Erros Calculo Numerico

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1 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial Integral a Várias 
Variáveis 
 
 
 
 
Aula 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Celina Jarletti 
 
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Conversa Inicial 
Olá, seja bem-vindo! Você está na quinta rota da disciplina de Cálculo 
Diferencial Integral a Várias Variáveis. 
Nesta aula, iremos apresentar temas envolvendo as integrais múltiplas, 
as formas de resolução e aplicações em situações reais. Iniciaremos com 
abordagem de integrais duplas, apresentando as possíveis soluções quando 
estivermos utilizando o sistema cartesiano bidimensional de coordenadas. 
Bons estudos! 
Para a videoaula do Conversa Inicial, ver o material on-line. 
Contextualizando 
O sistema polar de coordenadas e a determinação de integrais duplas 
nesse sistema será apresentado como opção de resolução de problemas onde 
ocorra dificuldade ou até impossibilidade de solução pelo sistema cartesiano. A 
utilização de técnica de mudança de variáveis para resolução de integrais duplas 
surge como a última forma de resolução de integrais duplas. 
Na sequência, trataremos as integrais triplas sendo resolvidas no sistema 
cartesiano tridimensional com as diferentes técnicas de solução. 
A apresentação dos sistemas cilíndrico e esférico de coordenadas 
tridimensionais e as situações onde são vantajosas as aplicações de cada 
sistema são os temas seguintes. A mudança de variáveis também é apresentada 
para as integrais triplas. 
Finalizaremos com resolução de situações problema. Essas aplicações 
estão relacionadas com a física, e outros. 
Para tanto, acesse a Biblioteca Virtual, pelo UNICO, e pesquise pela obra: 
“Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas 
e de superfície”, nos capítulos 7 e 8. 
 
 
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Integrais Duplas 
As integrais duplas (e triplas) são denominadas genericamente de 
integrais múltiplas ou iteradas ou ainda integrais repetidas. A distinção entre 
integrais duplas e triplas ocorre em relação à empregabilidade de cada uma. 
Normalmente, empregamos integrais duplas em regiões bidimensionais, tais 
como placas finas, chapas e lâminas onde a espessura pode ser considerada 
desprezível em relação ao comprimento e à largura das peças. As integrais 
triplas são utilizadas em cálculos que envolvam regiões tridimensionais ou 
sólidos. 
Em relação aos procedimentos para realizar integrais múltiplas, utilizamos 
os mesmos processos que para as integrais simples que envolvem somente uma 
variável independente (𝑥). 
Não há regras novas, mas tão somente as regras obtidas com a definição 
de uma integral ser uma antiderivada, ou com as técnicas especiais de 
integração (mudança de variável). Sugerimos uma revisão desses tópicos em 
caso de ter alguma dúvida em relação aos itens citados. 
Quando estudamos o processo de integração definida em uma única 
variável (𝑥), escrevemos ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 e tomamos o intervalo [ 𝑎; 𝑏] dividido em uma 
quantidade n de subintervalos de dimensão ∆𝑥. A quantidade n de subintervalos 
pode aumentar fazendo com que ∆𝑥 diminua. Somando as áreas de n retângulos 
de base igual a ∆𝑥 e altura 𝑓(𝑥), contidos no intervalo [ 𝑎; 𝑏], obtém-se uma 
aproximação para a área abaixo de 𝑓(𝑥), acima do eixo x e entre as retas 
verticais 𝑥 = 𝑎 𝑒 𝑥 = 𝑏. Quando 𝑛 → ∞ ↔ ∆𝑥 → 0 e o cálculo da área torna-
se um valor exato e não mais aproximado. 
Integrar é SOMAR! 
 
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Integrais Duplas 
Considerando uma função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) definida em uma região fechada e 
limitada 𝑅 do plano 𝑥𝑦, como na figura a seguir. 
 
Fonte: GONÇALVES, 2013, p. 229. 
Traçando paralelas aos eixos 𝑥 e 𝑦, respectivamente, recobrimos a região 
𝑅 por pequenos retângulos (somas de Riemann) e considerando somente os 
retângulos totalmente inseridos na superfície. 
 
Fonte: GONÇALVES, 2013, p. 230. 
 
