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Todas corretas Todas corretas Todas corretas Todas corretas Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) GRA1593 CALCULO NUMERICO COMPUTACIONAL ENGPD203 - 202010.ead-4826.01 Unidade 2 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) Usuário SISSA CRISTHIANE BENITES YAMADA IRALA Curso GRA1593 CALCULO NUMERICO COMPUTACIONAL ENGPD203 - 202010.ead-4826.01 Teste ATIVIDADE 2 (A2) Iniciado 08/05/20 20:40 Enviado 14/05/20 09:25 Status Completada Resultado da tentativa 9 em 10 pontos Tempo decorrido 132 horas, 44 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Frequentemente, precisamos encontrar raízes de funções/equações associadas a problemas da Engenharia/Ciência. Um problema clássico é a determinação das órbitas dos satélites. A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada por: Suponha que sejam conhecidos e . Usando o método da iteração linear, calcule a raiz da equação dada, com uma tolerância e o menor número possível de iterações. Para isso, isole a raiz num intervalo de comprimento 1, ou seja, ( e naturais) e . FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico . São Paulo: Pearson, 2006. Assinale a alternativa correta. 0,8176584. 0,8176584. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função , encontramos , conforme a tabela a seguir: 0 0,2 1 0,6596008 0,459600799 2 0,78384043 0,124239632 3 0,81180133 0,027960901 4 0,8176584 0,005857072 SISSA CRISTHIANE BENITES YAMADA IRALAMinha Área 1 em 1 pontos http://portal.anhembi.br/ https://anhembi.blackboard.com/webapps/blackboard/execute/courseMain?course_id=_561560_1 https://anhembi.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_561560_1&content_id=_13173088_1&mode=reset https://anhembi.blackboard.com/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_358_1 https://anhembi.blackboard.com/webapps/login/?action=logout Pergunta 2 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Quando não dispomos de métodos analíticos capazes de calcular as raízes de uma função, podemos recorrer aos métodos numéricos, entre os quais está o método da iteração linear. Considerando , e uma função de iteração convenientemente escolhida. Aplique o método da iteração linear e as sequência de raízes , calcule . Assinale a alternativa correta. 1,33177094. 1,33177094. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função , encontramos , conforme a tabela a seguir: 0 1,5 1 1,24998326 0,250016739 2 1,33177094 0,081787682 Pergunta 3 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Apenas na minoria dos casos, nós podemos calcular as raízes de uma função através de métodos algébricos. Então, na maioria das situações, exige-se a aplicação de métodos numéricos. Diante disso, considerando , e uma função de iteração convenientemente escolhida. Aplique o método da iteração linear e a sequência de raízes . Assinale a alternativa que corresponde ao valor de . 1,31685381. 1,31685381. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função , encontramos , conforme a seguinte tabela: 0 1,9 1 1,16133316 0,738666842 2 1,36761525 0,206282096 3 1,29009217 0,077523087 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 4 1,31685381 0,026761642 Pergunta 4 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Em problemas de fluxo em tubulações, precisamos resolver a seguinte equação: Se , e , usando o método da iteração linear, calcule a raiz da equação dada, com uma tolerância e o menor número possível de iterações. Para isso, isole a raiz num intervalo de comprimento 1, ou seja, ( e inteiros) e . FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico . São Paulo: Pearson, 2006. Assinale a alternativa correta. -0,3996868. -0,3996868. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função , encontramos , conforme a tabela a seguir: 0 -1 1 -0,4128918 0,587108208 2 -0,3999897 0,012902141 3 -0,3996868 0,000302884 Pergunta 5 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Isolando a raiz positiva da função em um intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, e utilizando o método da Iteração Linear, calcule a terceira ( ) aproximação para esta raiz. Calcule e escolha uma função de iteração apropriada. Assinale a alternativa correta. 1,08125569. 1,08125569. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função de iteração igual a , encontramos , conforme a tabela a seguir: 0 1,4 1 1,10048178 0,299518223 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 2 1,08125569 0,019226082 Pergunta 6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Com a equação de Lambert, dada por , em que t é um número real positivo, é possível obter uma única solução , que pertence ao intervalo [0,t]. Por intermédio do método de Newton e usando essa estimativa como intervalo inicial, calcule quantas iterações são necessárias para obter o valor numérico de quando t=2, considere uma tolerância . Assinale a alternativa correta. 6. 6. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton na função , determinamos que o número mínimo de iterações é igual a 6, conforme a tabela a seguir: 0 2 12,7781122 22,1671683 1 1,42355686 3,910411301 10,0622731 0,57644314 2 1,03493579 0,913267121 5,7281926 0,38862107 3 0,87550206 0,10127495 4,50135492 0,15943373 4 0,85300329 0,001729204 4,34841325 0,02249877 5 0,85260562 5,29273E-07 4,34575157 0,00039766 6 0,8526055 5,01821E-14 4,34575075 1,2179E-07 Pergunta 7 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Um dos métodos numéricos utilizados para determinação das raízes de uma função polinomial é o método da iteração linear. Isole a raiz positiva da função polinomial em um intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, Calcule a quarta ( ) aproximação para esta raiz, considere . Assinale a alternativa correta. 1,07998603. 1,07998603. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função de iteração , encontramos , conforme a tabela a seguir: 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 0 1,4 1 1,10048178 0,299518223 2 1,08125569 0,019226082 3 1,07998603 0,001269666 Pergunta 8 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Antes de aplicarmos o método de Newton para refinamento das raízes de uma função, devemos realizar o isolamento das raízes por meio do método gráfico. Nesse sentido, suponha que esse trabalho inicial foi realizado e determinamos que . Dessa forma, considere a função e uma tolerância . Ao utilizarmos o método de Newton, assinale a alternativa que corresponde ao número mínimo de iterações necessárias para encontrarmos uma raiz pertencente ao intervalo . 5. 5. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função , verificamos que o número mínimo de iterações com a tolerância e intervalos dados é igual a 5, conforme tabela a seguir: 0 0,1 -2,2025851 11 1 0,30023501 -0,9029547 4,33072417 0,20023501 2 0,50873472 -0,1670939 2,965661 0,20849971 3 0,56507759 -0,0057146 2,76966848 0,05634287 4 0,56714088 -6,65E-06 2,76323032 0,00206329 5 0,56714329 -9,003E-12 2,76322283 2,4066E-06 Pergunta 9 Resposta Selecionada: Uma das aplicação dos métodos numéricos é o cálculo de raízes de funções. Ao utilizar o método de Newton, calcule a quinta ( ) aproximação da raiz positiva da função . Para tanto, isole a raiz em um intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, . Noteque, ao determinar a raiz positiva da função dada, você estará calculando uma aproximação para a raiz quadrada de 10. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto de . 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos Quinta-feira, 14 de Maio de 2020 09h26min07s BRT Resposta Correta: Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função , calculamos uma aproximação para a raiz quadrada de 10, logo, . 0 4 6 8 1 3,25 0,5625 6,5 0,75 2 3,16346154 0,00748891 6,32692308 0,08653846 3 3,16227788 1,401E-06 6,32455576 0,00118366 4 3,16227766 4,9738E-14 6,32455532 2,2152E-07 Pergunta 10 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Antes de aplicarmos o método de Newton para determinação das raízes de uma equação, devemos isolá- las por meio do método gráfico. Dessa forma, suponha que essa etapa foi realizada e encontramos . Assinale a alternativa que apresenta quantas iterações são necessárias para calcular a raiz da função , pelo método de Newton, com uma tolerância , no intervalo [1;2]. 5 iterações. 4 iterações. Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois aplicando o método de Newton para a função , no intervalo , com uma tolerância , precisamos de pelo menos 4 iterações, conforme tabela a seguir: 0 2 2,69314718 4,5 1 1,40152285 0,30182569 3,51655529 0,598477151 2 1,31569292 0,00541132 3,39144161 0,085829929 3 1,31409734 1,8099E-06 3,38917331 0,001595582 4 1,3140968 2,025E-13 3,38917255 5,34032E-07 ← OK 0 em 1 pontos javascript:launch('/webapps/gradebook/do/student/viewAttempts?course_id=_561560_1&method=list&nolaunch_after_review=true'); 13/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 1/8 Usuário EVANDRO PEREIRA VASCONCELOS Curso GRA1593 CALCULO NUMERICO COMPUTACIONAL ENGPD203 - 202010.ead-4826.01 Teste ATIVIDADE 2 (A2) Iniciado 09/05/20 16:52 Enviado 13/05/20 20:10 Status Completada Resultado da tentativa 9 em 10 pontos Tempo decorrido 99 horas, 18 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Uma fábrica de alimentos deseja confeccionar uma embalagem para uma bebida para exportação. A embalagem deve ser um veículo em formato de paralelepípedo que possui as seguintes proporções: Em que x, y e z são as dimensões da embalagem. Para manter a proporção, a dimensão z deve ser uma soma de um múltiplo da dimensão x com 1, pois a empresa precisa deixar uma parte da embalagem reservada para informações do produto que são exigidas por lei. Além disso, a empresa deseja que o volume da embalagem seja igual a 500 ml, ou seja, 500 . Diante da situação apresentada e utilizando o método de Newton, considerando a tolerância e o menor número possível de iterações, determine a dimensão x da embalagem, usando como intervalo inicial que contém a raiz. Assinale a alternativa correta. . . Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton na função , determinamos que , conforme a seguinte tabela: 0 5 200 705 1 4,71631206 10,9006033 628,875057 0,28368794 1 em 1 pontos 13/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 2/8 2 4,69897856 0,03911392 624,364658 0,0173335 3 4,69891591 5,0968E-07 624,348386 6,2646E-05 Pergunta 2 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Um dos métodos numéricos utilizados para determinação das raízes de uma função polinomial é o método da iteração linear. Isole a raiz positiva da função polinomial em um intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, Calcule a quarta ( ) aproximação para esta raiz, considere . Assinale a alternativa correta. 1,07998603. 1,07998603. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função de iteração , encontramos , conforme a tabela a seguir: 0 1,4 1 1,10048178 0,299518223 2 1,08125569 0,019226082 3 1,07998603 0,001269666 Pergunta 3 Resposta Selecionada: Isolando a raiz positiva da função em um intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, e utilizando o método da Iteração Linear, calcule a terceira ( ) aproximação para esta raiz. Calcule e escolha uma função de iteração apropriada. Assinale a alternativa correta. 1,08125569. 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 13/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 3/8 Resposta Correta: Feedback da resposta: 1,08125569. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função de iteração igual a , encontramos , conforme a tabela a seguir: 0 1,4 1 1,10048178 0,299518223 2 1,08125569 0,019226082 Pergunta 4 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Frequentemente, precisamos encontrar raízes de funções/equações associadas a problemas da Engenharia/Ciência. Um problema clássico é a determinação das órbitas dos satélites. A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada por: Suponha que sejam conhecidos e . Usando o método da iteração linear, calcule o número mínimo de iterações necessárias para determinar a raiz da equação dada, com uma tolerância . Para isso, isole a raiz num intervalo de comprimento 1, ou seja, ( e naturais) e . Assinale a alternativa correta. FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico . São Paulo: Pearson, 2006. 5. 6. Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função e , encontramos 6 iterações, no mínimo, para a tolerância , conforme a tabela a seguir: 0 0 1 0,6 0,6 0 em 1 pontos 13/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 4/8 2 0,76939274 0,169392742 3 0,80870975 0,039317004 4 0,81701908 0,008309337 5 0,81873268 0,001713599 6 0,8190842 0,000351514 Pergunta 5 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Vamos considerar um problema físico de estática: uma plataforma está fixada em uma janela de madeira por meio de uma dobradiça, em que momento é calculado por , é o ângulo da plataforma com a horizontal e k é uma constante positiva. A plataforma é feita de material homogêneo, seu peso é P e sua largura é l. Modelando o problema, podemos mostrar que com . A partir do método de Newton, com uma tolerância e o menor número possível de iterações, determine o valor de para l=1 m, P=400 N, k=50 Nm/rad, sabendo que o sistema está em equilíbrio. Assinale a alternativa que corresponde ao valor correto de . . . Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton na função , determinamos que satisfaz a tolerância desejada, conforme a tabela a seguir: 0 1,57079633 1,57079633 5 1 1,25663706 0,02056908 4,80422607 0,31415927 2 1,25235561 1,1379E-05 4,79889904 0,00428146 1 em 1 pontos 13/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 5/8 3 1,25235323 3,5203E-12 4,79889607 2,3711E-06 Pergunta 6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Um dos métodos numéricos usado na resolução de equações/funções é o método da iteração linear, também conhecido como método do ponto fixo. A partir da utilização do método citado, calcule em relação à sequência de raízes aproximadas da raiz da função no intervalo de . Para tanto, faça e escolha uma função de iteração apropriada. Assinale a alternativa correta. 0,006486. 0,006486. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função de iteração igual a , obtemos , comopodemos verificar na tabela a seguir: 0 -0,2 1 -0,6440364 0,444036421 2 -0,5893074 0,054728994 3 -0,5957933 0,006485872 Pergunta 7 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Quando não dispomos de métodos analíticos capazes de calcular as raízes de uma função, podemos recorrer aos métodos numéricos, entre os quais está o método da iteração linear. Considerando , e uma função de iteração convenientemente escolhida. Aplique o método da iteração linear e as sequência de raízes , calcule . Assinale a alternativa correta. 1,33177094. 1,33177094. 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 13/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 6/8 Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função , encontramos , conforme a tabela a seguir: 0 1,5 1 1,24998326 0,250016739 2 1,33177094 0,081787682 Pergunta 8 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Apenas na minoria dos casos, nós podemos calcular as raízes de uma função através de métodos algébricos. Então, na maioria das situações, exige-se a aplicação de métodos numéricos. Diante disso, considerando , e uma função de iteração convenientemente escolhida. Aplique o método da iteração linear e a sequência de raízes . Assinale a alternativa que corresponde ao valor de . 1,31685381. 1,31685381. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função , encontramos , conforme a seguinte tabela: 0 1,9 1 1,16133316 0,738666842 2 1,36761525 0,206282096 3 1,29009217 0,077523087 1 em 1 pontos 13/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 7/8 4 1,31685381 0,026761642 Pergunta 9 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Um dos métodos mais robustos para resolução de equações é o método de Newton, uma vez que ele exige um grande conhecimento das derivadas da função. Assim, utilizando o método de Newton para a função , e sabendo que a raiz . Assinale a alternativa que indica qual o valor de . -1,0298665. -1,0298665. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função , podemos verificar, por meio da tabela seguir, que . 0 -1,4 -1,0600657 2,97089946 1 -1,0431836 -0,0362392 2,72802289 0,35681642 2 -1,0298995 -8,952E-05 2,7144945 0,01328407 3 -1,0298665 -5,6E-10 2,71446054 3,2978E-05 Pergunta 10 Resposta Selecionada: Com a equação de Lambert, dada por , em que t é um número real positivo, é possível obter uma única solução , que pertence ao intervalo [0,t]. Por intermédio do método de Newton e usando essa estimativa como intervalo inicial, calcule quantas iterações são necessárias para obter o valor numérico de quando t=2, considere uma tolerância . Assinale a alternativa correta. 6. 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 13/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 8/8 Quarta-feira, 13 de Maio de 2020 20h10min50s BRT Resposta Correta: Feedback da resposta: 6. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton na função , determinamos que o número mínimo de iterações é igual a 6, conforme a tabela a seguir: 0 2 12,7781122 22,1671683 1 1,42355686 3,910411301 10,0622731 0,57644314 2 1,03493579 0,913267121 5,7281926 0,38862107 3 0,87550206 0,10127495 4,50135492 0,15943373 4 0,85300329 0,001729204 4,34841325 0,02249877 5 0,85260562 5,29273E-07 4,34575157 0,00039766 6 0,8526055 5,01821E-14 4,34575075 1,2179E-07 Tema Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução deEquações ______________________________________________________ Unidade 01 Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional Data da última atualização 03/02/2020 I. Instruções e observações LEIA COM ATENÇAO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos Descrição Roteiro da prática Calculadora científica Computador ou Notebook III. Introdução Quantidade 1 1 1 Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. IV. Objetivos de Aprendizagem ■Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (c5 Capstone) ■Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. ■ Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. V. Experimento ETAPA 1: Método Gráfico 1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: f ( x ) = x 3 — 2x 2 — 20x + 30. ROTEIRO DE PRATICA A -10 - 0 - 0 0 0 30 De acordo com o gráfico da função plotado no Geogebra, a função apresentara 3 raízes, sendo duas de sinal positivo e uma de sinal negativo. Aplicando o método gráfico, temos o seguinte: Ou seja, o método gráfico reafirma as raízes observadas no gráfico plotado. Onde tem-se 3 raízes nos intervalos {-5;-4} , {1;2} e {4;5}. x g(x) h(x) -5 -175 -130 -4 -96 -110 -3 -45 -90 -2 -16 -70 -1 -3 -50 0 0 -30 1 -1 -10 2 0 10 3 9 30 4 32 50 5 75 70 x4 f(*4) 1X4 — X3I 3,15625 -0,038085938 0,03125 ora, fazendo uso da função "SE" ', calcule a trigésima (x29) aproximação da raiz. X29 f(x29) \X29 X2fí\ 3,1622776594012900 -4,85145E-09 1,86265E-09 5. Calcule VlÕ com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com x29. 2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra (https://www.geogebra.org/ ) . Use as mesmas funções escolhidas para g(x) e h(x). ETAPA 2: Método da Bisseção 3. No Excel, sem utilizar a função "SE", aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (x4) aproximação da raiz positiva da função f(x) = x2 — 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [a,b] (a e b naturais) de comprimento 1, isto é, b — a = 1. 4. V alor calculado pela calculadora científica: 3,1622776601683793319988935444327 Valor calculado pelo método de bisseção: 3,1622776594012900 A diferença entre os valores encontrados é de: 0,000000024% f(x) = g(x) — h(x) R(x) h(x) f(x) = x3-2x2 - 20x + 30 g(x) = x3-2x2 h(x) = 20x-30 ETAPA 3: Método de Newton 6. No Excel, isolando a raiz de f ( x ) = 2x — sen(x) + 4 num intervalo [a, b] (a e b inteiros) de comprimento 1, isto é, b — a = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função f ( x ) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é e < 10-9. Conforme gráfico acima, plotado no Geogebra, a raíz da função é -2,3542427583668. A raíz encontrada utilizando o método de Newton é -2,354242758. A diferença entre os valores é de: 0,0000000155% ETAPA 4: Método da Iteração Linear e (Tolerância) N° mínimo deiterações xn f ( x n ) 10 -1 2 -2,354305393 -0,000169475 1O 3 -2,354242759 -1,38967E-09O'1O 4 -2,354242758 0 f | ■ 7^ . 3 a &■ MI < [ M / / O f(x) = 2 x — sen(x) + 4 Q A - Ra ízes(f, —2.5531024328547. —2.0T2Í -> (- 2.3542427583668, 0) / 2.5 7 2 B = Extremo(f, -6.3386767563433, 4.32: 1.5 —> indefinido C = Interseçãoff,EixoY. (0,4)} 4 tkJ - (0. 4) + Entrada... r 6 -5 i.5 - 5 -A .5 - 4 -a 1.6 - ■3 - 2 1 2 -1 5 - ■t -C 1.50 0—05 —1 1 Jt — I0 8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função f ( x ) = x 3 — c o s ( x ) e x0 = 0,5. Justificando sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração F ( x ) ? f(x) = x3 — COS (x) x3 — cos(x) = 0 x3 = cos(x) F(x) = ¥cos (x) Justificando a função de iteração acima através da aplicação do método de Iteração Linear no Excel: 9. Sejam f ( x ) = x 3 — c o s ( x ) , x0 = 0,5 e uma função de iteração F ( x ) convenientemente escolhida. No Excel, levando em consideração a sequência de raízes xn, complete a tabela abaixo: n Xn F(Xn) En 0 0,5 0,95740567 1 0,95740567 0,831861746 0,45740567 2 0,831861746 0,876555383 0,125543924 3 0,876555383 0,861685113 0,044693638 4 0,861685113 0,866753875 0,014870271 5 0,866753875 0,865039927 0,005068762 6 0,865039927 0,86562107 0,001713948 7 0,86562107 0,865424206 0,000581143 8 0,865424206 0,865490915 0,000196864 9 0,865490915 0,865468313 6,67092E-05 10 0,865468313 0,865475971 2,26026E-05 11 0,865475971 0,865473376 7,65858E-06 12 0,865473376 0,865474256 2,59497E-06 13 0,865474256 0,865473958 8,7926E-07 14 0,865473958 0,865474059 2,97922E-07 15 0,865474059 0,865474024 1,00946E-07 16 0,865474024 0,865474036 3,42036E-08 17 0,865474036 0,865474032 1,15893E-08 18 0,865474032 0,865474033 3,92683E-09 19 0,865474033 0,865474033 1,33054E-09 20 0,865474033 0,865474033 4,5083E-10 x n Raiz aproximada f ( x n ) Erro (|xn — xn-i|) x 5 0,866753875 0,865039927 0,005068762 x 1 5 0,865474059 0,865474024 1,00946E-07 X 1R 0,865474032 0,865474033 3,92683E-09 x 3 2 0,865474033 0,865474033 9,99201E-16 10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função f ( x ) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas para a raiz encontrada (x32). Conforme gráfico acima, plotado no Geogebra, a raíz da função é 0,8654740342229. A raíz encontrada utilizando o método de iteração linear é 0,865474033. A diferença entre os valores é de: 0,0000001413% VI. Avaliação do experimento O experimento acima demonstrou, através da pratica, a aplicabilidade de cada um dos métodos numéricos de determinação de raízes de equação para funções complexas lineares e polinomiais. Estes métodos envolvem processos que se aproximam das raízes a cada passo. Como em todos os processos iterativos, devem ser estabelecidos critérios de parada, isto é, a partir de alguma regra específica, devemos ser capazes de determinar o momento de encerrar a aplicação do método, obtendo a raiz com a precisão desejada. Ademais antes da aplicação de cada um destes métodos, é necessário verificar se são atendidos os parâmetros de aplicação para cada caso. Enfim, todos os métodos testados se mostraram eficazes em sua aplicação, onde uns são mais rápidos e outros mais lentos. VII. Referências BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; Edição. São Paulo; Harbra, 1987 I. Instruções e observações LEIA COM ATENÇAO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. IV. Obje vos de Aprendizagem * Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função, (cb Capstone) ■ Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. ■ Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. Tema Disciplina (s) ROTEIRO DE PRATICA Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações __________________________________________________ Cálculo Numérico Computacional Unidade 01 Data da úl ma atualização 03/02/2020 II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos Descrição Quan dade Roteiro da prá ca 1 Calculadora cien fica 1 Computador ou Notebook 1 III. Introdução ________________________________________ V. Experimento _____________________________ ETAPA 1: Método Gráfico 1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: f (x) = x 3 - 2x 2 - 20x + 30 . Considerando h(x) = x 3 e g(x) = 2x 2 + 20x -30 temos que f (x) = g(x) - h(x). Pelo método gráfico, vamos analisar as raízes e gráficos de h(x) e g(x). Analisando a função g(x) = x 3 temos que g(x) =0 se e somente se x 3 = 0, portanto se , isto implica que a única raíz de é o zero. Além disso o seu gráfico é dado por: A função h(x) = 2x 2 + 20x -30 , representa uma função de segundo grau, cuja concavidade é voltada para cima, pois a = 2. Analisando as suas raízes temos: h(x) = 0 se e somente se 2x 2 + 20x - 30 = 0 , dividindo ambos os termos por 2, temos que é equivalente a x 2 + 10x - 15 = 0, portanto temos: A = 10 2 - 4 .1. (- 15) = 160 (- 10 ±Vi60) /2 Portanto as raízes serão aproximadamente 1,324 e -11,324. Um esboço do gráfico será dado por uma parábola com concavidade para cima, e cortando o eixo do y em -30. Portanto teremos: Desenhando ambos os gráficos em um mesmo plano cartesiano temos: LAU REATE W INTERNATIONAL UNIVERSITIES1 Não sabemos exatamente quem são as raízes, mas sabemos que elas estão entre -10 e +10. Analisando a função neste intervalo temos: -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 g(x) -1000 -729 -512 -343 -216 -125 -64 -27 -8 -1 h(x) -30 -48 -62 -72 -78 -80 -78 -72 -62 -48 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 g(x) 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 h(x) -30 -8 18 48 82 120 162 208 258 312 370 Analisando a tabela, temos que a função h(x) começa sendo a maior, entre -5 e -4, a função g(x) passa a ser maior, entre 1 e 2 a função h(x) passar a ser maior e entre 4 e 5 a função g(x) passa a ser maior. Como as raízes é onde ambas as funções são iguais, temos três raízes de f(x) estão nos intervalos (-5,-4) (1,2) e (4,5), portanto uma negativa e duas positivas. 