ALGEBRA SEM 03 - 2022 III

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA 
 CEPUNS 
Ciclo 2022- III 
 ALGEBRA: “POLINOMIOS ESPECIALES” 
 
POLINOMIOS ESPECIALES 
 
Son aquellas expresiones enteras cuyas 
características (grado, coeficientes y variables) 
y por la forma como se presentan, guardan 
ciertas propiedades implícitas que las hacen 
notables. En este nivel, por sus aplicaciones 
usuales, nos interesa el estudio de los 
siguientes polinomios: 
 
1. Polinomio ordenado 
 
Con respecto a una variable, es aquel 
polinomio en la cual los valores de los 
exponentes de dicha variable, sólo 
aumentan o disminuyen según que la 
ordenación sea creciente o decreciente. 
La variable que presenta esta característica 
se denomina variable ordenatriz. 
 
Ejemplo: En el polinomio 
 
P( x ; y )  6 x 
7
 y 
2
  5 x 
5
 y 
4
  8 x 
3
 y 
6
  4 y
9
 
 
La variable “x” es ordenatriz decreciente 
de P. 
La variable “y” es ordenatriz creciente de P 
 
2. Polinomio completo 
 
Con respecto a una variable, es aquel 
polinomio en la cual, los valores de los 
exponentes de dicha variable aparecen de 
manera consecutiva desde el mayor hasta el 
cero inclusive, sin interesar la ordenación 
presentada. 
 
Ejemplo: El polinomio mostrado 
F x ; y   xy 
4
  5x 
3
 y 
2
  x 
2
 y  x 
4
 y 
5
  2 y
6
 
Es completo respecto de “x”, pero 
incompleto respecto a “y”. 
 
 
Corolario 1 
En todo polinomio completo de una 
variable, el número de términos es igual al 
grado de la expresión aumentado en la 
unidad. Es decir: 
Número de términos  grado 1 
 
Corolario 2 
En todo polinomio completo y ordenado de 
una variable, la diferencia de grados (en 
valor absoluto) de dos términos 
consecutivos, es igual a la unidad. 
grado t k  - grado tk 1  1 
 
Ejemplo: En el polinomio 
P x  = a 0 x 
4
  a 1 x 
3
  a 2 x 
2
  a 3 x  a4 
 
T
1 T2 T3 
T
4 T5 
 grado t 2  - grado t3   3  2 1 
 
 
3. Polinomio homogéneo 
 
Un polinomio de dos o más términos y más 
de una variable es homogéneo, si dichos 
términos presentan el mismo grado 
absoluto, denominado grado de 
homogeneidad. 
Ejemplo: En el polinomio 
 
P(x,y) = x 
9
 + 2 x 
4
 y 
5
 + y 
9
 
9º 9º 9º 
 G.A. = 9º 
GA(T1) = GA(T2) = GA(T3) = 09 
Es decir: Grado de homogeneidad (P) = 09 
 
Corolario 3 
Todo polinomio homogéneo P (x; y) de 
grado “n” verifica la siguiente relación: 
 
 
1 
Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo 
 Semana Nº 03 
 
Álgebra. 
 
P(mx,my)  m 
n
  P(x, y) ; m R 
 
Donde “n” es el grado de homogeneidad y 
la constante “m” es un escalar real. 
 
4. Polinomios idénticos 
 
Dos o más polinomios del mismo grado y 
en las mismas variables son idénticos, si 
los valores numéricos resultantes de dichas 
expresiones son iguales, para cualquier 
sistema de valores asignados a sus 
variables. Es decir: 
 
P
(x,y) 

 
Q
 (x,y) 

 
P
(a ,b ) 

 
Q
 (a ,b ) 
;{a ,b }
 

 
R
 
 
Dos polinomios de las mismas características, 
tales como: 
P x ; y  a0 x 
m
  a1 x 
n
 y 
p
  a2 x 
q
 y
r
 