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Numeramos os retângulos 𝑅𝑘 e em cada um escolhe-se um ponto (𝑥𝑘, 𝑦𝑘) 
interno ao retângulo. Cada retângulo terá dimensões ∆𝑥 𝑒 ∆𝑦 (na horizontal e 
vertical, respectivamente). A quantidade k de retângulos pode aumentar, 
fazendo com que ∆𝑥 e ∆𝑦 diminuam. Somamos as áreas 𝐴𝑘 = ∆𝑥 . ∆𝑦 de n 
retângulos de base igual a ∆𝑥 e altura ∆𝑦. Quando 𝑘 → ∞ ↔ ∆𝑥 → 0; ∆𝑦 → 0 
e o cálculo exato da área da região R é dada por: 𝐴 = ∬ 𝑑𝐴
𝑅
 . 
Se 𝑓(𝑥, 𝑦) for uma função de duas variáveis contínua e não negativa na 
região 𝑅 do plano 𝑥𝑦, o volume do sólido que está compreendido entre a 
superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e a região 𝑅 será definido por: 
𝑉 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝑅
 
Existem 2 formas de escrevermos uma integral dupla: 
a) Tipo I ou Verticalmente Simples: 
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑓2(𝑥)
𝑓1(𝑥)
𝑏
𝑎
 
{
𝑓1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑓2(𝑥)
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
, com 𝑓1(𝑥) e 𝑓2(𝑥) contínuas em [𝑎, 𝑏], 
 
Fonte: GONÇALVES, 2013, p.233. 
 
 
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b) Tipo II ou Horizontalmente Simples: 
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑔2(𝑦)
𝑔1(𝑦)
𝑑
𝑐
 
{
𝑔1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑔2(𝑦)
𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑
, com 𝑔1(𝑦) e 𝑔2(𝑦) contínuas em [𝑐, 𝑑], 
 
Fonte: GONÇALVES, 2013, p.234. 
Teorema de Fubini 
A integral dupla de uma função contínua 𝑓(𝑥, 𝑦) em uma região 
bidimensional R é igual à integral iterada (em qualquer ordem): 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑓2(𝑥)
𝑓1(𝑥)
𝑏
𝑎
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑔2(𝑦)
𝑔1(𝑦)
𝑑
𝑐
 
O teorema de Fubini indica que o resultado para o cálculo da integral dupla 
independe da escolha feita, ou seja, tipo I ou tipo II. Dependendo da região 
bidimensional, poderá ser mais fácil o emprego de uma ou de outra forma de 
integração. Sempre será integração repetida por duas vezes. 
Propriedades da Integral Dupla 
∬ 𝐶𝑓. (𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = 
 
𝑅
𝐶 . ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 
 
𝑅
, para todo 𝐶 real. 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = 
 
𝑅
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ± ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
 
𝑅
 
 
𝑅
 
 
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∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = 
 
𝑅 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ± ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
 
𝑅2
 
 
𝑅1
, onde 𝑅 =
𝑅1 + 𝑅2, no caso de sub-regiões de 𝑅. 
Para a resolução de integrais múltiplas, consideraremos: 
a) Resolveremos inicialmente as integrais internas, posteriormente, as 
intermediárias (se houver) e, por fim, as integrais mais externas. 
b) Consideramos somente a variável de trabalho (ou seja, aquela sobre a 
qual estamos integrando) e as demais variáveis são consideradas 
constantes. 
Exemplo 1: 
Use uma integral dupla para calcular a área da região 𝑅 compreendida 
pela parábola 𝑦 = 𝑥² e a reta 𝑦 = 𝑥. 
 
𝐴 = ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥
𝑥²
1
0
= ∫[𝑦]𝑥²
𝑥 𝑑𝑥
1
0
= ∫[𝑥 − 𝑥2]𝑑𝑥
1
0
= [
𝑥²
2
−
𝑥³
3
]
0
1
=
1
2
−
1
3
=
1
6
 
Ou 𝐴 = ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦
√𝑦
𝑦
1
0
= ∫ [𝑥]𝑦
√𝑦𝑑𝑦
1
0
= ∫ [√𝑦 − 𝑦]𝑑𝑦
1
0
= [
2
3
√𝑦³ −
𝑦²
2
]
0
1
=
2
3
−
1
2
=
1
6
 
Observação: o resultado obtido é único e não depende do procedimento 
escolhido (tipo I ou tipo II). 
 
 
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Exemplo 2: 
Calcular o volume V da região sólida entre a superfície 𝑧 = 16 − 𝑥2 − 3𝑦2 
e sendo R o retângulo [0; 3] x [0; 1]. 
𝑉 = ∬ 16 − 𝑥2 − 3𝑦2 𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ 16 − 𝑥2 − 3𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
1
𝑦=0
3
𝑥=0
= ∫ [16𝑦 − 𝑥2𝑦 − 3
𝑦3
3
]0
1 𝑑𝑥 = ∫ 16 − 𝑥2 − 1
3
𝑥=0
3
𝑥=0
𝑑𝑥
= ∫ 15 − 𝑥2𝑑𝑥 =
3
𝑥=0
 [15𝑥 −
𝑥3
3
]
0
3
= 15 . 3 −
33
3
= 45 − 9 = 36 
Exemplo 3: 
Calcular ∬ 𝑥3𝑑𝐴
𝑅
 onde R (ou D) é a região entre as retas 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3 
e as curvas 𝑦 = 6 − 𝑥2 e 𝑦 = 2 − 𝑥2. 
 
