Matemática Básica - Livro único-043-045

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IC
A
43
a multiplicar (a + b) por (a + b), ou seja, (a + b)
2
= (a + b) ⋅
⋅ (a + b). Utilizando a distributiva, como vimos anterior-
mente, temos:
(a + b) ⋅ (a + b) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b =
= a
2
+ ab + ba + b
2
Como ab = ba, podemos adicionar os termos centrais,
chegando a: (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
Esse produto é muito frequente, e pode ser lembra-
do por: “o quadrado da soma de dois termos é igual ao
quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto
do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do se-
gundo termo”
De fato, é exatamente esse o resultado obtido em qual-
quer quadrado da soma. Apenas devemos nos precaver ao
memorizar esse tipo de expressão, pois qualquer deslize
nos levará a erro. Na dúvida, aplicar a distributiva é sempre
mais seguro
Exemplo:
Para desenvolver 2 3
2 3
2
x y+( ) a ideia é a mesma vista
anteriormente, ou seja, determinar o produto dessa soma
por ela mesma:
2 3 2 3 2 3
4 6 6 9
2 3
2
2 3 2 3
4 2 3 2 3 6
x y x y x y
x x y x y y
+( ) = +( ) +( ) =
= + + +
Lembrando que podemos reduzir os termos semelhan-
tes adicionando os termos cuja parte literal é idêntica, ou
seja, 6x
2
y
3
+ 6x
2
y
3
= 12x
2
y
3
, chegaremos a:
2 3 4 12 9
2 3
2
4 2 3 6
x y x x y y+( ) = + +
Podemos também utilizar a expressão descrita ante-
riormente:
2 3 2 2 2 3 3
2 3
2
2
2
2 3 3
2
x y x x y y+( ) = ( ) + ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( )
Repare que o primeiro termo é 2x
2
 e, quando nos
referimos ao quadrado dele, temos 2 42
2
4
x x( ) = O mes
mo ocorre com o quadrado do segundo termo, ou seja,
3 9
3
2
6
y y( ) = . Assim:
2 3 2 2 2 3 3
4 12 9
2 3
2
2
2
2 3 3
2
4 2 3 6
x y x x y y
x x y y
+( ) = ( ) + ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) =
= + +
Quadrado da diferença entre dois termos
Muito parecido com o desenvolvimento estudado
anteriormente, difere apenas na operação entre os dois ter-
mos, que é a subtração e não a adição. Assim, desenvolver
(a b)
2
 corresponde a multiplicar (a b) por (a b), ou
seja, (a b)
2
= (a b) ⋅ (a b). Utilizando a distributiva,
temos:
(a b) ⋅ (a b) = a ⋅ a a ⋅ b b ⋅ a + b ⋅ b =
= a
2
 ab ba + b
2
Analogamente, como ab = ba, temos:
(a – b)
2
= a
2
 – 2ab + b
2
.
Este produto também aparece com muita frequência
em exercícios, e pode ser lembrado por: “o quadrado de
uma diferença é igual ao quadrado do primeiro termo,
menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo
termo, mais o quadrado do segundo termo” Portanto, a
diferença entre as expressões do quadrado da soma para
o quadrado da diferença se dá pelo sinal que precede o
produto entre os dois termos. Mas lembre-se: na dúvida,
sempre faça a distributiva.
Exemplo:
Para desenvolver 3 5
2 4
2
x y( ) aplicando a distributiva,
temos:
3 5 3 5 9 15 15 25
2 4 2 4 4 2 4 2 4 8
x y x y x x y x y y( )( ) = +
Adicionando os termos semelhantes, obtemos:
3 5 9 30 25
2 4
2
4 2 4 8
x y x x y y( ) = +
Utilizando a expressão, temos:
3 5 3 2 3 5 5
9 30 25
2 4
2
2
2
2 4 4
2
4 2 4 8
x y x x y y
x x y y
−( ) = ( ) − ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) =
= +
Tanto o quadrado da soma quanto o quadrado da di-
ferença geram expressões com três termos comumente
chamadas de trinômios quadrados perfeitos.
Produto da soma pela diferença de dois
termos
Aqui temos a multiplicação entre dois fatores em que
um deles possui a adição e o outro, a subtração entre os
mesmos dois termos.
Aplicando a distributiva, podemos desenvolver o pro-
duto (a + b)(a – b) do seguinte modo:
(a + b) ⋅ (a – b) = a ⋅ a – a ⋅ b + b ⋅ a – b ⋅ b
Como ab = ba, os dois termos centrais do desenvolvi-
mento são opostos Logo, anulam-se e, então, chegamos a:
(a + b)(a – b) = a
2
 – b
2
Repare que o resultado do produto foi a diferença entre
o quadrado do primeiro termo e o quadrado do segundo
termo. Podemos usar esse resultado, memorizando que “o
produto da soma pela diferença entre dois termos resulta
na diferença entre os quadrados do primeiro e do segundo
termos”
Exemplos:
a. Desenvolvendo (2x + 3)(2x – 3), obtemos:
2 3 2 3 2 3 4 9
2 2 2
x x x x+( )( ) = ( ) ( ) =
MATEMÁTICA BÁSICA Capítulo 4 Produtos notáveis e fatoração44
b. Mesmo que os termos não sejam simples, como em
3 3
2 3 2 3
x y x y−( ) +( ) , o produto da soma pela diferença
entre os mesmos termos sempre tem como resultado a
diferença entre os quadrados, assim:
3 3 3 9
2 3 2 3 2
2
3
2
4 6
x y x y x y x y−( ) +( ) = ( ) − ( ) = −
Muitas vezes, pelo uso da memorização ser muito
frequente, abandona-se a distributiva. Lembre-se de que,
sempre que um produto lhe parecer estranho àqueles
estudados, aplique a distributiva para ter certeza do re-
sultado. Não tente adivinhar, sempre se baseie em regras
e conceitos.
c. No caso de ( )2 3 2x temos o quadrado de uma
soma ou de uma diferença? A priori não parece nenhum
dos dois, porém o resultado da distributiva nos mos-
trará que esse produto será o quadrado de uma soma
Se não há certeza sobre qual memorização usar, aplique a
distributiva Observe:
− −( ) = − −( ) − −( ) = + + + =
= + +
2 3 2 3 2 3 4 6 6 9
4 12 9
2 2
2
x x x x x x
x x
Exercício
2 Desenvolva os produtos, utilizando a distributiva ou a
memorização do produto notável:
a) x y+( )2
b) 2 1
2
x +( )
c) 4 3
2
a c−( )
d) 5
2
xy z+( )
e) x −( )9 2
f) x y2 2
2
+( )
g)
1
2
2
x y+


