Aula 8 (1)

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Bases Matemáticas para
Engenharia
Aula 8 - Logaritmos
INTRODUÇÃO
Os logaritmos surgiram da necessidade de tornar mais simples as operações de multiplicação, divisão, potenciação e
radiciação, já que no �m do século XVI, com o desenvolvimento da Astronomia e da Navegação, os cálculos estavam
cada vez mais longos e trabalhosos e a calculadora ainda não havia sido inventada.
A função logarítmica está ligada a um grande número de fenômenos e situações naturais, onde se tem uma grandeza
cuja taxa de variação é proporcional à quantidade da mesma existente no instante dado. O que caracteriza uma função
logarítmica é o fato de transformar produtos em somas, que é o contrário da exponencial.
As propriedades envolvendo logaritmos são ferramentas poderosas na resolução de problemas de crescimento e
decrescimento exponencial. As funções exponencial e logarítmica caminham juntas e muitas situações reais podem
ser modeladas com uma destas funções, necessitando da outra função para suas resoluções.
OBJETIVOS
De�nir logaritmo e utilizar as propriedades de logaritmo;
Identi�car uma função logarítmica;
Resolver equações logarítmicas;
Resolver inequações logarítmicas;
Resolver situações-problema que envolvam função logarítmica.
LOGARITMOS
Sejam a e b números reais e positivos com a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual se deve
elevar a base a de modo que a potência a seja igual a b.
Exemplo
, a) log 16
log 16 = 𝑥 ⇒ 16 = 2 ⇒ 2 = 2 ⇒ 𝑥 = 4, , b) log 32
log 32 = 𝑦 ⇒ 32 = 4 ⇒ 2 = (2 ) ⇒ 2𝑦 = 5 ⇒ 𝑦 = , , c) log 125
log 125 = 𝑥 ⇒ 125 = 5 ⇒ 5 = 5 ⇒ 𝑥 = 3
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
O logaritmo de 1, em qualquer base a, é igual a 0.
𝑳𝒐𝒈 𝟏 = 𝟎 , pois 𝑎 = 1
Exemplo:
log 1 = 0
log 1 = 0
O logaritmo base, qualquer que seja ela, é igual a 1.
𝑳𝒐𝒈 𝒂 = 𝟏 , pois 𝑎 = 𝑎
Exemplo:
log 2 = 1
log 5 = 1
x
2
2
𝑥 4 𝑥
4
4
𝑦 5 2 𝑦
5
5
𝑥 3 𝑥
𝒂
0
2
5
𝒂
1
2
5
A potência de base a e expoente log b é igual a b.
𝒂 = b, pois 𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑥 → 𝑎𝑥 = 𝑏
Exemplo:
𝟖 = (2 ) = (2 ) = 5 = 125
Se dois logaritmos, em uma mesma base, são iguais, então os logaritmandos também são iguais.
𝒍𝒐𝒈 𝒃 = 𝒍𝒐𝒈 𝒄 ↔ 𝑏 = 𝑐
Exemplo:
𝑳𝒐𝒈 𝒙 = log 𝟗 ↔ 𝑥 = 9
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
Exemplo
, Os logaritmos na base 10 podem ser expressos sem se explicitar a base, assim o log 7 pode ser expresso simplesmente
por log 7., , Antes de continuar seus estudos, veja alguns exemplos clicando aqui. (galeria/aula8/docs/a08_04_01.pdf)
SISTEMAS DE LOGARITMOS NA BASE A
Chamamos o conjunto de todos os logaritmos na base a de sistema de logarit mos na base a (em que a > 0, a ≠ 1).
Os dois principais sistemas são o logaritmo decimal e o logaritmo natural.
Vamos analisá-los:
Logaritmo decimal
É um sistema de logaritmo na base 10.
a
𝑙𝑜𝑔 𝑏𝑎
𝑎
log 𝒃𝟐 3 log 𝑏2 log 𝑏2 3 3
𝒂 𝒂
𝟑 𝟑
10
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula8/docs/a08_04_01.pdf
A preferência pelos logaritmos decimais se deve ao fato de usarmos um sis tema de numeração de base 10.
Os logaritmos na base 10 podem ser expressos sem se explicitar a base, assim o log 7 pode ser expresso
simplesmente por log 7.
Em notação: log 𝑏 = log 𝑏
Logaritmo natural
É um sistema de logaritmo na base e = 2,718283..., que é um número irracional, chamado número de Euler.
Em notação: 𝑙𝑜𝑔 𝑏 = ln 𝑏
Para transformar da base e para a base decimal podemos usar a seguinte relação:
Exemplo
, Sabendo que log 5 = 0,70, determine ln5., , Resolução:, , log 𝑏 = 2,3 . log 𝑏, , log 5 = 2,3 . log 5, , log 5 = 2,3 . 0,70, , log 5 = 1,61 ↔
ln5 = 1,61
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Considere a > 0 e a ≠ 1.