∬ 𝑥3 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑥3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥3 . [𝑦]2−𝑥2
6−𝑥2
3
1
𝑑𝑥
6−𝑥2
2−𝑥2
3
1𝑅
= ∫ 𝑥3(6 − 𝑥2 − 2+ 𝑥2)𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥3𝑑𝑥 =
3
1
4. [
𝑥4
4
]
1
3
= 34 − 14 = 80
3
1
 
 
Para a videoaula deste tema, ver o material on-line. 
 
 
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Mudança de Variável 
Uma mudança de variável pode ser empregada quando ocorrer alguma 
dificuldade no processo de integração. Essa técnica é utilizada no Cálculo a uma 
variável, quando a expressão do integrando 𝑓(𝑥) for de difícil manuseio. Para 
integrais múltiplas, é mais comum a mudança de variáveis para simplificar os 
domínios (região R). No caso de integrais duplas, pode-se empregar o sistema 
de coordenadas polares como alternativa para os cálculos. 
Sistema de Coordenadas Polares 
As coordenadas de um ponto são escritas 𝑃(𝑟, 𝜃), onde 𝑟 (raio polar ou 
coordenada radial) é a distância do ponto P até a origem do semieixo polar, e 𝜃 
(ângulo polar ou coordenada angular) é tomado positivamente no sentido anti-
horário a partir do semieixo polar até o raio polar. 
 
 
 
 
 
 
As relações de transformação entre o sistema cartesiano e o sistema polar 
de coordenadas são dadas por: 
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝜃 = 𝑡𝑔−1(
𝑦
𝑥
) 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 e 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 
Exemplo 1: 
Escrever o ponto 𝑃(3, 4) em coordenadas polares. 
𝑟2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 𝑟 = √25 = 5 𝜃 = 𝑡𝑔−1 (
4
3
) = 53,13º 
Então: 𝑃(3; 4) ↔ 𝑃( 5; 53,15 º) 
 
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Exemplo 2: 
Escrever o ponto 𝑄(3;
5𝜋
6
) em coordenadas cartesianas (ou retangulares). 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 = 3 cos (
5𝜋
6
) = 3 (−
√3
2
) = − (
3√3
2
) ≅ −2,6 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 3 .
1
2
= 1,5 
𝑄 (3 ;
5𝜋
6
) ↔ 𝑄(−2,6; 1,5) 
 
A mudança de coordenadas cartesianas para polares é indicada para os 
cálculos de integrais duplas quando a região R for um retângulo polar ou um 
setor circular ou, ainda, quando as equações no sistema cartesiano que 
descrevem a região R forem de difícil ou até impossível integração. 
𝜃1 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃2 e 𝑟1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑟2 
 
 
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Uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) será escrita em coordenadas polares como 
𝑓( 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃) e o elemento de área 𝑑𝐴 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟, tornando a integral dupla: 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑟2
𝑟1
𝜃2
𝜃1𝑅
 
Exemplo 3: 
Calcular ∬ 𝑥 + 𝑦 𝑑𝐴 
𝑅
, sendo R a região entre as curvas 𝑥2 + 𝑦2 = 4 e 
𝑥2 + 𝑦2 = 16 no primeiro quadrante. 
Resolução: Transformando as equações. 
𝑥2 + 𝑦2 = 4 → 𝑟2 = 4 → 𝑟 = 2 
𝑥2 + 𝑦2 = 16 → 𝑟2 = 16 → 𝑟 = 4 
 
 
 
 
 
 
Calculando: 
∬ 𝑥 + 𝑦 𝑑𝐴 
𝑅
= ∫ ∫ (𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟
4
2
𝜋
2
0
 𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = ∫ ∫ (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑟2𝑑𝑟 𝑑𝜃 =
4
2
𝜋
2
0
 
= ∫ (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃).
𝑟3
3
|
2
4𝜋
2
0
𝑑𝜃
= ∫ (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃). (
43 − 23
3
) 𝑑𝜃
𝜋
2
0
=
56
3
∫ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 =
56
3
[𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃]0
𝜋
2
𝜋
2
0
=
112
3
 
 
 
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Mudança de Variáveis com Jacobianos 
No cálculo a uma variável, em processos de integração mais elaborados, 
uma das técnicas de solução emprega uma mudança ou substituição de variável 
𝑢 = 𝑓(𝑥). A integral definida é calculada na nova variável, e pode ser expressa 
como: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑔(𝑢)). 𝑔´(𝑢)𝑑𝑢
𝛽
𝛼
𝑏
𝑎
. 
Onde: 𝛼 = 𝑔−1(𝑎) 𝑒 𝛽 = 𝑔−1(𝑏) 
Exemplo 4: 
 ∫ √4𝑥 + 1 𝑑𝑥 = ∫ (4𝑥 + 1)
1
2𝑑𝑥
2
0
2
0
 