h) x
x




1
2
i) 5 1
2( )
j) x x+( ) −( )1 1
k) 2 3 2 3x x−( ) +( )
l) x y x y
3 2 3 2+( )( )
m)
2
2
1
2
2
1+



−



n) +( )2 3 2x
o) +( ) +2 4 2 4y y( )
Outros produtos notáveis
Menos frequentes, porém ainda presentes nos vestibu
lares mais tradicionais, outros produtos notáveis são mais
trabalhosos de se desenvolver e memorizar. De qualquer
forma, a distributiva sempre pode e deve ser utilizada em
caso de dúvida.
Produto da soma de três termos
Esse produto será visto com o desenvolvimento de
(a + b + c)2.
Utilizando a distributiva, temos:
a b c a b c a b c
a ab ac ba b bc ca cb c
+ +( ) = + +( )⋅ + +( ) =
= + + + + + + + +
2
2 2 2
Reduzindo os termos semelhantes, chegamos a:
a b c a b c ab ac bc+ +( ) = + + + + +2 2 2 2 2 2 2
A memorização para este produto notável fica “o
quadrado da soma de três termos é igual à soma dos
quadrados de cada termo mais a soma de duas vezes o
produto dois a dois de cada termo”. O produto dois a dois
de cada termo se refere ao produto “ab”, “ac” e “bc”
O desenvolvimento de (a b + c)2 pode ser visto como
o desenvolvimento de (a + ( b) + c)2 Assim, se algum dos
termos tiver o sinal negativo, basta resolvê lo normalmente,
respeitando a regra de sinais, ou seja:
a b c a b c a b c
a a b a c b a b
− +( ) = + − +( )⋅ + − +( ) =
= + ⋅ + ⋅ + − ⋅ + −
2
2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ++
+ − ⋅ + ⋅ + ⋅ +
+( ) = + + + +
( ) ( )b c c a c b c
a b c a ab ac ba b bc ca cb
2
2 2 2
cc
a b c a b c ab ac bc
2
2 2 2 2
2 2 2− +( ) = + + − + −
Repare que o sinal de menos apareceu nos termos em
que o fator b aparece.
Cubo da soma entre dois termos
Cubo se refere ao expoente 3, assim, o cubo da soma
de dois termos consiste em elevarmos à terceira potência
uma soma entre dois termos.
Para o desenvolvimento de a b+( )3 , temos que
a b a b a b a b+( ) = +( )⋅ +( ) ⋅ +( )3 Assim, realizamos a distri
butiva, inicialmente, entre os dois primeiros fatores, cujo
resultado é conhecido, pois se trata do quadrado da soma
Logo, a b a ab b a b+( ) = + +( )⋅ +( )3 2 22 . Efetuando novamen-
te a distributiva, chegamos a:
a b a ab b a b
a a b a b ab ab b
+( ) = + +( )⋅ +( ) =
= + + + + +
3 2 2
3 2 2 2 2 3
2
2 2
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Reduzindo os termos semelhantes, chegamos ao final
do desenvolvimento:
a b a a b ab b+( ) = + + +3 3 2 2 33 3
A memorização para este produto notável é: “o cubo
da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, mais três
vezes o quadrado do primeiro pelo segundo, mais três ve-
zes o primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do
segundo”. Não é uma memorização simples, mas a prática
em exercícios e a distributiva auxiliam nesse processo.Cubo da diferença entre dois termos
Neste caso, temos uma diferença entre dois termos que
será elevada à terceira potência, ou seja, temos a b( )3,
que será resolvida de maneira análoga à anterior Assim:
a b a b a b a b a ab b a b
a a b a b ab
( ) = ( )( )( ) = +( )⋅( ) =
