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·
https://goodnotes.com/
18 UNIDADE
SEQUÊNCIA E
.
SÉRIE
P-SÉRIE -
④ SE PJ1 ENTÃO Converge
o A ② SE PL ENTÃO DIVERGE
SÉRIE GEOMÉTRICA
so ④ ME - 1 Ou M ENTÃO CONVERGE
② = 1 < n 4 ENTÃO DIVERGE
TESTE DA COMPARAÇÃO
④ SE & bm FOR CONVERGENTE E am Ebe ENTÃO Sam
CONVERGE
② SE ba FOR DIVERCENTE E an Da ENTRO lan
DIVERCE
TESTE DA COMPARAÇÃO NO LIRITE
Lik
ou SO -D
CONVER
n - 00 -
DIVERGE
https://goodnotes.com/
TESTE DA RAZÃO
⑭ SE int) < a Então San corremos e
② s
o For t =o eI I
ENTÃO LAM DIVERGE
ENTÃO NÃO PODEROS AFIRMAR③ se ins lt NADA
TESTE DA RAIZ
④ SEL Tal a Então an CONVere
② Se Tal 1 Então an DIVER
③ se i n = 1 ENTÃO Ni PODEROS A FARMANA DA
TESTE DA INTEGRAL
·> SE OS TERROS DE UMA FUNÇÃO DECRESCE f(x) TAL QUE f(n) = am
=> ENTR
.,
SE A INTEGRAL DESSA FUNÇÃO CONVERGE
,
A SÉRIE
TAMBER CONVERGE
https://goodnotes.com/
TESTE DA SÉRIE ALTERNADA
DADO 20 (019" ee beor o
④ ba
FOR
RESCENTE
& IR②
meso
CONVERGE ABSOLUTAMENTE
SE O TESTE DA RAIZ OU DA RAZÃO FOR <1
SE lan FOR CONVERCENTE
CONVERGE CONDICIONAMENTO
SE AN NÃO FOR ABSOLUTAMENTE
NÃO FOR CONVERGENTE PELOS OS TESTES DA RAIZ E DA RAZÃO
E FOR PELA SÉRIE ALTERNADA
SÉRIE DE POTÊNCIA
00
f(x) =
x = x" f(x) =Cono
ef(x) = 5x + 5x o e
** Ex .20 * F0 e e
https://goodnotes.com/
RAIO E INTERVALO DE CONVERGÊNCIA
OD
S n
o ze
:
TESTE DA RA12
an =- . Yu ant : tel2 · yuttn+ 1
limi.te ate · 2) lim2 -
=* CONVERGE
#(1 + - 2(X < 2
* = 2
-2 X <2-
SÉRIE HARMONIA CA
-n . = 1 DIVERGE 1nX = - 2
-u - 629" +11 . 2 - o tu = 0 cor enn
. 2
https://goodnotes.com/
SÉRIE DE TAYLOR
X
f(x) = e
Ex- en
.