Q x ; y   b0 x 
m
  b1 x 
n
 y 
p
  b2 x 
q
 y
r
 
 
Son idénticos, si los coeficientes de sus 
respectivos términos semejantes, son iguales. Es 
decir: 
 
a0  b0 ; a1  b1 ; a 2  b2 
 
5. Polinomio idénticamente nulo 
 
Es aquel polinomio de grado no definido, 
cuyo valor numérico resultante siempre es 
igual a cero, para cualquier sistema de 
valores que asumen sus variables. Es decir: 
 
P(x,y)  0  P(a,b)  0; {a,b}  R 
 
Un polinomio de la forma: 
P( x )  a0 x 
n
  a1 x 
n
 
1
  a2 x 
n2
  L  an 1x  an 
 
Es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes 
son iguales a cero. Es decir: 
 
a0  a1  a2  ...  a n1  an  0 
 
POLINOMIO ENTERO EN X. 
 
Un polinomio en x es cualquier suma finita de 
monomios en x. Es necesario ser reiterativo 
que un polinomio en “x” es una expresión 
algebraica Racional Entera. 
Forma general de un polinomio de enésimo 
grado: 
P( x )  a0 x 
n
  a1 x 
n
 
1
  a2 x 
n2
  L  a n 1x  an 
 
En donde n es un entero no negativo y los 
coeficientes ai son números reales, n es el 
grado de Px 
a0  0 Es el coeficiente principal. 
an Es el término independiente a0 
 1  P(x) es Mónico. 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1).- Si : Q(y) = ym-10 + ym-n+5 + yp-n+6 
 
Es completo y ordenado en forma 
descendente. 
Halla: “m+n-p” 
a) 0 b) 5 c) 27 d) 18 e) 9 
 
2. Si la siguiente expresión es : 
P(x) = x
2001
 – 81x
1997
 + 27 
Calcular : P(-3) 
a) 81 b) 0 c) 18 
d) -27 e) 27 
 
3).- Dado el polinomio completo y 
ordenado. 
 
4m3n
2
m
x
258m
x.....
1p
2
p
2xxP






Cuyo número de términos es (n + 1) 
Determina : 
m
pn
E

 . Siendo PR. 
 
 
 
2 
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a) ¼ b) - 4/3 c) 2/7 d) 3/8 e) - 1 
 
 
 
4).- Si el polinomio: 
 
P(x,y)= 2xa+b +3xby2a-3+4xay3b-10 + y3b-7 
 
 Es homogéneo. Calcula la suma de 
 sus dígitos de “ab” 
 
a) 15 b) 12 c) 6 d) 3/8 e) – 1 
 
 
5).- Si el polinomio: 
P(x,y,z) = Ax2a+2b-c+By2b+2c-a+Cz2c+2ª-b 
es homogéneo. 
Halla: n
nn
)ac(
)cb()ba(
F


 
a) 11 b) 10 c) 7 
d) 12 e) 2 
 
 
6).- En el polinomio homogéneo: 
 
 P(x,y,z)=5x
m+n
-7x
n
y
2m-3
+8x
m
y
2n
z
n-10
+11z
3n-7
 
 
Calcula: (m-n)
m
 
 
a) 16 b) –16 c) 9 
d) –8 e) -4 
 
7).- Si el polinomio: 
P(x)= a(x+2)2 + b(x+3)2 - (2x+3)2 +c 
 
Es idénticamente nulo. 
Halla el valor de: 
L = 
c ba  
 
a) 5 b) 12 c) 2 d) 3 e) – 1 
 
8).- Calcula “a + b + c” si: P(x)  Q(x) 
 Siendo:   2x3x4xP 2  
 
 
 
 
       Q x a b x b c x c a        1 2 42 
 
 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
 
9).-Si el polinomio en “x” e “y” 
P(x, y) = 5x
a
 + 3x
b
y
c
 + 2x
c
y
b
 + y
a
 es 
homogéneo ordenado y completo 
respecto de “x” e “y”. 
Calcule: 2a + b + 3c 
a) 17 b) 13 c)15 
d) 16 e) 18 
 