= − − +
3 2 2
3 2 2 2
2
2 2 ++ −ab b2 3
Reduzindo os termos semelhantes, temos:
a b a a b ab b( ) = +3 3 2 2 33 3
A memorização, neste caso, é muito parecida com o
cubo da soma. Apenas alternando-se os sinais positivos e
negativos, chegamos a: “o cubo da diferença entre dois
termos é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o
quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes
o primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do
segundo”
Exercício
3 Desenvolva os produtos a seguir, aplicando a distributi-
va ou usando a regra prática de memorização:
a) x y+( )3
b) 2
3
x y+( )
c) x y( )3
d) x y−( )3 3
e) 2 3
3
x y+( )
f) x y z+ +( )3
g) x y z+( )3
h) 2 3
3
x y z+( )
i) 3 2 5
2 3
3
x y z( )
Fatoração
Na primeira parte deste capítulo, utilizamos a proprieda
de distributiva na multiplicação de expressões algébricas,
para simplificar seu resultado. Faremos a seguir o processo
de volta, ou seja, quando se pede para fatorar (transformar
em fatores) uma expressão algébrica, buscamos por um
produto entre dois ou mais termos que tenha como resul
tado a expressão dada inicialmente
Fator comum
Como o nome sugere, buscaremos fatores comuns
a todos os termos Após identificá los, evidenciamos e
efetuamos a divisão de cada termo por esses fatores.
Lembre-se de que tais fatores podem ser numéricos ou
literais.
Exemplos:
a. Ao fatorar a expressão 2x + 4y devemos notar
que o único fator comum a 2x e 4y é o 2 Assim, evi
denciamos esse número e realizamos a divisão de
ambos os termos por ele, obtendo: 2(x + 2y). Repare
que 2
2
x
x= e 4
2
2
y
y= são os termos presentes nos pa-
rênteses. Para verificar se a fatoração está correta,
basta aplicar a distributiva e observar se o resultado
corresponde à expressão dada No caso, 2(x + 2y) =
= 2x + 4y.
Portanto: 2 4 2 2x y x y+ = +( ) .
b. Para fatorar uma expressão como 12x2y + 18xy, deve-
mos observar que o fator numérico comum é o 6 (apesar
de, inicialmente, termos pensado no 2 ou no 3) e a parte
literal comum é formada pelo x e pelo y Evidenciando tais
fatores e fazendo a divisão dos termos por eles, obtemos:
12 18 6
12
6
18
6
6 2 3
2
2
x y xy xy
x y
xy
xy
xy
xy x+ = +




= +( )
É importante notar que sempre devemos considerar o
maior fator comum numérico, ou seja, o mdc dos valores
envolvidos, no caso mdc (12, 18) = 6, e também que, apesar
de o primeiro termo possuir x2, o fator comum será apenas
x, que é o fator presente no segundo termo. Logo, sempre
devemos considerar, entre a parte literal, os fatores comuns
com os menores expoentes
c. Para fatorar a expressão 18x3y2z4 45x4yz3 + 9x3yz2,
o processo é o mesmo Inicialmente, buscamos o fator co
mum aos números 18, 45 e 9 usando o mdc, sendo tal fator
o 9. Depois, analisamos a parte literal, identificando como
fatores comuns x3, y e z2, lembrando sempre de tomar o
menor expoente para cada fator da parte literal. Assim, evi
denciando os fatores comuns, dividindo cada termo por
9x3yz, chegamos a: