Estudo da análise de velocidade de migração

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA 
 
 
 
 
 
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 
 
 
 
 
JADSON DA SILVA LIMA 
 
 
 
Estudo da análise de velocidade de 
migração a partir do sobretempo 
residual aplicada a dados sintéticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belém-Pará 
 2020 
JADSON DA SILVA LIMA 
 
 
 
 
 
Estudo da análise de velocidade de migração a partir do 
sobretempo residual aplicada a dados sintéticos. 
 
 
 
 
 
 
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação 
em Geofísica do Instituto de Geociências da Universidade 
Federal do Pará para a obtenção do título de mestre em 
Geofísica. 
 
 
 
 
Área de Concentração: Métodos Sísmicos 
 
Linha de Pesquisa: Geofísica Aplicada à Exploração de 
Hidrocarbonetos. 
 
Orientador: João Carlos Ribeiro Cruz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belém-Pará 
 2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) de acordo com ISBD 
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Gerada automaticamente pelo módulo Ficat, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a) 
 
 
L732e Lima, Jadson da Silva. 
Estudo da análise de velocidade de migração a partir do sobretempo 
residual aplicada a dados sintéticos. / Jadson da Silva Lima. — 2020. 
125 f. : il. color. 
Orientador(a): Prof. Dr. João Carlos Ribeiro Cruz 
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Pará, 
Instituto de Geociências, Programa de Pós-Graduação em 
Geofísica, Belém, 2020. 
1. Sísmica. 2. Análise de velocidade. 3. Sobretempo 
residual. 4. Migração Kirchhoff. I. Título. 
 
CDD 622.1592 
 
 
 
 
AGRADECIMENTOS 
Agradeço primeiramente à Deus por sempre atender às minhas orações e me guiar nos 
momentos mais difíceis. 
Ao Professor Dr. João Carlos Ribeiro Cruz pela oportunidade e todo apoio durante esses 
dois anos. 
Agradeço aos meus pais, Joana Darque de Jesus e Joacir Elias de Sousa, por sempre me 
incentivar a ser uma pessoa melhor e a nunca desistir dos meus objetivos. 
À minha irmã, Juliana Karen de Jesus de Sousa, por sempre me escutar, me fazer rir e me 
apoiar. 
À minha amiga Assucena Lebre que é alguém que eu posso contar por toda minha vida e 
que sempre faz o meu dia melhor. 
À minha amiga Camila Cabral por me ajudar em momentos difíceis que passei no final 
do meu mestrado e sempre me dar conselhos valiosos. 
 Ao meu amigo Renan pela essa amizade incrível, por sempre me escutar e apoiar. 
 Ao Professor Dr. Manuel de Jesus dos Santos da Costa pelo apoio e incentivo. 
 Agradeço à CAPES e à PETROBRAS pelo financiamento do projeto mediante bolsa de 
mestrado. 
 Agradeço ao Curso de Pós-Graduação em Geofísica (CPGF/UFPA) por todo o apoio para 
realização desta pesquisa. 
 Agradeço a Dr. Lucia Imbiriba pelo apoio na orientação das normas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
Este trabalho é um estudo do método de análise de velocidade de migração através da análise 
do sobretempo residual. Esse método foi aplicado em um dado sintético simples e no 
Marmousi com o objetivo de análise e comparação dos resultados buscando sempre um 
modelo de velocidade mais próximo do real possível. Foi utilizado o método de migração 
Kirchhoff em verdadeira amplitude para migrar os dados. No processo de análise, para cada 
camada é dado um valor de velocidade representando uma aproximação inicial e, logo em 
seguida, são realizadas uma série de iterações onde cada iteração fornece uma velocidade que 
deve ser somada ou subtraída a velocidade anterior até que seja obtido um valor próximo do 
real e isso é verificado quando o sobretempo residual nas Famílias de Imagens Comuns 
(CIG’s) for próximo de zero. Todo o processamento dos dados foi realizado no software 
Seismic Unix. Na análise do dado sintético simples, apesar de apresentar variações de 
velocidade laterais e verticais, foi possível obter um modelo estimado de velocidade muito 
semelhante ao real. No caso do Marmousi, devido a sua complexidade geológica, as regiões 
que apresentam muitas falhas e camadas de alta velocidade foram difíceis de realizar uma 
análise acurada, porém no resultado da migração com o modelo estimado é possível observar 
a recuperação das principais estruturas e camadas. Também foram realizados testes com a 
adição de ruído ao dado original e os resultados mostram que o processo de análise de 
velocidade é estável. Para trabalhos futuros a proposta é a de aplicação do método em dados 
reais e a utilização de um algoritmo de migração mais sofisticado para a obtenção de melhores 
resultados. 
 
Palavras-chave: Análise de velocidade. Sobretempo residual. Migração Kirchhoff. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
This work is a study of the migration velocity analysis method through the residual moveout 
analysis. This method was applied in a synthetic data and in the Marmousi data where the 
goal was to compare and analyze the results to achieve a velocity model that provides a good 
similarity with the real model. I used the true amplitude Kirchhoff migration method to 
migrate the data. In the analysis process, for each layer is given a velocity value that 
represents the initial approximation and afterwards is executed a series of iterations where 
each iteration provides a velocity that should be added or subtracted to the previous one until I 
obtain a value that is close to the real value and this is verified when the sobretempo residual 
in the Famílias de Imagens Comuns (CIG’s) is approximately zero. All data processing was 
done in Seismic Unix. In the simple synthetic data analysis, despite showing vertical and 
lateral velocity variations, it was possible to obtain an estimated velocity model very similar 
to the real one. In the Marmousi case, due to the faulted regions and zones with high 
velocities I could not perform an accurate analysis, however in the result of the migration 
using the estimated model was possible to observe the recovering of the main structures and 
layers. it was also performed some tests adding noise to the original data and the results show 
that velocity analysis process is stable. For future works I propose to apply the method in real 
data and to use a more sophisticated migration algorithm in order to obtain better results. 
 
Keywords: Velocity Analysis. Residual moveout. Kirchhoff migration. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 2.1– O segmento de reflexão C’D’ na seção do tempo (b), quando migrada, é movida 
na direção do mergulho, se torna mais íngreme, mais curto e é posicionado no seu 
local real em subsuperfície CD como mostrado em (a). (Modificado de Yilmaz, 
2001). ......................................................................................................................... 4 
Figura 2.2 - Nessa imagem observa-se que o evento AB na seção não-migrada (esquerda) é 
movida para a posição A’B’ na seção migrada (direita). Com o objetivo de comparar 
a posição do evento antes e depois da migração, o mesmo foi sobreposto na seção 
não migrada. O ponto C no refletor inclinado AB é movido para a posição C’ após a 
migração. A quantidade de deslocamento horizontal dx, deslocamento vertical dte o 
mergulho ∆τ∆x são calculados a partir das equações (2.1), (2.2) e (2.3). 
(Modificado do Yilmaz). ............................................................................................ 5 
Figura 2.3 - Resposta ao impulso do operador de migração. (a) Representa o impulso no 
domínio do tempo. (b) Representa o impulso no domínio da profundidade. ............ 6 
Figura 2.4 - Imagem representando um modelo elástico da terra em 3D. Um refletor 
conhecido (superfície quadriculada) é enterrado em um campo de velocidade 
lateralmente não-homogêneo. Dessa maneira, a reflexão primária PG da onda P no 
ponto G devido a uma fonte em S é descrito pelo raio SRG. Oraio SRG é um raio 
paraxial de um par fonte receptor (S, G) que está levemente deslocado. O raio IR é o 
raio imagem do ponto R, ou seja, o raio normal à superfície z = 0. A migração em 
verdadeira amplitude no tempo move a reflexão primária original PG após a 
aplicação da correção em verdadeita amplitude para a reflexão PI localizada no 
tempo duplo de trânsito do raio-imagem IR. A migração em profundidade posiciona 
o sinal PI no ponto R (Adaptado de Schleicher, 1993). ............................................. 9 
Figura 2.5 - Um ponto M é especificado em um modelo de macro-velocidade terrestre. O 
tempo de viajem é computado para M de todas as fontes pontuais S (superfície de 
tempo de trânsito τS, M e para todos os receptores pontuais G (Superfície de tempo 
de trânsito τG, M da configuração de medida sob consideração no plano z=0. A 
soma de ambos tempos de trânsito a aprtir de M relacionados aos pares fonte 
receptor S, G define a superfície de Huygens para M. (Adaptado de Schleicher et al. 
1993.) ....................................................................................................................... 10 
 
Figura 2.6 - Superfícies dos tempos de trânsito τR e τD para diferentes escolhas do ponto M 
em profundidade para uma configuração afastamento-comum. (a) M coincide com 
o ponto de reflexão R. Neste caso, τR e τD são tangentes para cada ponto. (b) M 
não coincide com o ponto de reflexão. Nesse caso, não há ponto de tangência. 
(Adaptado de Schleicher et al. 1993.) ...................................................................... 13 
Figura 2.7 - Geometria da reflexão para o caso 2D. O raio viaja da fonte xs para o ponto (x,z) 
em um refletor localizado na subsuperfície onde ocorre reflexão e segue em direção 
ao receptor xr. O termo τs representa o tempo de viajem da fonte para o ponto (x,z) 
e τr é o tempo de viajem partindo desse ponto para o receptor. .............................. 16 
Figura 2.8 - Macro modelo de velocidade. A análise de velocidade de migração começa do 
bloco mais próximo a superfície. Obtida a velocidade, é analisado o bloco logo 
abaixo dele e assim sucessivamente (Liu, 1997). .................................................... 22 
Figura 2.9 - Modelo acamadado. A camada alvo para a análise de velocidade está 
representada pelo sombreado cinza. O limite superior dessa camada está localizado 
em z=d e o limite em z=z* (Liu, 1997). ................................................................... 23 
Figura 3.1 - Fluxograma mostrando as etapas da análise de velocidade de migração através 
do sobretempo residual desenvolvida por Liu (1997). ............................................. 28 
Figura 3.2 - Modelo de velocidade real constituído por cinco interfaces. Algumas camadas 
apresentam velocidade constante, enquanto outros possuem variações laterais e 
verticais em seus campos de velocidade. A unidade de v é m/s. ............................. 29 
Figura 3.3 - Offsets do dado sísmico obtido a partir do modelo de velocidade real da Figura 
3.2. ............................................................................................................................ 30 
Figura 3.4 - Offsets do dado sísmico obtido a partir do modelo de velocidade real da Figura 
3.2. ............................................................................................................................ 31 
Figura 3.5 - Cinco Famílias de Imagens Comuns do dado migrado com velocidade de 
migração de 1500 m/s. ............................................................................................. 32 
Figura 3.6 - Semblances do sobretempo residual para os CIGs 500, 1700 e 2900. Os pontos 
vermelhos indicam onde foram realizados os pickings para o primeiro refletor. .... 33 
Figura 18 - Semblances do sobretempo residual dos CIGs 500, 1700 e 2900 após a correção 
da velocidade da primeira camada. .......................................................................... 33 
Figura 3.7 - Semblances do sobretempo residual dos CIGs 500, 1700 e 2900 após a correção 
da velocidade da primeira camada ........................................................................... 34 
Figura 3.8 - Modelo de velocidade estimado final. ................................................................. 35 
Figura 3.9 - Famílias de Imagens Comuns do dado migrado com o modelo de velocidade 
estimado da Figura 3.8. ............................................................................................ 36 
Figura 3.10 - Famílias de Imagens Comuns do dado migrado com o modelo de velocidade 
real da Figura 3.2. .................................................................................................... 37 
Figura 3.11 - Resultado da migração utilizando-se o modelo de velocidade da Figura 3.8. ... 38 
Figura 3.12 - Modelo de velocidade Marmousi. O pontilhado vermelho representa as 
interfaces interpretadas para serem utilizadas no processo de análise de velocidade 
de migração. ............................................................................................................. 39 
Figura 3.13 - Modelo de velocidade estimado através da análise de velocidade de migração 
através do sobretempo residual. Este modelo apresenta 11 camadas no total. ........ 40 
Figura 3.14 - Famílias de Imagens Comuns resultantes da primeira iteração onde foi utilizada 
a velocidade constante de 1500 m/s para todas as camadas. ................................... 41 
Figura 3.15 - Famílias de Imagens Comuns resultantes da segunda iteração escolhida onde 
foi utilizada a velocidade constante de 1600 m/s para a primeira camada. ............. 42 
Figura 3.16 - Famílias de Imagens Comuns resultantes da terceira iteração escolhida onde foi 
utilizada a velocidade constante de 1700 m/s para a primeira camada. ................... 43 
Figura 3.17 - Famílias de Imagens Comuns resultantes da última iteração onde foi utilizada a 
velocidade constante de 1750 m/s para a primeira camada. .................................... 44 
Figura 3.18 - Resultado da migração do dado Marmousi utilizando o modelo de velocidade 
estimado....................................................................................................................45 
Figura 3.19 - Resultado da migração do dado Marmousi utilizando o modelo de velocidade 
real. ........................................................................................................................... 45 
Figura 3.20 - Famílias de Imagens Comuns do dado migrado com o modelo de velocidade 
estimado (Figura 3.18). ............................................................................................ 46 
Figura 3.21 - Famílias de Imagens Comuns do dado migrado com o modelo de velocidade 
real (Figura 3.19). .................................................................................................... 47 
Figura 3.22 - Comparação dos perfis de velocidade de algumas CDP’s do dado Marmousi 
migrado com o modelo de velocidade real e com o modelo de velocidade estimado.
 .................................................................................................................................. 48 
Figura 3.23 – Resultados da migração adicionados diferentes quantidades de ruído ao dado 
sísmico do Marmousi e migrando-o com o modelo de velocidade estimado. ......... 51 
Figura 3.24 - Resultados da migração adicionados diferentes quantidades de ruído ao dado 
sísmico do Marmousi e migrando-o com o modelo de velocidade real................... 52 
LISTA DE SÍMBOLOS 
𝑑𝑥 quantidade de deslocamento horizontal de um ponto em uma seção não-
migrada para uma seção não-migrada 
𝑑𝑡 quantidade de deslocamento vertical de um ponto em uma seção não-migrada 
para uma seção não-migrada 
𝑃𝑔, 𝑃𝑖 Reflexão de onda primária P em 𝐺(𝜉) e reflexão da onda P no ponto de 
emergêngia do raio -imagem em I 
∆𝜏 ∆𝑥⁄ Mergulho do refletor na seção migrada𝑆(𝜉), 𝐺(𝜉) Par fonte-geofone parametrizado por 𝜉 
S, R Pontos ao longo de um raio 
SRG Mnemônico para raio central com reflexão no ponto R 
�̄��̄��̄� Mnemônico para raio paraxial a SRG 
SR, RG Mnemônicos para ramos do raio com reflexão no ponto R 
𝜉 = (𝜉1,𝜉2)
𝑇
 Vetor posição sobre a Zona de Fresnel projetada 
M Ponto arbitrário em profundidade 
𝑊(𝑡) Representa a wavelet fonte-pontual analítica 
𝜏𝑅(𝜉) Superfície de tempo de trânsito de reflexão 
𝑅𝑐 Coeficiente de reflexão da onda plana 
A Abertura da migração 
L Fator de espalhamento geométrico 
𝑈(𝜉, 𝑡) Campo de onda escalar observado em 𝜉 
 𝑤(𝜉) Função peso de migração 
𝜏𝐷(𝜉, 𝑅) Superfície de Huygens ou difração 
𝜎 Fator de espalhamento geométrico 
𝜏𝑠 Tempo de viajem da fonte para um ponto em profundidade. 
𝜏𝑟 Tempo de viajem de um ponto em profundidade para o receptor. 
t (y, h) Tempo total de reflexão 
h Half-offset 
g (x,h) Derivada da profundidade com relação ao parâmetro da velocidade 
𝜆 Parâmetro de velocidade 
z Profundidade de reflexão imageada no CIG 
𝜃𝑠 Ângulo entre o raio da fonte e a vertical 
𝜃𝑟 Ângulo entre o raio do receptor e a vertical 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 1 
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS ............................................................................................ 4 
2.1 MIGRAÇÃO .................................................................................................................... 4 
2.1.1 Migração Kirchhoff ............................................................................................... 6 
2.1.1.1 Migração Kirchhoff em verdadeira amplitude 3D ......................................... 10 
2.1.1.2 Migração Kirchhoff em verdadeira amplitude 2.5D ...................................... 14 
2.2 ANLÁLISE DE VELOCIDADE DE MIGRAÇÃO ...................................................... 15 
2.2.1 Implementação computacional ........................................................................... 20 
2.2.2 Sensibilidade da análise de velocidade de migração ......................................... 22 
3 APLICAÇÃO E RESULTADOS ........................................................................................ 25 
3.1 METODOLOGIA .......................................................................................................... 25 
3.1.1 Seismic Unix ......................................................................................................... 25 
3.1.2 Processamento ..................................................................................................... 26 
3.2 MODELO SINTÉTICO SIMPLES ............................................................................... 29 
3.3 MARMOUSI ................................................................................................................. 38 
 3.3.1 – Perfis de Velocidade ........................................................................................ 48 
3.3.2 – Adicionando ruído ............................................................................................. 50 
.3.2.1 Modelo Estimado ............................................................................................. 51 
3.3.2.2 Modelo Original ............................................................................................. 52 
4 CONCLUSÃO ...................................................................................................................... 53 
REFERÊNCIAS .................................................................................................................... 54 
APENDICE A..........................................................................................................................47 
APENDICE B..........................................................................................................................50 
 
 
1 
 
1 INTRODUÇÃO 
O imageamento sísmico manifesta três problemas principais: imagem com baixa 
resolução, formato errôneo e posicionada no local incorreto. Tendo isso em vista, a migração 
é considerada passo essencial do processamento sísmico, pois é nessa etapa que as reflexões 
que apresentam certo mergulho são movidas para suas posições reais, aumentando, assim, a 
resolução espacial da imagem. No final é obtido uma imagem que similar a seção geológica 
em profundidade (Yilmaz, 2001). 
 A geofísica apresenta diversos métodos de migração que utilizam técnicas diferentes, 
cada uma apresentando suas vantagens e desvantagens. Dentre esses métodos, um dos mais 
tradicionais e utilizados é o ‘Kirchhoff’ (Schneider, 1978; Bleistein, 1987; Schleicher et al. 
1993, Tygel et al.,1996), o qual é amplamente usado na indústria do petróleo para a obtenção 
de imagens da subsuperfície através de dados sísmicos. Esse tipo de migração é versátil pois é 
possível migrar dados completos ou parte deles. O referido método é mais eficiente quando 
aplicado em meios mais suaves, pois ele faz um grande uso da teoria do raio de ordem zero. 
 A migração Kirchhoff evoluiu a partir do método gráfico de Hagedoorn (1954). 
Schneider (1978) trabalha em uma formulação matemática da migração como uma solução 
para a equação da onda escalar e a imagem migrada é expressa como uma solução da integral 
das chegadas sísmicas conhecidas. Bleistein (1987), baseando-se em Beyklin (1985), estendeu 
a teoria para inverter também para a refletividade. Schleicher (1993) discute a migração em 
verdadeira amplitude, que apresenta esse nome porque tenta remover o fator de espalhamento 
geométrico do dado. Essa migração se baseia na soma ponderada ao longo da superfície de 
Huygens criada a partir de cada ponto M em subsuperfície, independentemente de M ser um 
ponto de reflexão. Nesse caso é assumido que a terra é formada por camadas elásticas 
isotrópicas que são separadas por refletores suavemente curvados e que não são conhecidos. 
O movimento de uma partícula registrada em um ponto G pode ser descrita pela solução do 
raio de ordem zero e os raios paraxiais podem ser descritos pela teoria do raio paraxial. 
 Um fator determinante no sucesso da migração é a escolha correta do campo de 
velocidades. Quando um modelo de velocidade errado é usado na migração, o resultado final 
será uma imagem distorcida. Os métodos convencionais de atualização da velocidade de 
migração geralmente impõem um ou mais dos seguintes limites no modelo: velocidades 
laterais homogêneas, pequenos offsets ou refletores horizontais. Tais restrições fazem com 
que seja difícil lidar com ambientes geológicos complexos. Desse modo, técnicas tem sido 
desenvolvidas usando a diferença das profundidades imageadas (sobretempo residual) em um 
2 
 
 
conjunto de traços provenientes de vários offsets ou ângulos que foram ajustados para 
diferenças do tempo de viajem do zero offset (Família de Imagem Comum - CIG) para 
atualização das velocidades de migração (Liu e Bleistein, 1995; Liu, 1997; Sarkar and 
Tsvanki, 2004). 
 Liu e Bleistein (1995), baseando-se nas equações de imageamento derivadas da Lei de 
Snell, obtêm fórmulas analíticas que representam o sobretempo residual em alguns casos. Liu 
(1997) estima uma representação para a derivada das profundidades imageadas com relação a 
velocidade de migração. Com base nessa função derivada e no método da perturbação, ele 
obtém uma fórmula para atualizar a velocidade a partir do sobretempo residual que é válida 
para qualquer offset, mergulho e distribuição de velocidade, o que não era conseguido nos 
métodos anteriores. Sakar and Tsvanki (2004) adaptaram a técnica utilizada por Liu (1997) 
para meios anisotrópicos. Hui Zhang (2018) faz uma análise dos fatores que afetam os picks 
realizados no semblance do sobretempo residual como, por exemplo, a qualidade do dado e a 
estruturageológica, e propõe soluções e sugestões que reduzem ou eliminam o impacto desses 
fatores na hora de fazer os pickings. 
O objetivo principal do presente trabalho é o de analisar e comparar os resultados da 
análise de velocidade de migração, a partir do estudo do sobretempo residual aplicada a um 
dado 2D sintético simples e ao dado Marmousi que serão migrados através do método 
Kirchhoff convencional. A migração Kirchhoff convencional, ou em verdadeira amplitude, 
será fundamentada no trabalho de Schleicher et al. (1993) onde o mesmo se baseia no 
empilhamento das amplitudes ao longo das superfícies de difração (ou superfícies de 
Huygens). Os resultados das migrações sãoorganizados em Famílias de Imagens Comuns 
(CIGs) para, em seguida, ser feita a análise de velocidade de migração a partir do estudo do 
sobretempo residual (Liu, 1997), com o propósito de obtenção de velocidades mais acuradas 
e, portanto, imagens com maior resolução. Também serão realizados testes com a adição de 
ruído ao dado original para a avaliação da estabilidade do método. 
 Essa dissertação está dividida em quatro capítulos. No capítulo 2 é abordada a teoria 
básica da migração sísmica. Logo em seguida é apresentada a teoria da migração Kirchhoff 
iniciando-se pela migração Kirchhooff em verdadeira amplitude 3D e, a partir da fórmula 
final obtida, consegue-se as fórmulas necessárias para a migração Kirchhoff em verdadeira 
amplitude 2D. Nesse mesmo capítulo é apresentada a teoria sobre a análise da velocidade de 
migração a partir do sobretempo residual. 
 No capítulo 3 são mostradas as aplicações do método de análise de velocidade em dados 
sintéticos. Primeiramente, é realizada a aplicação em um dado sintético simples composto por 
3 
 
 
cinco camadas. Em seguida, é feita a aplicação no dado sintético Marmousi. O capítulo 
termina com testes de ruído aplicado ao dado original Marmousi migrado utilizando-se o 
modelo de velocidade real e o modelo de velocidade estimado. Todos os experimentos foram 
realizados no Seismic Unix. 
 No capítulo 4 são apresentadas as conclusões. O anexo A apresenta o sistema de 
equações lineares para estimação do parâmetro de velocidade utilizado no método da 
perturbação. E no anexo B são mostradas as derivadas das profundidades imageadas com 
respeito a velocidade e ao gradiente de velocidade vertical para um refletor horizontal e uma 
velocidade de background constante. Ambos os anexos fazem parte da teoria da análise de 
velocidade de migração através do sobretempo residual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 
2.1 MIGRAÇÃO 
Essa etapa do processamento consiste em posicionar os refletores que apresentam um 
certo mergulho para suas posições reais e aumentar a resolução espacial do sinal sísmico. 
Após esse procedimento a seção empilhada irá parecer similar a seção geológica em 
profundidade, mas com o eixo y em tempo (Yilmaz, 2001). Uma das razões para que a seção 
seja mostrada no tempo é que a estimação da velocidade baseada nos dados sísmicos e em 
outros dados é limitada em acurácia. Uma outra razão é que os geofísicos geralmente 
comparam as a imagem migrada com a não-migrada, para melhor comparação das duas 
seções no tempo. 
 Os tipos mais importantes de migração são a migração no tempo e em profundidade. A 
primeira é mais apropriada para situações em que as variações laterais são de suaves a 
moderadas e a segunda trabalha melhor com variações mais significantes. Também é possível 
realizar migrações nos domínios 2D e 3D, pré e pós-empilhamento. 
 A Figura 2.1 mostra a posição real de um refletor representada por CD na seção 
geológica. Desconsiderando difrações nas beiras dessa estrutura, é observado que a reflexão 
do ponto C registrada pelo receptor A será posicionada no ponto C’ na seção zero-offset e o 
receptor B irá registrar o final da interface mergulhante no ponto D’. A posição fictícia do 
refletor C’D’ na seção do tempo não corresponde com a sua real posição na seção geológica, 
sendo então necessário que ela seja migrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1– O segmento de reflexão C’D’ na seção do tempo (b), quando migrada, é movida 
na direção do mergulho, se torna mais íngreme, mais curto e é posicionado no seu local real 
em subsuperfície CD como mostrado em (a). (Modificado de Yilmaz, 2001). 
5 
 
 
 Considerando um ponto E no segmento CD em uma seção empilhada, após ser realizada 
a migração esse ponto vai se deslocar para E’ no segmento C’D’ (Figura 2.2). Uma importante 
observação a ser feita acerca desse processo é que a migração torna o refletor mais íngreme, 
mais curto e o mesmo é movido para direção do mergulho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o cálculo dos deslocamentos dx e dt e do mergulho do refletor na seção migrada 
(∆𝜏 ∆𝑥⁄ ) são utilizados os valores da velocidade média v, tempo de viajem da onda (t) e do 
ângulo aparente da estrutura mergulhante na seção empilhada (∆𝑡 ∆𝑥⁄ ): 
 
 𝑑𝑥 =
𝑣2𝑡
4
𝛥𝑡
𝛥𝑥
 (2.1) 
 𝑑𝑡 = 𝑡 [1 − √1 − (
𝑣𝛥𝑡
2𝛥𝑥
)
2
] (2.2) 
 
𝛥𝜏
𝛥𝑥
=
𝛥𝑡
𝛥𝑥
1
√1−(
𝑣𝛥𝑡
2𝛥𝑥
)
2
 (2.3) 
 Para que a migração dos dados seja realizada com sucesso é necessário que o 
comprimento da linha de levantamento e o tempo de aquisição sejam escolhidos 
cuidadosamente em áreas que apresentam estruturas mergulhantes para que elas sejam bem 
mapeadas e corretamente migradas (Yilmaz, 2001). 
 Um fator a ser levado em conta no processo de migração é a velocidade do meio. 
Considerando vários refletores posicionados em diferentes profundidades, mas com os 
mesmos ângulos aparentes na seção empilhada e assumindo que ocorre um aumento da 
velocidade com a profundidade, após realizado a migração é observado que os deslocamentos 
Figura 2.2 - Nessa imagem observa-se que o evento AB na seção não-migrada (esquerda) é movida 
para a posição A’B’ na seção migrada (direita). A quantidade de deslocamento horizontal 𝑑𝑥, 
deslocamento vertical 𝑑𝑡 e o mergulho ∆𝜏 ∆𝑥⁄ são calculados a partir das equações (2.1), (2.2) e (2.3). 
(Modificado do Yilmaz). 
 
6 
 
 
dx e dt aumentam assim como o mergulho do evento (∆𝑡 ∆𝑥⁄ ) na seção migrada (Yilmaz, 
2001). 
 Geralmente erros na migração são maiores para eventos mais profundos do que para 
eventos rasos e também quanto mais íngreme o mergulho do refletor mais acurada as 
velocidades de migração devem ser pois o descolamento é proporcional ao mergulho. A 
escolha do algoritmo de migração e das velocidades irão influenciar na acurácia da locação do 
evento. 
2.1.1 Migração Kirchhoff 
 A migração Kirchhoff é descrita cinematicamente da seguinte forma: Considerando-se as 
posições de uma fonte e receptor que estão lozalizados na superfície da terra, procura-se 
dentro de um volume de dados sísmicos tempos relativos aos tempos de trânsito das posições 
das fontes e receptores em consideração a um ponto difrator em profundidade. Levando em 
conta um modelo da terra simplificado, ou seja, 2D, isotrópica e com velocidade constante, o 
local dessas reflexões é representado por uma elipse. Para um afastamento nulo, essa elipse 
vira um círculo. O que a migração Kirchhoff faz é pegar uma amostra de um traço não 
migrado e “espalha” a energia desta amostra sobre todos os pontos que são “candidatos” a 
pontos de reflexão (Figura 2.3). Caso estivermos em um ponto de reflexão verdadeiro em 
subsuperfície, observaremos uma sobreposição construtiva de eventos com a migração dos 
traços sísmicos. No final, obtemos uma imagem das estruturas geológicas em subsuperfície. 
 
Figura 2.3 - Resposta ao impulso do operador de migração. (a) Representa o impulso no domínio 
do tempo. (b) Representa o impulso no domínio da profundidade. 
7 
 
 
O princípio físico dessa migração é denominadode fonte secundária de Huygens 
(Yilmaz, 2001). Considera-se que os horizontes refletores são formados por vários pontos que 
servem como fontes secundárias que criam frentes de ondas semi-circulares. Nas seções 
sísmicas, essas frentes geram curvas hiperbólicas de tempo de trânsito, e a sobreposição 
dessas hipérboles produz uma imagem da interface de reflexão. De acordo com Yilmaz 
(2001), há dois esquemas práticos de migração. O primeiro baseia-se na sobreposição de 
semi-círculos e é um método usado somente para seções de afastamento nulo. Ele foi o 
utilizado antes do surgimento dos computadores digitais e tem como referência o trabalho de 
Hagedoorn (1954). O segundo método baseia-se na somatória de amplitudes ao longo de 
trajetórias hiperbólicas e é conhecido como empilhamento de difrações. 
 
Algumas hipóteses devem ser levadas em conta quanto a migração Kirchhoff: 
 
• Considera-se o modelo terrestre como sendo um conjunto de camadas 
elásticas, isotrópicas, suaves, separadas por refletores desconhecidos que se 
apresentam suaves e curvas e estão localizados em subsuperfície. Ao longo 
desses refletores, os coeficientes de reflexão podem variar. 
• É utilizada a solução de ordem zero da teoria do raio para descrever o 
deslocamento da partícula de reflexões primárias. 
• A teoria paraxial do raio descreve os raios vizinhos que são conectados a um 
raio central arbritário. 
• Como raio central (Figura 2.4), entende-se aquele que parte da fonte S vai em 
direção ao refletor R e termina no geofone G e é denotado SRG. Ele é 
considerado como sendo uma onda P não refletida, não convertida, que cruza 
um determinado número de interfaces quando vai em direção ao refletor e, 
quando refletido, passa por outras interfaces no seu caminho de volta a 
superfície da terra. 
 
 Temos como objetivo fundamental da migração em verdadeira amplitude a remoção do 
fator de espalhamento geométrico das reflexões primárias sem, para isso, termos 
conhecimento dos refletores posicionados em subsuperfície. Assim: 
 
8 
 
 
• É considerado conhecido o fator de espalhamento geométrico para uma 
reflexão primária de onda P, que foi registrada em G e posicionada em 𝑃𝑔 
(Figura 2.4). 
• Para a obtenção da reflexão em verdadeira amplitude é realizado o 
escalonamento do sinal analítico da reflexão primária em Pg pelo seu fator de 
espalhamento geométrico. 
• No caso da migração em profundidade, posiciona-se a reflexão em verdadeira 
amplitude construída na primeira parte em um ponto R em profundidade. 
• Para a situação da migração em verdadeira amplitude no tempo, posiciona-se a 
reflexão em um ponto 𝑃𝑖 no espaço (x,y,t). 
 