Estudamos, na aula anterior, a função exponencial f: → +* de�nida por f(x) = a .
Esta função é bijetora e, portanto, admite função inversa.
A função inversa da exponencial é denominada função logarítmica f: +* → , de�nida por 𝒇 (𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 .
Exemplo
10
10
𝑒
𝑒 𝑒 𝑒 𝑒
x
, 
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
O grá�co da função 𝒇 (𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 x é uma curva posicionada no primeiro e no quarto quadrante (pois x > 0), ou seja, o
grá�co da função 𝒇 (𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 x não toca o eixo y (eixo das ordenadas).
Além disso, ela passa pelo ponto (1, 0), pois, se x = 1, temos que:
Como a função logarítmica e a função exponencial são inversas entre si, seus grá�cos são simétricos em relação à
função identidade (bissetriz dos quadrantes ímpares), conforme esboços a seguir.
Exemplo
, Para um melhor entendimento, clique aqui e veja dois exemplos. (galeria/aula8/docs/a08_07_01.pdf)
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA
Toda equação que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo é chamada equação
logarítmica.
Vamos veri�car como são resolvidos quatro tipos básicos de equações logarítmicas.
1- Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base
log 𝑥 = log 𝑦
A solução é dada fazendo x = y > 0.
Exemplo:
Resolva a equação log (2𝑥 − 5) = log 3
Resolução:
2x - 5 = 3
2x = 5 + 3
2x = 8
x = 4
Portanto, S = { 4 }
2 - Equações redutíveis a uma igualdade entre um logaritmo e um número natural
log 𝑥 = log𝑐
A solução é dada por x = a .
Exemplo:
Encontre a solução da equação log (2𝑥 − 3) = 2
Resolução:
2x - 3 = 5
2x - 3 = 25
2x = 25 + 3
2x = 28
x = 14
Portanto S = {14}.
𝑎 𝑎
2 2
𝑎 c
5
2
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3 - Equações que são resolvidas por meio de uma mudança de incógnita
Exemplo:
Resolva a equação (log 𝑥) − 2 . log 𝑥 = 3
Fazendo log 𝑥 = 𝑦
Temos: Y – 2y = 3 → y – 2y – 3 = 0 → y = 3 ou y = -1
Mas log 𝑥 = 𝑦
Então:
4 - Equações que envolvem a utilização as propriedades do logaritmo ou de mudança
de base
INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA
É toda inequação que apresentar a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo.
3
2
3
3
2
2
3
Vamos veri�car como são resolvidos dois tipos básicos de equações logarítmicas:
1) Inequações redutíveis a uma desigualdade entre logaritmos de mesma base
Se a base for maior do que 1 (a > 1)
Podemos desconsiderar o logaritmo e manter a desigualdade entre os logaritmandos, isto é:
Se 𝒂 > 𝟏, então 𝒍𝒐𝒈 𝒃 < 𝒍𝒐𝒈 𝒄 ↔ 𝒃 < 𝒄
Veja um exemplo (glossário) para entender melhor.
Se a base for um número entre 0 e 1 (0 > a > 1)
Ao resolver a inequação logarítmica, devemos inverter a desigualdade e estabelecer uma inequação entre os
logaritmandos, ou seja:
Se 𝟎 > 𝒂 > 𝟏, então 𝒍𝒐𝒈 𝒃 < 𝒍𝒐𝒈 𝒄 ↔ 𝒃 > 𝒄
Veja um exemplo (glossário) para entender melhor.
2) Inequações redutíveis a uma desigualdade entre um logaritmo e um número real
Se, ao resolver uma inequação logarítmica, depararmo-nos com uma desigualdade entre um logaritmo e um número
real, podemos aplicar a propriedade básica do logaritmo, mantendo intacto o símbolo da desigualdade:
Veja um exemplo (glossário) para entender melhor.
Exemplo
, Antes de encerrar seus estudos, veri�que, através de exemplos (galeria/aula8/docs/a08_09_01.pdf), a utilização das técnicas de
logaritmos na busca de resultados para duas situações.
ATIVIDADE
𝒂 𝒂
𝒂 𝒂
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Antes de encerrar seus estudos, resolva um exercício para reforçar o seu aprendizado. Não se esqueça de resolvê-lo
em seu caderno e, depois de concluídos, conferir o resultado.
1 - Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 2% ao ano, aproximadamente. Em quantos
anos a população desta cidade irá triplicar, se a taxa de crescimento continuar a mesma? (Dados: log 3 = 0,477 e log
1,02 = 0,0086).
Resposta Correta
Glossário
EXEMPLO
EXEMPLO
EXEMPLO