para todos os casos em que f é uma probabilidade de algo 
ocorrer por unidade de tempo, podemos ignorar esta 
exigência de n grande e f pequeno utilizando a 
consideração do seguinte exemplo. Quando f = 30% por 
hora e n = 10 horas, f não é tão pequeno nem n é tão 
grande. No entanto, poderemos recalcular n e f da 
seguinte forma: 30% por hora implicam 0,5% por minuto e 
n ficará igual a 10 x 60 = 600 minutos (logo, f ficou 
pequeno e n, grande). Portanto,  = 600 x 0,5% = 10 x 
30% = média de 3 "coisas" em 10 horas ou 600 minutos. 
 
 
 
 
 
Assim,  = 0,5280 é a esperança do número de carros que 
passará em cada um dos intervalos de 30 segundos. 
 A Distribuição Binomial apresenta o incômodo de calcular números 
binomiais e, dependendo das circunstâncias, podem ser inviáveis, mesmo 
utilizando-se calculadoras científicas. Felizmente, o matemático francês 
Siméon Denis Poisson (1781−1840), observou como a fórmula da distribuição 
binomial poderá ser aproximada por outra fórmula muito mais simples em 
casos onde n é grande e f é pequeno o suficiente, o que veremos no item a 
seguir. 
 
 
A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 
Se a chance de algo acontecer é de f e fizermos esta experiência por 
n vezes, podemos esperar a seguinte média de ocorrência: nf. Esta é a fórmula 
da esperança da variável aleatória de distribuição binomial, conforme pode ser 
constatado no livro "compreendendo a Estatística" do mesmo autor. Esta 
esperança ou média recebe o nome de  (lâmbda, letra l grega minúscula) e, 
assim: 
 
 
  = n f 
 
 
Considerando a distribuição binomial, Poisson demonstrou que, para n grandes 
e f pequenos o suficiente, a probabilidade de x sucessos poderá ser obtida a 
partir da fórmula: 
 
 
 − = 
x
p(x) e
x!
 
 
 
onde: 
p(x) é a probabilidade de x sucessos; 
 é o produto do número de tentativas (n) pela 
 chance individual de sucesso (f) em cada uma delas; e 
e é o número de Euler e vale, aproximadamente, 2,7 1828 1828 
 
Exemplo F 
Os cálculos das probabilidades da experiência da seção anterior poderão ser 
refeitos utilizando-se agora a distribuição de Poisson. Para tanto, vamos 
inicialmente calcular a média , observando-se que n era igual a 30 e f igual a 
0,0176: 
 
 
  =  =  =n f 30 0,0176 0,5280 
 
 
O número 0,5280 pode ser interpretado como o número de carros que, em 
média, passarão em 30 segundos. Como é um número fracionário, podemos 
interpretá-lo melhor como o número de carros que passarão em 60 segundos 
multiplicando-o por 2: 1,056 ou aproximadamente, 1 carro. Utilizando agora o 
valor de  no modelo de Poisson, teremos: 
Teoria das Filas - 9 
Localize em sua calculadora científica a tecla ex. Veja como 
estes valores são praticamente os mesmos obtidos 
considerando-se a distribuição binomial que, por sua vez, 
espelhavam as frequências práticas da experiência. Assim, 
ao invés da distribuição binomial, a partir de agora, vamos 
utilizar a de Poisson, pois, como vimos, para f igual à 
média de coisas que ocorrem por unidade de tempo e n 
este tempo, podemos fazer f tão pequeno quanto se 
queira (mudando-se a unidade de tempo), que leva n a ser 
tão grande quanto se queira, mas  será constante em 
todos os casos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exceto em situações explicadas por fatores muito fortes e 
específicos, na prática, o número de clientes por minuto se 
distribui conforme Poisson, o que justifica a utilização de 
sua fórmula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade de x ser igual à média (no caso, x = 2) não 
será ultrapassada por nenhuma outra, o que confirma a 
expectativa de bom senso. 
 
Mais de duas pessoas significa 3 ou 4 ou 5 ou ..., o 
indicativo de soma destas probabilidades. Mas, apesar de 
infinita, tal soma poderá ser obtida a partir do seu 
complementar. 
 
x 
carros 
− = ( )
x
p x e
x!
 
0 −=  =
0
0,5280 0,5280p(0) e 0,5898
0!
 
1 −=  =
1
0,5280 0,5280p(1) e 0,3114
1!
 
2 −=  =
2
0,5280 0,5280p(2) e 0,0822
2!
 
3 −=  =
3
0,5280 0,5280p(3) e 0,0145
3!
 
4 −=  =
4
0,5280 0,5280p(4) e 0,0019
4!
 
Total 0,9998 
 
 
Exemplo G 
Durante certo período do dia, a média de clientes que chegam à fila de um 
caixa eletrônico é a de 2 pessoas por minuto. O número de clientes que 
chegam por minuto é uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Qual 
é a probabilidade de que chegue(m), num minuto qualquer: 
a) nenhuma pessoa? 
b) uma única pessoa? 
c) duas pessoas? 
d) mais de duas pessoas? 
 
Como o número de clientes que chegam por minuto x é uma variável aleatória 
com distribuição de Poisson, as chances de x serem 0, 1, 2, etc poderão ser 
obtidas a partir da fórmula apresentada, onde  = 2, a média de clientes que 
chegam por minuto: 
 
a) p(0) = ? 
 
 
 −=  =  =
0
2 2 1p(0) e 0,1353 0,1353
0! 1
 
 
 
b) p(1) = ? 
 
 
 −=  =  =
1
2 2 2p(1) e 0,1353 0,2707
1! 1
 
 
 
c) p(2) = ? 
 
 
 −=  =  =
2
2 2 4p(2) e 0,1353 0,2707
2! 2
 
 
 
d) p(3) + p(4) + p(5) + p(6) + ... = 1 − [p(0) + p(1) + p(2)] 
 
 
 − − − =1 0,1303 0,2707 0,2707 0,3283 
 
 
 
 
 
10 - João Carlos Teixeira dos Santos 
 
 
 
 
 
 
Dica 8: utilizando a calculadora científica, calcule e− uma 
única vez para obter o item (a) e, em seguida, faça as 
multiplicações necessárias para obter os itens (b), (c), (d) e 
(e). 
 
Dica 9: utilize a proporcionalidade entre o número de 
aviões e o tempo para obter a nova média  deste 
exercício. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica 16: para os itens (b) e (c), use o método de Newton: 
sucessivos cálculos da função  = −(x) x f(x) / f'(x) onde x 
deverá ser tomado igual ao resultado anterior de (x).EXERCÍCIOS 
 
O enunciado a seguir se refere aos exercícios de 08 a 12. Num aeroporto, a 
cada 10 minutos, em média, 3 aviões solicitam autorização para pousar. 
 
08) Considerando os próximos 10 minutos, qual será a probabilidade de que 
solicite(m) autorização: 
a) nenhum avião; b) um avião; 
c) dois aviões; d) três aviões; 
e) quatro aviões; f) mais de quatro aviões. 
 
09) Considerando os próximos 5 minutos, qual será a probabilidade de que 
solicite(m) autorização: 
a) nenhum avião; b) um avião; 
c) dois aviões; d) mais de dois aviões. 
 
10) A chance de nenhum avião solicitar autorização em 5 minutos foi maior do 
que em 10 minutos. Isso confirma o esperado pelo senso comum? Justifique. 
 
11) Como você correlacionaria os percentuais obtidos em 08f e 09d? 
 
12) Adaptando agora 3 aviões em 10 minutos para f aviões em 1 segundo, 
a) calcule f; 
b) para usar a distribuição binomial para resolver o exercício 08 usando f 
calculado no item anterior, qual seria o valor de n? 
c) Encontre os resultados dos itens 08a, 08b e 08c usando a distribuição 
binomial. 
 
O seguinte enunciado refere-se às questões 13 a 16. Uma empresa 
disponibiliza uma linha 0800 para receber reclamações e/ou sugestões de seus 
clientes e uma única telefonista para atendê-los. Em 8 horas de serviços, foram 
recebidas 36 ligações. 
 
13) Considerando os próximos 30 minutos, quais são as chances de receber: 
a) nenhuma ligação; b) uma ligação; 
c) duas ligações; d) três ligações. 
 
14) O fato de a probabilidade ter alcançado um pico em duas ligações já era 
esperado? Justifique. 
 
15) Considerando o tempo de 1 hora, qual será a chance de receber mais de 
uma ligação? 
 
 
EXERCÍCIO AVANÇADO 
 
16) Numa central 0800, em quatro momentos diferentes descritos a seguir, 
qual é a média de ligações por hora quando: 
a) a probabilidade de que não ocorram ligações em 1 hora é de 0,006097? 
b) a probabilidade de que ocorra única ligação em 1 hora é de 0,130439? 
c) a probabilidade de que ocorram 4 ligações em 1 hora é de 0,168031? 
d) a probabilidade de que ocorra uma ou mais ligações em 1 hora é de 
0,899741? 
 
Teoria das Filas - 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que, quanto maior o número de carros que passam 
em intervalos de 30 segundos, menores serão as 
diferenças de tempos entre a passagem de 2 carros. Além 
disso, estas diferenças dependerão unicamente deste 
número de carros. Logo, a distribuição das diferenças de 
tempos é inversa à distribuição do número de carros em 
30 segundos. Esta argumentação é útil para justificar que a 
distribuição exponencial é a inversa da de Poisson. 
 
 
A equação da curva exponencial pontilhada é −=  fx
1
y e
f
, 
onde f é a média de carros por segundo e 1/f é a média 
dos segundos por carro, isto é, a média dos intervalos 
entre as passagens de dois carros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, passa uma média de 0,5280 carro a cada 30 
segundos e a média de intervalos entre duas passagens é 
de 1,8939 x 30 segundos, ou 56,69 segundos. 
A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 
 
 Vimos, na experiência do autor, que o número de carros nos intervalos 
de 30 segundos é uma variável aleatória que se distribui conforme Poisson. 
Agora, mostraremos que as diferenças de tempos entre a passagem de dois 
veículos é outra variável aleatória e se distribui conforme a distribuição 
exponencial. 
 
Exemplo H 
A tabela seguinte mostra as diferenças de tempos entre a passagem de 2 
automóveis agrupadas em intervalos de 30 segundos, informações obtidas a 
partir da planilha com os dados originais: 
 
Intervalo xi Freq. absoluta 
01 a 30 15 44 
31 a 60 45 35 
61 a 90 75 28 
91 a 120 105 8 
121 a 150 135 4 
151 a 180 165 3 
181 a 210 195 4 
211 a 240 225 1 
Total 127 
 
Colocando estes valores num gráfico cartesiano, evidenciamos o 
comportamento de queda exponencial para estas diferenças de tempos: 
 
30 60 90 120 150 180 210
10
20
30
40
50
frequências
segundos 
 
Calculando agora a média destas diferenças de tempo a partir da planilha 
original, obtemos o valor de 57,26 segundos/carro. Este valor é bastante 
próximo do inverso da média de carros por segundo: 
 
 
 = 
127 carros carro
f 0,0176 
7.200 segundos segundo
 
= 
1 7.200 segundos segundos
56,69 
f 127 carros carro
 
 
 
 
Agrupando agora em períodos de 30 segundos, vamos obter: 
 
 
  =  = 
carro
n f 30 0,0176 =0,5280
30 segundos
 
= =

1 1 30 segundos 30 segundos
. 1,8939
0,5280 carro carro
 
 
 
 
 
12 - João Carlos Teixeira dos Santos 
 
 
A equação da curva exponencial pontilhada é x
n
y e−= 

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função de probabilidade é utilizada para variáveis 
discretas, onde, por exemplo, seus valores assumem 
apenas números inteiros. Ao contrário, função densidade 
de probabilidade (fdp) é usada para variáveis contínuas. 
Por exemplo, o número x de carros que passam no 
intervalo de 30 segundos é uma variável discreta (não 
podemos ter 1,5 carro, por exemplo). No entanto, a 
variável y diferença de tempo entre a passagem de 2 
carros é contínua (poderíamos ter 1,5 períodos de 30 
segundos, isto é 45 segundos, etc). Enquanto que a 
função de probabilidade possibilita o cálculo da 
probabilidade de um x qualquer, a fdp necessita ser 
integrada num intervalo para avaliar a probabilidade do 
mesmo. Assim, a integral definida desta fdp(y) de 0 a T 
nos dará a probabilidade de encontrarmos diferenças de 
tempo entre 0 e T: 
 
 
 −
−
−
− − −
  =  =
 
 =  − = 
 
   − = − = − =
   
 − − = − = −
 

 

T
x
0
T
x u
0
T
u u x
0
T 0 0 T T
p(0 x T) e dx
du
e dx e
e du e e
e e e e 1 e
 
 
 
Observe uma boa, mas não exata, aproximação entre os 
valores práticos e teóricos previstos pela distribuição 
exponencial. 
 
Isso porque, se de 0 a T, a probabilidade é de 1 − e−T, 
então, após T, a probabilidade será a complementar 1 − (1 
− e−T) = e−T. 
1 2 3 4 5 6 7
10
20
30
40
50 frequências
intervalos de 30 segundos 
 
 A partir de Estatística Superior, demonstra-se que, se uma variável X 
tem distribuição de Poisson com média , então, a variável inversa Y = 1/X terá 
distribuição exponencial. Desta forma, vimos que a variável X definida como o 
número de carros que passará num intervalo específico de 30 segundos terá a 
distribuição de Poisson. Com isso, a variável Y = 1/X , o número de segundos 
entre a passagem de dois carros terá a distribuição exponencial. Sua função 
densidade de probabilidade (coluna auxiliar) será: 
 
 
 −=   yfdp(y) e 
 
 
onde y é a diferença de tempos entre 2 carros cuja média é igual a 1/. 
 
Para obtermos o cálculo da probabilidade do intervalo de diferenças de tempo 
de 0 a T, podemos usar a seguinte fórmula demonstrada na coluna auxiliar: 
 
 
 Tp(0 x T) 1 e−  = − 
 
 
Podemos utilizar esta fórmula para confrontar seus resultados teóricos com as 
frequências acumuladas práticas obtidas para a variável Y, diferença de tempos 
entre a passagem de 2 carros consecutivos: 
 
 
Intervalo 
 
Frequência 
 
Frequência 
acumulada 
Freqûencia 
Acumulada 
relativa 
 
p (0 ≤ y ≤ T) 
01 a 30 44 44 
0,3465 
0,5280 11 e 0,4102− − = 
31 a 60 35 79 
0,6220 
0,5280 21 e 0,6522− − = 
61 a 90 28 107 
0,8425 
0,5280 31 e 0,7948− − = 
91 a 120 8 115 
0,9055 
0,5280 41 e 0,8790− − = 
121 a 150 4 119 
0,9370 
0,5280 51 e 0,9286− − = 
151 a 180 3 122 
0,9606 
0,5280 61 e 0,9579− − = 
181 a 210 4 126 
0,9921 
0,5280 71 e 0,9752− − = 
211 a 240 1 127 
1,0000 
0,5280 81 e 0,9854− − = 
 
 Decorre da fórmula anterior a probabilidade de que o intervalo de 
tempo entre a passagem de 2 carros ser superior a T: 
 
 
 Tp(x T) e− = 
 
 
Esta fórmula será muito usada no modelo de filas a ser apresentado na próxima 
seção. 
Teoria das Filas - 13Podemos entender aqui que estas 1.000 horas será a 
média com que 2 lâmpadas diferentes serão utilizadas e, 
portanto, 1 lâmpada nova a cada 1.000 horas fornece  = 
0,001 lâmpada/hora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica 17: em (a), 1 minuto representa a fração 1/10 do 
período da média de 3 aviões em 10 minutos. Proceda de 
modo análogo para os demais itens. 
 