𝑢 = 4𝑥 + 1 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4 𝑑𝑢 = 4 . 𝑑𝑥 𝑜𝑢 
1
4
 . 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
Quando 𝑥 = 0 → 𝑢 = 4𝑥 + 1 = 4 . 0 + 1 = 1 e 
𝑥 = 2 → 𝑢 = 4𝑥 + 1 = 4 . 2 + 1 = 9 
∫ √4𝑥 + 1 𝑑𝑥 = ∫ (4𝑥 + 1)
1
2𝑑𝑥
2
0
2
0
= ∫ 𝑢
1
2 .
1
4
𝑑𝑢 =
1
4
𝑢
3
2
3
2
|
1
9
=
1
4
 .
2
3
(9√9 − 1√1) =
26
6
=
13
3
9
1
 
Em situações mais gerais, podemos realizar outras mudanças de 
variáveis para facilitar o processo de integração dupla. Considerando que no 
plano xy, tomamos uma região retangular pequena para representar o elemento 
de área 𝑑𝐴 = 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 e que haverá um correspondente elemento de área 
no plano uv, que é obtida através da transformação T dada por: 
𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) 𝑒 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣) 
 
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O jacobiano de T, denotado por 𝐽(𝑢, 𝑣), relaciona as derivadas das 
variáveis da transformação, e é dado por: 
𝐽(𝑢, 𝑣) =
𝜕(𝑢, 𝑣)
𝜕(𝑥, 𝑦)
= |
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
| =
𝜕𝑥
𝜕𝑢
 . 
𝜕𝑦
𝜕𝑣
−
𝜕𝑥
𝜕𝑣
 .
𝜕𝑦
𝜕𝑢
 
A integral dupla pode ser reescrita como sendo: 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑥𝑦 = ∬ 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)). |𝐽(𝑢, 𝑣)|. 𝑑𝐴𝑢𝑣
𝑆𝑅
 
Condição: o Jacobiano deve ser não nulo. 
Exemplo 5: 
Calcular ∬ 𝑒𝑥𝑦 𝑑𝐴 sobre a região entre as retas 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑦 =
𝑥
2
 e as curvas 
𝑦 =
1
𝑥
 𝑒 𝑦 =
2
𝑥
. 
 
 
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Solução: deve-se procurar uma transformação na qual as curvas de 
fronteira do plano xy possam se tornar constantes no plano uv. 
Para as retas, vem: 
𝑦
𝑥
= 1 𝑒 
𝑦
𝑥
=
1
2
 e para as curvas 𝑥𝑦 = 1 𝑒 𝑥𝑦 = 2, 
que sugerem a transformação 𝑢 =
𝑦
𝑥
 𝑒 𝑣 = 𝑥𝑦, tal que 𝑢 = 1 ; 𝑢 =
1
2
 ; 𝑣 =
1 𝑒 𝑣 = 2 são curvas de 𝑢 e 𝑣 constantes, onde 𝑆 é a região retangular da figura. 
 
 
 
 
 
 
Calculando com 𝑢 =
𝑦
𝑥
 𝑒 𝑣 = 𝑥𝑦 , leva a 𝑥 = √
𝑣
𝑢
 𝑒 𝑦 = √𝑢𝑣. 
𝐽(𝑢, 𝑣) = 
𝜕(𝑢,𝑣)
𝜕(𝑥,𝑦)
= |
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
| = ||
−
1
2𝑢
√
𝑢
𝑣
1
2√𝑢𝑣
1
2
√
𝑢
𝑣
1
2
√
𝑢
𝑣
|| = −
1
4𝑢
−
1
4𝑢
= −
1
2𝑢
 
∬ 𝑒𝑥𝑦 𝑑𝐴 = ∬ 𝑒𝑣 . |−
1
2𝑢
| . 𝑑𝐴𝑢𝑣 =
1
2
∫ ∫
1
𝑢
𝑒𝑣𝑑𝑢 𝑑𝑣 =
1
2
∫ 𝑒𝑣 . (ln(𝑢))1/2
1 
2
1
1
1
2
2
1
𝑆𝑅
𝑑𝑣
=
1
2
ln(2) ∫ 𝑒𝑣𝑑𝑣 =
ln(2)
2
 𝑒𝑣|1
2 =
ln(2)
2
(𝑒2 − 𝑒)
2
1
 
 
 
Para a videoaula deste tema, ver o material on-line. 
 
 
 
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Integrais Triplas 
As integrais triplas de funções 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), que envolvem três variáveis, são 
uma generalização imediata das integrais duplas. A região de domínio será um 
sólido. 
O elemento de volume desse sólido 𝑑𝑉 em coordenadas cartesianas 
poderá ser escrito em 6 diferentes formas: 
 
 
O teorema de Fubini é aplicável, sendo a integral tripla sobre a região, 
igual à integral iterada (repetida) que pode ser calculada em qualquer ordem. 
Existem três maneiras de analisar a região R tridimensional: 
1º Caso 
Região T limitada inferiormente por 𝑧 = ℎ1(𝑥, 𝑦) e superiormente por 𝑧 =
ℎ2(𝑥, 𝑦). Os extremos da integral externa e intermediária são obtidos pela análise 
da “sombra” ou projeção sobre o plano xy. 
 
 
 
 
 
 
Fonte: GONÇALVES, 2013, p. 275. Adaptado. 
 
𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
 
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∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝑇
= ∫ ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧
ℎ2(𝑥,𝑦)
ℎ1(𝑥,𝑦)
] 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑓2(𝑦)
𝑓1(𝑦)
𝑑
𝑐
= ∫ ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧
ℎ2(𝑥,𝑦)
ℎ1(𝑥,𝑦)
] 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑓2(𝑥)
𝑓1(𝑥)
𝑏
𝑎
 
2º Caso 
Região T limitada à esquerda por 𝑦 = 𝑝1(𝑥, 𝑧) e à direita por 𝑦 = 𝑝2(𝑥, 𝑧). 
Os extremos da integral externa e intermediária são obtidos pela análise da 
“sombra” ou projeção sobre o plano xz. 
 
 
 
 
 
 
Fonte: GONÇALVES, 2013, p. 275. Adaptado. 
 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝑇
= ∫ ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦
𝑝2(𝑥,𝑧)
𝑝1(𝑥,𝑧)
] 𝑑𝑥 𝑑𝑧
𝑓2(𝑧)
𝑓1(𝑧)
𝑑
𝑐
= ∫ ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦
𝑝2(𝑥,𝑧)
𝑝1(𝑥,𝑧)
] 𝑑𝑧 𝑑𝑥
𝑓2(𝑥)
𝑓1(𝑥)
𝑏
𝑎
 
 
 
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3º Caso 
Região T limitada na parte de trás por 𝑥 = 𝑞1(𝑥, 𝑦) e na parte da frente por 
𝑥 = 𝑞2(𝑥, 𝑦).Os extremos da integral externa e intermediária são obtidos pela 
análise da “sombra” ou projeção sobre o plano yz. 
 
 
 
 
 
 
Fonte: GONÇALVES, 2013, p. 276. Adaptado. 
∭ 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)𝒅𝑽
𝑻
= ∫ ∫ [∫ 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)𝒅𝒙
𝒒𝟐(𝒙,𝒚)
𝒒𝟏(𝒙,𝒚)
] 𝒅𝒚 𝒅𝒛
𝒇𝟐(𝒛)
𝒇𝟏(𝒛)
𝒅
𝒄
= ∫ ∫ [∫ 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)𝒅𝒙
𝒒𝟐(𝒙,𝒚)
𝒒𝟏(𝒙,𝒚)
] 𝒅𝒛 𝒅𝒚
𝒇𝟐(𝒚)
𝒇𝟏(𝒚)
𝒃
𝒂
 
 
Exemplo 1: 
Integre 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 na região W do primeiro octante 𝑥, 𝑦 , 𝑧 ≥ 0 
delimitada acima por 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 e abaixo por 𝑧 = 𝑥2 + 3𝑦2. 
Solução: 
Intersecção de superfícies 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑥2 + 3𝑦2 resulta: 2𝑥2 +
4𝑦2 = 4, cuja projeção sobre o plano xy é a elipse: 𝑥2 + 2𝑦2 = 2. 
Da equação 𝑥2 + 2𝑦2 = 2, pode-se escrever 𝑥 = √2 − 2𝑦2. 
 
 
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∭ 𝒙 𝒅𝑽 = ∫ ∫ ∫ 𝒙 𝒅𝒛 𝒅𝒙 𝒅𝒚
𝟒−𝒙𝟐−𝒚𝟐
𝒙𝟐+𝟑𝒚𝟐
√𝟐−𝟐𝒚𝟐
𝟎
𝟏
𝟎𝑾
= ∫ ∫ 𝒙 [𝒛]
𝒙𝟐+𝟑𝒚𝟐
𝟒−𝒙𝟐−𝒚𝟐
𝒅𝒙 𝒅𝒚
√𝟐−𝟐𝒚𝟐
𝟎
𝟏
𝟎
= ∫ ∫ 𝒙[𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝟑𝒚𝟐]𝒅𝒙 𝒅𝒚
√𝟐−𝟐𝒚𝟐
𝟎
𝟏
𝟎
= ∫ ∫ 𝟒𝒙 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝒚𝟐𝒅𝒙 𝒅𝒚
√𝟐−𝟐𝒚𝟐
𝟎
𝟏
𝟎
= ∫ [
𝟒𝒙𝟐
𝟐
−
𝟐𝒙𝟒
𝟒
−
𝟒𝒚𝟐𝒙𝟐
𝟐
]
𝟎
√𝟐−𝟐𝒚𝟐
𝒅𝒚
𝟏
𝟎
= ∫ 𝟐(𝟐 − 𝟐𝒚𝟐) −
𝟏
𝟐
(𝟐 − 𝟐𝒚𝟐)𝟐 − 𝟐𝒚𝟐(𝟐 − 𝟐𝒚𝟐)𝒅𝒚
𝟏
𝟎
= ∫ 𝟐 − 𝟒𝒚𝟐 + 𝟐𝒚𝟒𝒅𝒚 = [𝟐𝒚 −
𝟒𝒚𝟑
𝟑
+
𝟐𝒚𝟓
𝟓
]
𝟎
𝟏
= 𝟐 −
𝟒
𝟑
+
𝟐
𝟓
𝟏
𝟎
=
𝟏𝟔
𝟏𝟓
 
 
 
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19 
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Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 
Esses sistemas de coordenadas são normalmente utilizados em 
problemas que contenham simetria em relação a um eixo ou em relação a um 
ponto. Como exemplo, o campo magnético gerado por uma corrente fluindo ao 
longo de um arame reto comprido é, convenientemente, expresso em 
coordenadas cilíndricas. 
Sistema de Coordenadas Cilíndricas 
Um ponto no sistema cartesiano 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) é representado no sistema 
cilíndrico, sendo 𝑃( 𝑟, 𝜃, 𝑧) onde (𝑟, 𝜃) são as coordenadas polares de (𝑥, 𝑦). 
O exemplo mostra o ponto 𝑃(−√2, √2, 5) em coordenadas cartesianas e 
a notação 𝑃(2,
3𝜋
4
, 5) em coordenadas cilíndricas, e a representação da projeção 
desse ponto P sobre o plano xy, resultando 𝑄(−√2, √2, 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
As equações de transformação são: 
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝜃 = 𝑡𝑔−1 (
𝑦
𝑥
) 𝑧 = 𝑧 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 
As integrais triplas são resolvidas no sistema cilíndrico de coordenadas 
por: 
 
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20 
𝜃1 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃2 𝑟1(𝜃) ≤ 𝑟 ≤ 𝑟2(𝜃) 𝑧1(𝑟, 𝜃) ≤ 𝑧 ≤ 𝑧2(𝑟, 𝜃) 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟 𝑠𝑒𝑛
𝑧2(𝑟,𝜃)
𝑧1(𝑟,𝜃)
𝑟2(𝜃)
𝑟1(𝜃)
𝜃2
𝜃1𝑇
𝜃, 𝑧) 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 
 
Exemplo 1: 
Integrar 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧√𝑥2 + 𝑦2 no cilindro 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 para 1 ≤ 𝑧 ≤ 5. 
 
Resolução: 
O domínio de integração R fica acima do círculo de raio = 2 (base do 
cilindro). 
𝑥2 + 𝑦2 = 4 ↔ 𝑟2 = 4 → 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 𝑒 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
Para: 
 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧. √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧 . 𝑟 
 
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21 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ (𝑧 . 𝑟 )
5
1
2
0
2𝜋
0𝑇
 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃
= ∫ ∫ ∫ 𝑧 𝑟2𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = ∫ ∫ 𝑟2 [
𝑧2
2
]
1
52
0
2𝜋
0
5
1
2
0
2𝜋
0
𝑑𝑟 𝑑𝜃
= ∫ ∫
52 − 12
2
 𝑟2𝑑𝑟 𝑑𝜃
2
0
2𝜋
0
= 12 ∫ ∫ 𝑟2𝑑𝑟 𝑑𝜃
2
0
2𝜋
0
= 12 ∫ [
𝑟3
3
]
0
2
𝑑𝜃 = 12 ∫
8
3
 𝑑𝜃 = 12 .
8
3
. 2𝜋 = 64𝜋 
2𝜋
0
2𝜋
0
 
Sistema de Coordenadas Esféricas 
Em coordenadas esféricas, um ponto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) do espaço tridimensional 
é descrito em termos de 𝑃(𝜌, 𝜃, 𝜙), onde 𝜌 é a coordenada radial sendo a 
distância do ponto até a origem. A coordenada angular 𝜃 é o ângulo polar da 
projeção 𝑄(𝑥, 𝑦, 0), e 𝜙 é o ângulo entre o semieixo positivo z e a coordenada 
radial (raio). 
A coordenada 𝜙 é denominada ângulo de declinação porque mede quanto 
o raio por P declina da vertical. 
 
