A ORDEM DE APRENDIZADO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA

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A ORDEM DE APRENDIZADO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA 
GERALMENTE SEGUE ESTA SEQUÊNCIA 
Princípio Fundamental da Contagem Princípio multiplicativo (m*n*...) e aditivo (m+n+...) 
Permutação Simples 
𝑷(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
 
Permutação composta (produto de simples) 
Permutação Circular 𝑷𝑪𝒏 =
𝒏!
𝒏
 𝒐𝒖 𝑷𝑪𝒏 = (𝒏 − 𝟏)! 
Permutações com Repetições 𝑷𝒏
𝒌𝟏,𝒌𝟐,…𝒌𝒊 =
𝒏!
𝒌𝟏!.• 𝒌𝟐! • … • 𝒌𝒊!
 
 
Arranjo Simples 
𝑨(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
 
Arranjo Composto (produto de simples) 
Combinação Simples 
𝑪(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
[𝒓! (𝒏 − 𝒓)!]
 
Combinação Composta (produto de simples) 
Combinações com Repetições ou completas 𝑪(𝒏 + 𝒓 − 𝟏, 𝒓) =
(𝒏 + 𝒓 − 𝟏)!
𝒓! (𝒏 − 𝟏)!
 
ANÁLISE 
COMBINATÓRIA 
QUESTÕES RESPOSTAS 
Princípio Fundamental 
da Contagem 
(multiplicativo) 
Se uma operação pode ser realizada de 3 maneiras 
e uma segunda operação pode ser realizada de 4 
maneiras, quantas maneiras existem para realizar 
as duas operações juntas? 
A) 5. B) 7. C) 12. D) 24. E) 48 
Uma operação pode ser realizada de m maneiras e 
uma segunda operação pode ser realizada de n 
maneiras, então as duas operações podem ser 
realizadas juntas de m*n maneiras. Portanto, temos 
3*4 = 12 maneiras. 
Para um passeio tem 2 museus, 3 parques para 
piquenique e 4 restaurantes para jantar. No 
entanto, devido ao seu tempo, só pode escolher 
um local de cada categoria para visitar naquele dia. 
Quantas opções você tem? 
A) 9. B) 18. C) 24. D) 36. E) 72 
R: 
 
 
 
 
 
Princípio Fundamental 
da Contagem (aditivo) 
Para um passeio tem 2 museus, 3 parques para 
piquenique e 4 restaurantes para jantar. No 
entanto, devido ao seu tempo, só pode escolher 
um local para visitar naquele dia. Quantas opções 
você tem? 
A) 9. B) 18. C) 24. D) 36. E) 72 
Como está fazendo uma única escolha entre várias 
categorias mutuamente exclusivas (museus, parques 
e restaurantes), você usa o Princípio Aditivo: 2 
(museus) + 3 (parques) + 4 (restaurante) = 9 (opções 
diferentes de passeio). 
O comandante militar tem à sua disposição 6 tipos 
de veículos terrestres, 3 tipos de aeronaves e 1 
tipos de embarcações para uma missão. Devido às 
limitações de recursos, ele vai escolher um tipo de 
veículo para a missão. Quantas opções ele tem? 
A) 6. B) 10. C) 18. D) 24. E) 36 
R: 
 
Permutações simples 
 
𝑷(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
 
Em uma corrida com 5 corredores diferentes, de 
quantas maneiras diferentes eles podem terminar 
em 1º, 2º e 3º lugar? 
A) 10. B) 20. C) 30. D) 60. E) 120 
Usamos a fórmula de permutação P(n,r) = n!/(n−r)!, 
onde n é o número total de corredores (5) e r é o 
número de posições (3). Portanto, P(5,3) = 5!/(5−3)! 
= 120 
Quantas palavras diferentes podem ser formadas a 
partir da palavra “LIVRO”? 
 
A) 24. B) 48. C) 60. D) 120. E) 240. 
R: 
 
 
 
 
Permutações 
compostas 
 
 𝑷(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
 
Em uma sala de aula com 5 meninos e 4 meninas, 
de quantas maneiras diferentes um menino e uma 
menina podem ser escolhidos para serem 
representantes de classe? 
A) 9. B) 18. C) 20. D) 36. E) 72. 
Como estamos escolhendo um menino de um grupo 
de 5 e uma menina de um grupo de 4, multiplicamos 
as duas permutações: P(5,1)∗P(4,1) = 
5!/(5−1)!∗4!/(4−1)! = 5∗4=20 
Em uma empresa com 7 gerentes e 3 secretárias, 
de quantas maneiras diferentes um gerente e uma 
secretária podem ser escolhidos para uma reunião? 
A) 10. B) 21. C) 30. D) 70. E) 210. 
R: 
 
 
 
 
Permutação Circular 
𝑷𝑪𝒏 =
𝒏!
𝒏
 
 
𝒐𝒖 
 
 𝑷𝑪𝒏 = (𝒏 − 𝟏)! 
 
Uma família de 6 pessoas está planejando sentar-
se ao redor de uma mesa circular para o jantar. De 
quantas maneiras diferentes eles podem se sentar? 
A) 120. B) 360. C) 720. D) 1440. E) 2880. 
Usamos a fórmula de permutação circular Pc(n) = 
(n−1)!, onde n é o número total de pessoas (6). 
Portanto, Pc(6) = (6−1)! = 120 
Em uma reunião, 7 amigos decidem sentar-se ao 
redor de uma mesa circular. De quantas maneiras 
diferentes eles podem se sentar? 
A) 720. B) 1440. C) 2880. D) 5040. E) 10080. 
R: 
 
 
 
Permutações com 
Repetições 
 
𝑷𝒏
𝒌𝟏,𝒌𝟐,…𝒌𝒊 =
𝒏!
𝒌𝟏!.• 𝒌𝟐! • … • 𝒌𝒊!
 