 Os procedimentos para a realização da migração em verdadeira amplitude são descritos a 
seguir: 
 
• A superfície onde é feita as medições é amplamente coberta por pares fonte-
geofone que são parametrizados pelo vetor 𝜉 = (𝜉1,𝜉2)
𝑇
e por algumas matrizes 
constantes de configuração (Scheicher et al., 1993); 
• TR é a superfície de tempo de reflexão e sobre ela são encontradas as reflexões 
sísmicas primárias a serem imageadas. 
• É determinada a superfície de tempo de difração na qual é realizado o 
empilhamento de difrações conectando-se cada ponto S e G a um ponto 
arbitrário em profundidade M (Figura 2.5). 
• As superfícies do tempo de trânsito são funções de E. Essas superfícies serão 
tangentes se, e somente se, M=R (Figura 2.5). 
• Realizando a decomposição do raio central SRG em dois ramos SR e RG é 
possível determinar a função peso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 - Imagem representando mostrando como se dá a reflexão em um modelo elástico da terra 
em 3D. (Adaptado de Schleicher, 1993). 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 - Um ponto M é especificado em um modelo de macro-velocidade terrestre. O tempo de 
viajem é computado para M de todas as fontes pontuais �̄� e para todos os receptores pontuais �̄�. 
(Adaptado de Schleicher et al. 1993.) 
 
11 
 
 
2.1.1.1 Migração Kirchhoff em verdadeira amplitude 3D 
 Em seu trabalho, Schleicher et. al (1993) descreve a migração Kirchhoff em verdadeira 
amplitude. Primeiramente, considera-se que a superfície da terra é plana e que sobre ela há 
uma série de pares de fontes e receptores (S,G), os quais são descritos através do vetor de 
parâmetros comum 𝜉 = (𝜉1,𝜉2)
𝑇
. Em seguida, delimita-se uma região A na superfície, 
chamada de abertura, na qual encontra-se os vetores de coordenada 𝜉 de todos pares fonte-
receptor considerados onde esses dados pertencem a uma certa região em subsuperfície 
iluminada pelo experimento. Assim, o deslocamento analítico da partícula em uma reflexão, 
registrada em um traço sísmico localizado em A, pode ser descrito pela seguinte fórmula: 
 
 𝑈(𝜉, 𝑡) = 𝑅𝑐
𝐴
𝐿
𝑊(𝑡 − 𝜏𝑅(𝜉)). (2.4) 
 
Onde, 𝑊(𝑡) representa a wavelet fonte-pontual analítica; 𝜏𝑅(𝜉) é o tempo de viajem ao longo 
do raio SRG; 𝑅𝑐 é o coeficiente de reflexão no ponto de reflexão R; A é a perda total devido a 
transmissões através das interfaces em subsuperfície e L é o fator de espalhamento geométrico 
normalizado. O fator L geralmente é computado pelo traçamento de raio dinâmico de S a G se 
caso o modelo e o raio são conhecidos. 
 Temos que a reflexão da onda P primária multiplicada pelo fator L e deslocada para t=0 é 
chamado de sinal de amplitude verdadeira analítico e é expresso da seguinte maneira: 
 
𝑈𝑇𝐴(𝑡) = 𝐿𝑈(𝜉, 𝑡 + 𝜏𝑅(𝜉)) = 𝑅𝑐𝐴𝑊(𝑡). (2.5) 
 
 Para a maioria dos casos de modelos mais realísticos, o fator A é uma quantidade que 
varia lentamente. Agora se torna necessário definir uma integral de empilhamento de 
difrações e dela derivarmos uma função peso tal que a saída empilhada se torne o sinal de 
amplitude verdadeira. 
 Assim, como forma de tentar recuperar o sinal de amplitude verdadeira refletido em um 
ponto em subsuperfície, Schleicher et. al (1993) descreve um método de migração que se 
baseia na soma ponderada ao longo da superfície de Huygens criada a partir de cada ponto M 
em subsuperfície, independentemente de M ser um ponto de reflexão ou não, e sua 
representação matemática é expressa da seguinte forma: 
 
12 
 
 
𝐼(𝑅, 𝑡) = (
−1
2𝜋
) ∬ 𝑑
𝐴
𝜉1𝑑𝜉2𝑤(𝜉)𝜕𝑡𝑈 (𝜉, 𝑡 + 𝜏𝐷(𝜉, 𝑅)) (2.6) 
 
O termo 𝐼(𝑅, 𝑡) caracteriza a amplitude migrada para um dado ponto R em subsuperfície; 
𝑈(𝜉, 𝑡) é o dado sísmico da seção de entrada que é função do parâmetro 𝜉 = (𝜉1,𝜉2); a 
derivada 𝜕𝑡é aplicada com o objetivo de recuperar o pulso-fonte após a migração. A 
quantidade 𝑤(𝜉) é a função peso e vai depender dos ângulos de partida e emergência do raio 
central SRG, da velocidade da onda P, da posição dos geofones e fontes, do tempo de viajem e 
do número de cáusticas presentes ao longo dos ramos SR e RG. Nesse tipo de migração, cada 
ponto R da malha é considerado um possível ponto difrator de energia, a partir do qual são 
calculados os tempos de trânsito entre a fonte e receptor com o objetivo de criar a superfície 
de empilhamento de Huygens 𝜏𝐷(𝜉, 𝑅) (superfície de difração) na qual será realizada a soma 
das amplitudes que estão presentes na abertura de migração 𝐴 e que são ponderados pela 
função peso 𝑤(𝜉), que por sua vez tem como propósito a remoção do espalhamento 
geométrico, caracterizando, dessa maneira, uma migração Kirchhoff em verdadeira amplitude 
(Schleicher et al., 1993). Se o ponto R coincidir com o ponto de reflexão (Figura 2.6 A), a 
integral (2.6) terá um valor significativo, e, caso contrário (Figura 2.6 B), seu resultante será 
desprezível, o que é provado pelo método da fase estacionária (Shcleicher et al., 1993). 
 
13Figura 2.6 - Superfícies dos tempos de trânsito 𝜏𝑅 e 𝜏𝐷 para diferentes escolhas do ponto M em 
profundidade para uma configuração afastamento-comum. (a) M coincide com o ponto de reflexão R. 
Neste caso, 𝜏𝑅 e 𝜏𝐷 são tangentes para cada ponto. (b) M não coincide com o ponto de reflexão. Nesse 
caso, não há ponto de tangência. (Adaptado de Schleicher et al. 1993.) 
 
14 
 
 
2.1.1.2 Migração Kirchhoff em verdadeira amplitude 2.5D 
 A integral de migração Kirchhoff em verdadeira amplitude será fundamentada nos 
trabalhos de Costa (2012) e Bleistein (2000). Assim, aplicando a transformada de Fourier na 
Eq. (2.6), tem-se: 
 
 𝐼(𝑅, 𝜔) =
−𝑖𝜔
2𝜋
∬ 𝑑
𝐴
𝜉1𝑑𝜉2𝑤(𝜉, 𝑅)𝑈(𝜉, 𝜔)𝑒
𝑖𝜔𝜏𝐷(𝜉,𝑅) (2.7) 
 
Agora, considerando-se a abertura de migração A como sendo uma “tira infinita” na 
coordenada 𝜉2e limitando 𝜉1no intervalo 𝑎1 ≤ 𝜉1 ≤ 𝑎2, Eq. (2.7) pode ser reescrita na forma: 
 
 𝐼(𝑅, 𝜔) =
−𝑖𝜔
2𝜋
∫ 𝑑
𝑎2
𝑎1
𝜉1 ∫ 𝑑
+∞
−∞
𝜉2𝑤(𝜉, 𝑅)𝑈(𝜉, 𝜔)𝑒
𝑖𝜔𝜏𝐷(𝜉,𝑅) (2.8) 
 
Utilizando o método da fase estacionária, 𝜉2 é avaliada assintoticamente (Bleistein et al., 
2000), sendo que a condição da fase estacionária é dada por: 
 
𝜕𝜏𝐷(𝜉,𝑅)
𝜕𝜉2
= (
1
𝜎𝑠
+
1
𝜎𝐺
) 𝜉2 = 0 (2.9) 
 
E para aplicação desse método, as seguintes relações fazem-se necessárias: 
 
𝜕2𝜏𝐷(𝜉,𝑅)
𝜕𝜉2
2
(𝜉,0,𝑅)
=
1
𝜎𝑆
+
1
𝜎𝐺
𝑒𝑠𝑔𝑛 [
𝜕2𝜏𝐷(𝜉,𝑅)
𝜕𝜉2
2
(𝜉1,0,𝑅)
] = +1 (2.10) 
 
Dessa maneira, aplicando o método da fase estacionária na integral (2.8), obtém-se a integral 
do empilhamento das difrações no domínio 2D: 
 
𝐼(𝑅, 𝜔) ≅ √
−𝑖𝜔
2𝜋
∫ 𝑑
𝑎2
𝑎1
𝜉1𝑤(𝜉1, 𝑅) (
1
𝜎𝑆
+
1
𝜎𝐺
)
−1
2
𝑈(𝜉1, 𝜔)𝑒
𝑖𝜔𝜏𝐷(𝜉1,𝑅) (2.11) 
 
De acordo com a equação acima a função peso 𝑤(𝜉, 𝑅) é expressa da seguinte maneira 
(Tygel et al., 1996): 
 
𝑤(𝜉, 𝑅) = [
𝑐2(𝑅)ℎ𝐵
2𝑐𝑜𝑠2(𝛼𝑅)
] 𝐿𝑆𝐿𝐺 , (2.12) 
15 
 
 
 
Onde, 𝐿𝑆𝐿𝐺 são os fatores de espalhamento geométrico ao longo dos segmentos SR e RG, 
respectivamente. O termo c (R) refere-se à velocidade do meio no ponto R e a quantidade ℎ𝐵 
é o determinante de Beylkin em 3D. Finalmente, o termo 𝛼𝑅 é o ângulo de reflexão em R. 
 
2.2 ANLÁLISE DE VELOCIDADE DE MIGRAÇÃO 
 Técnicas convencionais do método da análise da curvatura residual utilizada na análise 
da velocidade de migração supõem que há uma homogeneidade lateral da velocidade e 
consideram que a velocidade RMS é igual a velocidade do meio (Liu e Bleinstein, 1995), o 
que não é verdade para camadas com anomalias de velocidade laterais. A partir da função 
derivativa e do método da perturbação, Liu (1997) desenvolve uma nova fórmula para 
atualizar a velocidade através do sobretempo residual e que é válida para qualquer offset, 
mergulho e distribuição de velocidade. Assim, o autor faz uma revisão do método de análise 
da curvatura residual que estima o erro na velocidade do dado pós migrado. 
Primeiramente, assume-se que o datum da superfície é plano. Em seguida, supõe-se que 
é conhecido a função do tempo de viajem de reflexão total que, por sua vez, depende do 
midpoint e do half-offset. Para uma função de velocidade v(x,z), assim, para cada half-offset, 
temos que cada ponto do refletor em subsuperfície é determinado pelas seguintes equações: 
 
𝜏𝑠(𝑥𝑠; 𝑥, 𝑧) + 𝜏𝑟(𝑥, 𝑧; 𝑥𝑟) = 𝑡(𝑦, ℎ), (2.13) 
 
𝜕𝜏𝑠
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑟
𝜕𝑦
=
𝜕𝑡
𝜕𝑦
 (2.14) 
 
Onde 𝜏𝑠 é o tempo de viajem da fonte 𝑥𝑠 para um ponto em profundidade (x,z), 𝜏𝑟 é o tempo 
de viajem de (x,z) para o receptor 𝑥𝑟 (Figura 2.8) e t (y,h) é o tempo total de reflexão. Em um 
CIG é possível determinar z como sendo função de h. Caso a velocidade de migração seja 
equivalente á velocidade real, z será independente de h. Entretanto, para escolhas de 
velocidades equivocadas para a migração, haverá dependência da profundidade z com o offset 
h e, como resultado, as profundidades imageadas nos CIGs irão fornecer informações acerca 
da distribuição de velocidades do meio. 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É importante ressaltar que as Equações 2.13 e 2.14 são consideradas válidas mesmo se a 
velocidade de migração for errada e que esse sistema de mostra uma relação entre a 
profundidade imageada e a velocidade de migração. Devido ao fato dessas equações não 
serem lineares, o que dificulta suas soluções, Liu (1997) faz uso de uma ferramenta 
matemática chamada perturbação, que tem como objetivo linearizar esse sistema de equações 
através de perturbações nos parâmetros do modelo. Para isso, primeiramente é necessário 
descrever a velocidade como sendo caracterizada por um parâmetro ou por uma família de 
parâmetros: 
𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑧; 𝜆) (2.15) 
 
Por exemplo, quando 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑧; 𝜆) = 𝑣0 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑧, 𝜆 pode ser 𝑣0, 𝑎 ou 𝑏. Assim, há o 
problema em estimar os parâmetros ao invés da velocidade. Temos a seguinte função 
derivativa que relaciona as profundidades imageadas com a distribuição de velocidade: 
 
𝑔(𝑥, ℎ) =
𝑑𝑧
𝑑𝜆
 (2.16) 
 
 O termo g será derivado das equações 2.13 e 2.14. Considerando, a princípio, que 𝜆 é um 
único parâmetro, para um local fixo na imagem x e um offset também fixo, a Eq. (2.13) é 
diferenciada com relação ao parâmetro 𝜆: 
 
Figura 2.7 - Geometria da reflexão para o caso 2D. 
 
17 
 
 
[
𝜕𝜏𝑠
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑟
𝜕𝑦
]
𝑑𝑦
𝑑𝜆
+ [
𝜕𝜏𝑠
𝜕𝜆
+
𝜕𝜏𝑟
𝜕𝜆
] + [
𝜕𝜏𝑠
𝜕𝑧
+
𝜕𝜏𝑟
𝜕𝑧
]
𝑑𝑧
𝑑𝜆
=
𝜕𝑡
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝜆
 (2.17) 
 
Utilizando a equação (2.14) temos: 
 
[
𝜕𝜏𝑠
𝜕𝑧
+
𝜕𝜏𝑟
𝜕𝑧
]
𝑑𝑧
𝑑𝜆
=
−𝜕𝜏𝑠
𝜕𝜆
−
𝜕𝜏𝑟
𝜕𝜆
 (2.18) 
 
Agora, considera-se que 𝜃𝑠 ou 𝜃𝑟 seja o ângulo entre o raio da fonte ou receptor, 
respectivamente, e a vertical, então: 
𝜕𝜏𝑠
𝜕𝑧
=
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠
𝑣(𝑥,𝑧;𝜆)
 (2.19) 
 
𝜕𝜏𝑟
𝜕𝑧
=
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟
𝑣(𝑥,𝑧;𝜆)
 (2.20) 
 
Com isso, a equação (2.18) pode ser reescrita: 
 
 
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠+𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟
𝑣(𝑥,𝑧;𝜆)
𝑑𝑧
𝑑𝜆
=
−𝜕𝜏𝑠
𝜕𝜆
−
𝜕𝜏𝑟
𝜕𝜆
 (2.21) 
 
Dessa maneira, a relação entre a profundidade imageada e a velocidade de migração será 
descrita pela seguinte função g: 
 
𝑔(𝑥, ℎ) = − [
𝜕𝜏𝑠
𝜕𝜆
+
𝜕𝜏𝑟
𝜕𝜆
]
𝑣(𝑥,𝑧;𝜆)
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠+𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟
 (2.22) 
 
 Agora supõem-se que o parâmetro verdadeiro é 𝜆* e a profundidade de reflexão 
verdadeira é z*. Se houver uma pequena perturbação 𝛿𝜆 = 𝜆∗ − 𝜆 entre o parâmetro real e o 
usado na migração, isso irá gerar uma perturbação correspondente na profundidade: 
 
 𝛿𝑧(𝑥, ℎ) = 𝑧∗ − 𝑧(𝑥, ℎ) ≈
𝑑𝑧
𝑑𝜆
𝛿𝜆 (2.23) 
 
Agora usando a expressão (2.16), temos a seguinte equação linearizada: 
 
18 
 
 
 𝛿𝑧 = 𝑔(𝑥, ℎ)𝛿𝜆 (2.24) 
 
 A equação acima é válida para uma distribuição de velocidade arbitrária, mergulho de 
refletores arbitrários e qualquer offset, contanto que a perturbação na velocidade seja 
suficientemente pequena. 
Se o modelo apresentar velocidades constantes para as camadas, é possível considerar 𝜆 
como sendo a própria velocidade v. Nesse caso temos: 
 
 
𝜕𝜏𝑆
𝜕𝜆
+
𝜕𝜏𝑟
𝜕𝜆
= − (
𝑡𝑆+𝑡𝑟
𝑣
) (2.25) 
 
Onde 𝑡𝑆 é o tempo de viajem parcial de 𝜏𝑆 e 𝑡𝑟 é o tempo de viajem parcial de 𝜏𝑟. Assim g é 
reescrito da seguinte forma: 
𝑔(𝑥, ℎ) =
𝑡𝑆+𝑡𝑟
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑆+𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟
 (2.26) 
 
 Para o caso da distribuição de velocidades ser descrita por múltiplos parâmetros, a 
perturbação na profundidade vai depender da perturbação de todos esses parâmetros. Com 
isso, a equação (2.24) vai ser calculada da seguinte forma:𝛿𝑧(𝑥, ℎ) = ∑
𝜕𝑧
𝜕𝜆𝑖
𝑛
𝑖=1 𝜕𝜆𝑖 = ∑ 𝑔𝑖
𝑛
𝑖=1 (𝑥, ℎ)𝛿𝜆𝑖 (2.27) 
 
onde cada função derivativa é calculada da seguinte maneira: 
 
𝑔𝑖(𝑥, ℎ) = − [
𝜕𝜏𝑠
𝜕𝜆𝑖
+
𝜕𝜏𝑟
𝜕𝜆𝑖
]
𝑣(𝑥,𝑧;�̂�)
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠+𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟
 (2.28) 
 
Onde 𝜆 = (𝜆1, 𝜆2, . . . , 𝜆𝑛)
𝑇. Se for possível resolver para 𝛿𝜆𝑖, os parâmetros verdadeiros 
podem ser estimados por: 
𝜆∗ = 𝜆 + 𝛿𝜆𝑖 (2.29) 
 
É possível notar na Eq. (2.27) que 𝑧∗ não é conhecido. Em determinados trabalhos, os 
autores lidam com esse problema através do conceito de profundidade de referência (Lafond 
19 
 
 
and Levander, 1993) ou adicionam 𝑧∗como uma nova variável desconhecida. Entretanto, Liu 
(1997) se utiliza uma forma diferente para remover 𝑧∗ diretamente. A profundidade verdadeira 
pode ser aproximada pela profundidade corrigida 𝑧 + 𝛿𝑧: 
 
𝑧∗ ≈ 𝑧(𝑥, ℎ) + 𝛿𝑧(𝑥, ℎ) = 𝑧(𝑥, ℎ) + ∑ 𝑔𝑖
𝑛
𝑖=1 (𝑥, ℎ)𝛿𝜆𝑖 (2.30) 
 
Como a profundidade real de reflexão z* não depende do offset, as profundidades 
calculadas de diferentes offsets nos CIGs devem ser próximas umas das outras, o que, em 
linguagem matemática, significa dizer que a variância dessas profundidades deve ser mínima. 
Tendo isso em mente, supõe-se que há offsets ℎ1,ℎ2,. . . , ℎ𝑚, e os locais da imagem 
𝑥1,𝑥2,. . . , 𝑥𝑚; então: 
 
𝑧𝑗
(𝑘)
+ 𝛿𝑧𝑗
(𝑘)
= 𝑧𝑗
(𝑘)
+ ∑ 𝑔𝑖𝑗
(𝑘)𝑛
𝑖=1 𝛿𝜆𝑖 (2.31) 
Onde, 
 
𝑧𝑗
(𝑘)
= 𝑧(𝑥𝑘, ℎ𝑗), (2.32) 
 
 𝛿𝑧𝑗
(𝑘)
= 𝛿𝑧(𝑥𝑘, ℎ𝑗), (2.33) 
 
 𝑔𝑖𝑗
(𝑘)
= 𝑔𝑖(𝑥𝑘, ℎ𝑗). (2.34) 
 
É necessário achar valores 𝛿𝜆𝑖 que façam com que as profundidades imageadas 
corrigidas tenham mínima variância: 
 
∑ ∑ (𝑧𝑗
(𝑘)
+ 𝑧𝑗
(𝑘)
− 𝑧(𝑘) + 𝛿𝑧(𝑘))
2
𝑚
𝑗=1
𝐾
𝑘=1 = 𝑚𝑖𝑛, (2.35) 
 
Onde: 
𝑧(𝑘) = (𝑧1
(𝑘)
, 𝑧2
(𝑘)
, . . . , 𝑧𝑚
(𝑘)
)
𝑇
 (2.36) 
e 
20 
 
 
 𝛿𝑧(𝑘) = (𝛿𝑧1
(𝑘)
, 𝛿𝑧2
(𝑘)
, . . . , 𝛿𝑧𝑚
(𝑘)
)
𝑇
 (2.37) 
 
Nesse caso, é utilizada o overline para caracterizar a média de um vetor sobre o index do 
offset: 
𝑧(𝑘) =
1
𝑚
∑ 𝑧𝑗
(𝑘)𝑚
𝑗=1 (2.38) 
 
Introduzindo a seguinte matriz e vetor: 
 
𝐴(𝑘) ≡ [𝑎𝑖𝑙
(𝑘)]
𝑛𝑥𝑛
, 𝑏(𝑘) = (𝑏1
(𝑘), 𝑏2
(𝑘), . . . , 𝑏𝑛
(𝑘))
𝑇
 (2.39) 
 
Onde, 
𝑎𝑖𝑙
(𝑘) = ∑ (𝑔𝑖𝑗
(𝑘) − 𝑔𝑖
(𝑘))𝑚𝑗=1 (𝑔𝑙𝑗
(𝑘) − 𝑔𝑙
(𝑘)) (2.40) 
 
𝑏𝑖
(𝑘) = ∑ (𝑔𝑖𝑗
(𝑘) − 𝑔𝑖
(𝑘))𝑚𝑗=1 (𝑧𝑗
(𝑘) − 𝑧(𝑘)), (2.41) 
e 
𝑔𝑖
(𝑘) = (𝑔𝑖1
(𝑘), 𝑔𝑖2
(𝑘), . . . , 𝑔𝑖𝑝
(𝑘)) (2.42) 
 
Como mostrado no anexo A, a solução da minimização da Eq. (2.39) será: 
 
[∑ 𝐴(𝑘)𝐾𝑘=1 ]𝜕𝜆 = − ∑ 𝑏
(𝑘)𝐾
𝑘=1 (2.43) 
Se for necessário determinar apenas um parâmetro de velocidade, a Eq. (2.43) terá uma 
solução explícita: 
 
𝜕𝜆 =
− ∑ ∑ (𝑔𝑗
(𝑘)
−𝑔
(𝑘)
)𝑚𝑗=1
𝐾
𝑘=1 (𝑧𝑗
(𝑘)
−𝑧(𝑘))
∑ ∑ (𝑔𝑗
(𝑘)
−𝑔
(𝑘)
)𝑚𝑗=1
𝐾
𝑘=1
2 , (2.44) 
 
Se as profundidades imageadas não são próximas o suficiente uma da outra, iteração é 
executada e para quando a variância da Eq. (2.35) atinge um valor suficientemente pequeno. 
 
2.2.1 Implementação computacional 
 Para o cálculo das derivadas dos tempos de viajem com relação ao parâmetro 𝜆, é 
utilizada a equação do ikonal: 
 
(
𝜕𝜆
𝜕𝑥
)
2
+ (
𝜕𝜆
𝜕𝑧
)
2
=
1
𝑣2(𝑥,𝑧;𝜆)
 (2.45) 
 
Diferenciando com relação a 𝜆, 
 
21 
 
 
𝜕𝜇
𝜕𝑥
𝜕𝜆
𝜕𝑥
+
𝜕𝜇
𝜕𝑧
𝜕𝜆
𝜕𝑧
=
1
2
𝜕
𝜕𝜆
(
1
𝑣2(𝑥,𝑦;𝜆)
) (2.46) 
 
onde 𝜇 = 𝜕 𝜆 𝜕⁄ 𝜆. A solução da integral acima é: 
 
𝜇 = ∫
𝜕
𝜕𝜆𝐿
(
1
𝑣(𝑥,𝑧;𝜆)
) 𝑑𝐿 (2.47) 
 
Onde L é a trajetória do raio da fonte ou receptor para o ponto (x,z) em subsuperfície. A 
quantidade 𝜕 𝜏 𝜕⁄ 𝜆 pode ser obtida utilizando-se as equações (2.46) ou (2.47). 
 
 Para o cálculo de g, Liu (1997) utiliza-se da integral de Kirchhoff. São calculadas duas 
saídas na migração, uma fazendo uso da amplitude original e outra da amplitude original 
multiplicada pela quantidade g. Assim, a razão das amplitudes dessas duas saídas irá avaliar g 
na posição da fonte-receptor especular de acordo com o princípio da fase estacionária. 
Bleistein et al. (1987) usou a mesma técnica para determinação do ângulo de incidência 
normal na inversão Kirchhoff. 
 Para implementação do algoritmo, tem-se um macro-modelo (Figura 2.9) constituído por 
diversos blocos que apresentam velocidades diferentes. Para determinação da velocidade em 
um bloco individual, um algoritmo recursivo é utilizado. Primeiramente, começando do bloco 
mais próximo à superfície (bloco na esquina superior esquerda da Figura 2.9), é dado um 
valor inicial 𝜆𝑖, depois a migração em profundidade é realizada para obtenção das 
profundidades imageadas e de 𝑔𝑖(𝑥, ℎ) para Famílias de Imagens Comuns. Em seguida, a 
fórmula da perturbação é utilizada para atualização da velocidade. Com o valor atualizado, 
uma nova migração é realizada e a velocidade da interface é determinada. Com essa interface 
em mãos, o mesmo procedimento é repetido para o próximo bloco, até que todas as 
velocidades sejam determinadas. 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.2 Sensibilidade da análise de velocidade de migração 
 Devido a fatores como ruído no dado de entrada, propriedades não-acústicas, inacurácia 
na distribuição de velocidade, etc., é praticamente impossível obter variância igual a zero 
representada pela Eq. (2.35). Um outro problema que pode afetar o valor da variância é a 
escolha das profundidades imageadas. Tendo isso em mente, é importante estimar quanto erro 
da análise de velocidade de migração é causado pelo erro nas profundidades imageadas.
 Considerando que a velocidade v (x,z) é composta por uma velocidade de background 
𝑣0e uma perturbação que é uma função linear da profundidade em um bloco, Liu (1997) 
assume que o limite superior desse bloco é uma linha horizontal, z=d, e que o refletor, que por 
sua vez está localizado em z = z*, é o limite inferior desse bloco. A função de velocidade pode 
ser escrita da seguinte maneira: 
𝑣(𝑥, 𝑧) = 𝑣0 + 𝛼(𝜆1 + 𝜆2(𝑧 − 𝑧0)), (2.48) 
Onde temos que 𝛼 = 0 para z < d, 𝛼 = 1 para z > d, e 𝑧0 é uma profundidade de referência. 
 
Figura 2.8 - Macro modelo de velocidade. A análise de velocidade de migração começa do bloco mais 
próximo a superfície. Obtida a velocidade, é analisado o bloco logo abaixo dele e assim 
sucessivamente (Liu, 1997). 
 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O primeiro valor a ser testado é 𝜆1 = 𝜆2 = 0. É mostrado no Anexo B que: 
𝑔1(𝑥, ℎ) =
ℎ2+𝑧2
𝑧2
𝑧−𝑑
𝑣0
 (2.49) 
𝑔2(𝑥, ℎ) =
ℎ2+𝑧2
𝑧2
(𝑧−𝑧0)
2−(𝑑−𝑧0)
2
2𝑣0
 (2.50) 
A partir das equações acima temos: 
𝑔2(𝑥, ℎ) =
(𝑧−𝑧0)
2−(𝑑−𝑧0)
2
2(𝑧−𝑑)
𝑔1(𝑥, ℎ). (2.51) 
 Desse resultado, Liu (1997) chega a conclusão de que não é possível determinar os 
parâmetros 𝜆1 𝑒 𝜆2 simultaneamente para o caso de apenas um segmento de refletor for usado 
no processo de análise de velocidade. Isso significa que a informação da reflexão em uma 
profundidade apenas permite a determinação de um parâmetro na direção da profundidade, ou 
seja, é melhor evitar determinar 𝜆1 𝑒 𝜆2 ao mesmo tempo, a não ser em casos que os 
segmentos claramente separados dos refletores que estiveremna direção da profundidade 
sejam usados na análise de velocidade. 
Caso 𝜆2 seja dado, a equação 2.27 pode ser reescrita da seguinte forma: 
𝛿𝑧(𝑥, ℎ) = (
ℎ2
𝑧2
+ 1)
𝑧−𝑑
𝑣0
𝛿𝜆1 (2.52) 
Quando 𝛿𝜆1é pequeno, 𝑧(𝑥, ℎ) ≈ 𝑧
∗. Dessa forma, para dados dois offsets ℎ2𝑒ℎ1, a diferença 
entre as profundidades imageadas desses dois offsets é: 
Figura 2.7 - Modelo acamadado. A camada alvo para a análise de velocidade está representada pelo 
sombreado cinza. O limite superior dessa camada está localizado em z=d e o limite em z=z* (Liu, 
1997). 
 
 
24 
 
 
𝑧(𝑥, ℎ2) − 𝑧(𝑥, ℎ1) =
(ℎ2
2−ℎ1
2)(𝑧∗−𝑑)
(𝑧∗)2𝑣0
𝛿𝜆1. (2.53) 
Observando a equação acima é possível notar que o erro na quantidade 𝜆1é inversamente 
proporcional à espessura do bloco. Liu (1997) conclui dessa forma que seu método de análise 
de velocidade de migração não consegue lidar com camadas finas. 
Para o caso do parâmetro 𝜆1 ser conhecido, então: 
𝑧(𝑥, ℎ2) − 𝑧(𝑥, ℎ1) =
(ℎ2
2−ℎ1
2)(𝑧∗−𝑑)(𝑧∗+𝑑−2𝑧0)
2(𝑧∗)2𝑣0
𝛿𝜆2. (2.54) 
Dessa equação podemos tirar que o erro relacionado ao termo 𝜆2 é determinado não 
somente pela espessura do bloco ((𝑧∗ + 𝑑) 2⁄ − 𝑧0), mas também pela diferença entre a 
profundidade entral do bloco e a profundidade de referencia (𝑧0). 
Em situações mais gerais, é complicado obter representações analíticas para 𝑔𝑖′𝑠. 
Entretanto, eles podem ser calculados numericamente e esses valores podem ser usados para 
estimativa do erro na velocidade. Se há apenas um parâmetro, a Eq. (2.44) mostra o seguinte 
valor para o erro: 
 
|𝛿𝜆| ≈ [
∑ ∑ (𝑧𝑗
(𝑘)
−𝑧(𝑘))
2
𝑚
𝑗=1
𝐾
𝑘=1
∑ ∑ (𝑔𝑗
(𝑘)
−𝑔
(𝑘)
)
2
𝑚
𝑗=1
𝐾
𝑘=1
]
2
 (2.59) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
3 APLICAÇÃO E RESULTADOS 
 Este capítulo aborda a metodologia e as etapas que devem ser seguidas no processo de 
análise da velocidade de migração. Também é realizada a aplicação do método em um dado 
sintético simples e ao dado sintético Marmousi. Com o objetivo de comparação dos resultados 
das migrações, foram criados perfis de velocidade dos CIGs para estudo das áreas em que o as 
velocidades estimadas e reais não convergem. No final, são feitos testes aplicando-se 
diferentes quantidades de ruído ao dado Marmousi original e migrando esse dado com os 
modelos de velocidade real e o estimado através do método de análise de velocidade. Todas os 
processamentos explanados nesse capítulo foram realizados através de rotinas do Seismic 
Unix. 
 
3.1 METODOLOGIA 
3.1.1 Seismic Unix 
 O Seismic Unix foi parcialmente fundado pela Sociedade de Geofísicos de Exploração 
(SEG) e pelo Centro do Fenômeno da onda (CWP) da Colorado School of Mines. Esse 
software começou a ser escrito por Einar Kjartansson na década de 70 que o expandiu no 
começo dos anos 80. Com o passar dos anos esse pacote foi aprimorado por outros estudantes 
e pesquisadores pela inclusão de novos códigos e aprimoramentos. 
 
 O Seismic Unix se trata de um código aberto livre utilizado principalmente para 
processamento de dados sísmicos e é distribuído com o código fonte possibilitando a 
alteração 
de suas capacidades. Ele é considerado uma extensão do sistema operacional Unix e é melhor 
usado com a utilização de scripts shell (.sh). O download da versão mais atualizada do 
Seismic Unix pode ser encontrado no endereço eletrônico 
http://www.cwp.mines.edu/cwpcodes/. Instruções mais detalhadas explicando como obter e 
instalar o SU podem ser encontradas em The New SU User's Manual, Cohen e Stockwell, 
2002. 
 
 Para mais informações acerca dos principais programas e shells do Seismic Unix são 
utilizados os seguintes comandos:
http://www.cwp.mines.edu/cwpcodes/
26 
 
SUHELP – lista os programas disponíveis. 
SUFIND – Pesquisa uma palavra específica nas documentações dos programas. 
SUKEYWORD – Contém informações sobre as palavras-chave do cabeçalho do dado. 
 
3.1.2 - Processamento 
O processo de análise de velocidade de migração através do sobretempo residual 
desenvolvida por Liu (1997) é realizado por camadas, começando da camada superior e 
seguindo em direção à camada mais inferior. Para atualização da velocidade em cada camada 
é necessário seguir oito etapas básicas, quais são: 
1. Modelo de velocidade real – Nessa etapa é construído um modelo geológico de 
velocidade que pode apresentar camadas de diversos tamanhos, falhas, dobras, etc. 
Para cada camada é necessário definir sua velocidade real. Essa etapa deve ser pulada 
caso o pesquisador esteja trabalhando com um dado real. 
2. Sismograma – A partir do modelo gerado na etapa anterior é criado um sismograma 
sintético ou então utiliza-se o dado sísmico adquirido em certo local., 
3. Modelo de velocidade estimado – Nessa etapa começamos a construir o modelo 
estimado de velocidade. Utilizando-se apenas de informações do tamanho e limites 
das camadas do modelo criado na primeira etapa (sem informações sobre suas 
velocidades), nós colocamos um valor aleatório inicial de velocidade constante para 
todas essas camadas. No caso de um modelo sintético, essa velocidade geralmente é de 
1500 m/s. Se o modelo for representativo da geologia de determinado local, podemos 
usar informações de poço, geológicas ou de outros métodos geofísicos para ser mais 
preciso nesse valor inicial. 
4. Traçamento de raios – Em seguida, é utilizado um programa de traçamento de raios 
para a obtenção das tabelas do tempo de viajem. 
5. Migração – Com as tabelas obtidas na etapa anterior, agora é possível realizar a 
migração. É recomendável a utilização de algoritmos de migração mais recentes e 
sofisticados para a obtenção de melhores resultados, principalmente nas etapas 
posteriores. 
6. Análise do Semblance do Sobretempo residual – Nessa etapa são selecionadas 
algumas CDP’s do dado migrado para a análise do semblance do sobretempo residual 
27 
 
onde é realizado os pickings dos parâmetros r, que por sua vez está associado ao erro 
na profundidade do refletor em questão. 
7. Computar g – Os pickings realizados na etapa anterior são utilizados como entrada um 
algoritmo responsável por calcular a derivada da profundidade com relação ao 
parâmetro da velocidade. 
8. Computar perturbação – Com a derivada em mãos, agora é possível calcular a 
perturbação que deve ser aplicada na velocidade aleatória inicial para que o refletor 
nos CIG’s se torne o mais flat possível. Após a adição dessa perturbação na velocidade 
inicial, deve-se repetir os procedimentos de 4 a 8. Caso o resultado da perturbação dê 
um valor próximo de zero, então podemos partir para próxima camada, caso contrário, 
os passos deverão ser repetidos até que encontremos um resultado próximo de zero na 
etapa final. 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 - Fluxograma mostrando as etapas da análise de velocidade de migração através do 
sobretempo residual desenvolvida por Liu (1997). 
 
29 
 
3.2 MODELO SINTÉTICO SIMPLES 
 A primeira etapa do processo de análise de velocidade é a construção do modelo 
sintético. O modelo utilizado neste trabalho consiste em cinco interfaces onde as velocidades 
em algumas camadas são constantes e em outras camadas essas velocidades apresentam 
variações verticais e laterais. O modelo apresenta 4025 m de extensão e 2510 m de 
profundidade. O número de amostras de profundidade foi de 251 espaçadas de 10 m e o 
número de midpoints foi de 161 com um espaçamento de 25 m entre cada ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A segunda etapa consiste na geração do sismograma sintético. As configurações de 
aquisição estão mostradas na Tabela 1. 
Primeira amostra na direção x 0 
Número de amostras na direção x 81 
Espaçamento das amostras na direção x 50 
Primeira amostra nadireção z 0 
Número de amostras na direção z 51 
Espaçamento das amostras na direção z 50 
Primeira mostra do tempo 0 
Número de amostras do tempo 501 
Espaçamento das amostras do tempo 0.004 
Primeiro offset 100 
Número de offsets 5 
Espaçamento dos offsets 200 
Tabela 1 – Tabela mostrando os parâmetros de aquisição do dado sísmico do modelo de 
velocidade real mostrado na Figura 3.2. 
Figura 3.2 - Modelo de velocidade real constituído por cinco interfaces. 
 
30 
 
O dado sísmico resultante apresenta cinco offsets que variam de 100 m a 900 m (Figura 3.3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 - Resultado da migração do dado sísmico sintético utilizando uma velocidade 
Figura 3.3 - Offsets do dado sísmico obtido a partir do modelo de velocidade real da Figura 3.2. 
 
31 
 
Em seguida foi realizado o traçamento de raios (etapa 4) e depois a migração (etapa 5). A 
migração escolhida foi a Kirchhoff. O dado foi migrado com velocidade constante inicial de 
1500 m/s para todas as camadas. As estruturas aparecem distorcidas na migração resultante o 
que indica que a velocidade utilizada está incorreta. É possível notar que as profundidades dos 
refletores são mais rasas do que (Figura .4). 
Figura 3.4 - Offsets do dado sísmico obtido a partir do modelo de velocidade real da Figura 3.2. 
32 
 
Os Famílias de Imagens Comuns (CIG’s) do dado migrado também indicam que a 
velocidade inicial escolhida está errada indicando, por exemplo, que a primeira camada está 
na profundidade de 400 m, quando, na verdade, ela se encontra em aproximadamente 500 m 
de profundidade. Em todos os CIG’s é possível observar que o sobretempo residual é 
diferente de zero (Figura 3.5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.5 - Cinco Famílias de Imagens Comuns do dado migrado com velocidade de migração de 
1500 m/s. 
 
33 
 
 A partir dos CIG’s do dado migrado iniciou-se a etapa seis do processamento que 
consiste na análise do semblance do sobretempo residual. Como é possível ver na Figura 3.6 a 
energia do primeiro refletor indica um valor para o parâmetro r diferente de zero, o que indica 
a presença de um sobretempo residual, ou seja, velocidade de migração incorreta. 
 
 
 
 
 As próximas fases do processamento consistiram em computar dzdv e a perturbação na 
velocidade onde obteve-se um valor próximo de 487. Esse valor foi adicionado a 1500. Um 
novo processamento foi realizado e na etapa da migração observou-se que os eventos ainda 
não estavam completamente flat. Então foi computado mais um valor para a perturbação de 
19. Após a adição dessa velocidade à anterior, obtendo-se assim um valor de 2006 m/s, o 
semblance do sobretempo residual (Figura 3.6) e os CIG’s (Figura 3.7) foram analisados e 
chegou-se a conclusão de que a iteração deveria parar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 - Semblances do sobretempo residual dos CIGs 500, 1700 e 2900 após a correção da 
velocidade da primeira camada. 
 
Figura 3.6 - Semblances do sobretempo residual para os CIGs 500, 1700 e 2900. Os pontos vermelhos 
indicam onde foram realizados os pickings para o primeiro refletor. 
 
34 
 
 
 
 
Para a segunda camada a velocidade tem a forma: v(z) = 2006 +𝜆(z – 500). O valor 2006 é o 
valor da velocidade da primeira interface e 500 é sua respectiva profundidade. O chute inicial 
é lambda = 0. Com duas iterações foi encontrado o valor de 𝜆 próximo de 1, então a 
velocidade é: 
 𝑣(𝑧) = 2006 + 1(𝑧 − 500) = 1506 + 𝑧 
 
 Para a terceira camada da esquerda, assume-se que a velocidade tem a forma 𝑣(𝑥, 𝑧) =
1000 + 1.5𝑧 + 𝜆𝑥, ou seja, as quantidades 1000 e 1.5 tem que entrar como informação a 
priori. A aproximação inicial é de 𝜆 = 0. Com apenas uma iteração o valor de 𝜆 encontrado 
foi de 0.1 e a velocidade obtida foi de: 
 𝑣(𝑥, 𝑧) = 1000 + 1.5𝑧 − 0.1𝑥 
 
 Na terceira camada da direita assumisse-se que a velocidade tem a forma 𝑣(𝑧) =
2510 + 𝜆(𝑧 − 1000). Onde 2510 seria o valor da velocidade no topo da camada e 1000 sua 
profundidade. Após algumas iterações o valor de 𝜆 obtido foi de 1.55, com isso a velocidade 
é: 
 𝑣(𝑧) = 2510 + 1.55(𝑧 − 1000) = 960 + 1.55𝑧 
 
Figura 3.7 - Semblances do sobretempo residual dos CIGs 500, 1700 e 2900 após a correção da 
velocidade da primeira camada 
 
35 
 
 Foi decidido juntar a quarta com a quinta camada porque estava difícil diferenciá-las no 
semblance do sobretempo residual, então consideramo-las como sendo apenas uma camada 
que apresenta velocidade constante. O chute inicial foi de v = 4000. Após uma iteração a 
velocidade atualizada é de 3650 m/s. O modelo final estimado (Figura 3.8) obtido ficou 
bastante similar ao real (Figura 3.2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos CIG’s do dado migrado com o modelo de velocidade da Figura 3.8 é possível 
observar que agora os eventos estão flats e nas suas respectivas profundidades (Figura 3.9). 
Apenas o último refletor não encontra-se exatamente na profundidade 2000 m, como mostra 
os CIG’s do dado migrado com o modelo de velocidade real (Figura 3.10), devido ao 
problema que foi mencionado anteriormente da dificuldade de realizar os pickings no 
semblance do residual moveut, mas esse fato não afeta de maneira significativa a eficiência do 
método. 
Figura 3.8 - Modelo de velocidade estimado final. 
 
36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.9 - Famílias de Imagens Comuns do dado migrado com o modelo de velocidade 
estimado da Figura 3.8. 
 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.10 - Famílias de Imagens Comuns do dado migrado com o modelo de velocidade real 
da Figura 3.2. 
 
38 
 
O modelo final migrado é mostrado na Figura 3.11. Todos os refletores estão posicionados 
corretamente, apenas o último refletor apresenta um pequeno erro em sua profundidade nos 
CIG’s iniciais. 
 
3.3 MARMOUSI 
 O dado sintético Marmousi (Versteeg, 1994) é um dado acústico complexo 2D que foi 
baseado na bacia de Cuanza, em Angola e que é referência para testes de algoritmos de 
migração. Esse modelo consiste em várias falhas lístricas de crescimento e inúmeras camadas 
que apresentam espessuras, extensões e tamanhos variados. 
 O dado consiste em 240 famílias de tiro comum onde o intervalo entre cada tiro é de 25 
m. Os tiros foram dados a partir de 3 km até 9 km. Cada família de tiro apresenta 96 traços, 
com intervalo de grupo de 25 m, sendo o afastamento mais próximo de 200 m e o afastamento 
mais distante de 2750 m. Cada traço possui 750 amostras de tempo, com 4 ms de intervalo de 
amostragem. O tempo total de registro é de 3 s. 
 O modelo de velocidade Marmousi é composto por inúmeras camadas. A velocidade 
mínima é de 1500 m/s e a velocidade máxima é de 5500 m/s. Esse modelo apresenta fortes 
variações de velocidade laterais e verticais. Para o processamento do dado é utilizado um 
modelo suavizado chamado Marmousoft e que é proveniente do modelo original. 
 
Figura 3.11 - Resultado da migração utilizando-se o modelo de velocidade da Figura 
3.8. 
 
39 
 
 
O processo de análise de velocidade de migração desse dado começou a partir da 
interpretação do modelo de velocidade original onde o objetivo principal foi de “junção” das 
camadas mais finas em camadas maiores para, assim, tornar o processo mais eficiente. 
Inicialmente, foram interpretadas cerca de 17 camadas, mas durante o processo de análise de 
velocidade não foi possível encontrar velocidades satisfatóriaspara algumas delas. Com isso, 
teve-se que diminuir o número de camadas para 11 (Figura 3.12) e realizar novos testes. 
Durante todo o procedimento, as profundidades dessas camadas não foram alteradas, ou seja, 
elas foram utilizadas como informação a priori. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.12 - Modelo de velocidade Marmousi. O pontilhado vermelho representa as 
interfaces interpretadas para serem utilizadas no processo de análise de velocidade de 
migração. 
40 
 
 Com o modelo interpretado em mãos, foi possível iniciar o processo de análise de 
velocidade onde, primeiramente, foi estabelecida a velocidade de 1500 m/s para todas as 
camadas. Após realizadas as iterações necessárias para estimação da velocidade da primeira 
camada, a análise prossegue para segunda camada e assim sucessivamente. Para cada uma das 
camadas foi feita uma média de 10 iterações até chegar-se a um valor da velocidade 
apropriado e os eventos nos CIGs se tornarem mais flat possível. Vale ressaltar que em cada 
camada a distribuição de velocidade é uma função constante da profundidade. O modelo final 
obtido após a análise pode ser observado na Figura 3.13. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.13 - Modelo de velocidade estimado através da análise de velocidade de migração através do 
sobretempo residual. Este modelo apresenta 11 camadas no total. 
 
41 
 
Foram escolhidos quatro resultados de iterações da análise de velocidade da primeira 
camada para mostrar a evolução da correção dos eventos ao longo do processo. Foi 
selecionada o resultado da iteração inicial, duas do meio do processo e a final. 
 Na primeira iteração foi considerada a velocidade de 1500 m/s para todas as camadas. 
Como esperado, os eventos aparecem curvados com concavidade para cima, pois a velocidade 
utilizada é menor que a real (Figura 3.14). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.14 - Famílias de Imagens Comuns resultantes da primeira iteração onde foi utilizada a 
velocidade constante de 1500 m/s para todas as camadas. 
 
42 
 
Na segunda iteração escolhida da primeira camada a velocidade foi de 1600 m/s. É 
possível observar que os eventos começam a ficar mais flat (Figura 3.15). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.15 - Famílias de Imagens Comuns resultantes da segunda iteração escolhida onde foi 
utilizada a velocidade constante de 1600 m/s para a primeira camada. 
 
43 
 
Na terceira iteração a velocidade utilizada foi de 1700 m/s. Os CIG’s são mostrados na Figura 
3.16. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.16 - Famílias de Imagens Comuns resultantes da terceira iteração escolhida onde 
foi utilizada a velocidade constante de 1700 m/s para a primeira camada. 
 
44 
 
 Na última iteração da primeira camada foi obtida a velocidade próxima da real de 1750 
m/s. Nesse caso os eventos já se apresentam quase que completamente flat (Figura 3.17). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.17 - Famílias de Imagens Comuns resultantes da última iteração onde foi utilizada a 
velocidade constante de 1750 m/s para a primeira camada. 
45 
 
. Utilizando o modelo de velocidade estimado final (Figura 3.13) foi possível realizar a 
migração Kirchhoff em profundidade onde o resultado pode ser observado na Figura 3.18. É 
possível notar que o resultado da análise de velocidade foi eficiente na recuperação das 
estruturas mais rasas e daquelas que não apresentam geologia tão complexa e que estão 
localizadas principalmente nas partes iniciais e finais do modelo. Mesmo nas regiões com 
maiores variações de velocidade e presença de falhas, como na região central, o método se 
mostrou eficiente (Figura 3.19). 
 Observando-se também os CIG’s do dado migrado com o modelo de velocidade 
estimado (3.20) e comparando-os com os CIG’s do dado migrado com om modelo de 
velocidade real (3.21) é possível notar que os maiores erros na estimativa da profundidade se 
encontram nas porções mais profundas dos CIG’s centrais. A distorção nessa região pode ter 
sido causada devido a complexidade do dado e a limitação do método de resolver as pequenas 
zonas de altas velocidades. Outro fator que influencia nos resultados foi o algoritmo de 
migração utilizado. A migração Kirchhoff é um método convencional e não é tão robusto 
quando comparado com os novos métodos que estão no mercado. Um último fator a ser 
mencionado é a análise do semblance do sobretempo residual. Os picking dos refletores nesse 
samblance se torna muito mais difícil em regiões complexas e nas partes mais profundas. 
Figura 3.18 - Resultado da migração do dado Marmousi utilizando o modelo de velocidade 
estimado. 
Figura 3.19 - Resultado da migração do dado Marmousi utilizando o modelo de velocidade real. 
 
46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.20 - Famílias de Imagens Comuns do dado migrado com o modelo de 
velocidade estimado (Figura 3.18). 
 
47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.21 - Famílias de Imagens Comuns do dado migrado com o modelo de 
velocidade real (Figura 3.19). 
 
48 
 
 3.3.1 – Perfis de Velocidade 
 Também foram comparados os perfis de velocidade de algumas CDP’s selecionadas do 
dado migrado com o modelo de velocidade original e com o modelo de velocidade estimado 
(Figura 3.22) para a análise do grau de semelhança entre eles e da eficácia do método. 
 
 
Figura 3.22 - Comparação dos perfis de velocidade de algumas CDP’s do dado Marmousi migrado 
com o modelo de velocidade real e com o modelo de velocidade estimado. 
49 
 
 Pode-se observar que os perfis de velocidade da CDP 3000 apresentam grande 
semelhança entre si pois se trata de uma região que não apresenta uma geologia muito 
complexa onde observamos a presença de algumas camadas dobradas e poucas falhas. 
 Na porção representada pela CDP 4000 a deformação da região começa a aumentar onde 
observa-se algumas falhas e algumas dobras o que deixa o processo de análise de velocidade 
mais difícil e, portanto, a diferença entre os perfis de velocidade é um pouco maior quando 
comparado com o gráfico anterior. 
 Os perfis da CDP 5000 mostram uma maior divergência principalmente nas 
profundidades entre 1000 m e 2000 m que é uma região onde há a presença de falhas normais, 
pequenos blocos de alta velocidade e também algumas camadas dobradas. 
 No caso da CDP 6000 observa-se uma região deformada com várias falhas, dobras e 
camadas com alto contraste de velocidade, gerando assim maiores discrepâncias nos perfis, 
principalmente nas maiores profundidades. Discrepâncias essas geradas principalmente 
devido a dificuldade de realização dos pikings dos refletores dessas áreas. 
 No caso da CDP 7000 a porção mais rasa apresenta uma geologia simples que reflete nos 
perfis de velocidade. No entanto, a parte mais profunda é caracterizada por uma camada fina 
de alta velocidade, falhas e dobras, criando, assim, o mesmo problema no semblance do 
sobretempo residual mencionado anteriormente. 
 A região da CDP 8000 é um pouco mais simples que da anterior, apresentando algumas 
zonas de alta velocidade e dobras principalmente da porção mais profunda, mesmo assim a 
semelhança dos perfis é maior quando comparado com os gráficos das regiões mais centrais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.3.2 – Adicionando ruído 
 Foram realizados alguns testes adicionando ruído aleatório ao dado sísmico sintético 
Marmousi para verificação do poder de resolução do método e também sua estabilidade. O 
ruído foi adicionado ao dado nas razões de 5, 15 e 25. Em seguida, esse dado foi migrado 
através da técnica de migração Kirchhoff. 
 Os resultados das migrações, após adição de ruído no dado, utilizando-se