 
 
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22 
As equações de transformação entre coordenadas cartesianas e esféricas 
são: 
𝑥 = 𝜌 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑡𝑔 𝜃 =
𝑦
𝑥
 cos 𝜙 =
𝑧
𝜌
 
As integrais triplas no sistema esférico são resolvidas por: 
𝜙1 ≤ 𝜙 ≤ 𝜙2 𝜃1 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃2 e 𝜌1(𝜃, 𝜙) ≤ 𝜌 ≤ 𝜌2(𝜃, 𝜙) 
∫ ∫ ∫ 𝑓(𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛
𝜌2(𝜃,𝜙)
𝜌1(𝜃,𝜙)
𝜙2
𝜙1
𝜃2
𝜃1
𝜙, 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙, 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜙) 𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃 
Onde o elemento de volume é 𝑑𝑉 = 𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃. 
Exemplo 2: 
Calcular o volume de uma esfera de raio = 4. 
0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
 0 ≤ 𝜌 ≤ 4 
 
∫ ∫ ∫ 𝜌2
4
0
𝜋
0
2𝜋
0
 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃
= (∫ 𝑑𝜃) . (∫ 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜙) . (∫ 𝜌2 𝑑𝜌)
4
𝑜
𝜋
0
2𝜋
0
= [𝜃]0
2𝜋 [−𝑐𝑜𝑠𝜙]0 
𝜋 [
𝜌3
3
]
0
4
= 2𝜋. [−(−1) + 1].
43
3
=
4
3
 𝜋. 43
=
256
3
 𝜋 
 
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23 
 Mudança de Variáveis com Jacobianos 
Equações da forma 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤); 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤) 𝑒 𝑧 = 𝑧 = (𝑢, 𝑣, 𝑤) 
definem a transformação T do espaço 𝑢𝑣𝑤 para o espaço 𝑥𝑦𝑧. Pequenos 
paralelepípedos retangulares do espaço 𝑢𝑣𝑤 vêm da transformação de 
pequenos paralelepípedos curvilíneos do espaço 𝑥𝑦𝑧. O jacobiano é escrito 
sendo: 
𝐽(𝑢, 𝑣, 𝑤) =
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)
=
|
|
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑧
|
|
 
O cálculo da integral tripla é feito por: 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉𝑥𝑦𝑧 = ∬ 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤); 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤). 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤)). |
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)
| . 𝑑𝑉𝑢𝑣𝑤
𝑆𝑇
 
Exemplo 3: 
 Calcular o volume do elipsoide 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 1. Fazendo 𝑥 = 𝑎𝑢; 𝑦 =
𝑏𝑣 𝑒 𝑧 = 𝑐𝑤, resulta 𝑢2 + 𝑣2 + 𝑧2 = 1 (esfera de raio = 1). 
 Calculando o Jacobiano: 
𝐽(𝑢, 𝑣, 𝑤) =
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)
=
|
|
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑧
|
|
= |
𝑎 0 0
0 𝑏 0
0 0 𝑐
| = 𝑎𝑏𝑐 
 Calculando o volume: 
𝑉 = ∭ 𝑑𝑉𝑥𝑦𝑧 = 𝑎𝑏𝑐 . ∭ |
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)
| 𝑑𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 ∭ 𝑑𝑉𝑢𝑣𝑤
𝑆𝑆𝑇
 
 
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24 
O elipsoide foi transformado em uma esfera de 𝑟𝑎𝑖𝑜 = 1, cujo volume é 
4
3
 𝜋 𝑅3 =
4
3
𝜋. O volume do elipsoide é igual a 𝑉 =
4
3
 𝜋. 𝑎 𝑏𝑐. 
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Aplicações de Integrais Duplas e Triplas 
As integrais duplas permitem calcular valor médio, área, volume e 
aplicações físicas, tais como: massa, momentos, coordenadas de centro de 
massa (ou centroide) e momentos de inércia para regiões planas. Regiões como 
lâminas, placas e chapas finas, onde a espessura pode ser considerada 
desprezível em relação ao comprimento e largura. 
As integrais triplas têm aplicações similares para objetos tridimensionais. 
Exemplo 1: 
Um arquiteto precisa saber a altura média do teto de um pagode, com 
base quadrada [-4; 4] x [-4; 4], e o teto é o gráfico de ℎ(𝑥, 𝑦) = 32 − 𝑥2 − 𝑦2. 
 
 
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25 
�̅� =
1
Á𝑟𝑒𝑎 (𝐷)
 . ∬ ℎ(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 
𝑅
= 
1
64
 . ∫ ∫ 32 − 𝑥2 − 𝑦2𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
1
64
∫ [32𝑦 − 𝑥2𝑦 −
4
−4
4
−4
4
−4
𝑦3
3
]
−4
4
𝑑𝑥 =
1
64
∫
640
3
− 8𝑥2 𝑑𝑥 =
1
64
. [
640
3
𝑥 −
8𝑥3
3
]
−4
4
=
1
64
.
4096
3
=
64
3
≅ 21,334
−4
 
Exemplo 2: 
Encontrar o volume da região delimitada pelos dois paraboloides 𝑧 = 𝑥2 +
𝑦2 e 𝑧 = 8 − 𝑥2 − 𝑦2. 
𝑉 = ∬ ℎ(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
 
