algebra linear Exercícios II 90

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Questão 1/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre sistemas de equações lineares, 
resolva o problema: 
Usando escalonamento, assinale a alternativa com valor de k� de modo que o sistema linear: 
 
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{�+2�=35�−3�=22�−2�=� 
 
admita solução única. 
 
Nota: 10.0 
 A k=1�=1 
 
 B k=−1�=−1 
 
 C k=0�=0 
 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
Faça os escalonamentos: 
 
−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3−5�1+�2→�2−2�1+�3→�3 
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{�+2�=35�−3�=22�−2�=� 
 
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=3−13y=−13−6y=k−6{�+2�=3−13�=−13−6�=�−6 
 
k−6=−6k=0�−6=−6�=0 
 
(Livro-base p. 96) 
 D k=−2�=−2 
 
 E k=2�=2 
 
 
Questão 2/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre operações com matrizes e dada 
as matrizes: 
 
A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10]�=[�−�−�3�] , �=[�2���] 
� �=[−3−10−1−10]. 
 
 
Dado que A+B=C�+�=�, assinale a alternativa com a solução correta da equação 
matricial: 
 
Nota: 10.0 
 A x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.�=−3,�=−1,�=−2 � �=2. 
 
 B x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.�=−2,�=−1,�=−4 � �=2. 
 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
A+B=C⇒�+�=�⇒ [x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e 
w=2.[�+�−�+2�−�+�3�+�]=[−3−10−1−10]�=−2,�=−1,�=−4 � �=2. 
 
(Livro-base p. 40-51) 
 C x=−5,z=−6,y=3 e w=2.�=−5,�=−6,�=3 � �=2. 
 
 D x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.�=−1,�=−2,�=3 � �=−2. 
 
 E x=4,z=−2,y=−4 e w=3.�=4,�=−2,�=−4 � �=3. 
 
 
Questão 3/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Álgebra 
LinearÁlgebra Linear sobre base de autovetores, considere a transformação 
T:R2→R2�:�2→�2 , definido por 
T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y)�(�,�)=(−3�+4�,−�+2�), cujos autovalores da matriz de 
transformação [T][�] são λ1=1 e λ2=−2.�1=1 � �2=−2. Assinale a alternativa com a 
base de autovetores da matriz de transformação de [T][�]: 
Nota: 10.0 
 A {(1,−1),(4;0,25)}{(1,−1),(4;0,25)} 
 
 B {(−1,1),(2,1)}{(−1,1),(2,1)} 
 
 C {(1,−1),(1,1)}{(1,−1),(1,1)} 
 
 D {(1,0),(4,−1)}{(1,0),(4,−1)} 
 
 E {(1,1),(4,1)}{(1,1),(4,1)} 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
Comentário: 
 
A matriz de transformação é dada por: 
 
[T]=A=[−34−12][�]=�=[−34−12] 
Devemos determinar os autovetores 
 
 
[−34−12][xy]=1[xy](1,1)[−34−12][xy]=−2[xy](4,1){(1,1).(4,1)}[−34−12][��]=1[��](1,1)[−34−12][��]
=−2[��](4,1){(1,1).(4,1)} 
 
(livro-base p. 164-165) 
 
Questão 4/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear sobre autovetores, dada a matriz de 
transformação de T:R3→R3�:�3→�3, [T]=⎡⎢⎣100023032⎤⎥⎦[�]=[100023032], assinale a 
alternativa com os autovalores de [T]: 
 
 
Nota: 10.0 
 A λ1=0,λ2=2,λ3=2�1=0,�2=2,�3=2 
 
 B λ1=−2λ2=2,λ3=2�1=−2�2=2,�3=2 
 
 C λ1=1,λ2=5,λ3=1�1=1,�2=5,�3=1 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
det(A−λI)=∣∣ ∣∣1−λ0002−λ3032−λ∣∣ ∣∣=0���(�−��)=|1−�0002−�3032−�|=0 
 
Resolvendo o determinante temos que: 
 
λ1=1,λ2=5,λ3=1�1=1,�2=5,�3=1 
 
(livro-base p. 165-170) 
 
 D λ1=3,λ2=2,λ3=1�1=3,�2=2,�3=1 
 
 E λ1=−2,λ2=2,λ3=1�1=−2,�2=2,�3=1 
 
 
Questão 5/10 - Álgebra Linear 
 
Seja o espaço vetorial V=R2�=�2 e W={(x,y)∈R2/y=3x}�={(�,�)∈�2/�=3�}. 
 