x" ; Cm = on= 0
PASSO 4 : ACHAR -"(X)
,
f
* Ix)
,
-
-
Ex
,...,
f"C
,
f'(x)
f'(X) = e* f"(x) =e
f"(X) = e* fY(x) = e
*
PASSO 2 : ACHAR F -(0), fios , ficos , ..., f" (a) , f'Co)
f(0) = 1 f"(0) = 1
f"(0) = 1 f(0) = 1
PASSO 3 : ESCREVER A SÉRIE DE TAYLOR
Cn = 10- - o t i
f(x) = SEN(X)
,
ER TORNO DE X = T
PASSO 1 : PASSO 2 :
f'(x) = cosx -D f'(i) = 1
f(x) = = SENX -D + "(π) = 0
fi) = coSX -* f'(π) = 1
fYx) : SENX -> f"(π) = 0
https://goodnotes.com/
PASSO 3 :
Cn : 4
2k +1 -"' ... Car+"↳
1
2k = 0
SEN(X) : P . (x-+e
e
SEJA f(x)
=OO !. X2 ; DETERMINE f"O
f(x)
=200 CO) . X
"
->
0
= e e
f"(= + Hie
https://goodnotes.com/
2: UNIDADE
CNICAS
CORCUNFERÊNCIA
2
( - x . P + (y - y.) = R
ELIPSE
-
·# +x=ba
/PÉR BOLE
2
#- = 1 o yol - **" - 1↳ 2
42 a b
DICA 1 : SERVEIXO REAL ESTÁ ABAIXO DO TERRO *
DICAL : AS DUAS PARTES CONTAM O EIXO DA VARIÁVEL DO TERMO
PARÁ BOLA
40 (y - yo) = (x - xo) or 4P (x - xo) = (y - y)
DICA 1 : CONCAVIDADE NO EIXO LINEAR
DICA 2 : FOCO P UNIDADE DEPOIS DO VERTICE
-
https://goodnotes.com/
SUPERFICIES - PLANOS
,
CILINDROS E QUÁDRICAS
2/LINDROS
2
xy2 = 1 COR 2 IRRESTRITO
T--9
2
2 = 4 , COR X IRRESTRITO
x
2
+ 22 = 4 COR Y IRRESTRITO
:POSSETURAVARÁVELURRESTEITA
E e
DIRETRIZ DO CILINDRO : CURVA
-
EIXO DO CILINDRO : VARIAVEL I PRES TRITA
ES FERA
(x - x .) + (y - yo) + (2-20) = 22
CENTRO : (Xo
, yo ,
20)
RAIO I R
ELIP S / DE
#xo) + 140) + (20 inR
ESFERA -> ELIPSOIDE C/a = b = C = R
https://goodnotes.com/
HIPERBOLODE DE URA FOLHA
2
#xo"-) -20 = 1
ad b2 C2
ad edartistAnoe
2 2
a b2 2
CONE ELÍPTICO
EIXO X :
#x.) : yT+
2
e C
EIXO Y :
Ho : X ."+A eb a
El XO Z :
Y=x + 12 b
PARABOLÓIDE ELÍPTICO
El XO X :
1xx) := IE
a b2 e
https://goodnotes.com/
El XO Y :
#4) : **. )"I 2.
2
b a e
El XO 2 :
2
#2) : =*** : Ho
e a
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
ENXO X :
1xx) := IE
a b2 e
El XO Y :
#4) : x ."I2
2
b a e
El XO 2 :
#2) : =x."A
e a
https://goodnotes.com/
INTRODUÇÃO ÀS CURVAS
PARAMETRIZAÇÃO DA CURVA
PLANO XY
O(t) = (X( + )
,
y(t))
Ti T E Te
No ESPAÇO
5x = (X(t)
, y (t) , 2(t))
Ti < T E Te
LI RITE
lim OCT) = lim(X(t) , Y (t) , 2 (t) = (fo X (A) , fin y (E) , Lin zci:ct -> a
CONTINUIDADE
PROPRIEDADES
SE O
,
(t) E 62(t) SÃO CONTINUAS ENTA : Gy(t) =Gy(t) + 62(t)
https://goodnotes.com/
DERIVADA DE VETORES E APLICAÇÕES
VETOR VELOCIDADE
~ (t) = 6 (t) = (X (t)
,
y' (t)
,
2' (t)
VELOCIDADE ESCALAR
. = INVILE+ 2'(t)
ROVIMENTO CIRCULAR
CIRCUNFERENCIA : 62t) = (X . + 4 COSO
, Yo +
ustral
VELOCIDADE D TEMPO t
ROVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
o = 0
. + Ö
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO
o = 0 . + Ot+
2
VETOR TANGENTE
·
tg = 6 (t)
= (X'(t)
,
y' (t)
,
2'(t)
VETOR TANGENTE UNITÁRIO
=
Troll
https://goodnotes.com/
ENCONTRAR O VETOR VELOCIDADE
= II Ull
.
I
VETOR NORRAL
ENCONTRA O VETOR NORRAL PRINCIPAL : OLE = cos2t
,
StuCt
1) ENCONTRAR F :
·
rg
= Oit = (.2stwat
,
acosae
11 Fell.sewat)"(2 cos24
/ ürgll : 2
i:T : ht, <cos2t = -Stret , cose e
2) ENCONTRAR 'E /I Fill
Fatiaseratter
11 I'll = 2
3) ENCONTRAR :
=i = =20 - 2 StW2A = -cos2t , -2 SENE
-
https://goodnotes.com/
VETOR ACELERAÇÃO
④(t) = "(t)
PARA ACHAR & E A m
-(H)4) calcular /ceslI E n
->2) CALCULAR T(t) E F'CA)
F(t) =
Ti
3) ENCONTRAR (E)
âC) = A)
.
E(E) + AH). It↳ at am
INTEGRAL DE VETORES E APLICAÇÕES
INTEGRAÇÃO DE CURVAS
Joces de cade
,
bycede
,
[2(Hdt) + Jes
,
ca, ca
CORPRIMENTO DE ARCO
c = /
*
10'casI de
Ta
DERIVADAS DE FUNÇÕE VETORIAIS
DERIVADAS - MATRIZ JACOBRANA
* s
#'(
, 4 , 2) : = 24 I Z
8zI CA Et E I& F3
https://goodnotes.com/
PARAMETRICAÇÃO DE CURVAS
PARAMETRIZAÇÃO DE CURVAS
SIRCUNFERÊNCIA/ELIPSE
cos" t + SENPt = 4
0 I t E 2 H + VOLTA COMPLETA
X = Cost t e y = SEN t O < t = # -> MEIA VOLTA
INTEGRAL DE LINHA-CASO ESCALAR
2
LASO ESCALAR R
1) PARA METRIZAR L
2 f(x
, y) - f(0(t))
3) ds = Il octs de
COMPRIMENTO DE CURVA
f(x
, y) = 1
MASSA DE UR FIO
f(x
, y) = S(x , y)
↳ DENSIDADE LINEAR
3
CASO ESCALAR R
1) PARA METRIZAR L
2) f(x
, y : 2) + f (0(t))
3) ds = Il oits de
https://goodnotes.com/
INTEGRAL DE LINHA - CASO VETORIAL
OPERADOR ER CAMPOS VETORIAIS
OPERADOR DEL
=(T
DIVERGEN TE DE E
DIVLES = T.
ROTACIONAL DE T
ROTCE) = x
5 K
ROTCE) : Ie I
ROTLE) =
As · At ,At
-
At ,A e
DASO VETORIAL NO R
↓(x
, y) . de
C
como encontrar f(t) de Dado % (X , y) d ?
9) PARARETRIZAR A CURVA C
-
a b DEPENDER DO BARÂMETRO
https://goodnotes.com/
&2 F(X
, y) -> F(O(t))
-3) In = 6 "(t) dt
3
CASO VETORIAL NO R
b(x , y) . de
1) PARAMETRIZAR A CURVA
2) F(X , y , 2) + F(G(t))
3) di = 6'(t) dt
TEOREMA DE GREEN
TEOREMA DE GREEN
(· ac + Fedy : 1) (12 -E) Ok, e
F di
HIPÓTESES DO TEOREMA
9) CURVA FECHADA
2) CURVA ORIENTADA POSITIVAMENTE
3) CURVA SER SINGULARIDADE
CAMPO CONSERVATIVO
FUNCÃO POTENCIAL
S
if = CAMPO CONSERVATIVO
f = (Ef , Cf ,Ee
(CFs , Fa , F3) : Ef , Cf , Eite
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CORO SE CALCULA !