2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra ( https://www.geogebra.org/ ). Use as mesmas funções escolhidas para g(x) e h(x). f (x) = g (x) - h(x) g(x) h(x) x3 - 2x2 - 20x + 30 x3 2x2 + 20x - 30 Representando as funções g(x) e h(x) no Geogebra e em seguida marcando os pontos de intersecção entre das duas funções encontramos os pontos D, E e F que correspondem exatamente ao que encontramos em 1). Temos pontos de intersecção ( e portanto as raízes de f(x)) nos intervalos (-5,-4), (1,2) e (4,5), logo uma negativa e duas positivas. Método da bissecção equação x A 2-10-0 ____________________(a+b)/2___________| xi-xf | i a b xi erro f(a) f(xi) f(a)-f(xi) 0 3,0000004,000000 3,5000000 0,500000 -1,000000 2,250000 -2,250000 1 3,0000003,500000 3,2500000 0,250000 -1,000000 0,562500 -0,562500 2 3,0000003,250000 3,1250000 0,125000 -1,000000 -0,234375 0,234375 3 3,1250003,250000 3,1875000 0,062500 -0,234375 0,160156 -0,037537 4 3,1250003,187500 3,1562500 0,031250 -0,234375 -0,038086 0,008926 Portanto os valores obtidos foram: x4 f(x4) |x4- x3l 3,15625 -0,038086 0,031250 4. Agora, fazendo uso da função "SE", calcule a trigésima (x29)aproximação da raiz. Calculando o valor de (x29) com o uso da função Se do excel, obtemos Calculando VTÕ na calculadora obtemos: 3.16227766017 A B c D E F ü 5 1 3,0000003,500000 3,2500000 0,250000 -1,000000 0,562500 -0,562500 t 2 3,0000003,250000 3,1250000 0,125000 -1,000000 -0,234375 0,234375 7 3 3,1250003,250000 3,1875000 0,062500 -0,234375 0,160156 -0,037537 E 4 3,1250003,187500 3,1562500 0,031250 -0,234375 -0,033086 0.008926 § 5 3,1562503,187500 3,1718750 0,015625 -0,038086 0,060791 -0,002315 10 6 3,1562503,171875 3,1640625 0,007813 -0,038086 0,011292 -0,000430 11 7 3,1562503,164063 3,1601563 0,003906 -0:038086 -0,013412 0,000511 12 8 3,1601563,164063 3,1621094 0,001953 -0,013412 -0,001064 0,000014 13 9 3,1621093,164063 3,1630859 0,000977 -0,001064 0,005113 -0,000005 14 10 3,1621093,163086 3,1625977 0,000488 -0,001064 0,002024 -0,000002 15 11 3,1621093,162598 3,1623535 0,000244 -0:001064 0,000480 -0,000001 16 12 3,1621093,162354 3,1622314 0,000122 -0,001064 -0,000292 0,000000 17 13 3,1622313,162354 3,1622925 0,000061 -0:000292 0,000094 0,000000 1É 14 3,1622313,162292 3,1622620 0,000031 -0,000292 -0,000099 0,000000 19 15 3,1622623,162292 3,1622772 0,000015 -0:000099 -0,000003 0,000000 20 16 3,1622773,162292 3,1622849 0,000008 -0,000003 0,000045 0,000000 21 17 3,1622773,162285 3,1622810 0,000004 -0,000003 0,000021 0,000000 22 18 3,1622773,162281 3,1622791 0,000002 -0,000003 0,000009 0,000000 22 19 3,1622773,162279 3,1622782 0,000001 -0,000003 0,000003 0,000000 24 20 3,1622773,162278 3,1622777 0,000000 -0,000003 0,000000 0,000000 25 21 3,1622773,162278 3,1622775 0,000000 -0,000003 -0,000001 0,000000 26 22 3,1622773,162278 3,1622776 0,000000 -0,000001 -0,000001 0,000000 27 23 3,1622783,162278 3,1622776 0,000000 -0:000001 0,000000 0,000000 26 24 3,1622783,162278 3,1622777 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 29 25 3,1622783,162278 3,1622777 0,000000 0:000000 0,000000 0,000000 30 26 3,1622783,162278 3,1622777 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 31 27 3,1622783,162278 3,1622777 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 32 28 3,1622783,162278 3,1622777 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 33 29 3,1622783,162278 3,1622777 0,000000 0:000000 0,000000 0,000000 x29 f(x29) 1 0 0 3,1622777 0 0 5. Calcule VlÕ com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com x29 . Comparando o valor com o valor obtido no excel temos que ambos representam a mesma quantidade, portanto temos um excelente aproximação para a raiz de f(x). No excel está apenas representado menos casas decimais da raiz, devido ao número de casas utilizadas para o arredondamento. ETAPA 3: Método de Newton 6. No Excel, isolando a raiz de f (x) = 2x - sen (x) + 4 num intervalo [a, b] (a e b inteiros) de comprimento 1, isto é, b - a = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: Dada a função f (x) = 2x - sen (x) + 4 temos que f ( x ) = 2 - cos (x), para encontrar as raízes, será utilizado x„+1 = xn - f(xn)/f(xn) . Aplicando o método gráfico para isolar as raízes. Considerando g (x) = 2x +4 e h(x) = sen(x), representando graficamente essas funções teremos uma reta crescente que corta o eixo do x em -2 em g(x) e a função seno em h(x), que geometricamente será dado por: Para encontrar o intervalo onde g(x) e h(x) se encontram podemos analisar que g(x) está sempre entre -1 e 1, como g(x) é uma reta que passa no ponto (-2,0), teríamos que as funções se cruzam em [-3,-2] ou [-2,-1], como no intervalo [-3,-0] a função h(x) é negativa, e em [-2,-1] g(x) é positiva descartamos a hipótese da raiz estar neste intervalo. Portanto a raíz está no intervalo [- 3, -2]. Como g(x) e h(x) são contínuas, temos que f(x) é contínua neste intervalo. Além disso temos: f (x) = 2x - sen (x) + 4 f (x) = 2 - cos (x) sempre positiva f'(x) = sin(x) negativa no intervalo [-3,-2] f(-3)f'(-3) = 0,26 ( x0 não pode ser o -3) f(- 2)fʼ(-2) = -0,83 ( x0 pode ser o -2) s (Tolerância) N° mínimo de iterações xn f(xn) 10-1 2 -2,354305393352 -0,000169474846 10-4 3 -2,354242758736 -0,000000001390 10-9 4 -2,354242758223 0,000000000514 7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função f(x) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é s < 10 -9 . ETAPA 4: Método da Iteração Linear 8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função f (x) = x 3 - cos(x) e x0 = 0,5 . Justificando sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração F(x) ? Aplicando o método gráfico para isolar as raízes. Considerando g(x) = x 3 e h(x) = cos(x), representando as funções geometricamente temos: Pelo gráfico sabemos que elas se cruzam na parte em que ambas coordenadas são positivas, além disso a função g(x) passa pelos pontos (0,0) e (1,1) e cresce para valores maiores do que 1, e a função h(x) está sempre entre -1 e 1 no eixo y, podemos perceber que elas se cruzam no intervalo [0,1]. Procedendo com a verificação das hipóteses do método da iteração linear, sabemos que a função f(x) de fato é contínua em [0,1] ( pois g(x) e h(x) são) e possui um zero neste intervalo. Encontrando a função interação temos f (x) = x3 - cos(x) = 0, devemos isolar um valor de x. x3 - cos(x) = 0 x3 = cos(x) Temos duas possibilidades x = $ cos(x) ou x = arc cos (x3) Consequentemente F(x) = $ cos(x) ou F(x) = arc cos (x3). Considerando F ( x ) = $ cos(x), temos no intervalo considerado, portanto temos a garantia da convergência. que será sempre menor do que 1 9. Sejam f (x) = x3 - cos(x), x0 = 0,5 e uma função de iteração F(x) convenientemente escolhida. No Excel, levando em consideração a sequência de raízes xn, complete a tabela abaixo: xn Raiz aproximada f(xn) TK Xl ü oL_L_LU x5 0,8667538751 0,8650399272 0,005068762479 xi5 0,8654740586 0,8654740244 0,0000001009455659 x18 0,8654740321 0,8654740334 0,000000003926832415 x32 0,8654740331 0,8654740331 0 10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função f(x) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas para a raiz encontrada (x32 ). Esboçando a função f(x) no Geogebra e encontrando a sua raiz, obtemos: Comparando o valor encontrado no Geogebra 0,87 e 0,8654740331 no excel. A função dada não é uma função fácil de encontrar a solução analiticamente, como no excel temos erros iguais a zero, temos a garantia do valor da raíz. VI. Avaliação do experimento ROTEIRO DE PRÁTICA LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 2. É imprescindível ter o roteiro da prá ca em mãos. 3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos u lizar recursos computacionais acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o so ware GeoGebra. IV. Obje vos de Aprendizagem B Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função, (cb Capstone) ■ Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. ■ Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. V. Experimento ETAPA 1: Método Gráfico 1. U lizando o Método Gráfico, determine a quan dade e os sinais das raízes da função: /(x) = x3 — 2x2 — 20x + 30. re Tema Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações Unidade 01 Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional Data da úl ma 03/02/2020 atualização I. Instruções e observações II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos Descrição Quan dade Roteiro da prá ca 1 Calculadora cien fica 1 Computador ou Notebook 1 III. Introdução O resultado apresentado no experimento denota 3 raizes apresentadas naplanilha a saber: [-5,-4] , [1,2] e [4,5] sendo a primeira nega va e a segunda e terceira posi vas, ou seja o eixo x estaria sendo tocado nesses 3 pontos do grafico. 