Livro_Hibrido_2019

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Conteúdo
1 Operações com números reais 9
1.1 Operações com números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Adição de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Multiplicação de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.3 Potências de expoente natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Operações com radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Adição de radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Multiplicação de radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.4 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.5 Racionalização de denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Módulo de um número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Operações com intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1 Interseção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.2 Reunião . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.3 Complementação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Polinómios 33
2.1 Definição e classificação de polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Operações com monómios e polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Divisão de polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Casos notáveis e fatorização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Equações, inequações e sistemas de equações 45
3.1 Equações de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Inequações de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Equações de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3
4 CONTEÚDO
4 Noções básicas sobre funções 59
4.1 Domı́nio contradomı́nio e gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Caracteŕısticas das funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Estudo de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5 Transformações nos gráficos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Funções reais algébricas 93
5.1 Função constante, afim e linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Função módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 Função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Função cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.5 Função polinomial de grau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 113
5.5.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.6 Função racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.6.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.6.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.7 Função irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.7.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.7.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6 Noções básicas de trigonometria 123
6.1 Trigonometria do triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2 Fórmula fundamental da trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.2.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.2.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.3 Sistemas sexagesimal e sistema circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.3.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.3.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.4 Valores especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.4.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.4.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7 Funções trigonométricas 139
7.1 Ćırculo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.1.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.1.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.2 Relação entre razões trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.2.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
CONTEÚDO 5
7.3 Fórmulas trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.4 Função seno, cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.4.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.4.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.5 Equações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.5.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.5.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8 Função exponencial e logaŕıtmica 161
8.1 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.1.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.1.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.2 Função logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.2.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.2.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.3 Função logaŕıtmica vs função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.3.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.3.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9 Limites e continuidade 173
9.1 Limite de uma função num ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.1.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.1.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.2 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.2.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.2.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.3 Cálculo de limites elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.3.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.3.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9.4 Indeterminações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9.4.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.4.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.5 Limites notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.5.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.5.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.6 Continuidade de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.6.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.6.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.7 Teorema de Bolzano-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.7.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.7.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10 Derivada de uma função 201
10.1 Derivada de uma função num ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
10.1.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
10.1.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
10.2 Derivada lateral de uma função num ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10.2.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.2.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 208
10.3 Derivada de funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.3.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.3.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.4 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.4.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.4.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
10.5 Monotonia e extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10.5.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.5.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.6 Concavidade e pontos de inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6 CONTEÚDO
10.6.1 Exerćıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.6.2 Exerćıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11 Resolução de Provas Modelo 229
11.1 Prova Parcial 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
11.1.1 Grupo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
11.1.2 Grupo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.2 Prova Parcial 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
11.2.1 Grupo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
11.2.2 Grupo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11.3 Prova Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
11.3.1 Grupo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
11.3.2 Grupo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Introdução
O livro Preparação h́ıbrida para a prova de Matemática de Maiores de 23 do Politécnico do
Porto surgiu para dar resposta à lacuna manifestada pelos alunos relativamente à falta de material de estudo
mais organizado e direcionado para os temas e conceitos necessários à preparação para esta prova. Assim, um
dos seus principais objetivos é a preparação dos alunos através de resumos teóricos acompanhados de v́ıdeos
tutoriais, exerćıcios resolvidos e exerćıcios propostos com solução.
No ińıcio de cada secção é dada uma informação geral que não pretende ser um resumo teórico aprofundado,
mas apenas salientar um conjunto de conceitos e fórmulas. São fornecidos códigos QR com acesso a v́ıdeos,
possibilitando o seu acesso e visualização através de vários dispositivos eletrónicos; são apresentadas questões
resolvidas para melhor compreensão da teoria e, para a consolidação desta teoria, são propostos exerćıcios com
solução.
Os temas abordados neste livro são considerados pré-requisitos da matemática lecionada no ensino superior.
Deste modo, os destinatários são também estudantes que pretendam aprender, consolidar ou recordar os con-
ceitos do secundário indispensáveis para a sua integração na matemática superior e, assim, ingressarem com
sucesso e confiança neste ńıvel de ensino.
Pretendeu-se obter um instrumento eficaz de trabalho onde os alunos possam desenvolver ou melhorar as suas
competências matemáticas de uma forma autónoma e gerir e adaptar o tempo de estudo às suas necessidades e
disponibilidade. Espera-se contribuir, deste modo, para o sucesso dos alunos, aumentando a sua autoconfiança
face a esta disciplina.
7
8 CONTEÚDO
Caṕıtulo 1
Operações com números reais
1.1 Operações com números racionais
Definição 1.1.1 Conjunto dos números racionais:
Q =
{a
b
: a ∈ Z ∧ b ∈ Z\{0}
}
é o conjunto de todas as frações (d́ızimas finitas e infinitas periódicas).
Simplificação de frações: divide-se o numerador e o denominador pelo seu máximo divisor comum; pode
também dividir-se, sucessivamente, por divisores comuns.
Exemplo 1.1.1 48
36
= 48÷12
36÷12 =
4
3
ou 48
36
= 48÷2
36÷2 =
24÷2
18÷2 =
12÷3
9÷3 =
4
3
1.1.1 Adição de frações
Regra Exemplos
a
b +
c
b =
a+c
b ; a, b, c ∈ N
7
3 +
1
3 =
8
3
Números de igual sinal somam-se
−ab −
c
b = −
a+c
b ; a, b, c ∈ N −
7
5 −
4
5 = −
11
5
− 73 +
11
3 =
−7+11
3 =
4
3
Números de diferente sinal subtraem-se −ab +
c
b =
−a+c
b ; a, b, c ∈ N
7
5 −
11
5 =
7−11
5 = −
4
5
Frações com o mesmo denominador ab ±
c
b =
a±c
b ; a, b, c ∈ Z ∧ b 6= 0
7
3 −
11
3 = −
4
3
a
b
(×d)
± cd
(×b)
= ad±bcbd
4
5
(×3)
+ 23
(×5)
= 4×3+2×55×3 =
22
15
Frações com diferente denominador
a, b, c, d ∈ Z ∧ b, d 6= 0 2 53 = 2 +
5
3 =
6
3 +
5
3 =
11
3
9
10 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Propriedades Regra Exemplos
Existência de elemento ab + 0 = 0 +
a
b =
a
b ; a, b ∈ Z ∧ b 6= 0 −
7
3 + 0 = 0 +
(
− 73
)
= − 73
neutro
Existência de elemento ab +
(
−ab
)
=
(
−ab
)
+ ab = 0
3
5 +
(
− 35
)
=
(
− 35
)
+ 35 = 0
simétrico
a, b ∈ Z ∧ b 6= 0
a
b +
c
b =
c
b +
a
b −
2
5 + 1 =
−2+5
5 =
3
5
Propriedade comutativa
a, b ∈ Z ∧ b 6= 0 1 +
(
− 25
)
= 5−25 =
3
5
(
− 25 + 2
)
+ 1 = −2+105 + 1 =
8
5 + 1 =
13
5(
a
b +
c
d
)
+ ef =
a
b +
(
c
d +
e
f
)
Propriedade associativa
a, b, c, d, e, f ∈ Z ∧ b, d, f 6= 0
− 25 + (2 + 1) = −
2
5 + 3 =
−2+15
5 =
13
5
Nota 1.1.1 Nas expressões com parêntesis devem efetuar-se em primeiro lugar as operações que figuram entre
parêntesis.
Exemplo 1.1.2 1−
(
4
5
+ 2
3
)
= 1−
(
4
5
(×3)
+ 2
3
(×5)
)
= 1− 4×3+2×5
5×3 = =
1
1
(×15)
− 22
15
= 15
15
− 22
15
= − 7
15
Vı́deo 1.1.1 Adição e subtração de números reais
Exerćıcios resolvidos
Resolvido 1.1 Determine o número racional representado por:
1−
(
4
3
+
2
3
)
+
(
4
3
− 2
5
)
.
Resp.: − 115
Resolvido 1.2 Determine o número racional que resulta da diferença entre a soma de − 73 com
1
6 e a soma de
5
3 com −
3
2 .
Resp.: − 73
Resolvido 1.3 A Ana leu um livro em quatro dias. No primeiro dia leu 13 do livro, no segundo dia leu
1
5 do
livro, no terceiro dia leu 215 do livro e no quarto dia leu 60 páginas. Quantas páginas leu a Ana no terceiro dia?
Resp.: 24
Resolvido 1.4 Determine o número racional representado pela seguinte expressão numérica:(
−0, 75 + 1
2
)
−
[
2
3
+
(
−2
5
+
2
10
− 3
2
)]
Resp.: 4760
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181854/mod_resource/content/2/Adicao_subtracao.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181854/mod_resource/content/2/Adicao_subtracao.mp4
1.1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS 11
Resolvido 1.5 Um recipiente contém uma quantidade de ĺıquido que corresponde a 34 da sua capacidade.
Acrescentando-se 100 mililitros de ĺıquido fica a 20% de completar a capacidade máxima. Qual é a capaci-
dade máxima do recipiente, em litros?
Resp.: 2 litros
Resolução em documento digital: página 2
Exerćıcios propostos
Proposto 1.1 Determine o número racional representado pela seguinte expressão numérica:
5
8
−
[
4−
(
5
6
− 1
)]
Resp.: − 8524
Proposto 1.2 Determine o número racional representado pela seguinte expressão numérica:
(
−0, 5 + 1
4
)
−
(
−2
5
+ 0, 2− 3
2
)
Resp.: 2920
Proposto 1.3 Determine o número racional que resulta da soma do simétrico de − 58 com a diferença entre
5
6
e − 23 .
Resp.: 178
Proposto 1.4 Sobre o número de alunos, que foram a exame de Matemática em determinada escola, sabe-seque:
• 13 obteve nota inferior a 10;
• 15 obteve uma nota superior ou igual a 10 mas inferior a 15;
• 42 obtiveram nota superior ou igual a 15.
Quantos alunos obtiveram nota inferior a 10?
