FUNÇÕES E TAXA DE VARIAÇÃO

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TP3 - Matemática nas Formas Geométricas e na Ecologia - Parte I
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Seção 2
Construção do conhecimento matemático em ação:
funções crescentes, decrescentes e taxa de variação
Ao final desta seção, você deverá ser capaz de:
• Representar graficamente a interdependência entre duas variáveis.
• Interpretar informação a respeito de interdependência entre duas variáveis por meio de
três representações diferentes: gráficos, tabelas e fórmulas.
• Analisar a dinâmica da variação interdependente entre duas variáveis: crescimento,
decrescimento e quão rápido se dá essa variação.
• Observar variações na taxa média de crescimento ou decrescimento de uma variável
em relação a outra, relacionando representações numéricas dessas variações a represen-
tações gráficas, e vice-versa.
• Calcular a taxa média de variação de uma variável em relação a outra.
• Calcular a porcentagem de variação de uma variável em relação a outra.
• Determinar a unidade de medida de uma grandeza que seja razão entre duas outras
grandezas.
Objetivo
da seção
Revendo seus conceitos: gráficos de funções
Na situação-problema “Seqüestro
de carbono”, temos vários exem-
plos de grandezas que são função
uma da outra.
Funções podem ser represen-
tadas de várias formas: tabelas, grá-
ficos, diagramas, um conjunto de pa-
res ordenados.
A representação de funções por
meio de gráficos nos dá uma idéia mais
dinâmica de como a variável depen-
dente se comporta conforme a variá-
vel independente aumenta de valor.
Por exemplo, em um gráfico como o gráfico 1, conforme acompanhamos a variável
independente x crescer no eixo horizontal da esquerda para a direita, a variável depen-
dente y também cresce, assumindo valores mais altos no eixo vertical. (Você já sabe que
em casos como este diz-se que a função é crescente.)
Gráfico 1
Velocidade de crescimento
U
ni
da
de
 1
2
191
Já no gráfico 2, conforme
acompanhamos a variável indepen-
dente x crescer no eixo horizontal
da esquerda para a direita, a variá-
vel dependente y decresce, assu-
mindo valores mais baixos no eixo
vertical. (A função é decrescente.)
Gráfico 2
No gráfico 3, conforme acom-
panhamos com os olhos a va-
riável independente x crescer
no eixo horizontal da esquer-
da para a direita, vemos que
a variável dependente y con-
tinua sempre com o mesmo
valor. (A função é constante.)
Gráfico 3
Outros gráficos são uma combinação desses tipos de variação conjunta. Conforme
a variável independente cresce, a variável dependente pode crescer em alguns interva-
los, ficar constante em outros ou decrescer em outros.
Atividade 3
Os gráficos da figura 1 mostram a variação da distância a que João se encontra de casa
em um instante t. Leia as três situações seguintes e faça cada uma corresponder a um
gráfico da figura 1.
1) De manhã eu saio de casa para o trabalho. Volto ao meio-dia para almoçar com a
família, e à tarde vou para o trabalho de novo.
2) Todos os dias eu ando até meu trabalho. Só paro na banca para comprar o jornal e na
padaria para tomar um café.
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3) Eu vou de carro para o trabalho, todos os dias. Antes de chegar à estrada principal,
não há muito trânsito, então eu posso correr um pouco. Mas na via principal eu sempre
pego um engarrafamento até meu trabalho.
i) iii)
ii)
Figura 1
Crescendo cada vez mais rápido,
cada vez mais devagar, ou a um ritmo constante?
Observe os gráficos da figura 2. Em ambos os gráficos, y cresce à medida que x cresce.
As duas funções são crescentes.
Mas elas estão crescendo cada vez mais rápido, cada vez mais devagar, ou a um
ritmo constante?
Figura 2
Velocidade de crescimento
U
ni
da
de
 1
2
193
Vemos na figura 3 que quando x cresce intervalos iguais (de a a b, ou de c a d, ou
de e a f), o crescimento sofrido por y é diferente. O crescimento de y está ficando menor
à medida que x cresce. Ou seja, y está sempre crescendo, mas cada vez mais devagar.
Figura 3
Já na figura 4 vemos que, à medida que x cresce, o crescimento sofrido por y vai
ficando cada vez maior. Ou seja, y está sempre crescendo, e cada vez mais rápido.
Figura 4
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E se o crescimento for sempre no mesmo ritmo? Variações iguais de x ocasionam
variações iguais de y, como na figura 5. Como já vimos na Unidade 8 do TP 2, o
crescimento é linear nesse caso, e a representação é uma reta.
