Relatório - pêndulo físico

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Universidade Federal de Campina Grande – UFCG 
Centro de Tecnologia e Recursos Naturais – CTRN 
Unidade Acadêmica de Engenharia Civil – UAEC 
Laboratório de Física Experimental I 
Campus Bodocongó – CEP: 58109-970 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPERIMENTO 09: PÊNDULO FÍSICO 
 
Relatório Apresentado à Disciplina de Física 
Experimental I da Unidade Acadêmica de 
Engenharia Civil do CTRN da UFCG como 
requisito básico para aprovação na citada 
disciplina. 
 
 
 
 
 
Autor: Rian Campos Almeida - 122110665 
 
 
 
 
 
rian.campos@estudante.ufcg.edu.br 
Campina Grande – PB, de 01 outubro de 2023. 
 
 
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Experimento 09: Pêndulo Físico 
 
Autor: Rian Campos Almeida 
Unidade Acadêmica de Engenharia Civil, Centro de Tecnologia e Recursos Naturais, Universidade Federal 
de Campina Grande, Bodocongó, 58109-970, Campina Grande – PB 
 
Resumo: Os pêndulos físicos desempenham um papel fundamental na física, permitindo 
a investigação de conceitos como conservação de energia e momento de inércia. Eles têm 
aplicações práticas, como medição do tempo em relógios. Este estudo visa determinar o 
momento de inércia de uma haste delgada em um pêndulo, combinando experimentação 
e análise teórica para prever seu período de oscilação. A comparação entre resultados 
teóricos e experimentais revelará informações importantes sobre as propriedades da haste 
e sua influência no movimento oscilatório do pêndulo. 
 
 
Palavras chave: Pêndulo. Físico. Inércia 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Os pêndulos físicos têm desempenhado um papel crucial na história da física 
e na compreensão das leis do movimento. Eles são sistemas mecânicos simples, mas 
extremamente valiosos, que nos permitem estudar conceitos fundamentais, como a 
conservação de energia e o momento de inércia. Além disso, a análise de pêndulos 
físicos desempenha um papel crucial em uma ampla variedade de aplicações práticas, 
desde a medição de tempo em relógios mecânicos até a análise de oscilações em 
sistemas complexos, como pontes suspensas. 
Neste contexto, o presente trabalho tem como objetivo determinar o momento 
de inércia de uma haste delgada utilizada como elemento oscilante em um pêndulo 
físico. Para alcançar esse objetivo, será realizado um estudo experimental, 
acompanhado por uma análise teórica que nos permitirá prever o período de oscilação 
do pêndulo. A comparação entre os resultados teóricos e experimentais nos 
proporcionará insights valiosos sobre as propriedades físicas da haste delgada e sua 
relação com o movimento oscilatório do pêndulo. 
 
3 
 
 
 
1.1. OBJETIVOS GERAIS 
 
O objetivo deste experimento consiste em medir o período de oscilação de um 
pêndulo físico, no qual uma haste delgada é utilizada como elemento oscilante. Para 
isso, realizaremos uma análise teórica que nos permitirá prever o período de oscilação 
desse pêndulo. Em seguida, compararemos os resultados obtidos experimentalmente 
com as previsões teóricas para determinar o momento de inércia da haste delgada em 
relação ao eixo em torno do qual ocorrem as oscilações. 
 
2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
2.1 MATERIAIS 
 Materiais utilizados no experimento de pêndulo físico: 
• Corpo Básico; 
• Armadores; 
• Manivela; 
• Pêndulo Físico; 
• Suporte para Pêndulo Físico; 
• Balança; 
• Conjunto de Massas Padronizadas; 
• Escala Milimetrada; 
• Cronômetro; 
• cordão e alfinete; 
 
Figura 1 – Materiais utilizados no experimento de pêndulo físico 
 
(Fonte: própria) 
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2.2 PROCEDIMENTOS 
 
Inicialmente, as massas da mola e da bandeja foram medidas na balança do 
laboratório e os valores obtidos foram anotados. Em seguida, identificou-se a mola a 
ser estudada e esta foi pendurada no gancho central da Lingueta Graduada. Na 
extremidade livre da mola, foi colocada a Bandeja com uma massa de 50g, a fim de 
garantir a Lei de Hooke. Uma massa de 20 g foi adicionada à bandeja e abandonou-
se o conjunto na posição de equilíbrio. Foi dado um pequeno impulso vertical à 
bandeja, de modo que o sistema passasse a oscilar nessa direção, garantindo que as 
espiras da mola não se tocassem em nenhum momento durante as oscilações. 
O intervalo de tempo gasto para que o sistema massa-mola completasse dez 
oscilações foi medido. Para evitar confusões, o cronômetro foi acionado na contagem 
zero e pausado na contagem dez. O intervalo de tempo medido foi dividido por dez, 
resultando no período T das oscilações do sistema massa-mola. O período T foi 
registrado na Tabela I, correspondendo ao valor da massa adicionada sobre a bandeja. 
Foram acrescentadas massas à bandeja em incrementos de 20g e os passos 
mencionados foram repetidos até que a Tabela I fosse preenchida completamente. 
 
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
Após a realização dos procedimentos, obteve-se os seguintes resultados e, para 
uma melhor conclusão, foram realizadas discussões acerca destes: 
Massa do pêndulo m = 40,54g 
Distância (ponto de apoio/centro de massa) L = 30,7cm 
 
TABELA I 
 
 
Diagrama de corpo livre para o pêndulo físico em uma posição angular 𝜃 qualquer em 
relação ao ponto de equilíbrio. 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
T (s) 1,306 1,287 1,358 1,357 1,383 1,347 1,345 1,341 1,331 
5 
 
 
 
 
 
Aplicando-se a segunda Lei de Newton ao movimento harmônico do corpo rígido, 
obtemos: 
∑ 𝑚0 = 𝐼 ⋅ 𝛼 
−𝑚𝑔 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝐼 ⋅
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 
−𝑚𝑔 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐼
=
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+
𝑚𝑔 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐼
= 0 
 
 Como o ângulo usado na experiência é tal que 𝜃𝑀𝐴𝑋 < 15º, consideramos o 
𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃, e reescrevendo a expressão obtida acima, ficamos com: 
 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+
𝑚𝑔⋅𝐿
𝐼
𝜃 = 0, 
 
que é equação do movimento harmônico simples. 
 
 Resolvemos a equação diferencial acima, encontramos o seguinte resultado: 
 
𝜃 = 𝜃0 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡 + 𝜑), 
 
onde 𝜃0 é o deslocamento angular máximo (𝜃𝑀𝐴𝑋) com relação à posição de equilíbrio, 
𝑤 = √
𝑚𝑔𝐿
𝐼⁄ e 𝜑 é o ângulo de fase. Devemos observar que 𝑤 é a freqüência angular do 
movimento e que é dada por 𝑤 = 2𝜋 𝑇⁄ , substituindo essa última expressão dada em𝑤 =
√𝑚𝑔𝐿
𝐼⁄ , obtemos a expressão para o valor experimental do momento de inércia do 
Pêndulo Físico: 
6 
 
 
√
𝑚𝑔𝐿
𝐼
=
2𝜋
𝑇
 
𝑚𝑔𝐿
𝐼
=
4𝜋2
𝑇2
 
𝑰 =
𝑻𝟐
𝟒𝝅𝟐
𝒎𝒈𝑳 
 
 Através dos cálculos (anexados ao relatório), foi feito o tratamento estatístico 
(desvio médio) para os períodos obtidos na tabela I: 
Tmed = 1/N x ∑ 𝑻𝒊𝒏𝒊=𝟏 
Tmed = 1/9 x 12,055 
Tmed = 1.3394 
𝑇 = (1,339 ± 0,029)𝑠 
Considerando a incerteza sobre o valor da massa do Pêndulo Físico como 0,5% do valor 
médio, através dos cálculos (em anexo), temos que: 
 
𝑚 = (40,54 ± 0,20)𝑔 
 
Ainda considerando que a incerteza sobre o comprimento L seja de 1,0 mm (ou 0,10 cm), 
temos que: 
 
𝐿 = (33,70 ± 0,10)𝑐𝑚 
 
Podemos calcular o momento de inércia do Pêndulo, para isso basta substituirmos os 
valores acima na expressão: 
 
𝐼 =
𝑇2
4𝜋2
𝑚𝑔𝐿, com 𝑔 = 981 𝑐𝑚 𝑠2⁄ . 
 
 Calculo para expressar o momento de inércia do pêndulo (C.G.S) usando as teorias 
do desvio padrão e máximo. 
 