Resp.: 30
Proposto 1.5 Foi efetuada uma sondagem sobre a preferência de leitura de 3 jornais. Verificou-se que 50% dos
entrevistados lia o jornal A, 13 lia o jornal B e 125 liam o jornal C. Qual foi o número de pessoas entrevistadas?
Resp.: 750
12 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
1.1.2 Multiplicação de frações
Regra Exemplos
Multiplicação de frações ab ×
c
d =
a×c
b×d ; a, b, c, d ∈ N
2
5 ×
1
3 =
2
15
Divisão de frações ab ÷
c
d =
a
b ×
d
c =
a×d
b×c ; a, b, c, d ∈ N
2
5 ÷
2
3 =
2
5 ×
3
2 =
6
10 =
3
5
a
b ×
c
d =
a×c
b×d ; a, b, c, d ∈ N
2
5 × 4 =
2
5 ×
4
1 =
8
5
O produto de nos com o mesmo sinal
é positivo
(
−ab
)
×
(
− cd
)
= a×cb×d ;a, b, c, d ∈ N
(
− 13
)
×
(
− 25
)
= 215
(
−ab
)
×
(
c
d
)
= −a×cb×d ;a, b, c, d ∈ N
(
− 43
)
× 25 = −
8
15
O produto de nos com sinal contrário
é negativo
(
a
b
)
×
(
− cd
)
= −a×cb×d ;a, b, c, d ∈ N
(
1
3
)
×
(
− 45
)
= − 415
Existência de elemento neutro ab × 1 = 1×
a
b =
a
b ; a, b ∈ Z ∧ b 6= 0 −
7
3 × 1 = 1×
(
− 73
)
= − 73
Existência de elemento absorvente ab × 0 = 0×
a
b = 0; a, b ∈ Z ∧ b 6= 0 −
7
5 × 0 = 0×
(
− 75
)
= 0
(
− 35
)
×
(
− 53
)
=
=
(
− 53
)
×
(
− 35
)
= 1
Existência de inverso ab ×
(
b
a
)
=
(
b
a
)
× ab = 1
a, b ∈ Z ∧ a, b 6= 0 −3×
(
− 13
)
=
=
(
− 13
)
× (−3) = 1
Propriedade comutativa ab ×
c
d =
c
d ×
a
b
(
− 25
)
× 2 = − 45
a, b, c, d ∈ Z ∧ b, d 6= 0 2×
(
− 25
)
= − 45(
− 25 × 2
)
× 23 =(
a
b ×
c
d
)
× ef =
a
b ×
(
c
d ×
e
f
)
= − 45 ×
2
3 = −
8
15
Propriedade associativa
a, b, c, d, e, f ∈ Z ∧ b, d, f 6= 0
− 25 ×
(
2× 23
)
=
= − 25 ×
4
3 = −
8
15
e
f ×
(
a
b +
c
d
)
= a×eb×f +
c×e
d×f
2
3 ×
(
− 25 + 2
)
=
= − 415 +
4
3 =
16
15
Propriedade distributiva (
a
b +
c
d
)
× ef =
a×e
b×f +
c×e
d×f
(
− 25 + 2
)
× 23 =
= − 415 +
4
3 =
16
15
a, b, c, d, e, f ∈ Z ∧ b, d, f 6= 0
Nota 1.1.2 Nas expressões, a multiplicação e divisão têm prioridade em relação à adição e subtração.
Exemplo 1.1.3 1 + 23 ×
5
3 −
(
4
3 −
2
3 × 2
)
= 1 + 109 −
(
4
3 −
4
3
)
= 1 + 109 − 0 =
9+10
9 =
19
9
1.1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS 13
Vı́deo 1.1.2 Multiplicação e divisão de números reais
Exerćıcios resolvidos
Resolvido 1.6 Determine o número racional representado por 1 +
[
4
3 ×
2
3 − 2
1
3 ×
(
4
3 ÷
3
2
)]
.
Resp.: − 527
Resolvido 1.7 A figura representa um cilindro circunscrito a uma esfera.
Qual é a razão entre a área total do cilindro, AC , e a área da esfera, AE?
Resp.: 32
Resolvido 1.8 A Ana e a Joana têm que fazer um trabalho escrito juntas tendo acordado, entre elas, que a
Ana ficava responsável por 35 do trabalho. A Ana já escreveu a parte dela e demorou 5 horas. Se a capacidade
de trabalho da Joana for 23 da capacidade de trabalho da Ana, qual é o tempo que a Joana precisa para escrever
a sua parte?
Resp.: 5 horas
Resolvido 1.9 Qual é o número racional que representa o produto do triplo da soma de − 35 com −
3
2 pela
quarta parte de − 32?
Resp.: 18980
Resolvido 1.10 Qual é o número racional representado pela seguinte expressão numérica:
4
3 ×
2
3 − 2
1
3 ×
(
4
3 ÷
3
2
)
−1 127 −
6
27
?
Resp.: 1617
Resolução em documento digital: página 3
Exerćıcios Propostos
Proposto 1.6 Determine o número racional representado pela seguinte expressão numérica:
−1
4
÷
(
−3
2
)
× 1
2
÷
(
3
−4
)
Resp.: − 19
Proposto 1.7 Qual é o número racional que representa metade da soma do triplo de − 15 com a quarta parte
de − 32?
Resp.: − 3980
Proposto 1.8 Um casal e o filho foram almoçar a uma pizzaria. Compraram duas pizzas iguais. O pai comeu
3
4 de uma das pizzas e a mãe comeu metade da quantidade que o pai comeu. Qual foi a percentagem de pizza
que o filho comeu?
Resp.: 87, 5%
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181855/mod_resource/content/2/multiplicacao_divisao.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181855/mod_resource/content/2/multiplicacao_divisao.mp4
14 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Proposto 1.9 No paraleleṕıpedo [ABCDEFGH] representado sabe-se que: BC = 56AB , BF =
5
6BC e
AB = 2, 4cm.
Qual é o volume do paraleleṕıpedo, em cm3?
Resp.: 8cm3
Proposto 1.10 Qual é o número racional representado pela seguinte expressão numérica:
−1
4
÷
(
−3
2
)
+
1
2
÷
(
1
3
4
)
+
(
3
2
− 2× 1
4
)
?
Resp.: 6142
1.1.3 Potências de expoente natural
(
a
b
)n
=
a
b
× a
b
· · · × a
b
× a
b︸ ︷︷ ︸
n vezes
Exemplo 1.1.4
(
2
3
)3
= 23 ×
2
3 ×
2
3 =
8
27
Regra Exemplos(
1
2
)3
= 18
Potência positiva ab > 0 ∨ n par (
− 23
)2
= 49
Potência negativa ab < 0 ∧ n ı́mpar
(
− 32
)3
= − 278
Produto de potências
(
a
b
)n × (ab )m = (ab )n+m (− 23)2 × (− 23)3 = (− 23)5
com a mesma base a, b ∈ Z; b 6= 0
Quociente de potências
(
a
b
)n ÷ (ab )m = (ab )n−m (− 43)5 ÷ (− 43)3 = (− 43)2
com a mesma base a, b ∈ Z; b 6= 0
Produto de potências
(
a
b
)n × ( cd)n = (a×cb×d)n (− 23)3 × ( 25)3 = (− 415)3
com o mesmo expoente a, b, c, d ∈ Z; b, d 6= 0
1.1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS 15
Regra Exemplos
Quociente de potências
(
a
b
)n ÷ ( cd)n = (ab ÷ cd)n = (a×db×c )n (− 23)4 ÷ ( 25)4 =
com o mesmo expoente a, b, c, d ∈ Z; b, c, d 6= 0 =
(
− 23 ×
5
2
)4
=
(
− 53
)4
Potência de potência
[(
a
b
)n]m
=
(
a
b
)n×m [(− 25)2]3 = (− 25)6
a, b ∈ Z; b 6= 0
Expoente nulo
(
a
b
)0
= 1; a, b ∈ Z; a, b 6= 0
(
− 113
)0
= 1
(
a
b
)−n
= 1
( ab )
n =
(
1
a
b
)n
=
(
b
a
)n
Expoente negativo
(
− 113
)−5
=
(
− 311
)5
a, b ∈ Z; a, b 6= 0 ∧ n ∈ N
Nota 1.1.3 Nas expressões, a potenciação tem prioridade em relação à multiplicação e divisão e estas em
relação à adição e subtração.
Exemplo 1.1.5 1 + 23 ×
(
1
2
)3− ( 43 − 23 × 2−1) = 1 + 23 × 18 − ( 43 − 23 × 12) = 1 + 224 − ( 43 − 13) = 1 + 112 − 1 = 112
Vı́deo 1.1.3 Potenciação e radiciação de números reais
Exerćıcios resolvidos
Resolvido 1.11 Determine o número racional representado por
(
− 15
)2 × (−5)−1 ÷ ( 13)3 .
Resp.: − 27125
Resolvido 1.12 Determine o número racional que resulta do produto do quadrado da soma de − 35 com
8
5 pela
diferença entre o quadrado de 23 e o quadrado de −
1
2 .
Resp.: 736
Resolvido 1.13 Considere o número racional Q =
[(
100 − 26 ×
(
2−3
)2 × 32)]2 ÷ (33 × ( 12)−3)−2. Qual é a
potência de base 12 representada por Q?
Resp.: 126
Resolvido 1.14 Determine a potência de base 5 representada pela seguinte expressão numérica:
−
(
1
5
)2
× (−5)−1 ÷
(
1
5
)3
×
[
(−5)−1
]5
Resp.: −5−5
Resolvido 1.15 Determine o número racional representado pela seguinte expressão numérica:
1−
(
3
4
)−17 × ( 25)−17 ÷ (0, 3)−15[
(−1)−3
]2
− (0, 3)−2
Resp.: 1
Resolução em documento digital: página 3 e 4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181856/mod_resource/content/1/potenciacao_radiciacao.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181856/mod_resource/content/1/potenciacao_radiciacao.mp4
16 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Exerćıcios propostos
Proposto 1.11 Determine o número racional representado pela seguinte expressão numérica:(
3
4
)3
÷ 33 × 43 + 50
Resp.: 2
Proposto 1.12 Determine a potência de base 2 representada pela seguinte expressão numérica:
(−1)30 ×
[(
1
10
)−3
÷ 53 × 22
]3
Resp.: 215
Proposto 1.13 Considere os números racionais Q1 = 20
100 ÷ 2097 ÷ 23 e Q2 = 53 × 23 × 10−3. Utilizando as
regras operatórias das potências, indique as potências de base 10 que representam Q1Q2 e Q
2
1.
Resp.: Q1Q2 = 10
3, Q21 = 10
6
Proposto 1.14 Determine a potência de base −3 representada pela seguinte expressão numérica:(
− 13
)
× (−3)−1 ÷
(
1
3
)−3 × [(−3)−1]5(
1
3
)3 × [(−3)−5]−1
Resp.: (−3)−12
Proposto 1.15 Determine o número racional representado por:
(−1)11 × 52 ×
(
1
3
)2 × ( 65)2
(23)2 ÷ 2−3 ×
(
3
2
)9 ÷ 37
Resp.: − 49
1.2. OPERAÇÕES COMRADICAIS 17
1.2 Operações com radicais
n
√
a - raiz ı́ndice n de a:
{
n ∈ N - ı́ndice da raiz
a - radicando{
n ı́mpar⇒ a ∈ Q
n par⇒ a ∈ Q0+
Radicais equivalentes: se multiplicarmos ou dividirmos o ı́ndice do radical e o expoente do radicando pelo
mesmo número natural obtemos um radical equivalente.
n
√
ap =
n×q
√
ap×q n, p, q ∈ N, n > 1, a > 0
Exemplo 1.2.1
8
√
36 =
8÷2
√
36÷2 =
4
√
33
√
5 =
2×3
√
51×3 =
6
√
53
Regra Exemplos
a n
√
b± c n
√
b = (a± c) n
√
b 13
5
√
2 + 2 5
√
2 =
(
1
3 + 2
)
5
√
2 = 73
5
√
2
Adição e subtração
(mesmo ı́ndice e mesmo radicando)
(
n
√
b definido
)
1
3
3
√
2− 3
√
2 =
(
1
3 − 1
)
3
√
2 = − 23
3
√
2
n
√
a× n
√
b = n
√
a× b 3
√
1
3 ×
3
√
− 25 =
3
√
1
3 ×
(
− 25
)
= − 3
√
2
15
Multiplicação e divisão
(mesmo ı́ndice)
n
√
a÷ n
√
b = n
√
a÷ b, b 6= 0 5
√
1
3 ÷
5
√
− 25 =
5
√
1
3 ×
(
− 52
)
= − 5
√
5
6(
n
√
a, n
√
b definidos
)
( n
√
a)
p
= n
√
ap, ( n
√
a definido )
(
3
√
− 23
)2
=
3
√(
− 23
)2
= 3
√
4
9
Potenciação
Nota:( n
√
a)
n
= a ∧ n
√
an = |a|
(
3
√
− 23
)3
= − 23 ∧
4
√(
− 23
)4
= 23
Radiciação p
√
n
√
a = n×p
√
a, n×p
√
a definido 3
√
3
√
− 25 =
3×3
√
− 25 =
9
√
− 25
n, p ∈ N
a
n√
bp
= a×
n√
bn−p
n√
bp× n
√
bn−p
= a×
n√
bn−p
b
2
3√2 =
2× 3
√
22
3√2 3
√
22
= 2×
3√
22
2 =
3
√
22
n > p ∈ N
Racionalização de denominadores 1√
2+
√
3
=
1×(
√
2−
√
3)
(
√
2+
√
3)×(
√
2−
√
3)
=
=
√
2−
√
3
2−3 =
√
3−
√
2
a√
b±
√
c
=
a×(
√
b∓
√
c)
(
√
b±
√
c)×(
√
b∓
√
c)
2√
2−2 =
2×(
√
2+2)
(
√
2−2)×(
√
2+2)
=
= 2
√
2+4
2−4 =
2
√
2+4
−2 = −
√
2− 2
Nota 1.2.1 Potências de expoente fracionário são equivalentes a radicais.
Exemplo 1.2.2
2
3
4 =
4
√
23
2−
1
4 =
4
√
2−1 = 4
√
1
2 =
1
4√2
18 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
1.2.1 Adição de radicais
Nota 1.2.2 Nas expressões com parêntesis devem efetuar-se em primeiro lugar as operações que figuram entre
parêntesis.
Exemplo 1.2.3
1
3
3
√
2−
(
1
2
3
√
2 + 3
√
2
)
= 13
3
√
2−
(
1
2 + 1
)
3
√
2 = 13
3
√
2− 32
3
√
2 =
(
1
3 −
3
2
)
3
√
2 = 2−96
3
√
2 = − 76
3
√
2
Vı́deo 1.2.1 Adição e subtração de números reais
Exerćıcios resolvidos
Resolvido 1.16 Determine o número real representado por 10 3
√
2 + 4 3
√
2− 3
√
2.
Resp.: 13 3
√
2
Resolvido 1.17 Determine o número real que resulta da diferença entre a soma de 4 3
√
2 com 4
√
7 e a soma de√
63 com 3
√
2.
Resp.: 3 3
√
2 +
√
7
Resolvido 1.18 Qual é o número real mais simples que representa o peŕımetro do triângulo retângulo de catetos√
14 e
√
18 u.c.?
Resp.: (
√
14 + 7
√
2)
Resolvido 1.19 O esquema apresentado mostra o plano de um circuito eletrónico feito com um fio de platina.
O fio de platina é muito caro e vende-se ao miĺımetro. Quantos miĺımetros são necessários para construir este
circuito?
Resp.: 234mm
Resolvido 1.20 Qual é o número real que resulta da diferença entre a soma de 32 com
3
√
16 e a diferença entre
2 12 e
3
√
2?
Resp.: −1 + 3 3
√
2
Resolução em documento digital: página 4 e 5
Exerćıcios propostos
Proposto 1.16 Determine o número real representado pela seguinte expressão numérica:
1
2
√
2− 2
√
8 +
5
2
√
32
Resp.: 132
√
2
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181854/mod_resource/content/2/Adicao_subtracao.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181854/mod_resource/content/2/Adicao_subtracao.mp4
1.2. OPERAÇÕES COM RADICAIS 19
Proposto 1.17 Determine o número real representado pela seguinte expressão numérica:(
3
√
16 +
1
3
3
√
2
)
−
(
1
2
3
√
2 +
3
√
2
)
Resp.: 56
3
√
2
Proposto 1.18 Qual é o número real que resulta da soma de 4 3
√
2 com a diferença entre
√
63 e 3
√
2?
Resp.: 3 3
√
2 + 3
√
7
Proposto 1.19 Na figura está representado um quadrado de 5 u.a. e a circunferência inscrita nesse quadrado.
Qual é o peŕımetro da região colorida?
Resp.: (4 + π)
√
5 u.c.
Proposto 1.20 Qual é o peŕımetro do trapézio isósceles representado, onde as medidas indicadas estão na
mesma unidade de comprimento?
Resp.: (4 + 4
√
2) u.c.
1.2.2 Multiplicação de radicais
Nota 1.2.3 Nas expressões, a multiplicação e divisão têm prioridade em relação à adição e subtração
Exemplo 1.2.4 10 3
√
2− 4 3
√
4× 3
√
4 = 10 3
√
2− 4 3
√
16 = 10 3
√
2− 4× 2 3
√
2 = (10− 8) 3
√
2 = 2 3
√
2
Vı́deo 1.2.2 Multiplicação e divisão de números reais
Exerćıcios resolvidos
Resolvido 1.21 Determine o número real representado por 2 3
√
2×
(
− 3
√
2
)
× 2 3
√
2.
Resp.: −8
Resolvido 1.22 Qual é o número real que resulta da soma do produto de −
√
3 por
√
5 com o produto de 2
√
5
por
√
3?
Resp.:
√
15
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181855/mod_resource/content/2/multiplicacao_divisao.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181855/mod_resource/content/2/multiplicacao_divisao.mp4
20 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Resolvido 1.23 No paraleleṕıpedo [ABCDEFGH] representado sabe-se que BC = 23AB , BF =
3
4BC e
AB =
√
5 u.c.
Qual é o volume do paraleleṕıpedo, em u.v.?
Resp.: 53
√
5
Resolvido 1.24 Qual o número representado pela seguinte expressão numérica:
3 3
√
2− 3
√
2
3 3
√
2×
(
3− 3
√
8
) .
Resp.: 23
Resolvido 1.25 Num prisma regular a área da base é
√
5 sendo (5
√
2−
√
5) o comprimento da aresta lateral.
Qual é o valor exato do volume do prisma?
Resp.: 5
(√
10− 1
)
u.v.
Resolução em documento digital: página 5
Exerćıcios propostos
Proposto 1.21 Determine o número real representado pela seguinte expressão numérica:
3 3
√
2×
(
− 3
√
2
)
3 3
√
2− 3
√
16
Resp.: −3 3
√
2
Proposto 1.22 Qual é o número real que resulta da diferença entre o dobro da soma de 32 com
3
√
16 e o produto
de 2 12 por
3
√
2?
Resp.: 3 + 32
3
√
2
Proposto 1.23 O esquema apresentado mostra um hexágono inscrito numa circunferência de raio
√
5.
Qual é a área do hexágono?
Resp.: ( 152
√
3) u.a.
Proposto 1.24 Qual é o número real representado pela seguinte expressão numérica
3 3
√
2− 3
√
2
3 3
√
2×
(
3− 3
√
8
)
Resp.: 23
1.2. OPERAÇÕES COM RADICAIS 21
Proposto 1.25 Na figura está representado um icosaedro sendo
√
5 u.c. o comprimento de cada aresta. Qual
é a área total das faces do icosaedro?
Resp.: (25
√
3) u.a.