2. Compare as respostas ob das no item anterior a par r da u lização do So ware GeoGebra x g(x) h(x) -10 -1200 -230 -9 -891 -210 -8 -640 -190 -7 -441 -170 -6 -288 -150 -5 -175 -130 -4 -96 -110 -3 -45 -90 -2 -16 -70 -1 -3 -50 0 0 -30 1 -1 -10 2 0 10 3 9 30 4 32 50 5 75 70 6 144 90 7 245 110 8 384 130 9 567 150 10 800 170 f ( x ) = a i x ) - h ( x ) 3 ( x ) 2 h (x) f(x) = x3 - 2x2 - 20x + 30 Azul g(x) = x3 - 2x2 Vermelho h(x) = 20x - 30 Verde ETAPA 2: Método da Bisseção 3. No Excel, sem u lizar a função "SE", aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (x4) aproximação da raiz posi va da função f(x) = x 2 — 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [a,b] (a e b naturais) de comprimento 1, isto é, b — a = 1. O cálculo apresenta Calculadora: VlÕ = 3,1622776602 E = 3,1622776602 —3,16227766033262 = -0,00000000013262 (-0,0000000042%) A correspondência é quase exata_________________________________________________ ETAPA 3: Método de Newton 6. No Excel, isolando a raiz de f(x) = 2x — sen(x) + 4 num intervalo [a, b] (a e b inteiros) de comprimento 1, isto é, b — a = 1 e u lizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função f(x) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é e < 10_9. E = -2,35424275882542 - (-2,3542427582235 )= -0,00000000060192 (0,000000025568%) x4 fM l*4 — *3I 3,15625 -0,0380859375 0,198242 4. Agora, fazendo uso da função "SE", calcule a trigésima (x29) aproximação da raiz. *29 / ( x 29 ) l*29 — *28 I 3,16227766033262 1,03875E-09 5,8902E-09 5. Calcule VlÕ com uma calculadora cien fica e compare o valor encontrado com x29. 8 (Tolerância) N° mínimo de iterações xn f(* n) 10- 1 5 (x4) -2,34375 0,02835 10-4 12 (xU) -2,354248046875 -0,000014309650 10“9 29 (x28) -2,35424275882542 -0,00000000163058 Raiz (-2.3542427582235, 0) f(x) = x3 — cos(x) x3- cos(x)=0 x3 = cos(x) x = ^cos(x) F(x) = ^cos(x) Convergente - 1 n / 1 Raiz (0.8654740331058, 0) ETAPA 4: Método da Iteração Linear 8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função f(x) = x 3 — cos(x) e x0 = 0,5. Jus ficando sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração F(x)? f(x) = x3 — cos(x) x3- cos(x)=0 x3 = cos(x) x = arcos(x3) F(x) = arcos(x3) Divergente Pois a equação não é con nua no intervalo. x0: arcos(0,5 3) = arcos(0,125) = 1,44 x1: arcos(1,44 3) = arcos(2,98) = impossível Cosseno varia entre -1 e 1, portanto não existe arcos(2,98). 9. Sejam f(x) = x 3 — cos(x), x 0 = 0,5 e uma função de iteração F(x) convenientemente escolhida. No Excel, levando em consideração a sequência de raízes x n , complete a tabela abaixo: 10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função f(x) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas para a raiz encontrada (x 32 ).______________________________________________________________________________ E = 0,865474033101614- 0,8654740331058 = -0,000000000004186 (-0,000000000483638%) x n Raiz aproximada f ( x n ) Erro (lx n — x n -il) x 5 0,866753875087241 0,00385523966289814 0,005068762 x 15 0,865474058648975 0,0000000768602201883795 0,00000010094556590623 X 18 0,865474032107809 -0,0000000029899004383438 0,00000000133053834616703 x 32 0,865474033101614 0,00000000000000000000000 0,000000000000000999200722162641 VI. Avaliação do experimento Encontrar a solução de uma equação pode ser um processo complicado, principalmente quando tentamos resolver de forma analí ca. Este é um dos mo vos que incen varam os matemá cos a criarem métodos diferenciados para a resolução de forma numérica. Existem vários métodos numéricos para a resolução de equações, os quais procuraram encontrar uma solução aproximada para o problema. O experimento demonstra que os métodos possuem eficácia na analise, porém também possuem erros e devem ser verificados atentamente na definição do processo. VII. Referências BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 2? Edição. São Paulo; Harbra, 1987 16/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 1/13 Usuário EVANDRO PEREIRA VASCONCELOS Curso GRA1593 CALCULO NUMERICO COMPUTACIONAL ENGPD203 - 202010.ead-4826.01 Teste ATIVIDADE 4 (A4) Iniciado 14/05/20 20:26 Enviado 16/05/20 17:24 Status Completada Resultado da tentativa 9 em 10 pontos Tempo decorrido 44 horas, 58 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: (Franco, 2013, adaptado) Sem utilizar a fórmula do erro de truncamento, aproxime pela regra dos trapézios composta, com 5 pontos distintos, o comprimento de arco da curva de a . Lembre-se que o comprimento de arco de uma curva genérica do ponto ao ponto é dada por Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 366. 2,99 2,99 Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 5 pontos distintos, temos Assim, arrumando e substituindo os pontos determinados a partir da lei da função do integrando, podemos calcular o valor de . 0 0 4,123105626 1 0,25 1,802775638 2 0,5 1,414213562 3 0,75 3,640054945 4 1 6,08276253 1 em 1 pontos 16/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 2/13 Pergunta 2 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Analise a figura abaixo que representa a fotografia de um lago com as medidas em quilômetros. Fonte: Décio Sperandio; João Teixeira Mendes; Luiz Henry Monken e Silva. Cálculo numérico, 2ª edição. São Paulo: Editora Pearson, 2014, p. 222 Calcule uma aproximação para a área localizada acima da reta horizontal, em quilômetros quadrados, por meio da regra dos trapézios composta utilizando todos os pontos possíveis nesta região. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 7 pontos distintos, encontramos a área solicitada. Assim, na parte superior, temos: Logo, arrumando e substituindo os pontos lidos na Figura, podemos calcular o valor de . 0 6 3 1 em 1 pontos 16/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 3/13 1 12 6 2 18 9 3 24 10 4 30 9 5 36 8 6 42 6 Pergunta 3 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Para Barroso (1987) uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de um rio nos pontos A e B. Para medir a área de um trecho entre o rio e a reta AB foram traçadas perpendiculares em relação a AB com um intervalo de 0,06 m. Usando os dados tabelados e a regra dos trapézios simples, calcule uma aproximação para a área da região compreendida entre as perpendiculares 6 e 7. Perpendiculares Comprimento (metros) 1 3,45 2 4,68 3 4,79 4 5,13 5 5,68 6 5,97 7 6,85 8 5,71 9 5,34 10 4,97 11 3,44 Referência: BARROSO, L. C. et al . Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987, p. 273. 0,38 metros quadrados 0,38 metros quadrados Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios simples, temos Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de metros quadrados. 1 em 1 pontos 16/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 4/13 0 0 5,97 1 0,06 6,85 Pergunta 4 RespostaSelecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Partindo do conhecimento adquirido por Barroso (1987) que afirma que a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de um certo corpo de massa de a é em que é o calor específico do corpo à temperatura . Considerando a tabela abaixo, calcule a quantidade de calor necessária para se elevar 20 kg de água de 0 °C a 100 °C. (°C) ( ) 0 999,9 10 999,7 20 998,2 30 995,5 40 992,5 50 988,2 60 983,2 70 977,8 80 971,8 90 965,6 100 958,4 Referência: BARROSO, L. C. et al . Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987, p. 272. 1970270 kcal 1970270 kcal Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta, com , temos que 1 em 1 pontos 16/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 5/13 Assim, arrumando e substituindo os pontos da tabela dada na questão, podemos calcular o valor de . 0 0 999,9 1 10 999,7 2 20 998,2 3 30 995,5 4 40 992,5 5 50 988,2 6 60 983,2 7 70 977,8 8 80 971,8 9 90 965,6 10 100 958,4 Consequentemente, kcal Pergunta 5 Barroso (1987) Usando a regra dos trapézios simples sobre os pontos necessários, calcule e marque a alternativa que representa o valor do trabalho realizado por um gás sendo aquecido segundo a tabela abaixo, em que é a pressão exercida pela gás e é o seu respectivo volume. ( ) 0,5 110 1,0 100 1,5 90 2,0 82 2,5 74 3,0 63 3,5 54 1 em 1 pontos 16/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 6/13 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: 4,0 38 4,5 32 5,0 22 Referência: BARROSO, L. C. et al . Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987, p. 274. 34,25 J 34,25 J Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios simples, temos Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de J. 0 2,5 74 1 3 63 Pergunta 6 (Décio Sperandio et al, 2014, p. 222, adaptado) A Figura representa a fotografia de um lago com as medidas em quilômetros. Calcule uma aproximação para a área localizada abaixo da reta horizontal, em quilômetros quadrados, por meio da regra dos trapézios composta utilizando todos os pontos possíveis nesta região. 1 em 1 pontos 16/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 7/13 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Referência: Décio Sperandio; João Teixeira Mendes; Luiz Henry Monken e Silva. Cálculo numérico, 2ª edição. São Paulo: Editora Pearson, 2014. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 5 pontos distintos, encontramos a área solicitada. Para a parte inferior, temos: Logo, arrumando e substituindo os pontos lidos na Figura, podemos calcular o valor de . 0 8 4 1 16 5 2 24 9 3 32 8 4 40 7 16/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 8/13 Pergunta 7 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Franco (2013) A seção reta de um veleiro está mostrada na Figura abaixo: Fonte: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 376. A força que o vento exerce sobre o mastro (devido às velas) varia conforme a altura (em metros) a partir do convés. Medidas experimentais constataram que a força resultante exercida sobre o mastro (em ) é dada pela equação: , Usando a regra dos trapézios composta, com 11 pontos distintos, desconsiderando a fórmula do erro de truncamento, calcule essa força resultante. Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013. 1,69 kN 1,69 kN Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 11 pontos distintos, temos 1 em 1 pontos 16/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 9/13 Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de kN. 0 0 0 1 1 0,163746151 2 2 0,223440015 3 3 0,235204987 4 4 0,224664482 5 5 0,204377467 6 6 0,180716527 7 7 0,156925341 8 8 0,134597679 9 9 0,114437692 10 10 0,096668059 Pergunta 8 Franco (2013) a seção reta de um veleiro está mostrada na Figura abaixo: 0 em 1 pontos 16/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 10/13 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Fonte: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 376. A força que o vento exerce sobre o mastro (devido às velas) varia conforme a altura (em metros) a partir do convés. Medidas experimentais constataram que a força resultante exercida sobre o mastro (em ) é dada pela equação: , Usando a regra dos trapézios composta, com 8 trapézios, desconsiderando a fórmula do erro de truncamento, calcule essa força resultante. Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013. 1,69 kN 1,67 kN Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 8 trapézios, temos Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de kN. 16/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 11/13 0 0 0 1 1,25 0,185428758 2 2,5 0,233281023 3 3,75 0,228564461 4 5 0,204377467 5 6,25 0,174698047 6 7,5 0,14551967 7 8,75 0,119256628 8 10 0,096668059 Pergunta 9 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Barroso (1987) Uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de um rio nos pontos A e B. Para medir a área de um trecho entre o rio e a reta AB foram traçadas perpendiculares em relação a AB com um intervalo de 0,04 m. Usando os dados tabelados e a regra dos trapézios composta, calcule uma aproximação para a área da região descrita. Perpendiculares Comprimento (metros) 1 3,37 2 4,43 3 4,65 4 5,12 5 4,98 6 3,61 7 3,85 8 4,71 9 5,25 10 3,86 11 3,22 Referência: BARROSO, L. C. et al . Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987, p. 273. 1,75 metros quadrados 1,75 metros quadrados 1 em 1 pontos 16/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 12/13 Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 11 pontos distintos, temos Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de metros quadrados. 0 0 3,37 1 0,04 4,43 2 0,08 4,65 3 0,12 5,12 4 0,16 4,98 5 0,2 3,61 6 0,24 3,85 7 0,28 4,71 8 0,32 5,25 9 0,36 3,86 10 0,4 3,22 Pergunta 10 Barroso (1987) Usando a regra dos trapézios composta sobre os pontos necessários, calcule e marque a alternativa que representa o valor do trabalho realizado por um gás sendo aquecido segundo a tabela abaixo, em que é a pressão exercida pela gás e é o seu respectivo volume. ( ) 0,5 110 1,0 100 1,5 90 2,0 82 1 em 1 pontos 16/05/2020 Blackboard Learn https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 13/13 Sábado, 16 de Maio de 2020 17h25min02s BRT Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: 2,5 74 3,0 63 3,5 54 4,0 38 4,5 32 5,0 22 Referência: BARROSO, L. C. et al . Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987, p. 274. 168,5 J 168,5 J Resposta correta. Aalternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 6 pontos distintos, temos Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de J. 0 1,5 90 1 2 82 2 2,5 74 3 3 63 4 3,5 54 5 4 38 10/10/2020 Revisar envio do teste: 20202 - PROVA N2 (A5) – CÁLCULO ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_37289621_1&course_id=_641501_1&content_id=_143430… 1/6 Revisar envio do teste: 20202 - PROVA N2 (A5)CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL (ON) - 202020.01286.01 Prova N2 Revisar envio do teste: 20202 - PROVA N2 (A5) Usuário Curso CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL (ON) - 202020.01286.01 Teste 20202 - PROVA N2 (A5) Iniciado 05/10/20 15:14 Enviado 05/10/20 16:16 Status Completada Resultado da tentativa 8 em 10 pontos Tempo decorrido 1 hora, 2 minutos Instruções Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Caso necessite a utilização do "EXCEL" clique no link ao lado -----------> excel.xlsx Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Um dos métodos numéricos utilizados para determinação das raízes de uma função qualquer é o método da iteração linear. Considere , em que . Assim, a partir do uso do método linear e considerando a sequência de raízes , calcule o . Assinale a alternativa correta. 2,13980919. 2,13977838. Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função de iteração , encontramos , conforme podemos verificar na tabela a seguir: 0 2 1 2,13198295 0,131982947 2 2,13931949 0,007336548 3 2,13977838 0,000458881 Pergunta 2 Resposta Selecionada: Resposta Correta: O Problema da embalagem - Uma fábrica de alimentos deseja confeccionar uma embalagem para uma bebida para exportação. A embalagem deve ser um veículo em formato de paralelepípedo que possui as seguintes proporções: em que x, y e z são as dimensões da embalagem. Para manter a proporção, a dimensão z deve ser uma soma de um múltiplo da dimensão x com 1, pois a empresa precisa deixar uma parte da embalagem reservada para informações do produto que são exigidas por lei. Além disso, a empresa deseja que o volume da embalagem seja igual a 500 ml, ou seja, 500 . Diante da situação apresentada e utilizando o método da bisseção com uma tolerância , determine quais devem ser as dimensões da embalagem. Use: . Assinale a alternativa correta: x=4,7 cm, y=7 cm e z=15,1 cm. x=4,7 cm, y=7 cm e z=15,1 cm. 0 em 1 pontos 1 em 1 pontos http://anhembi.blackboard.com/ https://anhembi.blackboard.com/webapps/blackboard/execute/courseMain?course_id=_641501_1 https://anhembi.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_641501_1&content_id=_14343057_1&mode=reset https://anhembi.blackboard.com/bbcswebdav/pid-14343091-dt-content-rid-84766551_1/xid-84766551_1 https://anhembi.blackboard.com/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_365_1 https://anhembi.blackboard.com/webapps/login/?action=logout 10/10/2020 Revisar envio do teste: 20202 - PROVA N2 (A5) – CÁLCULO ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_37289621_1&course_id=_641501_1&content_id=_143430… 2/6 Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao aplicarmos o método da bisseção, determinamos que satisfaz a tolerância informada, conforme podemos visualizar na tabela: n (-) (+) 0 4,5 5 4,75 32,234375 -119,125 200 1 4,5 4,75 4,625 -45,443359 0,125 y z 2 4,625 4,75 4,6875 -7,1105957 0,0625 7,04296875 15,0859375 3 4,6875 4,75 4,71875 12,4345398 0,03125 V 4 4,6875 4,71875 4,703125 2,63023758 0,015625 498,87595 5 4,6875 4,703125 4,6953125 -2,2480998 0,0078125 Pergunta 3 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: (Franco, 2013, adaptado) Sem utilizar a fórmula do erro de truncamento, aproxime pela regra dos trapézios composta, com 6 pontos distintos, o comprimento de arco da curva de a . Lembre-se que o comprimento de arco de uma curva genérica do ponto ao ponto é dada por Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 366. 11,05 11,05 Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 6 pontos distintos, temos Assim, arrumando e substituindo os pontos determinados a partir da lei da função do integrando, podemos calcular o valor de . 