7 
 
 
𝑰𝒆𝒙𝒑 
𝒎𝒈𝑳
𝟒𝝅𝟐
𝟐
𝑻𝟐 
𝐼𝑒𝑥𝑝 = 
(40,535)𝑥(981)𝑥(33,70)(1,3394)
4𝜋2
2
 
 
𝐼𝑒𝑥𝑝 = 60896,16426 
 
 𝛿𝐼𝑇 =
1
2
|
(1,368)2
4𝜋2
(40,54)(981)(33,70) −
(1,31)2
4𝜋2
(40,54)(981)(33,70)| 
 
 𝛿𝐼𝑇 =585 
 
 𝛿𝐼𝑚 =
1
2
|
(1,339)2
4𝜋2
(40,74)(981)(33,70) −
(1,339)2
4𝜋2
(40,34)(981)(33,70)| 
 
𝛿𝐼𝑚 =300 
 
 𝛿𝐼𝐿 =
1
2
|
(1,339)2
4𝜋2
(40,54)(981)(33,80) −
(1,339)2
4𝜋2
(40,54)(981)(33,60)| 
 
 𝛿𝐼𝐿 =181 
 
 
 Usando a teoria do desvio máximo: 
 
𝐼𝑒𝑥𝑝 = 60896,16426 + 585 + 300 + 181 
𝐼𝑒𝑥𝑝 = 60896,16426 ± 1066 
 
 
 Usando a teoria do desvio padrão: 
𝑰√(𝜹𝑰𝑻)𝟐 + (𝜹𝑰𝒎)𝟐 + (𝜹𝑰𝑳)𝟐𝒆𝒙𝒑𝒆𝒙𝒑 
 𝐼𝑒𝑥𝑝 = 60896,16426 ± √(585)2 + (300)2 + (181)2 
𝐼𝑒𝑥𝑝 =60896,16426 ± 682 
 
Calculo da expressão teórica do momento de inércia de uma haste delgada𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚: 
 
8 
 
 
m → 2L 
dm→ dr 
dm = (m/2L) dr, então 
 
𝑰𝒕𝒆𝒐 = ∫ 𝒓
𝟐
𝒎
𝟐𝑳
𝒅𝒓 ⇒ 𝑰𝒕𝒆𝒐 =
𝟏
𝟑
𝒎(𝟐𝑳)𝟐
𝟐𝑳
𝟎
 
 
 Cálculo do valor teórico do momento de inércia 
 
𝑰𝒕𝒆𝒐 =
𝟏
𝟑
𝒎(𝟐𝑳)𝟐 
𝐼𝑡𝑒𝑜 =
1
3
40,54(2 × 33,7)2 
 
Iteo = 61387.83013 dyn 
 
Calculo para determinar o erro percentual do momento de inércia 
 
𝑬% = 
|𝑬𝒆𝒙𝒑 − 𝑬𝒕𝒆𝒐|
𝑬𝒕𝒆𝒐
∗ 𝟏𝟎𝟎 
𝐸% = 
|60896,16426 − 61387.83013|
61387.83013
∗ 100 = 0,80% 
 
4. CONCLUSÃO 
 
 Em suma, ao analisarmos os valores calculados para o momento de inércia, 
podemos concluir que o valor teórico e o valor experimental estão em concordância, uma 
vez que são aproximadamente iguais. Além disso, constatamos que o valor mais 
apropriado para este experimento é o do desvio padrão, uma vez que apresenta uma menor 
dispersão em relação à média. É importante ressaltar que identificamos alguns dos erros 
sistemáticos presentes no experimento, tais como a subestimação da força de atrito do ar 
e a imprecisão na contagem do período do pêndulo. Por meio dessas análises, podemos 
compreender melhor a validade e a confiabilidade dos resultados obtidos neste estudo. 
 
Iteo = ∫ 𝒓𝟐𝒅𝒎 
 
9 
 
 
Dado que r é igual a k, que é a distância do ponto de apoio até a massa, que recebe o 
nome de raio de giração. 
 
Iteo = k
2m 
K = √
𝐼𝑡𝑒𝑜
𝑚
 
K = √
61387.83013 
40,54
 
K = 38,91 cm 
 
Portanto, conclui-se que a realização desta experiência é inviável quando se utiliza 
o centro de massa como ponto de apoio, pois as forças abaixo e acima do ponto de apoio 
se anulariam. Além disso, os procedimentos deste experimento são limitados e só podem 
ser aplicados para determinar o momento de inércia de corpos que possuam um ponto de 
apoio conhecido em relação ao centro de massa. Para medir o comprimento de uma barra 
longa com precisão, é necessário recorrer a um cronômetro, juntamente com informações 
sobre sua massa, a aceleração devida à gravidade, o momento de inércia e o período de 
oscilação. 
 
 
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física, 8a. ed, v. 1, Rio 
de Janeiro: LTC. 2008. 
SILVA, C. Apostila de Física Experimental I. Universidade Federal de Campina 
Grande, campus Cuité. 2023. 
SILVA, C. M. D. P.; SILVA, W. P. S.; RIBEIRO, J. A. R.; GAMA, A. J. A. Experiências 
de Mecânica e Termodinâmica. Departamento de Física (Universidade Federal de 
Campina Grande - UFCG), Campina Grande.