 
 
 
 
 
 
 
Intersecção entre 𝑧 = 𝑥2+ 𝑦2 e 𝑧 = 8 − 𝑥2 − 𝑦2 
𝑥2 + 𝑦2 = 8 − 𝑥2 − 𝑦2 ou 2𝑥2 + 2𝑦2 = 8 ou 𝑥2 + 𝑦2 = 4 ou 𝑟 = 2 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 e ℎ(𝑥, 𝑦) = (8 − 𝑥2 − 𝑦2) − (𝑥2 + 𝑦2) = 8 − 2(𝑥2 + 𝑦2) = 8 − 2𝑟2 
𝑉 = ∫ ∫ (8 − 2𝑟2)𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = ∫ ∫ 8𝑟 − 2𝑟3 𝑑𝑟 𝑑𝜃
2
0
= ∫ [
8𝑟2
2
− 2
𝑟4
4
]
0
22
0
2𝜋
0
2
0
2𝜋
0
𝑑𝜃
= [8] ∫ 𝑑𝜃 = 8 . 2𝜋 = 16 𝜋
2𝜋
0
 
 
 
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26 
Exemplo 3: 
 Encontre o centroide da casquinha de sorvete W que fica abaixo do 
hemisfério 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2; 𝑧 ≥ 0 e acima do cone 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2. 
 
Solução: região simétrica ao eixo z, então �̅� = 0 𝑒 �̅� = 0 e 𝑧̅ =
∭ 𝑧 𝑑𝑉𝑊
∭ 𝑑𝑉𝑊
. 
Usando coordenadas esféricas: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 
(𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙)2 + (𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙)2 = (𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜙)2 
𝜌2 𝑠𝑒𝑛2𝜙 . (cos2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃) = 𝜌2 cos2 𝜙 
𝑠𝑒𝑛2𝜙 = cos2 𝜙 
Assim, 𝑠𝑒𝑛 𝜙 = ± cos 𝜙 ou 𝜙 = ±
𝜋
4
 . 
A equação do cone é escolhida 𝜙 =
𝜋
4
 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝜙 ≤
𝜋
4
 0 ≤ 𝜌 ≤ 𝑅 
 
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27 
 Calculando o volume: 𝑉 = ∭ 𝑑𝑉
𝑤
 
𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝜌2 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃
𝑅
𝑜
𝜋
4
0
2𝜋
0
= (∫ 𝑑𝜃) . (∫ 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜙) . (∫ 𝜌2 𝑑𝜌) = 
𝑅
0
𝜋
4
0
 
2𝜋
0
 [𝜃]0
2𝜋 . [−𝑐𝑜𝑠𝜙]0
𝜋
4 . [
𝜌3
3
]
0
𝑅
= 2𝜋. (−
√2
2
+ 1) .
𝑅3
3
 =
𝜋
3
 (2 − √2)𝑅3 
 Calculando o momento: 𝑀𝑥𝑦 = ∭ 𝑧 𝑑𝑉𝑊 
𝑀𝑥𝑦 = ∫ ∫ ∫ (𝜌 cos 𝜙) . 𝜌
2 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃
𝑅
𝑜
𝜋
4
0
2𝜋
0
= (∫ 𝑑𝜃) . (∫ cos 𝜙 . 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜙) . (∫ 𝜌3 𝑑𝜌)
𝑅
0
𝜋
4
0
2𝜋
0
= [𝜃]0
2𝜋 . [−
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝜙]
0
𝜋
4
 . [
𝜌4
4
]
0
𝑅
 = 2𝜋. (−
1
2
(0 − 1)) .
𝑅4
8
 = 𝜋𝑅4/8 
A cota do centroide é: 𝑧̅ =
(
𝜋𝑅4
8
)
(
𝜋(2−√2)𝑅3
3
)
=
3
𝜋(2−√2)𝑅3
 .
𝜋𝑅4
8
=
3𝑅
8(2−√2)
 ≅ 0,64 𝑅 
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Na Prática 
Nesta aula, trabalhamos com integrais duplas e triplas, bem como as 
diferentes formas de resolução. Aplicações foram apresentadas em situações 
que envolvem a física e outras áreas do conhecimento. Procure resolver algumas 
situações-problemas e depois confira o resultado. 
Exercite! 
 
 
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28 
Síntese 
Para as considerações finais da professora Celina Jarletti, assista ao 
vídeo que está disponível no material on-line. 
Referências 
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo B. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2006. 
THOMAS, G. B. Cálculo. v. 2. São Paulo: Addison– Wesley, 2002. 
ÁVILA, G. Cálculo de Funções de uma Variável. v. 2. Rio de Janeiro: LTC, 
2002. 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. vol. 2. São Paulo: Harbra, 
1995. 
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. v. 2. São Paulo: 
Makron Books, 1994.