 
 
 
Exemplo I 
Uma lâmpada incandescente apresenta duração em horas Y variável aleatória 
contínua com distribuição exponencial e média de 1.000 horas. 
a) Qual será a fdp(y) desta distribuição exponencial? 
b) Qual será a probabilidade de a lâmpada durar até 300 horas? 
c) Qual será a probabilidade de a lâmpada durar até 1.000 horas? 
d) Qual será a probabilidade de a lâmpada durar mais de 1.000 horas? 
 
a) Se a média de duração da lâmpada é de 1.000 horas, então, 1.000 será igual 
a 1/, isto é: 
 
 
 
− −
= →  = =

=   → = y 0,001y
1 1
1000 0,001
1.000
fdp(y) e fdp(y) 0,001 e
 
 
 
 
Para os demais itens (b), (c) e (d), basta utilizar a fórmula desenvolvida nesta 
seção: 
 
 
 − 
− 
  = − =
  = − =
 = − =
0,001 300
0,001 1000
p(0 y 300) 1 e 0,2592
p(0 y 1.000) 1 e 0,6321
p(y 1.000) 1 0,6321 0,3679
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
O enunciado a seguir se refere às questões de 17 a 18. Num grande aeroporto, 
a cada 10 minutos, em média, 3 aviões solicitam autorização para pousar. 
 
17) Qual é a probabilidade de, após ser feita uma solicitação, a seguinte ocorrer 
em até: 
a) 1 minuto; b) 2 minutos; 
c) 3 minutos; d) 5 minutos; 
e) 10 minutos; f) mais de 10 minutos. 
 
18) Qual será a média das diferenças de tempo entre duas solicitações? 
 
O enunciado a seguir se refere às questões de 19 a 20. Uma empresa 
disponibiliza uma linha 0800 para receber reclamações e/ou sugestões de seus 
clientes e uma única telefonista para atendê-los. Em 8 horas de serviços, foram 
recebidas 36 ligações. 
 
19) Após o início de uma ligação, qual é a chance que a segunda ocorra: 
a) em até 15 minutos? b) em até 20 minutos? 
c) após 15 minutos? d) após 20 minutos? 
 
20) Prove que os valores anteriores independem da escolha do período de . 
 
21) Um eletrodoméstico tem durabilidade Y horas distribuídas 
exponencialmente com média de 5.000 horas de utilização. Qual é a chance 
de que tenha durabilidade superior a 10.000 horas? 
14 - João Carlos Teixeira dos Santos 
 
 
 
As fórmulas deste modelo são as mesmas estudadas 
anteriormente nas distribuições de Poisson e exponencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chegar, no máximo, 1 pessoa significa não chegar 
ninguém (x = 0) ou chegar uma única pessoa (x = 1). 
Utilizando-se, então, a distribuição de Poisson para efetuar 
os cálculos, obtivemos 0,1353 e 0,2707, respectivamente, 
que deverão ser somados para se chegar à resposta 
correta. 
 
Considerando-se os próximos 3 minutos, alteramos a 
média  de 2 pessoas/min para 6 pessoas/3min. Assim, 
em 3 minutos,  será 6. Para chegarem mais de 2 
pessoas, consideramos o complementar da soma p(0) + 
p(1) + p(2) que significa chegarem, no máximo, 2 pessoas. 
 
 
A chance de a próxima pessoa chegar em até 40 segundos 
é dada pela distribuição exponencial conforme o quadro ao 
lado. Observe atentamente o cálculo de T: 40 segundos = 
2/3 min. Esta chance também poderia ser obtida a partir da 
distribuição de Poisson, considerando-se o complementar 
da probabilidade de não chegar ninguém nos próximos 40 
segundos. Veja que, para tanto, alteramos 
proporcionalmente . 
MODELO PURO DE CHEGADAS 
 
Este modelo da Teoria de Filas é usado para descrever sistemas onde 
apenas chegadas ocorrem. Por exemplo, a fila que se forma no lado de fora 
para a compra de ingressos de um show antes de a bilheteria abrir. Se as 
diferenças entre os tempos de chegadas ocorrem conforme uma distribuição 
exponencial, o número de clientes que chegam num determinado tempo se 
distribui conforme Poisson. 
 
Exemplo J 
As bilheterias para a venda de ingressos de um show musical abrirão somente 
às 9 horas, mas os interessados formaram uma enorme fila única nos 
arredores das mesmas desde às 4 horas da manhã e chegam a uma média de 
2 pessoas por minuto, agora por volta das 7h30. Assim, considerando: 
a) o próximo minuto, qual é a chance de chegar, no máximo, 1 pessoa? 
b) os próximos 3 minutos, qual é a chance de chegarem mais de 2 pessoas? 
c) Qual é a chance de a próxima pessoa chegar em até 40 segundos? 
 
a) 
 
 
−
−
−
 =

= =
 
= → 

= =

+ =
0
2
x
1
2
pessoas
2
min
2
p(0) e 0,1353
0!
p(x) e
x! 2
p(1) e 0,2707
1!
p(0) p(1) 0,4060
 
 
 
 
b) 
 
 
 
−
− −
−
 = =

= =

 
= → = =


= =

+ + = → + + = − =
0
6
x 1
6
2
6
pessoas pessoas
2 6
min 3min
6
p(0) e 0,0025
0!
6
p(x) e p(1) e 0,0149
x! 1!
6
p(2) e 0,0446
2!
p(0) p(1) p(2) 0,0620 p(3) p(4) ... 1 0,0620 0,9380
 
 
 
 
c) 
 
 
 
− −
−
−
−
 = = =
  = − = − = − =
 = = =

= = =
= − =
2 4
2
T 3 3
4x 0
3
pessoas 40 2
2 e T min min
min 60 3
p(0 y 2 / 3) 1 e 1 e 1 e 0,7364
ou
pessoas pessoas 4 pessoas
2 2
min 60seg 3 40seg
(4 / 3)
p(0) e e 0,2636
x! 0!
p 1 p(0) 0,7364
 
 
 
 
 
Teoria das Filas - 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que a primeira fórmula não poderá ser usada para 
calcular a probabilidade de não haver clientes no sistema, 
p(0), que deverá ser obtida pelo complementar da soma 
das demais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A média de 4 minutos por cliente implica em 0,25 cliente 
por minuto ou 2,5 clientes a cada 10 minutos. Veja que a 
probabilidade de haver 0 cliente é a maior de todas. 
 
 
 
 
Alteramos proporcionalmente a média de saída de clientes 
para 1,25 cliente em cada 5 minutos. Observe como a 
probabilidade de saírem 3 clientes, isto é, sistema com 0 
cliente, p(0) é muito menor agora se comparado ao 
exemplo anterior, pois definimos um intervalo de tempo 
menor. Assim, haverá apenas 13,16% de chance de que, 
após 5 minutos, ninguém permaneça no sistema, isto é, 
todos os 3 clientes já tenham sido atendidos. 
MODELO PURO DE SAÍDAS 
 
Este modelo da Teoria de Filas é usado para descrever sistemas onde 
apenas saídas ocorrem. Por exemplo, a fila numa agência bancária após as 16 
horas. As durações de atendimento de clientes ou os intervalos entre as saídas 
de dois clientes continuarão a ser distribuídos no tempo conforme a 
distribuição exponencial. Porém, devido à limitação do número de clientes N 
que serão atendidos, as probabilidades de haverem no sistema de 0 a N 
clientes num tempo específico se distribuirão conforme a distribuição 
truncada de Poisson: 
 
 
 −−
=

=  =
−
= − 
N x
N
x 1
p(x) e , x 1, 2, ..., N
(N x)!
p(0) 1 p(x)
 
 
 
 
Exemplo K 
Numa agência bancária, após as 16 horas, existem 2 clientes na fila e um 
iniciando seu atendimento por um único caixa. Este demora em média 4 
minutos para atender cada um dos clientes. Então, considerando os próximos 
10 minutos, qual é a chance de que sejam atendidos: 
a) nenhum cliente? 
b) apenas um cliente? 
c) dois clientes? 
d) três clientes? 
 