4) F =- -
f = F
2F =
t -
f = Fxby
3) Es = Ef - f
: &E e
f = 1 + 2 + 3 + k
b
(D = f(b) - f(a)
APLICAÇÃO DA INTEGRAL DE MINHA
-
AREA DE SUPERFICIES
TEOREMA DE PAPPUS
CURVA CERxy - G(t) = (X(t) , y(t))
ROTAÇÃO ER X
Área = 24)
,
/y) ds
ROTAÇÃO ER Y
Área = 2 + N! X ds
https://goodnotes.com/
PARAMETRICAÇÃO DE SUPERFÍCIES
CASO EXPLICITO
Yu , N) = X (n , r) , y Du , ) , 2 (m , v)
1 : z = f(x
, y)
Li y = f(x , z)
3i X = f(y , 2)
CASO AVANÇADO
PARA RETRIZ A SAO DE CILIN DRO
x
2
+ y
2
= 1
X = Cost
y = SEN t f(t , 2) = (cost
,
Sent
,
2)
2 = z 0 I E 2 π
PARA RETRIZA CAT DE ESFERAS
S
x2 +
y
2
+ 2 = 4
X (0
. 6) = 22050 . Ser d
y
Co
,
d) = 2 Sera . Send
2 (0 , 0)) = 2 cosd
y (a , d) = /2 cos0 . serb , 2 geno . SEND , 2 Cos
O = 0 [ 2 π
0 = d = π
DE FORRA GERAL
ROTAÇÃO EX X :
& (t , 0) = / X (t) . Y (t) COS0 , y (t) SENG /
https://goodnotes.com/
ROTAÇÃO Eta Y :
↑ Dt . 6) = (X(t) cos0 , y (t) , X (t) SEN o)
ROTAÇÃO E R zu
& (t , b) = (X(t) coso , X (t) SENO , 2 (t))
SUPERFICIE REGULAR
QUANDO A SUPERFÍCIE É REGULAR !
F O
EXER PIO :
Y (u , v) = (n , N , n
=
+ v (
↳4
all, o a 24 =
0,
in = 4 + +4 i
e
* I10 ( - 2n , - 20 , 1)
A zu : (0
,
0. E O
SUPER FICIE ORI EN TÁVEL
SU PERFÍCIE QUE PODEROS FIXAR UM CARPO DE VETORES
NORMAIS NÃO NULOS E CONTINUO
.
ORIENTAÇÃO RELATIVA ENTRE SUPERFÍCIES E CURVAS
REGRA DA MÃO DIREITA
: DEDÃO NA DIREÇÃO DO VETOR NORMAL
2
:
OS OUTROS DEDOS , NA DIREÇÃO DA ORIENTAÇÃO
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INTEGRAL DE SUPERFICIE-MÉTODO DIRETO
CASO ESCALAR(sF(x
, y , 2)dx
INTEGRAL DE SUPERFICIE INTEGRAL DUPLA
4) PARAMETRIZAR S (ESCREVE COR 2 TERMOSI
2) ENCONTRAR bs = /üll dec
3) ESCREVER FER FUNÇÃO DA PARARETRIZAÇÃO
APLICAÇÕES
ÁREA DE SUPERFICIE
/f < ds
MASSA DE UMA SUPERFICIE
M : Is 8 (x
, y , 2) ds
CASO VETORIAL
I)
,
Eds E..Hill dende
1) PARARETRIZAR S
2) VETOR NORMAL
-
3) CAMPO F
https://goodnotes.com/
TEOREMA DE STOKES
TEOREMA DE STOKES
3
INTESGRAIS DE LINHA DIFÍCEIS NO IR
INTEGRAL DE SUPERFICIE
O F : d =( ROCEs . Is
1) CURVA FECHADA
2) ORIENTADA POSITIVAMENTE - O
3) SER SINGULARIDADE
TEOREMA DE GAUSS
TEORERA DE GAUSS
IfEds = /adivCE) dr
ONDE S É A FRONTEIRA DO SÓLIDO N
DIVCE :
A + E + Ee
1) CURVA FECHADA
2) ORIENTADA POSITIVAMENTE -O
3) SEM SINGULARIDADE
SUPERFICIE ABERTA
https://goodnotes.com/

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