 
Quantas palavras diferentes podem ser formadas a 
partir da palavra “BANANA”? 
 
A) 60. B) 120. C) 180. D) 240. E) 360. 
Usamos a fórmula de permutações com repetições 
n!/n1!∗n2!∗...∗nk!, onde n é o número total de letras 
(6), n1 é o número de ‘A’ (3), n2 é o número de ‘N’ 
(2), e n3 é o número de ‘B’ (1). Portanto, temos P = 
6!/3!∗2!∗1! = 60 
Quantas palavras diferentes podem ser formadas a 
partir da palavra “ABACAXI”? 
A) 2520. B) 5040. C) 10080. D) 20160. E) 40320. 
R: 
 
 
 
Arranjos simples 
 
𝑨(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
 
De quantas maneiras diferentes 3 livros podem ser 
retirados de uma prateleira que contém 7 livros? 
A) 35. B) 56. C) 210. D) 420. E) 5040. 
Usamos a fórmula de arranjo A(n,r) = n!/(n−r)!, onde 
n é o número total de livros (7) e r é o número de 
livros a serem retirados (3). Portanto, A(7,3) = 
7!/(7−3)! = 210 
De quantas maneiras diferentes 4 cartas podem ser 
retiradas de um baralho de 52 cartas? 
A) 270725. B) 395208. C) 649740. D) 731161. 
 E) 906192. 
R: 
 
 
 
Arranjos composto 
 
𝑨(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
 
Em uma sala de aula com 6 meninos e 5 meninas, 
de quantas maneiras diferentes 2 meninos e 2 
meninas podem ser escolhidos para formar um 
grupo de estudo? 
A) 225. B) 450. C) 900. D) 1800. E) 3600. 
Como estamos escolhendo 2 meninos de um grupo 
de 6 e 2 meninas de um grupo de 5, multiplicamos 
os dois arranjos: A(6,2)∗A(5,2) = 6!/(6−2)!∗5!/(5−2)! 
= 1800 
Em uma empresa com 8 gerentes e 4 secretárias, 
de quantas maneiras diferentes 3 gerentes e 1 
secretária podem ser escolhidos para uma reunião? 
A) 224. B) 448. C) 896. D) 1792. E) 3584. 
R: 
Combinação simples 
 
𝑪(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
[𝒓! (𝒏 − 𝒓)!]
 
De quantas maneiras diferentes 3 estudantes 
podem ser escolhidos de um grupo de 5 para 
formar um comitê? 
A) 5. B) 10. C) 15. D) 20. E) 25. 
Usamos a fórmula de combinação C(n,r) = 
n!/[r!(n−r)!] , onde n é o número total de estudantes 
(5) e r é o número de estudantes a serem escolhidos 
(3). Portanto, C(5,3) = 5!/[3!(5−3)!] = 10 
De quantas maneiras diferentes 4 cartas podem ser 
retiradas de um baralho de 52 cartas? 
A) 2704. B) 63504. C) 270725. D) 635040. 
E) 2707250. 
R: 
 
 
 
Combinação composta 
 
𝑪(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
[𝒓! (𝒏 − 𝒓)!]
 
 
Em uma sala de aula com 7 meninos e 4 meninas, 
de quantas maneiras diferentes 2 meninos e 2 
meninas podem ser escolhidos para formar um 
grupo de estudo? 
A) 105. B) 210. C) 420. D) 840. E) 1680. 
Como estamos escolhendo 2 meninos de um grupo 
de 7 e 2 meninas de um grupo de 4, multiplicamos as 
duas combinações: C(7,2)∗C(4,2) = 
7!/[2!(7−2)!]∗4!/[2!(4−2)!] = 420 
Em uma empresa com 9 gerentes e 3 secretárias, 
de quantas maneiras diferentes 3 gerentes e 1 
secretária podem ser escolhidos para uma reunião? 
A) 84. B) 168. C) 336. D) 672. E) 1344. 
R: 
Combinações com 
Repetições 
 
𝑪(𝒏 + 𝒓 − 𝟏, 𝒓) 
=
(𝒏 + 𝒓 − 𝟏)!
𝒓! (𝒏 − 𝟏)!
 
De quantas maneiras diferentes 4 frutas podem ser 
escolhidas de um cesto que contém 3 tipos de 
frutas? 
 
A) 6. B) 15. C) 20. D) 35. E) 56. 
Usamos a fórmula de combinações com repetições 
C(n+r−1,r) = r!(n−1)!(n+r−1)!, onde n é o número de 
tipos de frutas (3) e r é o número de frutas a serem 
escolhidas (4). Portanto, temos C(3+4−1,4) = 
(3+4−1)!/ 4!(3−1)! = 15 
De quantas maneiras diferentes 5 livros podem ser 
escolhidos de uma prateleira que contém 4 tipos de 
livros? 
A) 35. B) 56.C) 70. D) 126. E) 252. 
R: 
 
 
 
Prof. Msc. Marcio Salú