Para que, em 10 minutos, nenhum cliente ainda tenha sido atendido, é 
necessário que o sistema ainda esteja com x = 3 clientes. Assim, para obter 
esta probabilidade, devemos calcular p(3) e assim por diante: 
 
 
 
−
−
−
−
−
−
= →  = =

=  =
−
=  =
−
=  =
−
= − + + =
3 3
2,5
3 2
2,5
3 1
2,5
1 minutos cliente clientes
4 0,25 2,5
cliente minuto 10minutos
2,5
a) p(3) e 0,0821
(3 3)!
2,5
b) p(2) e 0,2052
(3 2)!
2,5
c) p(1) e 0,2565
(3 1)!
d) p(0) 1 [p(1) p(2) p(3)] 0,4562
 
 
 
 
Exemplo L 
Usando o exemplo anterior, refaça todos os cálculos considerando-se agora os 
próximos 5 minutos. 
 
 
 
−
−
−
−
−
−
= →  = =

=  =
−
=  =
−
=  =
−
= − + + =
3 1
1,25
3 2
1,25
3 3
1,25
1 minutoscliente cliente
4 0,25 1,25
cliente minuto 5minutos
1,25
a) p(1) e 0,2238
(3 1)!
1,25
b) p(2) e 0,3581
(3 2)!
1,25
c) p(3) e 0,2865
(3 3)!
d) p(0) 1 [p(1) p(2) p(3)] 0,1316
 
 
 
16 - João Carlos Teixeira dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica 32: utilize o método de Newton para resolver a 
equação em , média em pessoas/minuto. Em seguida, 
converta  para pessoas/(15seg) e calcule os itens (a) e (b).
EXERCÍCIOS 
 
22) Os aposentados chegam a uma agência bancária, antes de abrir, a uma 
taxa de 5 por minuto em intervalos de tempo que se distribuem 
exponencialmente. Encontre a probabilidade de: 
a) não chegar nenhum aposentado nos próximos 3 minutos; 
b) não chegar nenhum aposentado nos próximos 12 segundos; 
c) chegar um ou mais aposentados nos próximos 30 segundos; 
d) chegarem 2 aposentados nos próximos 2 minutos. 
 
23) Considerando a questão anterior, calcule a chance de o próximo 
aposentado chegar em até 1 minuto utilizando: 
a) a distribuição de Poisson; 
b) a distribuição exponencial. 
 
24) Numa fila, a probabilidade de que nenhuma pessoa chegue nos próximos 
50 segundos é de 44,93%. Assim, qual será a probabilidade de que nenhuma 
pessoa chegue no próximo minuto? 
 
25) Numa fila, a probabilidade de que uma ou mais pessoas cheguem no 
próximo minuto é de 85,04%. Assim, qual é a probabilidade de que duas ou 
mais pessoas cheguem no próximo minuto? 
 
26) Um médico precisará atender 5 pacientes em seu consultório. Se iniciar 
agora seus atendimentos e estes tiverem a duração média de 25 minutos, qual 
é a chance de que atenda todos eles em até 2 horas? 
 
27) Considerando-se a questão anterior, qual é a chance de atender todos os 
5 pacientes em até 1h 10 minutos? 
 
28) Um estudante precisa ler 3 livros e, em média, lê 1 livro em 6 horas. Qual 
é a chance de que gaste até 15 horas para ler estes livros? 
 
29) Um eletrotécnico precisa consertar 4 tvs e gasta, em média, 45 minutos 
para consertar cada um. Após 2 horas de trabalho, qual é a chance de que ainda 
tenha terminado o conserto de apenas um? 
 
30) Um motoboy precisa entregar 5 pizzas e gasta, em média, 17 minutos para 
entregar cada uma. Qual é a chance de entregar todas em até 1 hora? 
 
31) Num modelo puro de saídas, existem 10 clientes e a probabilidade de que 
nos próximos 15 minutos não saia ninguém é de 54,88%. Assim, qual é a 
probabilidade de não sair ninguém nos próximos 5 minutos? 
 
 
EXERCÍCIO AVANÇADO 
 
32) Numa fila, a probabilidade de que uma pessoa chegue no próximo minuto 
é de 35,95%. Qual será a probabilidade de que uma pessoa chegue: 
a) nos próximos 15 segundos? 
b) em até 15 segundos? 
 
Teoria das Filas - 17 
 
 
 
 
 
Isso é equivalente a dizer que duas chegadas consecutivas 
e cada atendimento de um cliente ocorrerão em intervalos 
de tempos aleatórios distribuídos exponencialmente. 
 
 
A única estação de trabalho é o único caixa eletrônico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isso porque o fato de 1 pessoa chegar a cada minuto, em 
média, não significa a impossibilidade de chegarem, por 
exemplo, 5 pessoas num mesmo minuto e nenhuma 
pessoa nos minutos seguintes. O mesmo dizer para a 
média de atendimentos: o fato de 1,25 pessoa por minuto 
ser atendida, em média, não significa que não haverá 
minutos em que nenhuma pessoa seja totalmente 
atendida. 
 
 
 
 
Caso  fosse maior ou igual a ,  seria maior ou igual a 1 
e a fila cresceria indefinidamente e todas estas 
características ao lado não poderiam ser facilmente 
determinadas. 
SISTEMA COM UMA ÚNICA ESTAÇÃO DE TRABALHO 
 
 Neste terceiro modelo de filas, ocorrerão chegadas e saídas, 
constituindo, portanto, uma combinação dos outros dois puros vistos nas 
seções anteriores. Assim, os números de clientes que chegam à fila e que são 
atendidos serão variáveis aleatórias com distribuição de Poisson com médias 
 e  respectivamente. Outra característica deste modelo é a única estação de 
trabalho para atender os clientes e estes são atendidos com a qualidade FIFO 
(first in first out), isto é, o primeiro a chegar na fila é o primeiro a sair dela. 
 
Exemplo M 
Considere um caixa eletrônico de um banco instalado dentro de uma empresa. 
Em determinado dia e horário, o número de pessoas que chegam por minuto 
está distribuído conforme Poisson com média de 1 pessoa. Assim, vamos 
representar a média de chegadas na fila por : 
 
 
  =
pessoa
1 
minuto
 
 
 
Suponha agora que o caixa eletrônico as pessoas utilizam o caixa em intervalos 
de tempo distribuídos exponencialmente com média de 48 segundos. 
Podemos, assim, calcular a média de atendimentos, representada por  , da 
seguinte forma: 
 
 
 = →  =  =  =

1 segundos 1 pessoa 60 pessoa pessoa
48 1,25
pessoa 48 segundo 48 60 segundos minuto
 
 
 
Desta maneira, percebemos que, em média, podem sair mais pessoas do que 
chegam. Se estas chegadas e estas saídas se dessem em intervalos de 
tempos regulares, isto é, se não representassem variáveis aleatórias, se 
iniciarmos o sistema sem filas, estas jamais ocorreriam. Porém, como as 
chegadas e as saídas ocorrerão em instantes aleatórios, em alguns intervalos 
de tempo, não haverá nem fila nem pessoas utilizando o terminal; em outros, 
pessoas sozinhas no caixa; em outros, pessoas no caixa e pessoas na fila. 
 
A razão entre  e  é definida como fator de utilização  (letra r minúscula 
grega, rô) e apresenta diversos significados e utilizações em outras fórmulas: 
 
 
  =

 
 
 
O modelo de filas a ser apresentado nesta seção é válido somente quando  
< , o que implica em 0 <  < 1, ocasião em que poderemos prever diversas 
características do nosso sistema, como o tamanho médio da fila, o tempo 
médio de espera na fila, a probabilidade de haver n pessoas no sistema, a 
chance de um cliente em particular esperar mais do que um tempo específico, 
etc. 
 
18 - João Carlos Teixeira dos Santos 
 
 
 
 
 
Para sistemas com mais de uma estação de trabalho, 
estas interpretações sofrerão modificações, mas poderão 
ser expressas também em função de . 
 
 
 
 
 
Este resultado nos diz que, ao longo de um tempo 
relativamente longo, a frequência com que haverá n 
pessoas no sistema, Pn, será igual à frequência com que 
haverá n−1 pessoas vezes . 
 
 
 
 
Com isso, a probabilidade de haver n pessoas no sistema 
passa a depender somente de n e de . Dizemos que a 
variável aleatória n clientes tem distribuição geométrica 
de probabilidades. 
 
 
Para obter os símbolos , ,  e , digite, respectivamente 
nas células l, m, r e S e depois use a fonte SYMBOL. 
 