10).-Si :P(x)= ax + b y ; 
 
P(P(P(x)))=8x + 154; 
Determinar: P(P(3)). 
 
a) 74 b) 15 c) 65 
d) 67 e) 78 
 
11).-Dado el polinomio Mónico. 
 P(x) = 5x
4
  7ax
5
 + (n2)x
7
4x  1 
 Calcule el valor de: nn 
a) 1 b) 4 c) 27 
d) 25 e) 16 
 
12).Si se cumple que 
 x  15   x  15  2 x5  ax3 10x  b
Calcule el valor de a 18
b3
 
a) 8 b) 32 c) 1024 
d) 729 e) 64 
 
13. Sea el polinomio , P idénticamente 
nulo: 
P(x) = (a+b-3)x
3
 + (a + c-8)x + (b+c-7)x
2
 
 
Hallar a.b.c 
a) 10 b) 20 c) – 10 
d) 12 e) 6 
 
3 
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Álgebra. 
 
14. Halle la suma de los coeficientes del 
polinomio P siendo este un polinomio 
Mónico. 
P(x) = (2a +2)x
2
 – (a – 5)x + (a + 3)x
3
 + 
 (2a -3)x
4
 - a + 4. 
 
a)15 b)18 c) 17 
 
d) 20 e) 14 
 
 
 
16. Siendo el polinomio P constante ; 
hallar : M = a.b.c 
 P(x) = (a – b - 2)x + (b – c - 4)x
3
 + 
 ( a - 8 + c)x
2
 + ab + c – 4 
 
a) 10 b) 20 c) – 10 d) 12 e) 35 
 
 
 
17.-Si: 
 P (x – 3) + Q (x – 2)  3x – 12 
 
 Calcular : E = QQP  
 
a) 0 b) 3 c) 7 d)15 e) 6 
 
18.- Si el polinomio: 
 P (x)=(a–2)x
2
 + (b+3)x + 9x
2
 – 5x 
 Es nulo, hallar (a + b) 
3 
a) -1 b) 2 c) – 5 d) 12 e) 35 
 
19.- Dado el polinomio homogéneo 
 
 P(x,y) = xa+b-1 y b – xy6 - 3y2a + 3b - 6 
 Determine: E = (ab + ba – ab)2 
 
20.- Tres términos consecutivos de un 
Polinomio ordenado y completo en 
 Forma descendente están 
representados por: 
P(x)= .... + x
 a+b+1
 – x
2a - 1
+ 3bx
3b-1
-.... 
Calcular el valor de “a” 
a)1 b)8 c) 7 
d) 2 e) 4 
 
 
21). Determine el término cuadrático del 
 polinomio: 
 
Fx a b  2x
ab
  b  ax
a2
 
2b
  7x
ab
 
 
 si este está ordenado y completo. 
 
a) 5x
2
 b) x
2
 c) 6x
2
 d) 2x
2
 e) –x
2 
 
22).Calcular el número de términosdel 
 Siguiente polinomio completo y ordenado. 
 
 P(x) =(n-5)x
n-12
 + (n-6)x
n-11 
+ (n-7)x
n-10
… 
 
 a) 10 b)11 c) 6 d)7 e)15 
 
23).- Sea P(x,y) un polinomio homogéneo de 
 Grado 2 tal que: 
 P(12;18)+P(14;21) =170 ; Halle el 
 Valor de P(10;15). 
 
a) 60 b)45 c) 56 d) 50 e)30 
 
24).Si el polinomio: 
P  x    ab  ac  5  x 2   ab  bc  7  x 
 
  bc  ac  9 
 
Es idénticamente nulo; entonces el 
valor de M  abca  cb  ca  b 
 
a)320 b)318 c)317 d)315 e)316 
 
 
 
 
a) 110 b) 20 c) 115 d) 12 e) 121 
 
 
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