Figura 5
Vamos examinar isso numericamente, com tabelas de valores para as variáveis
independente e dependente.
Vamos considerar três funções diferentes, h(t), g(t) e k(t).
A tabela 1 nos dá os valores de h(t) para os valores inteiros de t de 1 a 6. Na terceira
coluna, começamos a calcular a variação que h(t) sofreu quando t variou 1 unidade, da
linha anterior até a linha em questão. Termine de preencher essa última coluna.
t
1
2
3
4
5
6
h(t)
10
20
29
37
44
50
variação de h(t)
(de t=1 a t=2) 10
(de t=2 a t=3)
(de t=3 a t=4)
(de t=4 a t=5)
(de t=5 a t=6)
Tabela 1
Faça o mesmo na tabela 2, com os valores de g(t) (Calcule a variação de g(t) de uma
linha para outra.)
Velocidade de crescimento
U
ni
da
de
 1
2
195
Finalmente, faça o mesmo na tabela 3, como os valores de k(t) (Calcule a variação
de k(t) de uma linha para outra.)
t
1
2
3
4
5
6
g(t)
23
24
26
29
33
38
variação de g(t)
(de t=1 a t=2) 1
(de t=2 a t=3)
(de t=3 a t=4)
(de t=4 a t=5)
(de t=5 a t=6)
Tabela 2
t
1
2
3
4
5
6
k(t)
2,2
2,5
2,8
3,1
3,4
3,7
variação de k(t)
(de t=1 a t=2) 0,3
(de t=2 a t=3)
(de t=3 a t=4)
(de t=4 a t=5)
(de t=5 a t=6)
Tabela 3
Vemos que, à medida que t cresce, h(t), g(t) e k(t) crescem.
Mas, conforme t cresce, h(t) cresce cada vez mais rápido ou cresce cada vez mais
devagar?
E g(t), cresce cada vez mais rápido ou cada vez mais devagar?
O que você diria a respeito de k(t)?
Os gráficos de funções nos dizem muitas coisas sobre a interdependência entre
duas variáveis: os intervalos nos quais ela é crescente, decrescente ou constante, e
também quão rápido ou quão devagar a variável independente faz a variável depen-
dente mudar. Se o eixo contiver valores, podemos também ver os valores que a
variável dependente assume para certos valores da variável independente.
Atividade 4
Relacione as curvas de gráfico da figura 6 às funções representadas nas tabe-
las 4, 5 e 6.
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Tabela 4
x
0
1
2
3
4
5
f(x)
2
4
6
8
10
12
Tabela 5
x
0
1
2
3
4
5
f(x)
2
10
15
18
20
21
Atividade 5
Relacione as curvas de gráfico da figura 7 às funções representadas nas tabe-
las 7, 8 e 9.
Tabela 6
x
0
1
2
3
4
5
f(x)
20
25
35
52
75
100
Figura 6
a) b)
c)
Velocidade de crescimento
U
ni
da
de
 1
2
197
Figura 7
Tabela 7
x
0
1
2
3
4
5
f(x)
30
25
18
10
0
-12
Tabela 9
x
0
1
2
3
4
5
f(x)
20
25
35
52
75
100
Tabela 8
x
0
1
2
3
4
5
f(x)
75
73
71
69
67
65
a)
c)
b)
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Atividade 6
Para responder aos itens 1, 2 e 3, refira-se aos gráficos da figura 8.
1) Hoje saí de casa para o trabalho tranqüilo, dirigindo devagar. Quando percebi
que estava atrasado, aumentei a velocidade. Qual é o gráfico da distância em que eu me
encontrava da minha casa em função do tempo?
2) Quando digito algum trabalho, conforme vou me aquecendo, vou aumentan-
do minha velocidade de digitação. Depois de uma hora eu canso, e minha velocida-
de de digitaçãovai diminuindo. Qual é o gráfico do número de letras digitadas em
função do tempo?
3) Quando digito algum trabalho, conforme vou me aquecendo, vou aumentando
minha velocidade de digitação. Depois de uma hora eu canso, e minha velocidade de
digitação vai diminuindo. Qual é o gráfico da minha velocidade de digitação em função
do tempo?
Atividade 7
Esboce um gráfico para representar a seguinte constatação:
“O efeito estufa começou a aumentar vagarosamente de início, e agora cresce cada
vez mais rápido”.
Figura 8
a)
c)
b)