Como a probabilidade de haver nenhuma pessoa no 
sistema é de 20%, então, segue que a probabilidade de 
haver, pelo menos, 1 pessoa será de 80%, o que é igual 
ao fator de utilização . Veja que as probabilidades 
decrescem com o aumento de pessoas, o que é bastante 
intuitivo, sendo praticamente, nula para mais do que 37 
pessoas. Na célula B4, temos a fórmula '=B2/B3'. Em G3, 
digitamos '=1−B4' e, em G4, digitamos '=B4*G3' ou, 
alternativamente, em G3, digitamos '=B$4^F3*(1−B$4)', 
clicamos e arrastamos. 
No nosso exemplo M, o valor de  será igual a  /  = 1 / 1,25 = 0,80, sendo, 
portanto, adimensional por se tratar da divisão de duas médias de mesmas 
naturezas (média  de número de clientes que chegam por unidade de tempo 
e média  de número de clientes que são atendidos por unidade de tempo). 
 
Para sistemas com uma única estação de trabalho, o fator de utilização  
poderá ser interpretado fisicamente como: 
a) a probabilidade de o sistema estar ocupado é igual a  (e a de estar 
desocupado será, portanto, 1 − ); 
b) o número médio de clientes sendo atendidos, sendo, por isso, também 
chamado de intensidade de tráfego ou índice de congestionamento.Podemos demonstrar que a probabilidade de haver n clientes no sistema (1 
sendo atendido e n−1 na fila) é dada pela seguinte fórmula: 
 
 
 −= n n 1P P 
 
 
Esta fórmula pode ser obtida a partir de situação de equilíbrio no diagrama de 
transição e sua obtenção será estimulada através de um exercício avançado. 
Desta maneira, poderemos recursivamente obter a probabilidade ou 
frequência de haver n pessoas no sistema da seguinte forma: 
 
 
 
−
= − 
=   =   − 
=   =     −  =   − 
=   =     −  =   − 
=   = =   − 
0
1 0
2
2 1
2 3
3 2
n
n n 1
P 1
P P (1 )
P P [ (1 )] (1 )
P P [ (1 )] (1 )
...
P P ... (1 )
 
 
 
 
Considerando as informações do exemplo M, podemos utilizar o Ms Excel para 
obter as seguintes probabilidades: 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Filas - 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para tanto, utilizamos a função predefinida do Excel 
SOMARPRODUTO() corretamente parametrizada. Este 
resultado é igual à esperança da variável aleatória número 
de clientes no sistema. 
 
Representamos esta média de clientes por Ls (length 
system, comprimento do sistema). 
 
 
Assim, ainda que a média de atendimentos  seja maior 
do que a de chegadas , o sistema, em média, terá 4 
pessoas, 1 no caixa e 3 na fila. 
 
 
O número médio de clientes sendo atendidos é o fator de 
utilização  com a unidade clientes em vez de 
adimensional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em inglês, fila é queue, daí, Lq significando (length queue, 
comprimento da fila). 
 
 
Para obtermos os resultados da ilustração, informamos a média de chegadas 
 e a média de atendimentos  por minuto. Em seguida, calculamos o fator de 
utilização  através da sua fórmula de definição. Montamos as 3 tabelas laterais 
utilizando uma das fórmulas para Pn apresentada ou desenvolvida. Na coluna 
auxiliar, temos detalhes destes procedimentos. Através da função SOMA(), 
obtemos a soma  de todas estas probabilidades, o que deverá resultar em 
100,00% e também a soma específica P1 + P2 + ... + P46 que deverá resultar 
em 80,00%, igual ao fator de utilização . 
 
Encarando Pn como a frequência com que haverá n clientes no sistema, 
podemos obter a média de clientes no sistema multiplicando-se cada valor 
de n por seu respectivo Pn e, em seguida, somando todos estes produtos. A 
rigor, serão infinitos, pois sempre existirá a chance teórica de haver, como no 
exemplo M, mais que 46 clientes, mas, na prática, podemos considerar nula 
tal chance. Este cálculo foi feito e está exibido na ilustração anterior. 
Mostraremos, em exercício avançado, que este número médio de clientes no 
sistema pode ser obtido a partir da fórmula seguinte: 
 
 
 =
− 
sL
1
 
 
 
No exemplo, o número médio de clientes no sistema será de: 
 
 
 = = =
−
s
0,80 0,80
L 4 clientes
1 0,80 0,20
 
 
 
O número médio de clientes sendo atendidos pode ser obtido a partir da 2ª 
interpretação do fator de utilização , isto é: 
 
 
 = aL 
 
 
Para o exemplo 1M, teremos: 
 
 
 =  =aL 0,80 cliente 
 
 
O número médio de clientes na fila poderá ser obtido, logicamente, através 
da diferença entre o número de clientes no sistema (fila + atendimento) e o 
número médio de clientes no atendimento: 
 
 
   −  +  
= − = −  = =
−  −  − 
2 2
q s aL L L
1 1 1
 
 
 
 
Para o exemplo M, teremos: 
 
 
 = − = − =q s aL L L 4 0,80 3,2 clientes 
ou 

= = =
− 
2 2
q
0,80
L 3,2 clientes
1 0,20
 
 
 
 
 
20 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Este resultado está nitidamente relacionado ao fato de as 
distribuições dos intervalos de tempo entre duas chegadas 
e dos intervalos de tempo de entre dois atendimentos 
serem exponenciais. 
 
 
Desta forma, existe uma chance de apenas 6,57% de uma 
pessoa esperar na fila mais do que 10 minutos para utilizar 
o caixa eletrônico. 
 
Assim, quanto maior o tamanho da fila Lq maior será o 
tempo médio de espera e quanto mais pessoas chegarem 
 por unidade de tempo para aquele tamanho específico 
de fila, menor será o tempo de espera. Isso porque um 
alto  indicaria alta mobilidade da fila. 
 
 
 
 
Este tempo de atendimento médio, inclusive, foi utilizado 
para obtermos a média  de pessoas atendidas por 
minuto. 
Pode-se provar que a probabilidade de o tempo de espera na fila ser superior 
a t minutos será igual a: 
 
 
 − − =   ( )tqP(t t) e 
 
 
Assim, a probabilidade de uma pessoa esperar, por exemplo, mais que 10 
minutos na fila do exemplo M será: 
 
 
 − −  − =  =  =(1,25 1)10 2,5qP(t 10) 0,80 e 0,80 e 0,0657 
 
 
Em média, uma pessoa esperará na fila: 
 
 
 
= =
 −   
2
q
q
L
T
(1 )
 
 
 
 
Neste exemplo M, o tempo médio de espera na fila será: 
 
 
 = =

q
q
L 4 clientes
T = 4 minutos
1 cliente/min
 
 
 
Vimos que o tempo médio de atendimento será dado por: 
 
 
 

a
1
T = 
 
 
No exemplo M, temos que: 
 
 
 = = =a
1 minuto segundos
T 0,80 48
1,25 clientes/minuto cliente cliente
 
 
 
Veja como este resultado concorda com o enunciado do problema de que, em 
média, os clientes são atendidos em 48 segundos. 
 
Finalmente, o tempo médio de um cliente no sistema será, logicamente, a 
soma do tempo médio na fila mais o tempo médio no atendimento: 
 
 
 = +s q aT T T 
 
 
No exemplo 1M, temos: 
 
 
 = + = + =s q aT T T 4min 48s 4min48segundos 
 
 
************** 
 
 Os exercícios seguintes trarão outros contextos diferentes, além de 
explorarem outras possibilidades de manipulação para as fórmulas 
apresentadas, inclusive suas demonstrações. 
 
Teoria das Filas - 21 
EXERCÍCIOS 
 
33) Uma sorveteria apresenta apenas um funcionário para atender seus 
clientes que chegam a uma taxa média de 42 por hora. Todos os clientes que 
chegam estão dispostos a esperar. O atendente gasta, em média, 1 minuto e 
15 segundos com cada cliente. Encontre: 
a) as médias  e  por minuto; 
b) o fator de utilização ; 
c) a probabilidade de o atendente estar desocupado; 
d) a probabilidade de haver 5 clientes na sorveteria; 
e) a probabilidade de a fila estar com 7 clientes; 
f) o número médio de clientes no sistema; 
g) o número médio de clientes sendo atendidos; 
h) o número médio de pessoas na fila; 
i) a chance de um cliente esperar mais de 5 minutos para ser atendido; 
j) a chance de um cliente esperar menos de 8 minutos para ser atendido; 
k) o tempo médio de espera na fila; 
l) o tempo médio gasto no sistema. 
 