De acordo com o espaço vetorial dado acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, 
assinale a alternativa cuja afirmativa é correta com relação ao conjunto W�. 
Nota: 10.0 
 A (3x,x)∈W(3�,�)∈� 
 
 B Para todos vetores u,v∈W,�,�∈�, temos u+v∉W�+�∉�. 
 C Para todos vetores u,v∈W,�,�∈�, temos u.v∉W�.�∉� 
 
 D W� não é um subespaço vetorial de V.�. 
 E W� é um subespaço vetorial de V.�. 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
Considere os vetores u=(x1,y1)�=(�1,�1) e v=(x2,y2)�=(�2,�2) de 
V=R2.�=�2. 
 
Deve-se verificar se são satisfeitas as seguintes condições: 
 
1. Se u,v∈W�,�∈� então, u+v∈W�+�∈�. 
 
u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.�+�=(�1,�1)+(�2,�2)=(�1,3�1)+(�2
,3�2)==(�1+�2,3(�1+�2))∈�. 
 
2. Se u∈W,então,αu∈W,�∈�,���ã�,��∈�, para todo α∈R.�∈�. 
 
αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.��=�(�1,�1)=(��1,��1)=(��1,3�
�1)∈�. 
 
Logo, pode-se afirmar que W� é um subespaço de V.�. 
 
(Livro-base p. 82-88). 
 
Questão 6/10 - Álgebra Linear 
 
Considere a forma bilinear B, dada por: 
 
B:R2×R2→R, com B((x1,y1),(x2,y2))=−x1x2+2y1x2+5y1y2�:�2×�2→�, ��� 
�((�1,�1),(�2,�2))=−�1�2+2�1�2+5�1�2 
 
De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 6 - 
Formas bilineares e quádricas, assinale a alternativa com a forma matricial de 
B:�: 
Nota: 10.0 
 A B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[0−152].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[0
−152].[�2�2] 
 B B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−2125].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[−
2125].[�2�2] 
 
 C B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[−
1025].[�2�2] 
 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
Comentário: Como a matriz de B é 
 
[−1025][−1025] 
 
Então 
 
B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[−1025].[�2
�2] 
 
(Videoaula da Aula 6, tempo: 28') 
 D B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−322−5].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[
−322−5].[�2�2] 
 
 E B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−10−52].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[
−10−52].[�2�2] 
 
 
Questão 7/10 - Álgebra Linear 
 
Leia as informações abaixo: 
 
O setor de controle de estoque de um grupo comercial tem acompanhado a circulação de 4 
produtos em 3 filiais. O estoque no início de um dia foi registrado e é dado pela matriz: 
Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 110523Filial 287106Filial 396612������� 
1������� 2������� 3������� 4������ 
110523������ 287106������ 396612 
No final do dia, foi registrado o total de vendas dos 4 produtos nas 3 filiais, que é dada pela 
matriz abaixo: 
 
Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 16322Filial 24385Filial 382310������� 1������� 
2������� 3������� 4������ 16322������ 
24385������ 382310 
 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear e se o valor 
de cada produto é dado pela 
tabelaProdutoPreço14,0025,0033,0042,00����������ç�14,0025,0033,0042,00, 
assinale a alternativa cuja matriz é o valor do estoque atualizado para cada filial: 
Nota: 10.0 
 A ⎡⎢⎣Filial1=28Filial2=44Filial3=37⎤⎥⎦[������1=28������2=44�����
�3=37] 
 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
a) Basta fazer a subtração das duas matrizes: 
 
⎡⎢⎣105238710696612⎤⎥⎦[105238710696612]- ⎡⎢⎣6322438582310⎤⎥⎦[6322438582310]= 
⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432] 
 
 b) Basta multiplicar a matriz atualizada pela matriz de valores: 
 ⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432].⎡⎢ ⎢ ⎢⎣4532⎤⎥ ⎥ ⎥⎦[4532]= ⎡⎢⎣284437⎤⎥⎦[284437] 
 
(Livro-base p. 36-41). 
 B ⎡⎢⎣Filial1=21Filial2=42Filial3=38⎤⎥⎦[������1=21������2=42�����
�3=38] 
 
 C ⎡⎢⎣Filial1=24Filial2=39Filial3=38⎤⎥⎦[������1=24������2=39�����
�3=38] 
 
 D ⎡⎢⎣Filial1=26Filial2=38Filial3=44⎤⎥⎦[������1=26������2=38�����
�3=44] 
 
 E ⎡⎢⎣Filial1=32Filial2=46Filial3=38⎤⎥⎦[������1=32������2=46�����
�3=38] 
 
 
Questão 8/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os 
vetores: 
 
u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3)�=(1,−1,−2),�=(2,1,1) � �=(�,0,3). 
 
Assinale a alternativa com o valor de k� para que os vetores u,v e w�,� � � formem uma 
base do R3.�3. 
 
 
 
Nota: 10.0 
 A k≠8�≠8 
 
 B k≠−7�≠−7 
 
 C k≠5�≠5 
 
 D k≠−9�≠−9 
 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Determine o valor de k� para que os vetores u,v e w�,� � � formem uma base 
do R3.�3. 
Montamos o sistema linear 
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0{�+2�+��=0−�+�=0−2�+�+3�=0 
 
Efetuamos o escalonamento 
 
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0⎧⎪ ⎪⎨⎪ 
⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9{�+2�+��=03�+��=05�+(2�+3)�=0{�+2�+�
�=03�+��=0(�+9)3�=0�≠−9 
 
(Livro-base p. 95-100) 
 E k≠6�≠6 
 
Questão 9/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre baseortogonal e a base 
B={(1,2),(−2,1)}�={(1,2),(−2,1)} ortogonal do espaço vetorial V=R2�=�2 em relação 
ao produto interno usual, assinale a alternativa com a base ortonormal a base B�: 
Nota: 10.0 
 A B′=1√5{(1,2),(−2,1)}�′=15{(1,2),(−2,1)} 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Comentário: 
 
Temos que 
 
u=u|u|=(1,2)√12+22=(1,2)√5v=v|v|=(−2,1)√(−2)2+12=(−2,1)√5�=�|�|=(1,2)12+22=(1,2)5�=�|�|=(−2,1)(−2)
2+12=(−2,1)5 
B′=1√5{(1,2),(−2,1)}�′=15{(1,2),(−2,1)} 
 
 
(Livro-base p. 150-152) 
 B B′=1√5{(1,0),(0,1)}�′=15{(1,0),(0,1)} 
 C B′={(1,2),(1,0)}�′={(1,2),(1,0)} 
 D B′={(−2,2),(0,2)}�′={(−2,2),(0,2)} 
 E B′={1√5(−1,−2),13(−2,−1)}�′={15(−1,−2),13(−2,−1)} 
 
 
Questão 10/10 - Álgebra Linear 
 
Leia o texto a seguir: 
 
"Dizemos que uma matriz An×n��×� é diagonizável se seu operador associado 
TA:Rn→Rn��:��→�� for diagonalizável, ou seja, A � é diagonalizável se A� admitir 
n� autovetores LI." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1986. 
 
 
Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base Cálculo 
NuméricoCálculo Numérico sobre diagonalização, dada a matriz 
A=[110a]�=[110�]uma transformação linear do R2,�2, assinale a alternativa com o valor 
de a� para a qual a matriz A� é diagonalizável: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 A a≠−2�≠−2 
 
 B a≠−1�≠−1 
 
Você assinalou essa alternativa (B) 
 C a≠1�≠1 
Comentário: Para que a seja diagonalizável, deve ter 2 autovetores LI ou seja, dois 
autovalores distintos. Então, 
 
det(A−λI)=[1−λ10a−λ]=0���(�−��)=[1−�10�−�]=0 
 
Logo, a≠1.�≠1. 
 
(livro-base p. 163-169) 
 D a≠2�≠2 
 
 E a≠0�≠0