0 1 6,08276253 1 1,2 8,062257748 2 1,4 10,04987562 3 1,6 12,04159458 4 1,8 14,03566885 5 2 16,03121954 Pergunta 4 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Antes de aplicarmos o método de Newton para refinamento das raízes de uma função, devemos realizar o isolamento das raízes por meio do método gráfico. Nesse sentido, suponha que esse trabalho inicial foi realizado e determinamos que . Dessa forma, considere a função e uma tolerância . Ao utilizarmos o método de Newton, assinale a alternativa que corresponde ao número mínimo de iterações necessárias para encontrarmos uma raiz pertencente ao intervalo . 5. 5. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função , verificamos que o número mínimo de iterações com a tolerância e intervalos dados é igual a 5, conforme tabela a seguir: 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 10/10/2020 Revisar envio do teste: 20202 - PROVA N2 (A5) – CÁLCULO ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_37289621_1&course_id=_641501_1&content_id=_143430… 3/6 0 0,1 -2,2025851 11 1 0,30023501 -0,9029547 4,33072417 0,20023501 2 0,50873472 -0,1670939 2,965661 0,20849971 3 0,56507759 -0,0057146 2,76966848 0,05634287 4 0,56714088 -6,65E-06 2,76323032 0,00206329 5 0,56714329 -9,003E-12 2,76322283 2,4066E-06 Pergunta 5 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Em geral, utilizamos as técnicas de interpolação numérica quando não dispomos da lei de uma função ou quando a lei apresenta dificuldades acentuadas para o cômputo dos valores. Um exemplo que ilustra essas afirmações é o seguinte: a integral elíptica completa é definida por Por uma tabela de valores dessa integral, encontramos e Usando interpolação linear, determine o polinômio interpolador que aproxima essa função no intervalo dado. FRANCO, N. M. B. Cálculo numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2006. p. 294. Resposta correta. A alternativa está correta, pois, aplicando a interpolação linear para os dois pontos fornecidos, encontramos e e, consequentemente, o polinômio interpolador é igual a . Pergunta 6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Na tabela abaixo, é a distância, em metros, que uma bala percorre ao longo do cano de um canhão em segundos. Determine a distância percorrida pela bala 1,2 segundos após ter sido disparada, usando todos os dados abaixo. Na sequência, assinale a alternativa correta. (s) 0,5 1 1,5 2 (m) 0,049 0,070 0,087 0,103 Fonte: Adaptada de Barroso et al . (1987). BARROSO, L. C. et al . Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987. 0,077. 0,077. Resposta correta. A alternativa está correta, pois, partindo da fórmula de Lagrange para os quatro pontos fornecidos, temos: 0 0,5 0,049 1 1 0,07 2 1,5 0,087 3 2 0,103 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 10/10/2020 Revisar envio do teste: 20202 - PROVA N2 (A5) – CÁLCULO ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_37289621_1&course_id=_641501_1&content_id=_143430… 4/6 Assim, podemos substituir os valores de , , i=0,1,2,3, e calcular o valor de diretamente: . Pergunta 7 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: (Franco, 2013, adaptado) Sem utilizar a fórmula do erro de truncamento, aproxime pela regra dos trapézios composta, com 5 pontos distintos,o comprimento de arco da curva de a . Lembre-se que o comprimento de arco de uma curva genérica do ponto ao ponto é dada por Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 366. 2,99 2,99 Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 5 pontos distintos, temos Assim, arrumando e substituindo os pontos determinados a partir da lei da função do integrando, podemos calcular o valor de . 0 0 4,123105626 1 0,25 1,802775638 2 0,5 1,414213562 3 0,75 3,640054945 4 1 6,08276253 Pergunta 8 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Em problemas de fluxo em tubulações, precisamos resolver a seguinte equação: Se , e , usando o método da iteração linear, calcule a raiz da equação dada, com uma tolerância e o menor número possível de iterações. Para isso, isole a raiz num intervalo de comprimento 1, ou seja, ( e inteiros) e . FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico . São Paulo: Pearson, 2006. Assinale a alternativa correta. -0,3996868. -0,3996868. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função , encontramos , conforme a tabela a seguir: 0 -1 1 -0,4128918 0,587108208 2 -0,3999897 0,012902141 3 -0,3996868 0,000302884 Pergunta 9 Mesmo que utilizemos um computador para conduzir alguns cálculos, somos guiados a utilizar uma aritmética de precisão finita, isto é, apenas podemos ter em consideração um número finito de dígitos. A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. Nas calculadoras científicas não ocorrem os chamados erros de arredondamento. 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 0 em 1 pontos 10/10/2020 Revisar envio do teste: 20202 - PROVA N2 (A5) – CÁLCULO ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_37289621_1&course_id=_641501_1&content_id=_143430… 5/6 Sábado, 10 de Outubro de 2020 11h13min44s BRT Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Pois: II. As calculadoras científicas podem representar quaisquer números reais. A seguir, assinale a alternativa correta: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. As asserções I e II são proposições falsas. Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois as duas proposições apresentadas são falsas. Sabemos que, nas calculadoras científicas, também ocorrem os denominados erros de arredondamento, pois elas não podem representar quaisquer números reais. Pergunta 10 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Uma aplicação dos métodos numéricos é o cálculo de raízes de funções. Ao utilizar o método da bisseção, calcule a quinta ( ) aproximação da raiz positiva da função . Para tanto, isole a raiz em um intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, . Note que, ao determinar a raiz positiva da função dada, você estará calculando uma aproximação para a raiz quadrada de 10. Assinale a alternativa correta: 3,15625. 3,15625. Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao aplicarmos o método da bisseção, podemos calcular : n (-) (+) 0 3 4 3,5 2,25 1 3 3,5 3,25 0,5625 0,25 2 3 3,25 3,125 -0,234375 0,125 3 3,125 3,25 3,1875 0,16015625 0,0625 4 3,125 3,1875 3,15625 -0,0380859 0,03125 ← OK 1 em 1 pontos javascript:launch('/webapps/gradebook/do/student/viewAttempts?course_id=_641501_1&method=list&nolaunch_after_review=true'); 01/06/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1593 ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_32975142_1&course_id=_561560_1&content_id=_131731… 1/6 Usuário Curso GRA1593 CALCULO NUMERICO COMPUTACIONAL ENGPD203 - 202010.ead-4826.01 Teste ATIVIDADE 2 (A2) Iniciado 11/05/20 08:25 Enviado 26/05/20 22:41 Status Completada Resultado da tentativa 10 em 10 pontos Tempo decorrido 374 horas, 15 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Quando desejamos determinar a raiz de uma função com precisão elevada, podemos utilizar o método de Newton. Sendo assim, considere a função e uma tolerância . Utilizando o método de Newton, calcule qual o número mínimo de iterações necessárias para encontrar uma raiz pertencente ao intervalo [2,7;3,3]. Assinale a alternativa correta. 3. 3. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função , percebemos que o número mínimo de iterações é igual a 3, conforme tabela a seguir: 0 3,3 1,60892373 6,52810763 1 3,05353903 0,06096316 6,03339181 0,24646097 2 3,04343474 0,00010247 6,01310873 0,01010429 3 3,0434177 2,9149E-10 6,01307452 1,7042E-05 Pergunta 2 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Antes de aplicarmos o método de Newton para refinamento das raízes de uma função, devemos realizar o isolamento das raízes por meio do método gráfico. Nesse sentido, suponha que esse trabalho inicial foi realizado e determinamos que . Dessa forma, considere a função e uma tolerância . Ao utilizarmos o método de Newton, assinale a alternativa que corresponde ao número mínimo de iterações necessárias para encontrarmos uma raiz pertencente ao intervalo . 5. 5. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função , verificamos que o número mínimo de iterações com a tolerância e intervalos dados é igual a 5, conforme tabela a seguir: 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 01/06/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1593 ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_32975142_1&course_id=_561560_1&content_id=_131731… 2/6 0 0,1 -2,2025851 11 1 0,30023501 -0,9029547 4,33072417 0,20023501 2 0,50873472 -0,1670939 2,965661 0,20849971 3 0,56507759 -0,0057146 2,76966848 0,05634287 4 0,56714088 -6,65E-06 2,76323032 0,00206329 5 0,56714329 -9,003E-12 2,76322283 2,4066E-06 Pergunta 3 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Em problemas de fluxo em tubulações, precisamos resolver a seguinte equação: Se , e , usando o método da iteração linear, calcule a raiz da equação dada, com uma tolerância e o menor número possível de iterações. Para isso, isole a raiz num intervalo de comprimento 1, ou seja, ( e inteiros) e . FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico . São Paulo: Pearson, 2006. Assinale a alternativa correta. -0,3996868. -0,3996868. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função , encontramos , conforme a tabela a seguir: 0 -1 1 -0,4128918 0,587108208 2 -0,3999897 0,012902141 3 -0,3996868 0,000302884 Pergunta 4 Resposta Selecionada: Resposta Correta: O método da iteração linear, também conhecido como método do ponto fixo, é um forte aliado na determinação de raízes de funções por meio de métodos numéricos. Considerado a função , e uma função de iteração convenientemente escolhida. E, considerando a sequência de raízes , calcule o da função. Assinale a alternativa correta. 2,13981054. 2,13981054. 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 01/06/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1593 ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_32975142_1&course_id=_561560_1&content_id=_131731… 3/6 Feedback da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função , encontramos , conforme a tabela a seguir: 0 3 1 2,22023422 0,779765779 2 2,14517787 0,075056356 3 2,14014854 0,005029329 4 2,13983056 0,000317979 5 2,13981054 2,00222E-05 Pergunta 5 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Um dos métodos numéricosutilizados para determinação das raízes de uma função qualquer é o método da iteração linear. Considere , em que . Assim, a partir do uso do método linear e considerando a sequência de raízes , calcule o . Assinale a alternativa correta. 2,13977838. 2,13977838. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função de iteração , encontramos , conforme podemos verificar na tabela a seguir: 0 2 1 2,13198295 0,131982947 2 2,13931949 0,007336548 3 2,13977838 0,000458881 Pergunta 6 Uma fábrica de alimentos deseja confeccionar uma embalagem para uma bebida para exportação. A embalagem deve ser um veículo em formato de paralelepípedo que possui as seguintes proporções: 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 01/06/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1593 ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_32975142_1&course_id=_561560_1&content_id=_131731… 4/6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Em que x, y e z são as dimensões da embalagem. Para manter a proporção, a dimensão z deve ser uma soma de um múltiplo da dimensão x com 1, pois a empresa precisa deixar uma parte da embalagem reservada para informações do produto que são exigidas por lei. Além disso, a empresa deseja que o volume da embalagem seja igual a 500 ml, ou seja, 500 . Diante da situação apresentada e utilizando o método de Newton, considerando a tolerância e o menor número possível de iterações, determine a dimensão x da embalagem, usando como intervalo inicial que contém a raiz. Assinale a alternativa correta. . . Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton na função , determinamos que , conforme a seguinte tabela: 0 5 200 705 1 4,71631206 10,9006033 628,875057 0,28368794 2 4,69897856 0,03911392 624,364658 0,0173335 3 4,69891591 5,0968E-07 624,348386 6,2646E-05 Pergunta 7 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Uma aplicação dos métodos numéricos é o cálculo de raízes de funções/equações. Ao utilizar o método de Newton, calcule a quarta ( ) aproximação da raiz positiva da função . Para isso, isole a raiz em um intervalo ( e naturais) e de comprimento 1, isto é, . Note que, ao determinar a raiz positiva da função dada, você estará calculando uma aproximação para a raiz cúbica de 10. Assinale a alternativa correta. . . Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton na função , podemos determinar a aproximação da raiz cúbica de 10, ou seja, . 0 3 17 27 1 2,37037037 3,31829498 16,8559671 0,62962963 2 2,17350863 0,26795858 14,1724193 0,19686174 1 em 1 pontos 01/06/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1593 ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_32975142_1&course_id=_561560_1&content_id=_131731… 5/6 3 2,15460159 0,00232418 13,926924 0,01890705 4 2,1544347 1,8001E-07 13,9247667 0,00016688 Pergunta 8 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Um dos métodos numéricos usado na resolução de equações/funções é o método da iteração linear, também conhecido como método do ponto fixo. A partir da utilização do método citado, calcule em relação à sequência de raízes aproximadas da raiz da função no intervalo de . Para tanto, faça e escolha uma função de iteração apropriada. Assinale a alternativa correta. 0,006486. 0,006486. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função de iteração igual a , obtemos , como podemos verificar na tabela a seguir: 0 -0,2 1 -0,6440364 0,444036421 2 -0,5893074 0,054728994 3 -0,5957933 0,006485872 Pergunta 9 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: O número de bilhões de indivíduos de determinada bactéria poluente está decaindo em função do tempo t (a partir de t=0), em um lago por intermédio da função . Aplique o método de Newton com uma tolerância e o menor número possível de iterações para estimar o tempo necessário que a quantidade de bactérias seja reduzida para 5 bilhões de indivíduos. Assinale a alternativa correta. 2,12967481. 2,12967481. Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao aplicarmos o método de Newton à equação , determinamos que satisfaz a tolerância informada, conforme a tabela a seguir: 0 2 0,636864727 -5,3890249 1 2,1181781 0,05174436 -4,5384018 0,1181781 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 01/06/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1593 ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_32975142_1&course_id=_561560_1&content_id=_131731… 6/6 2 2,12957955 0,000425232 -4,4640208 0,01140145 3 2,12967481 2,93452E-08 -4,4634047 9,5258E-05 Pergunta 10 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Um dos métodos mais robustos para resolução de equações é o método de Newton, uma vez que ele exige um grande conhecimento das derivadas da função. Assim, utilizando o método de Newton para a função , e sabendo que a raiz . Assinale a alternativa que indica qual o valor de . -1,0298665. -1,0298665. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função , podemos verificar, por meio da tabela seguir, que . 0 -1,4 -1,0600657 2,97089946 1 -1,0431836 -0,0362392 2,72802289 0,35681642 2 -1,0298995 -8,952E-05 2,7144945 0,01328407 3 -1,0298665 -5,6E-10 2,71446054 3,2978E-05 1 em 1 pontos 01/06/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4) – GRA1593 ... https://anhembi.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_33963897_1&course_id=_561560_1&content_id=_131731… 1/6 Usuário Curso GRA1593 CALCULO NUMERICO COMPUTACIONAL ENGPD203 - 202010.ead-4826.01 Teste ATIVIDADE 4 (A4) Iniciado 26/05/20 22:44 Enviado 01/06/20 19:13 Status Completada Resultado da tentativa 10 em 10 pontos Tempo decorrido 140 horas, 29 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: (Franco, 2013, adaptado) Sem utilizar a fórmula do erro de truncamento, aproxime pela regra dos trapézios composta, com 5 pontos distintos, o comprimento de arco da curva de a . Lembre-se que o comprimento de arco de uma curva genérica do ponto ao ponto é dada por Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 366. 2,99 2,99 Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 5 pontos distintos, temos Assim, arrumando e substituindo os pontos determinados a partir da lei da função do integrando, podemos calcular o valor de . 0 0 4,123105626 1 0,25 1,802775638 2 0,5 1,414213562 3 0,75 3,640054945 4 1 6,08276253 Pergunta 2 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Feedback da resposta: Franco (2013) Uma aproximação para a velocidade em função do tempo de um paraquedista em queda livre na atmosfera é dada pela equação: em que é a aceleração da gravidade (9,8 ), é a massa do paraquedista (75 kg), é o coeficiente de arrasto (13,4 ) e é o tempo (em ) a partir do início da queda. Suponha que o paraquedista salte de uma altura de 3500 metros. Sabe-se que o espaço percorrido por ele entre os instantes de tempo e é dado por: , A partir da regra dos trapézios composta, com 6 pontos distintos, desconsiderando a fórmula do erro de truncamento, calcule o espaço percorrido pelo paraquedista entre os instantes e . Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 373. 19,71 metros 19,71 metros Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 6 pontos distintos, temos Assim, arrumando e substituindo os pontos obtidos através da lei da função, podemos calcular o valor
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