34) Duas pessoas chegam a uma cabine telefônica num intervalo médio de 8 
minutos entre si. A duração das chamadas, em média, é de 4 minutos. 
Encontre: 
a) o fator de utilização do sistema; 
b) a probabilidade de uma pessoa, chegando à cabine, ter que esperar; 
c) o número médio de pessoas no sistema; 
d) o número médio de pessoas ao telefone; 
e) o número médio de pessoas na fila; 
f) o tempo médio de espera na fila; 
g) o tempo médio de espera no sistema; 
h) a chance de esperar 12 minutos ou mais até iniciar o telefonema; 
 
35) Um sistema com 1 estação de trabalho apresenta probabilidade de estar 
sem clientes igual a 32%. Qual será a probabilidade de estar: 
a) com clientes; 
b) com uma única pessoa sendo atendida, sem fila; 
c) com quatro pessoas na fila. 
 
36) Um sistema com 1 estação de trabalho apresenta, em média, 7 clientes. 
Se, em média, a cada 30/7 minutos chega 1 cliente, encontre: 
a) o tempo médio de atendimento em segundos; 
b) o tamanho médio da fila; 
c) a probabilidade de se esperar por mais de 10 minutos na fila. 
 
37) Um sistema com 1 estação de trabalho apresenta uma fila com 7 clientes 
em média. Calcule aproximadamente seu fator de utilização . 
 
38) Um sistema com 1 estação de trabalho é tal que um cliente chega a cada 
2 minutos em média e o tempo médio de atendimento é de 1 minuto e 40 
segundos. Sabendo que a chance de alguém esperar menos do quet minutos 
para ser atendido é de 77,29%, encontre o valor de t. 
 
39) Um sistema com 1 estação de trabalho apresenta tempo médio de espera 
em fila de 15 minutos e média chegada de 5 clientes por minuto. Qual será a 
probabilidade de estar desocupado? 
 
22 - João Carlos Teixeira dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em geral, chegarão mais clientes por unidade de tempo  
do que os clientes que são atendidos por unidade de 
tempo por cada caixa , isto é,  > . A validade do 
modelo a ser explicado será para  < k, isto é a 
quantidade de clientes que chegam deverá ser menor que 
a quantidade de clientes que poderão sair por unidade de 
tempo. 
 
 
EXERCÍCIOS AVANÇADOS 
 
40) A probabilidade de uma pessoa esperar mais de 5 minutos em fila é de 
32,53% num sistema com única estação. Se, em média, 54 clientes são 
atendidos por hora, qual será o fator de utilização? 
 
41) Diagramas de Transição. O desenho ao lado pode ser usado para obter a 
probabilidade ou a frequência em que apenas um cliente está no sistema. 
Assim, o sistema estará com nenhum cliente (estado 0) quando a frequência 
de não haver clientes (P0) multiplicada por  for igual à frequência de haver 
único cliente (P1) multiplicada por . Obtenha o valor de: 
a) P1, justificando esta equação; 
b) P2, considerando-se o equilíbrio no estado 1. 
c) Pn, considerando-se o equilíbrio no estado n−1. 
 
42) Média de Clientes no Sistema. Concluímos que o número de clientes no 
sistema n é uma variável aleatória com distribuição geométrica de 
probabilidades dada por  −nnP = (1 )  . A esperança desta variável, portanto, 
fornecerá a média de clientes no sistema. Calcule esta esperança, observando 
as progressões geométricas que se formarão, utilize suas fórmulas para 
simplificar e finalmente obter a expressão para Ls em termos de . 
 
 
SISTEMA COM K ESTAÇÕES DE TRABALHO 
 
 A generalização do modelo desenvolvido na seção anterior de sistema 
com 1 estação para sistema com k estações de atendimento é feita através de 
considerações que fogem ao caráter introdutório deste trabalho. No entanto, 
como no caso anterior, procuraremos abordá-la através de um exemplo, 
explorando a herança de conceitos e resultados, procurando sempre que 
possível usar o bom senso e o raciocínio para apresentá-los. 
 
Exemplo N 
Considere agora k caixas eletrônicos em funcionamento na agência de um 
banco com fila única. Sejam também  a média de clientes que chegam à 
agência e  a média de clientes que são atendidos por caixa. De forma idêntica 
ao modelo de uma estação de trabalho, desenvolvido no exemplo da seção 
anterior, continuaremos definindo  como a razão entre as médias  e , apesar 
de não resultar mais na chance de o sistema estar ocupado: 
 
 
  =

 
 
 
A fórmula para o tempo médio de espera em fila Tq terá a mesma expressão 
do modelo de único caixa: 
 
 
 =

q
q
L
T 
 
 
 
0 1 
 
Teoria das Filas - 23 
 
 
 
 
 
 
 
O somatório  presente no denominador desta fórmula 
deverá ser entendido como a soma das parcelas 
n/n! onde n varia de 0 até k−1. 
 
 
 
 
Veja que, por hora e em média, chegam 150 clientes e 
podem ser atendidos 5 x 30,2 = 151 clientes, por hora e 
em média, isto é,  < k, o que permite a aplicação do 
nosso modelo. 
 
 
Notamos uma tabela que somará as parcelas n/n! com n 
variando de 0 até k−1. No problema, k = 5 e, portanto, 
conforme indica o somatório, entrarão as parcelas de n = 0 
até n = 5−1 = 4. Para isso, basta calcular a parcela caso n 
seja menor que k e isto é obtido com a função predefinida 
SE() parametrizada conforme a ilustração. Na linha 14, 
temos a soma de todas estas parcela, o que é obtido com 
'SOMA(F3:F13)'. 
 
 
 
 
Assim, o resultado de P0 será 0,03%, isto é, uma muito 
pequena chance de o sistema estar sem ninguém. Veja 
que o fator de utilização  é quase igual ao número de 
estações k. Por outro lado, o número de pessoas na fila 
será, média, 147, um número absurdamente alto. 
Finalmente, o tempo de espera em fila, Tq, em minutos 
será, em média, um pouco mais que 59. 
Porém, a expressão para Lq, tamanho médio da fila, será bem mais complexa: 
 
 
 +
= 
 − 
k 1
q 02
L P
k k!(1 / k)
 
 
 
 
Por sua vez, P0, a probabilidade de o sistema estar vazio, é dada por: 
 
 
 
−
=
=
 
+
− 

0 k nk 1
n 0
1
P
k!(1 / k) n!
 
 
 
As complexidades envolvidas nestas expressões poderão ser amenizadas com 
a utilização do software Ms Excel para realizar os cálculos. Vamos, a seguir, 
ilustrar estes cálculos considerando: 
 
 
  =
 =
=
150 clientes/hora
30,2 clientes/hora
k 5 caixas
 
 
 
 
 
 
 
Para obtermos a probabilidade de não haver clientes no sistema, isto é, P0, 
necessitamos desta soma  além da fração de numerador k e denominador 
k!.(1 − /k): 
 
 
24 - João Carlos Teixeira dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ocorre o que chamamos de efeito da estação adicional: o 
tamanho da fila tenderá a decrescer com o tempo para 
aproximadamente 3 clientes, e, depois desta estabilização, 
o tempo de espera passará de 59 para pouco mais de 1 
minuto. No entanto, no período de transição, ainda poderá 
haver filas grandes e tempo de espera elevado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pn é a probabilidade de haver n clientes no sistema e terá 
duas fórmulas de cálculo, conforme o valor de n se 
comparado ao número de estações k. O número de 
clientes sendo atendidos é , enquanto, que, no sistema 
será Lq + La. O tempo médio de espera na fila Tq será, 
analogamente ao sistema de uma única estação, Lq/. O 
tempo médio no sistema será o tempo médio de espera 
na fila mais o tempo médio de atendimento 1/. As 
probabilidades de o tempo de espera na fila e no sistema 
serem superiores a um tempo T em minutos será dada 
pela expressão de P(Tq > T) e de P(Ts >T), 
respectivamente. Finalmente, o número de estações de 
trabalho vazias, em média, será dado pela diferença entre 
k e . 
Assim, para que a fórmula não ficasse muito grande no Excel, calculamos estes 
termos separadamente e, em seguida, calculamos P0. O tamanho médio da fila 
Lq bem como o tempo médio de espera na fila Tq estão igualmente calculados 
conforme as fórmulas no Excel ilustradas que seguem as expressões 
matemáticas apresentadas no início deste exemplo. 
 
Através dos resultados numéricos desta planilha, chegamos à conclusão de 
que o sistema terá uma longa fila, com muita espera, e que, portanto, precisa 
ser modificado. Experimente alterar apenas k para 6 caixas e veja o que 
ocorrerá: 
 
 
 
A seguir, vamos listar algumas outras fórmulas importantes para o sistema de 
fila única com k estações de trabalho. 
 
 
 
−
−
−  −
− 
−

=   

=  
= 
= + = + 
=

= + = +


 = 
− 
 
  −
 = +  
 −   
 
 
 −
 = −

n n 1
n n 1
a
s q a q
q
q
s q a q
Tk k (1 /k)
60
q 0
T
kT k 60
60
s 0
P P para 1 n k
n
P P para n k
k
L
L L L L
L
T
1
T T T T
P(T T) P e
k!(1 / k)
1 e
P(T T) e 1 P
k k!(1 / k)
1
 onde 1
k



= − vk k
 
 
 
 
Os exercícios que se seguirão explorarão também habilidades para invertê-las, 
o que sempre exige uma boa compreensão de matemática, além da 
capacidade de obter uma delas a partir de outras, o que será explorado nos 
exercícios avançados. 
Teoria das Filas - 25 
EXERCÍCIOS 
 
43) Oito vendedoras cuidam do atendimento aos clientes em uma perfumaria, 
sendo que o tempo médio de atendimento de cada cliente é de 30 minutos. 
Em horários de pico, os clientes chegam a uma taxa média de doze por hora. 
Determinar: 
a) a média de clientes atendidos por hora por cada vendedora; 
b) o número médio de clientes esperando; 
c) o número médio de clientes na loja; 
d) a probabilidade de um cliente que chegou ter queesperar; 
e) a probabilidade de um cliente esperar mais de 7 minutos para ser atendido; 
f) o tempo médio gasto no sistema; 
g) o número médio de vendedoras desocupadas. 
h) a variação percentual do tempo de espera na fila se a perfumaria demitisse 
uma vendedora e ficasse com apenas 7? 
i) a variação percentual do tempo em espera na fila se for contratada mais uma 
vendedora, ficando com 9. 
 
44) Vimos que a fórmula para o número médio de clientes no sistema Ls foi 
desenvolvida a partir da esperança da variável aleatória número de clientes no 
sistema que tem distribuição geométrica para o modelo de 1 estação de 
trabalho (exercício 42). Utilizando o Excel e o exercício anterior, mostre que Ls 
para sistemas com k estações também poderá ser obtido desta forma, através 
da função predefinida 'SOMARPRODUTO()'. A partir de que valor para n 
considerado, haverá a concordância com 2 casas decimais? 
 
45) Num sistema de 2 estações, em 5,00% de um longo tempo observado, 
não houve clientes. Encontre: 
a) o fator de utilização ; 
b) o tamanho médio da fila; 
c) a probabilidade de um cliente que chegou ter que esperar; 
d) a probabilidade de um cliente esperar mais que 10 minutos na fila, se 
chegam 57 clientes por hora em média; 
e) o número médio de clientes no sistema. 
 
 
EXERCÍCIOS AVANÇADOS 
 
46) Num sistema de 3 estações com probabilidade P0 de não haver clientes, 
a) mostre que o fator de utilização  é dado por: 
 
 
   = − + − −
  
2
0 0 0
0
1
10P 2P 1 2P 1
P
 
 
 
b) calcule  se a probabilidade de não haver clientes for de 3,00%. 
 
47) Num sistema de 4 estações, a probabilidade de não haver clientes é de 
2,00%. Encontre: 
a) o fator de utilização ; 
b) o tamanho médio da fila; 
c) a probabilidade de um cliente que chegou ter que esperar; 
 
 
 
26 - João Carlos Teixeira dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, haverá uma chance de 44,93% de nenhum cliente 
chegar num minutos específico. Esta chance foi calculada 
a partir da distribuição de Poisson conforme a fórmula 
indicada ao lado e leva em conta a média  e o número x 
de clientes desejado. 
 
Veja como o limite inferior é feito igual ao superior do x 
anterior, enquanto que o superior atual é o inferior mais a 
probabilidade de Poisson. 
48) Mostre que, num sistema de k estações, o tempo médio de espera em fila 
também será dado por: 
 
 
 
= 
   − 
k
q 02
T P
k k! (1 / k)
 
 
 
 
49) Mostre que, num sistema de k estações de trabalho, as probabilidades de 
haver n clientes no sistema também serão dadas por: 
 
 
 
−

=   

=  

n
n 0
n
n 0n k
P P para 1 n k
n!
P P para n k
k! k
 
 
 
 
50) Mostre que, num sistema de k estações de trabalho, a probabilidade de 
um cliente que chegou ter que esperar é dada por: 
 
 
 
 =
− 
k
q 0P(T 0) P
k!(1 / k)
 
 
 
 
 
SIMULAÇÕES DE FILAS 
 
Exemplo O 
Vamos considerar o sistema com única estação de trabalho (k = 1). Utilizamos 
a função predefinida POISSON() corretamente parametrizada para calcular as 
frequências ou probabilidades com que chegam e com que são atendidos 
clientes a partir do fornecimento das médias de chegada  e de atendimento 
. 
 
 
 
Definimos um intervalo de tamanho Poisson para que nossa simulação possa 
ser coerente com a chance associada a cada valor x de clientes que chegarão 
em 1 minuto: 
 
 
 
As células da coluna H dependerão de um número aleatório entre 0 e 1 gerado 
pelo Excel a partir da função ALEATÓRIO(). Conforme o valor deste número, a 
planilha simulará quantos clientes estarão chegando num minuto específico: 
 
 
Teoria das Filas - 27 
 
A fórmula em I2, por receber seu conteúdo anterior, é 
considerada uma referência circular. Para que funcione 
corretamente no Excel, você deverá acessar 
FERRAMENTAS >> OPÇÕES >> CÁLCULO e habilitar a 
caixa iterações e preencher com o número máximo igual a 
1. Em seguida, toda vez que a tecla F9 for pressionada, 
haverá a geração de outro aleatório, o que simula o que 
ocorrerá no próximo minuto. 
 
 
 
 
 
 
O relógio também é uma referência circular pois terá o 
número total de minutos simulados. Em cada um deles, 
haverá dois números aleatórios relacionados ao número de 
clientes que chegam e que são atendidos. As três 
fórmulas relacionam o tamanho da fila conforme chegam e 
são atendidos os clientes. Em X11, temos outra fórmula 
com referência circular que irá somar o tamanho de todas 
as filas para que seja calculada a média destes tamanhos 
e, mais importante, comparada à média teórica prevista 
pela fórmula Lq. 
 
 
 
 
 
Assim, se o tamanho da fila for igual ou maior do que o 
valor da escala, o Excel irá preencher a célula com o 
número 1. Caso contrário, a deixará em branco, conforme 
sugere as aspas sem conteúdo da fórmula SE(). 
 
 
Aqui, selecionamos todas as células da escala e clicamos 
em FORMATAR >> FORMATAÇÃO CONDICIONAL... Para 
a cor de preenchimento das células, utilize a mesma da 
fonte o conteúdo das células (números 1). Este 
procedimento ocultará estes números e mostrará apenas a 
barra colorida. 
Finalmente, as colunas I e J contarão as frequências obtidas na simulação para 
a confirmação das fórmulas de Poisson: 
 
 
 
Analogamente, procedemos para o número de atendimentos em 1 minuto na 
dependência da média  a ser fornecida. A tecla F9 é capaz de simular o que 
ocorrerá no próximo minuto, mas uma macro criada e acessada com as teclas 
CTRL M simula 10.000 minutos seguintes, ocasião em que percebemos as 
frequências se aproximarem muito das teóricas de Poisson. Isso já era 
esperado devido à forma como definimos os intervalos. 
 
Para fazer com que as células que tenham referências circulares sejam 
zeradas, posicione o fóco sobre elas e digite F2. As fórmulas seguintes 
relacionam o tamanho da fila gerado a partir do número de clientes que chegam 
e que são atendidos a cada um dos minutos simulado. 
 
 
 
O truque da formatação condicional faz com que os tamanhos de filas sejam 
mostrados visualmente em barras. Para tanto, as células corresponderão a 
uma escala de valores e a função lógica SE() corretamente parametrizada irá 
atribuir o conteúdo 1 quando o tamanho da fila for maior ou igual ao valor da 
escala, conforme nos mostra a ilustração seguinte. 
 
 
 
Assim, substituímos visualmente a sequência de números 1 pela célula 
preenchida na mesma cor da fonte, através da formatação condicional: 
 
 
28 - João Carlos Teixeira dos Santos 
RESPOSTAS 
 
01) 
a) p(0) = 0,0024 
b) p(5) = 0,1681 
c) p(3) = 0,3087 
d) p(3) + p(4) + p(5) = 0,8370. A repetição de partidas beneficia o favorito. 
 
02) 03) 
a) p(0) = 0,4087 a) p(0) = 0,0002 
b) p(1) = 0,3901 b) p(8) = 0,0319 
c) p(0) + p(1) = 0,7988 c) 1 − p(8) = 0,9681 
d) 1 − [p(0) + p(1)] = 0,2012 
 
04) p(8) + p(9) + p(10) = 0,9884 05) p(0) = 0,6853 
 
06) 0,8 07) 0,25 
 
08) 09) 
a) p(0) = 0,0498 a) p(0) = 0,2231 
b) p(1) = 0,1494 b) p(1) = 0,3347 
c) p(2) = 0,2240 c) 0,2510 
d) p(3) = 0,2240 d) 0,1912 
e) p(4) = 0,1680 
f) 0,1848 
 
10) Sim. A chance de qualquer coisa não ocorrer aumenta quando diminuímos o tempo de 
observação. 
 
11) 08f: 18,48% e 09d: 19,12%. São próximos porque, ao reduzirmos o tempo de observação à 
metade (de 10 para 5 minutos), as chances de aparecerem 2 em vez de 4 aviões deverão ser próximas 
porque houve redução proporcional de tempo e de número de aviões a serem observados. 
 
12) 13) 
a) f = 0,005 a) p(0) = 0,1054 
b) n = 600 b) p(1) = 0,2371 
c) p(0) = 0,0494; p(1) = 0,1499 e p(2) = 0,2242. c) p(2) = 0,2668 
 d) p(3) = 0,2001 
 
14) Sim, porque 2 ligações é o número que mais se aproxima da média de  = 2,25 ligações em 30 
minutos. 
 
15) 1 − [p(0) + p(1)] = 0,9389 
 
16) 
a)5,1 ligações/hora 
b) 3,2 ligações/hora 
c) 3,0 ligações/hora 
d) 2,3 ligações/hora 
 
Teoria das Filas - 29 
17) 18) 3 min 20 segundos 
a) p(0  y  1/10) = 0,2592 
b) p(0  y  2/10) = 0,4512 
c) p(0  y  3/10) = 0,5934 
d) p(0  y  5/10) = 0,7769 
e) p(0  y  10/10) = 0,9502 
f) p(y > 10/10) = 1 − 0,9502 = 0,0498 
 
19) 
a) p(0  y  1/4) = 0,6753 
b) p(0  y  1/3) = 0,7769 
c) p(y > 1/4) = 0,3247 
d) p(y > 1/3) = 0,2231 
 
20) Basta observar que  e T são inversamente proporcionais de modo que T, o expoente variável 
no cálculo de p, fica constante. 
 
21) p(y > 10.000) = 0,1353 22) 
 a) 0,0000003 
 b) 0,3679 
 c) 0,9179 
 d) 0,0023 
 
23) 
a) A chance de o próximo aposentado chegar em até 1 minuto é o complementar da chance de 
nenhum aposentado chegar em 1 minuto: 
0
5 51 e 0,9933.
0!
−− = 
b) p(0  y  1) = 0,9933. 
 
24) 0,3829 25) 0,5662 
 
26) 0,5238 27) 0,1523 
 
28) 0,4562 29) 0,1853 
 
30) 0,2801 31) 0,8187 
 
32) 33) 
a) 0,1637 a)  = 0,7 e  = 0,8. 
b) 0,1813 b)  = 0,875 
 c) 0,125 
 d) 0,0641 
 e) 0,0430 
 f) 7 clientes 
 g) 0,875 cliente 
 h) 6,125 clientes 
 i) 0,5307 
 j) 0,6068 
 k) 8 min 45 segundos 
 l) 10 min 
 
30 - João Carlos Teixeira dos Santos 
34) 35) 
a)  = 0,50 a) 0,6800 
b) 0,5000 b) 0,2176 
c) 1 pessoa c) 0,0465 
d) 0,5 pessoa 
e) 0,5 pessoa 
f) 4 minutos 
g) 8 minutos 
h) 0,1116 
 
36) 37)  = 0,8875 
a) 3 min 45 segundos 
b) 6,125 clientes 
c) 0,6270 
 
38) 1 min 18 segundos 39) 1/76 
 
40)  = 0,8000 43) 
 a) 2 clientes/hora 
 b) 1,07 cliente 
 c) 7,07 clientes 
 d) 0,3569 
 e) 0,2239 
 f) 35 min 21 segundos 
 g) 2 vendedoras 
 h) % = + 244% 
 i) % = − 63% 
44) n = 34 
 
45) 
a)  = 38/21 
b) Lq = 8,17 clientes 
c) 0,8595 
d) 0,3162 
e) 9,98 clientes 
 
 
Teoria das Filas - 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 - João Carlos Teixeira dos Santos 
 

B


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Bibliografia
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Teoria das Filas - 33 
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
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





 
 
 
 
ACKOFF, R. L. & SASIENI, M. W. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: 
 Livros Técnicos e Científicos, 1977. 
 
BOYER, CARL B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 
 2001. 
 
BUSSAB, W. O. & MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 4ª edição. São Paulo: 
Atual editora, 1987. 
 
CONTADOR, J. C. Alguns Modelos da Pesquisa Operacional. São Paulo: 
 apostila pessoal, 2002. 
 
DOWNING, D e CLARK, J. Estatística aplicada. São Paulo: editora 
Saraiva,1990. 
 
DUCKWORTH, E. Guia à Pesquisa Operacional. São Paulo: editora 
 Atlas, 1972. 
 
RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico. 2ª edição. São 
Paulo: Makron Books, 1988. 
 
SANTOS, J.C. Estatística Básica. Mairinque: Editora Página 10, 2003. 
 
SPIEGEL, M. R. Estatística - Coleção Schaum. São Paulo: editora McGraw-
Hill do Brasil, 1977. 
 
TAHA, H. A. Pesquisa Operacional. 8ª edição. São Paulo: Pearson − Prentice 
 Hall, 2008. 
 
 
 
 
 
 
34 - João Carlos Teixeira dos Santos 
 


 R





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
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
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
 
 
 
 
Resoluções 
 
 
Teoria das Filas - 35 
 
36 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 37 
 
38 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 39 
 
40 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 41 
 
42 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 43 
 
44 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 45 
 
46 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 47 
 
48 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 49 
 
50 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 51 
 
52 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 53 
 
54 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 55 
 
56 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 57 
 
58 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 59 
 
60 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 61 
 
62 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 63 
 
64 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 65 
 
66 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 67 
 
68 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 69 
 
70 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 71 
 
72 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 73 
 
74 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 75 
 
76 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 77 
 
78 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 79 
 
80 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 81 
 
82 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 83 
 
84 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 85 
 
86 - João Carlos Teixeira dos Santos 
Teoria das Filas - 87 
 
88 - João Carlos Teixeira dos Santos