1.2.3 Potenciação
Nota 1.2.4 Nas expressões, a potenciação tem prioridade em relação à multiplicação e divisão e estas em
relação à adição e subtração.
Exemplo 1.2.5
(
2 3
√
2
)3 − 3√2× (2 3√2)2 = 8× 3√23 − 3√2× (4 3√22) = 8× 3√23 − 4× 3√23 = 4× 2 = 8
Vı́deo 1.2.3 Potenciação e radiciação de números reais
Exerćıcios resolvidos
Resolvido 1.26 Determine o número real representado por
(
2 3
√
2
)3 × (− 3√2 + 2 3√2)2 .
Resp.: 16 3
√
4
Resolvido 1.27 Determine o número real que resulta da diferença entre a soma do quadrado de −
√
3 com o
quadrado de
√
5 e o quadrado do produto de 2
√
5 por
√
3.
Resp.: −52
Resolvido 1.28 Na pirâmide hexagonal regular representada, a aresta da base mede
√
5 e a aresta lateral
√
8.
Qual é o volume da pirâmide?
Resp.: 152 u.v.
Resolvido 1.29 Determine o número real representado por
(
3×2
1
3− 3
√
2
)2
3×2
1
3×
(
3√2−4
2
3
) .
Resp.: − 43
Resolvido 1.30 Determine a potência de base 2 representada por 2
√
12−
√
27√
6
.
Resp.: 2−
1
2
Resolução em documento digital: página 5 e 6
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181856/mod_resource/content/1/potenciacao_radiciacao.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181856/mod_resource/content/1/potenciacao_radiciacao.mp4
22 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Exerćıcios propostos
Proposto 1.26 Determine a potência de base 3 representada por 3
√√
27√
3
.
Resp.: 3
1
3
Proposto 1.27 Determine o número real que resulta do quociente entre o quadrado da diferença entre 3 3
√
2 e
3
√
2 e o quadrado da diferença entre
√
63 e 2
√
7.
Resp.: 4
3√4
7
Proposto 1.28 Na figura está representado um triângulo [BCD], retângulo em D.
Qualé o comprimento do lado [BC]?
Resp.: 6
√
108
Proposto 1.29 Determine o número real representado por
(2 3
√
−2− 3
√
−2)
3
3 3
√
2× 3
√
−4
Resp.: 13
Proposto 1.30 Determine o número real representado por
(√
3−
√
8
)2
+
(√
3−
√
8
)3
Resp.: 11 + 27
√
3− 34
√
2− 4
√
6
1.2.4 Radiciação
Nota 1.2.5 Nas expressões, a potenciação e radiciação têm prioridade em relação à multiplicação e divisão e
estas em relação à adição e subtração.
Exemplo 1.2.6
(
2 6
√
2
)3 × 6√4−√ 3√2× (2 3√2)2 = 8× 6√23 × 6√22 − 6√2× (4 3√22) = 8× 6√25 − 4 6√2× 6√24 =
8× 6
√
25 − 4 6
√
25 = 4
6
√
25
Vı́deo 1.2.4 Potenciação e radiciação de números reais
Exerćıcios resolvidos
Resolvido 1.31 Determine o número real representado por
4
√√
2 3
√
5
Resp.: 24
√
40.
Resolvido 1.32 Qual o valor de
(√
2
√
2
√
2÷
(
4
√
2
)3) 13
, na forma de potência de expoente racional?
Resp.: 2
1
24
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181856/mod_resource/content/1/potenciacao_radiciacao.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181856/mod_resource/content/1/potenciacao_radiciacao.mp4
1.2. OPERAÇÕES COM RADICAIS 23
Resolvido 1.33 Na pirâmide hexagonal regular representada, a aresta da base mede 3
√
5 e a altura 6
√
75
4 .
Qual é o volume da pirâmide?
Resp.: 5 3
√
9
16
Resolvido 1.34 Determine a potência de base 2 representada por
√
3
√
2×
(
2 3
√
2
)2
.
Resp.: 2
17
6
Resolvido 1.35 Determine o número real representado por
√(
1−
√
3
)2
.
Resp.:
√
3− 1
Resolução em documento digital: página 6 e 7
Exerćıcios Propostos
Proposto 1.31 Determine o número real representado por
3
√(
2
√
3×
√
2
)2 × (√3 + 2√3)
Resp.: 6
6
√
35
Proposto 1.32 Determine a aresta do cubo que tem 2 3
√
2 de volume.
Resp.: 2 9
√
16
Proposto 1.33 Na figura está representado um prisma quadrangular com 3
√
20 de volume.
Se a aresta lateral medir 3
√
5 quanto mede a aresta da base?
Resp.: 3
√
2
Proposto 1.34 Determine a potência de base 2 representada por
√√
8√
2
.
Resp.: 2
1
2
Proposto 1.35 Determine o número real representado por 4
√
5
√
2−
√√
5× 4
√
10√√
162
Resp.:
√
5
24 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
1.2.5 Racionalização de denominadores
Exerćıcios resolvidos
Resolvido 1.36 Determine, com denominador inteiro, o número real representado por 23√5 .
Resp.: 2×
3√25
5
Resolvido 1.37 Diga se é verdadeira ou falsa a seguinte igualdade 1√√
3−
√
8
= 1 +
√
2.
Resp.: Verdadeira
Resolvido 1.38 No prisma quadrangular regular representado, a área de cada face lateral é 5 sendo (5
√
2− 5)
o comprimento da aresta AE .
Qual é o volume do prisma?
Resp.: 5
√
2 + 5
Resolvido 1.39 Determine, na forma a n
√
b, a ∈ Z, b, n ∈ N, o número real representado por 2√√
2 3
√
2
.
Resp.: 3
√
4
Resolvido 1.40 Qual é o número real, com denominador inteiro, que representa o inverso da raiz quadrada
da diferença entre 6 e 2
√
5?
Resp.: 1+
√
5
4
Resolução em documento digital: página 7 e 8
Exerćıcios propostos
Proposto 1.36 Qual é o número real, com denominador inteiro, representado por
4√3√
18+
√
8
Resp.:
4√12
10
1.2. OPERAÇÕES COM RADICAIS 25
Proposto 1.37 A figura a seguir representa um cubo, sendo P e Q pontos das arestas [EH] e [GH], respeti-
vamente.
Supondo que AB =
√
5 e EP = GQ =
√
3 determine, com denominador inteiro, a razão entre a área de uma
face do cubo e a área do triângulo [PQH]
Resp.: 20 + 5
√
15
Proposto 1.38 Determine, na forma a n
√
b, a ∈ Q, b, n ∈ N o inverso de
√√
2 3
√
2.
Resp.: 12
3
√
4
Proposto 1.39 A figura a seguir representa um quadrado, cujo lado mede
√
3, e um triângulo equilátero.
Qual é, com denominador inteiro, a razão entre a área do quadrado e a área total da figura?
Resp.: 16−4
√
3
13
Proposto 1.40 Determine, como potência de base natural, o seguinte número real 6
5√5− 10
√
25
3
√
5× 5
√
5
.
Resp.: 5
4
5
26 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
1.3 Módulo de um número real
Nota 1.3.1 O módulo de números simétricos é o mesmo porque a sua representação na reta se encontra à
mesma distância da origem.
Exemplo 1.3.1
∣∣−√3− 1∣∣ = ∣∣√3 + 1∣∣
Regra Exemplos
Valor absoluto |a| =
{
a⇐ a ∈ R+0
−a⇐ a ∈ R−
∣∣√3 + 1∣∣ = √3 + 1∣∣−√3− 1∣∣ = √3 + 1
∣∣∣−√3× 1
2
√
3
∣∣∣ = ∣∣− 12 ∣∣ = 12
Módulo do produto |a× b| = |a| × |b| ,∀a, b ∈ R ∣∣−√3∣∣× ∣∣∣ 1
2
√
3
∣∣∣ = √3× 1
2
√
3
= 12
∣∣∣∣−√51
2
√
5
∣∣∣∣ = ∣∣− 2×51 ∣∣ = 10
Módulo do quociente
∣∣a
b
∣∣ = |a||b| ,∀a, b 6= 0 ∈ R
|−√5|∣∣∣ 1
2
√
5
∣∣∣ =
√
5
1
2
√
5
= 2×51 = 10
∣∣∣∣(−1√2)3
∣∣∣∣ = ∣∣∣− 1√8 ∣∣∣ = ∣∣∣− 12√2 ∣∣∣ = √22√2×√2 = √24
Módulo da potência |an| = |a|n ,∀n ∈ Z, a ∈ R ∣∣∣−1√
2
∣∣∣3 = ( 1√
2
)3
= 1√
8
= 1
2
√
2
= 1
2
√
2×
√
2
=
√
2
4
Módulo da soma |a+ b| ≤ |a|+ |b| ,∀a, b ∈ R
∣∣−√3 +√2∣∣ = √3−√2 ≤ ∣∣−√3∣∣+ ∣∣√2∣∣ = √3 +√2
Módulo da diferença |a− b| ≥ |a| − |b| ,∀a, b ∈ R
∣∣√3−√2∣∣ = √3−√2 ≥ ∣∣√3∣∣− ∣∣√2∣∣ = √3−√2
Vı́deo 1.3.1 Valor absoluto de números reais
1.3.1 Exerćıcios resolvidos
Resolvido 1.41 Qual é o número real representado por
∣∣− 58 − (4 + 5−66 )∣∣.
Resp.: 10724
Resolvido 1.42 Determine o número real representado por
∣∣2−√2∣∣+ ∣∣−3−√2∣∣.
Resp.: 5
Resolvido 1.43 Admitindo que a, b ∈ R e |a| =
√
3
4 , |b| =
√
1
3 diga se é verdadeira ou falsa a seguinte
proposição |b− a| ≤
√
3
12 .
Resp.: Falsa
Resolvido 1.44 Determine
∣∣− 94q2∣∣× ∣∣∣(p× q)−1∣∣∣ sabendo que p, q ∈ R e −q = 23 e p = 34 .
Resp.: 2
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181857/mod_resource/content/2/valorabsoluto.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181857/mod_resource/content/2/valorabsoluto.mp4
1.3. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 27
Resolvido 1.45 Determine o número real representado por
|√2−3|−|−3−√2|
|−√8| .
Resp.: −1
Resolução em documento digital: página 8 e 9
1.3.2 Exerćıcios propostos
Proposto 1.41 Qual o menor número inteiro cuja representação na reta dista da origem menos de
√
5?
Resp.: −2
Proposto 1.42 Determine o número real representado por
∣∣∣ 1√
5
− 1√
3
∣∣∣.
Resp.: 5
√
3−3
√
5
15
Proposto 1.43 Determine
∣∣a−1 × b−1∣∣ sabendo que a, b ∈ R e |−a| = √34 , |b| = √ 23 .
Resp.: 2
√
2
Proposto 1.44 Qual o número real representado por
∣∣− 32a2∣∣ se |a| = √34 ?
Resp.: 932
Proposto 1.45 Admitindo que a, b ∈ R e |a| =
√
3
4 , |b| =
√
1
3 diga se é verdadeira ou falsa a seguinte proposição
|a+ b| ≤ 7
√
3
12 .
Resp.: Verdadeira
28 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
1.4 Operações com intervalos
1.4.1 Interseção
Propriedades Definição Exemplos
A ∩B {x ∈ R : x ∈ A ∧ x ∈ B} [−2, 3[∩]−∞, 5] = [−2, 3[
Idempotência A ∩A = A ]− 3, 5]∩]− 3, 5] =]− 3, 5]
[−2,+∞[∩]−∞, 3] = [−2, 3]
Comutativa A ∩B = B ∩A
]−∞, 3] ∩ [−2,+∞[= [−2, 3]
([−3,+∞[∩]−∞, 2])∩]− 3, 5] = [−3, 2]∩]− 3, 5] =]− 3, 2]
Associativa (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
[−3,+∞[∩(]−∞, 2]∩]− 3, 5]) = [−3,+∞[∩]− 3, 2] =]− 3, 2]
Elemento neutro A ∩ R = R ∩A = A ]− 3, 5] ∩ R = R∩]− 3, 5] =]− 3, 5]
Elemento absorvente A ∩ ∅ = ∅ ∩A = ∅ ]− 1,+∞[∩∅ = ∅∩]− 1,+∞[= ∅
Vı́deo 1.4.1 Operações com intervalos de números reais
Exerćıcios resolvidos
Resolvido 1.46 Sendo A = ]−π, 5] e B =
[
−e, 3
√
2
[
determine, sob a forma de intervalo, o conjunto de
números reais que representa A ∩B.
Resp.:
[
−e, 3
√
2
[
Resolvido 1.47 Sendo A =
]
−π,
√
5
]
e B = [−e,+∞[ determine o maior número inteiro que pertence a A∩B.
Resp.: 2
Resolvido 1.48 Sendo A = ]−π, 5], B = {x ∈ Z : −5 ≤ x ≤ 3} e C = [−e,+∞[ determine o conjunto de
números reais que representa A ∩B ∩ C.
Resp.: {−2,−1, 0, 1, 2, 3}
Resolvido 1.49 Sendo A = ]−2, 1] e A ∩B = A determine C ∩B admitindo que C = {x ∈ Z : −2 < x ≤ 1}.
Resp.: {−1, 0, 1}
Resolvido 1.50 Sendo A = [−2,+∞[ e C = ]−3, 1] determine o conjunto de números reais que representa
A ∩ C ∩ Z.
Resp.: {−2,−1, 0, 1}
Resolução em documento digital: página 9 e 10
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181859/mod_resource/content/3/operacoescomIntervalos.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181859/mod_resource/content/3/operacoescomIntervalos.mp41.4. OPERAÇÕES COM INTERVALOS 29
Exerćıcios propostos
Proposto 1.46 Qual é o maior número inteiro pertencente a C = ]−∞, e] ∩ Z?
Resp.: 2
Proposto 1.47 Diga se é verdadeira ou falsa a afirmação:
(A ∩ ∅) ∩ (B ∩ R) = B
quaisquer que sejam os conjuntos de números reais A e B.
Resp.: Falsa
Proposto 1.48 Sendo A =
{
x ∈ R : x ≥
√
2
}
e B = {x ∈ R : x < π} determine, sob a forma de intervalo, o
conjunto de números reais que representa A ∩B.
Resp.:
[√
2, π
[
Proposto 1.49 Sendo A = ]−π, 1] e B = {x ∈ Z : −1 ≤ x ≤ 3} determine o conjunto de números reais que
representa A ∩B.
Resp.: {−1, 0, 1}
Proposto 1.50 Sendo A = ]−π, 1], B = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 3} e C = [0,+∞[ determine, sob a forma de
intervalo, o conjunto de números reais que representa A ∩B ∩ C.
Resp.: [0, 1]
1.4.2 Reunião
Propriedades Definição Exemplos
A ∪B {x ∈ R : x ∈ A ∨ x ∈ B} [−3, 5[∪]−∞, 2] =]−∞, 5[
Idempotência A ∪A = A ]− 3, 5]∪]− 3, 5] =]− 3, 5]
[−3,+∞[∪]− 5, 2] =]− 5,+∞[
Comutativa A ∪B = B ∪A
]− 5, 2] ∪ [−3,+∞[=]− 5,+∞[
([−3, 3[∪]−∞, 2])∪]− 3, 5] =]−∞, 3[∪]− 3, 5] =]−∞, 5]
Associativa (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
[−3, 3[∪(]−∞, 2]∪]− 3, 5]) = [−3, 3[∪]−∞, 5] =]−∞, 5]
Elemento neutro A ∪ ∅ = ∅ ∪A = A ]− 1,+∞[∪∅ = ∅∪]− 1,+∞[=]− 1,+∞[
Elemento absorvente A ∪ R = R ∪A = R ]− 3, 5] ∪ R = R∪]− 3, 5] = R
[−3,+∞[∩(]−∞, 2]∪]− 3, 5]) =
Distributiva A ∩ (B ∪ C) = = [−3,+∞[∩]−∞, 5] = [−3, 5]
(∩ vs ∪) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
([−3,+∞[∩]−∞, 2]) ∪ ([−3,+∞[∩]− 3, 5]) =
= [−3, 2[∪]− 3, 5] = [−3, 5]
[−3,+∞[∪(]−∞, 2]∩]− 3, 5]) =
Distributiva A ∪ (B ∩ C) = = [−3,+∞[∪]− 3, 2] = [−3,+∞[
(∪ vs ∩) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
([−3,+∞[∪]−∞, 2]) ∩ ([−3,+∞[∪]− 3, 5]) =
=]−∞,+∞[∩[−3,+∞[= [−3,+∞[
30 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Nota 1.4.1 As operações com intervalos devem ser efetuadas pela ordem em que aparecem pois não há priori-
dades.
Exemplo 1.4.1 [−3,+∞[ ∩ ]−∞, 2[ ∪ ]−3, 5] = [−3, 2[ ∪ ]−3, 5] = [−3, 5]
Vı́deo 1.4.2 Operações com intervalos de números reais
Exerćıcios resolvidos
Resolvido 1.51 Sendo A = ]−π, 5] e B =
[
−e, 3
√
2
[
determine, sob a forma de intervalo, o conjunto de
números reais que representa A ∪B.
Resp.: ]−π, 5]
Resolvido 1.52 Sendo A =
]
−π,
√
5
]
e B = [−e,+∞[ determine o menor número inteiro que pertence a
A ∪B.
Resp.: −3
Resolvido 1.53 Comprove a propriedade distributiva da reunião em relação à interseção, A ∪ (B ∩ C) =
(A ∪B) ∩ (A ∪ C), com base nos conjuntos A = [−3,+∞], B = ]−∞, 2] e C = ]−3, 5].
Resolvido 1.54 Sendo A = ]−2, 0] e B = [2, 4[ determine o conjunto de números inteiros pertencentes a A∪B.
Resp.: {−1, 0, 2, 3}
Resolvido 1.55 Sendo A = ]−∞, 4[ e B = [−1,+∞] determine o maior número inteiro negativo que pertence
a (A ∪B) ∩ Z−.
Resp.: −1
Resolução em documento digital: página 10 e 11
Exerćıcios propostos
Proposto 1.51 Qual é o maior número inteiro pertencente a ]−2, e] ∪ Z−?
Resp.: 2
Proposto 1.52 Sendo A = [−1,+∞[ e B =
[
−e,
√
2
[
determine, sob a forma de intervalo, o conjunto de
números reais que representa A ∪B.
Resp.: [−e,+∞[
Proposto 1.53 Sendo A = {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ 2} e B =
]
−∞,
√
2
]
determine, sob a forma de intervalo, o
conjunto de números reais que representa A ∪B.
Resp.: ]−∞, 2]
Proposto 1.54 Diga se é verdadeira ou falsa a afirmação: (A ∪B)∩B = B, quaisquer que sejam os conjuntos
de números reais A e B.
Resp.: Verdadeira
Proposto 1.55 Sendo A = ]−π, 1] e B = {x ∈ Z : −1 ≤ x ≤ 3} determine o conjunto de números reais que
representa A ∪B.
Resp.: ]−π, 1] ∪ {2, 3}
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1.4. OPERAÇÕES COM INTERVALOS 31
1.4.3 Complementação
Propriedades Definição Exemplos
A\B {x ∈ R : x ∈ A ∧ x /∈ B} [−2, 5[\]−∞, 2] =]2, 5[
R\A = A {x ∈ R : x /∈ A} ]− 3,+∞[ = R\]− 3,+∞[=]−∞,−3]
A ∪ A = R ]−∞, 3[∪]−∞, 3[ =]−∞, 3[∪[3,+∞[= R
A ∩ A = ∅ ]−∞, 3[∩]−∞, 3[ =]−∞, 3[∩[3,+∞[= ∅
A = A ]−∞, 3[ = [3,+∞[ =]−∞, 3[
[−3, 3[∩]−∞, 2] = [−3, 2] =]−∞,−3[∪]2,+∞[
A ∩B = A ∪ B
[−3, 3[ ∪ ]−∞, 2] = (]−∞,−3[∪[3,+∞[)∪]2,+∞[=
]−∞,−3[∪]2,+∞[
Leis de De Morgan
[−3, 3[∪]−∞, 2] = ]−∞, 3[ = [3,+∞[
A ∪B = A ∩ B
[−3, 3[ ∩ ]−∞, 2] = (]−∞,−3[∪[3,+∞[)∩]2,+∞[=
[3,+∞[
Nota 1.4.2 A representa o complementar do conjunto A em R, ou seja, A = R\A.
Exemplo 1.4.2 ]−∞, 3[ = R\ ]−∞, 3[ = [3,+∞[
Exerćıcios resolvidos
Resolvido 1.56 Sendo A =
]
−2π, 3
√
2
]
e B = [−e, 5[ determine, sob a forma de intervalo, o conjunto de
números reais que representa A\B.
Resp.: ]−2π,−e[
Resolvido 1.57 Sendo A =
]
−2, 3
√
2
]
e B = {x ∈ Z : −5 ≤ x < 0} determine, em extensão, o conjunto de
números reais que representava B\A.
Resp.: {−5,−4,−3,−2}
Resolvido 1.58 Comprove a lei de De Morgan A ∪B = A ∩B quando A = ]−π, 5] e B = [−e,+∞[.
Resolvido 1.59 Diga se é verdadeira ou falsa a seguinte igualdade: A ∩B ∪B = ∅,∀A,B ⊂ R.
Resp.: Verdadeiro
Resolvido 1.60 Sendo A = ]−∞,−π] ∪
]
3
√
2,+∞
[
e B = ]−∞,−2π[ determine, sob a forma de intervalo,
Ā\B.
Resp.:
]
−π, 3
√
2
]
Resolução em documento digital: página 11 e 12
32 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Exerćıcios propostos
Proposto 1.56 Sendo A =
]
−π, 3
√
2
]
e B = {x ∈ Z : −5 ≤ x < 0} determine, em extensão, o conjunto de
números reais que representa B\A.
Resp.: {−3,−2,−1}
Proposto 1.57 Sendo A = ]−∞, π] e B = {x ∈ R : −5 ≤ x < 2π} determine, sob a forma de intervalo, o
conjunto de números reais que representa B\A.
Resp.: ]π, 2π[
Proposto 1.58 Sendo A = ]−∞,−2π] ∪
]
3
√
2,+∞
[
e B = ]−∞, π] determine, sob a forma de intervalo,
A ∪B .
Resp.:
]
π, 3
√
2
]
Proposto 1.59 Diga se é verdadeira ou falsa a seguinte igualdade: A ∩B ∪B = R;∀A,B ⊂ R
Resp.: Verdadeira
Proposto 1.60 Sendo A = ]−∞,−2π] e B = ]−∞,−π[ determine (B\A) ∩ Z.
Resp.: {−6,−5,−4,−3}
Caṕıtulo 2
Polinómios
2.1 Definição e classificação de polinómios
Definição 2.1.1 p(x) = anx
n+an−1x
n−1 + ...+a1x+a0, an 6= 0 é um polinómio na variável x de grau n ∈ N0.
Exemplo 2.1.1 p(x) = 2x3 − 3x+ 1 é um polinómio na variável x de grau 3 e q(x) = −5 é um polinómio de
grau 0.
Polinómios
p(x) = anx
n + an−1x
n−1 + ...+ a1x+ a0
q(x) = bmx
m + bm−1x
m−1 + ...+ b1x+ b0
p(x) = 2x3 − 3x+ 1
q(x) = −3x2 + x
Termos de p(x) anx
n, an−1x
n−1, ..., a1x, a0 2x
3,−3x, 1
Coeficientes de q(x) bm, bm−1, ...b1, b0 −3, 1, 0
Monómios (um só termo) anx
n, an 6= 0 −3x4
Binómios (dois termos) anx
n + apx
p, an, ap 6= 0 −3x4 + 2x
Polinómios (mais que 1 termo) anx
n + ...+ apx
p, an, ..., ap 6= 0 −3x4 + 3x3 − 3x2 + 2x
Monómios semelhantes anx
n semelhante bmx
m ⇒ m = n −3x4 e 2x4
Igualdade de polinómios p(x) = q(x)⇒
{
m = n
an = bn ∧ ... ∧ a0 = b0
−3x4 + 2x2 = +ax2 − bx4
⇔
{
a = 2
b = 3
Valor numérico do polinómio q(α) = anα
n + ...+ a1α+ a0 q(1) = −3(1)2 + (1) = −2
Raiz ou Zero do polinómio q(α) = 0 q
(
1
3
)
= −3
(
1
3
)2
+
(
1
3
)
= 0
33
34 CAPÍTULO 2. POLINÓMIOS
Nota 2.1.1 Reduzir um polinómio é escrevê-lo de forma a que não apareçam monómios semelhantes.
Exemplo 2.1.2 Reduzir o seguinte polinómio: p(x) = −3x+ 3x3 − 3x2 − 4 + 2x+ 3
Polinómio reduzido: p(x) = 3x3 − 3x2 + (2x− 3x) + (3− 4) = 3x3 − 3x2 − x− 1
Vı́deo 2.1.1 Polinómios e igualdade de polinómios
2.1.1 Exerćıcios resolvidos
Resolvido 2.1 Assinale com (V) as expressões que são polinómios e com (F) as que não são.
A. p(x) = −3x+ 32x
3 − 3x2 Resp.: (V)
B. p(x) = −3x+ 2x3 − 3x
2 Resp.: (F)
C. p(x) = −x+ 2x − 3x
−2 Resp.: (F)
Resolvido 2.2 Considere o polinómio P tal que: P (x) + x× P (2− x) = x2 + 3 para todo o número real x.
Determine o valor de P (0) + P (1) + P (2).
Resp.: 6
Resolvido 2.3 Determine os valores de (m,n, p, q) por forma a que o polinómio, na variável x, satisfaça a
seguinte igualdade:
(m− 4)x3 + (2m+ 3n− 8)x2 + (n− p)x+ q − 5 = 0
Resp.: (4, 0, 0, 5)
Resolvido 2.4 Determine o polinómio reduzido equivalente a P (x) = x2 − 3x+ x3 − 5x2 − 1− 6x.
Resp.: x3 − 4x2 − 9x− 1
Resolvido 2.5 Considere opolinómio P (x) = ax2 + 2x− 3. Indique, sob a forma de intervalo, o conjunto de
valores que a pode assumir para que P (–1) > 0
Resp.: a ∈ ]5,+∞[
Resolução em documento digital: página 13
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181866/mod_resource/content/5/polinomios1.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181866/mod_resource/content/5/polinomios1.mp4
2.1. DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE POLINÓMIOS 35
2.1.2 Exerćıcios propostos
Proposto 2.1 Determine os valores posśıveis de n ∈ N0, por forma a que o polinómio, p(x) = −3x + 3xn −
3x2 − 4 seja um polinómio de grau 2.
Resp.: {0, 1}
Proposto 2.2 Considere o polinómio P (x) = ax2 + 2x − 3. Determine os valores de a ∈ R para os quais
P (1) > 0.
Resp.: a ∈]1,+∞[
Proposto 2.3 Considere o polinómio P (x) = x2 − 3x+ 1. Assinale com (V) as afirmações verdadeiras e com
(F) as falsas.
A. P (0) < 0
B. P (1) ≥ P (2)
C. P (−1) > P (2)
Resp.: A.-F B.-V C.-V
Proposto 2.4 Determine os valores de (m,n, p, q) por forma a que o polinómio, na variável x, satisfaça a
seguinte igualdade:
(3m− 15)x3 + (m+ n− 10)x2 + (6n− 2p)x+ q − 3 = 0
Resp.: (5, 5, 15, 3)
Proposto 2.5 Determine o valor de p−q por forma a que os polinómios P (x) = px2+qx−4 e Q(x) = x2+px+q,
satisfaçam a seguinte igualdade: P (x+ 1) = Q(2x) para todo x real.
Resp.: 4
36 CAPÍTULO 2. POLINÓMIOS
2.2 Operações com monómios e polinómios
Monómio + Monómio axn + bxn = (a+ b)xn 2x3 − 3x3 = (2− 3)x3 = −x3
Monómio × Monómio axn × bxm = (a× b)xn+m 1x3 × 3x2 = (1× 3)x3+2 = 3x5
Monómio ÷ Monómio axn ÷ bxm = (a÷ b)xn−m 6x3 ÷ 3x2 = (6÷ 3)x3−2 = 2x
Potência de um Monómio (axn)
m
= am(xn)
m
= amxn×m
(
2x3
)2
= 22
(
x3
)2
= 4x6
Monómio × Polinómio (bx
m + cxp)× axn
= (b× a)xm+n + (c× a)xp+n 2x
3 ×
(
3x2 + x
)
= 6x5 + 2x4
Polinómio ÷ Monómio (bx
m + cxp)÷ axn
= (b÷ a)xm−n + (c÷ a)xp−n
(
3x6 − 6x3
)
÷ 3x3 = x3 − 2
Nota 2.2.1 Nas operações com monómios a potenciação tem prioridade em relação à multiplicação e divisão
e esta em relação à adição e subtração.
Exemplo 2.2.1 x
2+2x3−x8
(2x)2
= x
2+2x3−x8
4x2
= 1
4
x2−2 + 2
4
x3−2 − 1
4
x8−2 = 1
4
+ 1
2
x− 1
4
x6
Vı́deo 2.2.1 Operações com monómios e polinómios
2.2.1 Exerćıcios resolvidos
Resolvido 2.6 Considere os polinómios p(x) = x3 + 6x2 − 12x+ 20 e q(x) = 6x2 − 8x+ 11.
Determine o polinómio reduzido que representa p(x)− q(x).
Resp.: x3 − 4x+ 9
Resolvido 2.7 Considere os polinómios s(x) = x3 + 6x2 e r(x) = 2x.
Determine o polinómio reduzido que representa s(x)
[r(x)]2
.
Resp.: 14x+
3
2 .
Resolvido 2.8 Considere os polinómios p(x) = 8x3 + 6x2 − 12x+ 20 e r(x) = 2x.
Para que p(x)− [r(x)]n seja um polinómio de 2o grau qual deve ser o valor de n?
Resp.: n = 3
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2.2. OPERAÇÕES COM MONÓMIOS E POLINÓMIOS 37
Resolvido 2.9 Determine o polinómio reduzido que representa o peŕımetro da figura a seguir indicada.
Resp.: 4x+ 10
Resolvido 2.10 Determine o polinómio P tal que: P (x) + x× P (2− x) = x2 + 3 para todo o número real x.
Resp.: P (x) = −x+ 3
Resolução em documento digital: página 14
2.2.2 Exerćıcios propostos
Proposto 2.6 Considere os polinómios p(x) = x3 + 6x2 + 12x+ 2 e q(x) = ax3 − 8x+ 1.
Determine o valor a ∈ R, por forma que o polinómio, p(x)− 2q(x) seja um polinómio de grau 2.
Resp.: a = 12
Proposto 2.7 Considere os polinómios s(x) = 9x3 + 6x2 e r(x) = 3x.
Determine o polinómio reduzido que representa s(x)
[r(x)]2
.
Resp.: x+ 23
Proposto 2.8 Considere os polinómios s(x) = x3 + 6x2 e q(x) = ax2 + bx+ c.
Determine os valores de a, b, c ∈ R para que s(x) + q(x) = x3 + 1.
Resp.:
 a = −6b = 0
c = 1
Proposto 2.9 Determine o polinómio reduzido que representa a área da figura a seguir indicada.
Resp.: x2 + 5x− 9
38 CAPÍTULO 2. POLINÓMIOS
Proposto 2.10 Determine o valor de a + b por forma a que os polinómios P (x) = ax2 + bx − 4 e Q(x) =
x2 + ax+ b, satisfaçam a seguinte igualdade: P (x+ 1) = Q(2x) para todo x ∈ R.
Resp.: 4
2.3. DIVISÃO DE POLINÓMIOS 39
2.3 Divisão de polinómios
Definição 2.3.1 Quando dividimos o polinómio D(x) pelo polinómio d(x) obtemos um polinómio Q(x) e um
polinómio R(x) tais que:
D(x) = d(x)×Q(x) +R(x)
sendo D(x) o dividendo, d(x) o divisor, Q(x) o quociente e R(x) o resto.
Exemplo 2.3.1 Determine o quociente e o resto da divisão de D(x) = 6x3−2x2 +x+ 3 por d(x) = x2−x+ 1.
Pelo algoritmo da divisão temos:
− 6x
3 − 2x2 + x+ 3 x2 − x+ 1
6x3 − 6x2 + 6x 6x+ 4
− 4x
2 − 5x+ 3
4x2 − 4x+ 4
−x− 1
sendo Q(x) = 6x+ 4 e R(x) = −x− 1 tais que:(
x2 − x+ 1
)︸ ︷︷ ︸
d(x)
× (6x+ 4)︸ ︷︷ ︸
Q(x)
+ (−x− 1)︸ ︷︷ ︸
R(x)
= 6x3 − 6x2 + 6x+ 4x2 − 4x+ 4− x− 1 = 6x3 − 2x2 + x+ 3︸ ︷︷ ︸
D(x)
Nota 2.3.1 O grau do polinómio R(x) é sempre menor que o grau do polinómio d(x).
No exemplo apresentado o grau de R(x) é 1 e o grau de d(x) é 2.
Nota 2.3.2 A soma do grau de d(x) com o grau de R(x) tem que ser sempre igual ao grau de D(x).
No exemplo apresentado o grau de D(x) é 3, o grau de d(x) é 2 e o grau de R(x) é 1.
Definição 2.3.2 Quando R(x) = 0 diz-se que o polinómio D(x) é diviśıvel por d(x).
Nota 2.3.3 Quando d(x) = x− α utiliza-se, preferencialmente, a chamada Regra de Ruffini para encontrar
o quociente e o resto da divisão de um polinómio D(x) pelo polinómio d(x) .
Exemplo 2.3.2 Determine o quociente e o resto da divisão de D(x) = x3 − x2 − 1 por d(x) = x− 1.
Aplicando a Regra de Ruffini temos:
1 −1 0 −1
1 1 0 0
1 0 0 −1
sendo Q(x) = x2 e R(x) = −1 tais que: (x− 1)︸ ︷︷ ︸
d(x)
× x2︸︷︷︸
Q(x)
+ (−1)︸︷︷︸
R(x)
= x3 − x2 − 1︸ ︷︷ ︸
D(x)
Nota 2.3.4 Quando pretendemos conhecer apenas o resto da divisão de um polinómio D(x) pelo polinómio
d(x) = x− α podemos utilizar o Teorema do resto que afirma que R(x) = D(α).
Exemplo 2.3.3 Determine o resto da divisão de D(x) = x3 − x2 − 1 por d(x) = x− 1.
Aplicando o Teorema do resto temos:
R(x) = D(1) = 13 − 12 − 1 = −1
40 CAPÍTULO 2. POLINÓMIOS
Definição 2.3.3 Quando o resto da divisão de um polinómio D(x) por um polinómio d(x) = x−α é R(x) = 0
diz-se que α é Raiz ou Zero de D(x).
Exemplo 2.3.4 Mostre que −2 é Raiz ou Zero de D(x) = x3 + 4x2 + 4x.
Aplicando o Teorema do resto temos:
R(x) = D(−2) = (−2)3 + 4× (−2)2 + 4× (−2) = 0
Vı́deo 2.3.1 Divisão de polinómios
2.3.1 Exerćıcios resolvidos
Resolvido 2.11 Determine o polinómio P (x) que satisfaz a seguinte igualdade:
(3x+ 2)× P (x) = 3x3 + x2 − 6x− 2 + P (x)
Resp.: x2 − 2
Resolvido 2.12 Determine o polinómio d(x) que verifica a seguinte igualdade:
2x3 − 3x2 + 8x+ 3 = d(x)× (2x− 1) + (3x+ 5)
Resp.: x2 − x+ 2
Resolvido 2.13 Determine o quociente da divisão do polinómio P (x) = 2x3−kx2 +3x−2k por (x−2) sabendo
que o resto é 4.
Resp.: 2x2 + x+ 5
Resolvido 2.14 Considere o polinómio P (x) = Q(x)× (x− 1) + 4.
Se o resto da divisão de Q(x) por (x–2) é 3, qual é o resto da divisão de P (x) por (x− 1)× (x− 2)?
Resp.: 3x+ 1
Resolvido 2.15 Se o resto da divisão de P (x) por (x2–4) é 3x+7, qual é o resto da divisão de P (x) por (x−2)?
Resp.: 13
Resolução em documento digital: página 15 e 16
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181868/mod_resource/content/4/polinomios3.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181868/mod_resource/content/4/polinomios3.mp4
2.3. DIVISÃO DE POLINÓMIOS 41
2.3.2 Exerćıcios propostos
Proposto 2.11 Determine os valores de p e q que fazem com que o polinómio x3 + px + q seja diviśıvel por
x2 + 2x+ 5.
Resp.: p = 1 ∧ q = −10
Proposto 2.12 Considere o polinómio p(x) = 2x3 − kx2 + 3x − 2k. Determine o valor de k para que o resto
da divisão deste polinómio por (x− 2) seja 4.
Resp.: k = 3
Proposto 2.13 Determine o quociente, Q(x), e o resto, R(x) que resulta da divisão de D(x) = x5−3x3+x2−12
por d(x) = x− 2.
Resp.: Q(x) = x4 + 2x3 + x2 + 3x+ 6 e R(x) = 0.
Proposto 2.14 O resto da divisão de P (x) = 4x3 −6x2 + 4x+ 3k por (x− 2) é 15. Calcule o resto da divisão
de P (x) por (x+ 1).
Resp.: −15
Proposto 2.15 O resto da divisão de um polinómio P (x) por (x − 3) é −2 e o quociente é Q(x). Se o resto
da divisão de Q(x) por (x+ 1) é 6, qual é o resto da divisão de P (x) por (x− 3)(x+ 1)?
Resp.: −2x+ 4
42 CAPÍTULO 2. POLINÓMIOS
2.4 Casos notáveis e fatorização
Quadrado da soma (a+ b)
2
= a2 + 2ab+ b2 (x+ 2)
2
= x2 + 4x+ 4
Quadrado da diferença (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2 (2x− 1)2 = 4x2 − 4x+ 1
Diferença de quadrados (a− b) (a+ b) = a2 − b2
(
2x−
√
2
) (
2x+
√
2
)
= 4x2 − 2
Vı́deo 2.4.1 Casos notáveis da multiplicação
Definição 2.4.1 Fatorizar um polinómio é escrevê-lo como um produto de fatores.
Exemplo 2.4.1 4x2 − 12x+ 9 = (2x− 3) (2x− 3) = (2x− 3)2
Nota 2.4.1 Para fatorizar um polinómio começa-se por verificar se existe algum fator comum a todos os
monómios.
Exemplo 2.4.2 2x4 + 26x2 = 2x2
(
x2 + 13
)
Nota 2.4.2 Para fatorizar um polinómio pode ser útil utilizar a regra de Ruffini.
Exemplo 2.4.3 Fatorize o polinómio P (x) = −2x4 − 4x3 + 26x2 + 28x− 48 sabendo que −2, 1, 3 são zeros de
P (x).
−2 −4 26 28 −48
−2 4 0 −52 48
−2 0 26 −24 0
1 −2 −2 24
−2 −2 24 0
3 −6 −24
−2 −8 0
Donde resulta que: P (x) = (x+ 2) (x− 1) (x− 3) (−2x− 8) = −2 (x+ 2) (x− 1) (x− 3) (x+ 4)
Vı́deo 2.4.2 Fatorização de polinómios
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181869/mod_resource/content/2/polinomios4_1.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181869/mod_resource/content/2/polinomios4_1.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181870/mod_resource/content/2/polinomios4_2.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181870/mod_resource/content/2/polinomios4_2.mp4
2.4. CASOS NOTÁVEIS E FATORIZAÇÃO 43
2.4.1 Exerćıcios resolvidos
Resolvido 2.16 Determine o polinómio reduzido equivalente a
(
2y + 15
)2 − (y − 1)2.
Resp.: 3y2 + 145 y −
24
25
Resolvido 2.17 Determine o valor de a para o qual é válida a seguinte igualdade de polinómios na variável x:(
1
2 − 2x
)2 − (x+ 1)2 = a− 4x+ 3x2.
Resp.: a = − 34 .
Resolvido 2.18 Utilizando o algoritmo da divisão, simplifique a expressão
m3+n3
m3−m2n+mn2 , m
3−m2n+mn2 6=
0
Resp.: m+n
m
Resolvido 2.19 Simplifique a seguinte expressão:
2(x−2)(x−3)3−3(x−2)2(x−3)2
(x−3)6
Resp.:
x(2−x)
(x−3)4
Resolvido 2.20 Determine o valor de
a2b+ab2
a2+2ab+b2 se ab =
3
5 e a+ b = −2.
Resp.: − 310
Resolução em documento digital: página 16 e 17
2.4.2 Exerćıcios propostos
Proposto 2.16 Diga se são verdadeiras(V) ou falsas(F) as seguintes identidades:
I (x+ y) 2 − (x− y)2 = 4xy
II (m+ 1)
2 − 6m (m+ 1) + 9 = (m− 3)2
III k4 + 14k2 + 49 =
(
k2 + 7
) (
k2 + 7
)
Resp.: I - V II - F III - V
Proposto 2.17 Determine o valor de a+ b admitindo que a e b são números positivos tais que a2 + b2 = 1681
e a× b = 360.
Resp.: a+ b = 49
44 CAPÍTULO 2. POLINÓMIOS
Proposto 2.18 Fatorize a seguinte expressão: (x+ y)
2 − 2 (x+ y) + 1.
Resp.: (x+ y − 1)2.
Proposto 2.19 Determine a expressão mais simples que representa
a
a2−b2−
b
b2−a2 , quando a não é simétrico
de b.
Resp.: 1
a−b
Caṕıtulo 3
Equações, inequações e sistemas de
equações
3.1 Equações de 1o grau
Definição 3.1.1 Uma equação é uma igualdade onde figura, pelo menos, uma incógnita.
Exemplo 3.1.1 x+ y = −4 é uma equação do 1o grau com duas incógnitas x e y.
Definição 3.1.2 Numa equação o sinal = divide a equação em dois membros.
Exemplo 3.1.2 Na equação 2x+ 3 = 7 o 1o membro é 2x+ 3 e o 2o membro é 7.
Definição 3.1.3 A cada parcela de uma equação chama-se termo da equação.
Exemplo 3.1.3 Na equação 2x+ 3 = 7− 3x , os termos do 1o membro são 2x e 3 e os do 2o membro são 7 e
−3x.
Definição 3.1.4 Raiz ou solução de uma equação é um número que, colocado no lugar da incógnita, trans-
forma a equação numa proposição verdadeira.
Exemplo 3.1.4 2 é solução de 2x+ 3 = 7 porque 2× 2 + 3 = 7 é uma proposição verdadeira.
Nota 3.1.1 Resolver uma equação é determinar as suas soluções.
Nota 3.1.2 Duas equações são equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução.
Exemplo 3.1.5 2x+ 3 = 7 é equivalente a x+ 5 = 7 porque ambas têm {2} como conjunto solução.
45
46 CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Definição 3.1.5 A resolução de equações tem por base os prinćıpios de equivalência:
• Adição: adicionando ou subtraindo o mesmo número aos dois membros da equação, obtemos uma equação
equivalente.
• Multiplicação: multiplicando ou dividindo ambos os membros da equação pelo mesmo número (diferente
de zero), obtemos uma equação equivalente.
Exemplo 3.1.6 3x− 3 = 5⇔ 3x− 3 + 3 = 5 + 3⇔ 3x = 8 e 3x = 5⇔ 33x =
5
3 ⇔ x =
5
3
Tipos de equações

Posśıveis
 Determinadas (1 só solução)⇐ 2x = 0
Indeterminadas (infinitas soluções)⇐ 0x = 0
Imposśıveis (não têm soluções)⇐ 0x = 2
Regras para resolução de equações
1. Desembaraçar de parêntesis, se existirem;
2. Reduzir ao mesmo denominador, se existirem;
3. Desembaraçar de denominadores;
4. Agrupar os termos com incógnita num membro e os termos sem incógnita no outro membro;
5. Reduzir os termos semelhantes para dar à equação a forma canónica: ax = b;
6. Dividir ambos os membros por a 6= 0, de forma a obter a solução x = ba .
Exemplo 3.1.7 Resolva a equação 2 (x− 1) + 12x = x− 2.
2 (x− 1) + 1
2
x = x− 2⇔
1.
2x− 2 + 1
2
x = x− 2⇔
2.
4x
2
− 4
2
+ 1
2
x = 2x
2
− 4
2
⇔
3.
4x− 4 + x = 2x− 4⇔
4.
4x− 2x+ x = −4 + 4⇔
5.
3x = 0⇔
6.
x = 0
3
= 0
Resolução de problemas
Para resolver um problema devemos começar por traduzi-lo em linguagem matemática.
3.1. EQUAÇÕES DE 1o GRAU 47
Linguagem comum Linguagem matemática
Soma de x com y x+ y
Diferença entre x e y x− y
Produto de x por y x× y
Quociente entre x e y xy = x÷ y
Dobro da diferença entre x e y 2(x− y)
Soma do triplo de x com o dobro de y 3x+ 2y
Soma de 80% de x com 20% de y 0, 8x+ 0, 2y
Diferença entre metade de x e a terça parte de y 12x−
1
3y
Quadrado da soma de x com y (x+ y)
2
Diferença entre o quadrado de x e y x2 − y
Vı́deo 3.1.1 Equações de 1o grau
3.1.1 Exerćıcios resolvidos
Resolvido 3.1 Admitindo que x ∈ R, assinale com (P) as equações posśıveis e com (I) as que são imposśıveis.
A. 3x− 3 = 5x Resp.: (P)
B. −3x+ 2 = −3x− 2 Resp.: (I)
C. 3x− 6 = 3(x− 2) Resp.: (P)
Resolvido 3.2 Resolva, em R, a seguinte equação: 2 (x+ 1) = 3− x+22 .
Resp.: CS = {0}
Resolvido 3.3 Determine o valor de a ∈ R por forma que x = 2 seja solução da seguinte equação: 3x − a =
2 (x− 2) .
Resp.: a = 6
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181871/mod_resource/content/5/equacoes1.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181871/mod_resource/content/5/equacoes1.mp4
48 CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Resolvido 3.4 Resolva, em R, a seguinte equação: 2x− (3x− 2) = −2x+12 .
Resp.: CS = {}
Resolvido 3.5 O João tinha uma longa distância a percorrer até à fronteira do seu páıs. Sabe-se que fez
metade da viagem de carro e, acabada a gasolina, fez um terço da viagem de comboio. Como a fronteira ficava
a 25 km da última estação de caminho de ferro, efetuou o restante percurso a pé. Qual foi a distância, em
quilómetros, percorrida pelo João?
Resp.: 150 km
Resolução em documento digital: página 18
3.1.2 Exerćıcios propostos
Proposto 3.1 Classifique a seguinte equação: x+4
2
= 1 + 3x
6
.
Resp.: Imposśıvel.
Proposto 3.2 Determine, em R, o conjunto solução da seguinte equação: 7(x− 2) = 7(x+ 1)− 21.
Resp.: R
Proposto 3.3 A soma de três números ı́mpares consecutivos é 639. Quais são os números?
Resp.: 211, 213, 215
Proposto 3.4 Determine o valor de x admitindo que são iguais o peŕımetro de um quadrado de lado 2x e o
peŕımetro de um retângulo de comprimento 3x e largura 3.
Resp.: x = 3
Proposto 3.5 Existiam 81e para dividir por três irmãos. O do meio recebeu o dobro da quantia querecebeu o
mais novo. O mais velho recebeu o triplo do que recebeu o do meio. Quanto recebeu cada um dos irmãos?
Resp.: O mais novo recebeu 9e, o do meio 18e e o mais velho 54e.
3.2. INEQUAÇÕES DE 1o GRAU 49
3.2 Inequações de 1o grau
Definição 3.2.1 Uma inequação do 1o grau na incógnita x é uma desigualdade redut́ıvel a uma das seguintes
formas:
ax+ b > 0; ax+ b ≥ 0; ax+ b < 0; ou ax+ b ≤ 0; onde a, b ∈ R, a 6= 0.
Exemplo 3.2.1 x+ 2 < 0; 2x− 3 ≤ 0; 3x+ 5 > 0; 5x− 1 ≥ 0;
Definição 3.2.2 Resolver uma inequação é determinar todos os valores da incógnita que a transformam
numa proposição verdadeira. Estes números são as soluções da inequação.
Definição 3.2.3 Para resolver uma inequação procede-se de forma análoga à resolução de equações, diferindo
nos seguintes pontos:
• Ao multiplicar ou dividir os dois membros por um número negativo, inverte-se o sentido da desigualdade:
< → >, ≤ → ≥, > → <, ≥ → ≤
• O conjunto solução, em R, apresenta-se sob a forma de intervalo.
Exemplo 3.2.2 −4x+ 1 ≥ 5− x⇔ −4x+ x ≥ 5− 1⇔ −3x ≥ 4⇔ 3x ≤ −4⇔ x ≤ − 43 ⇒ CS =
]
−∞,− 43
]
Inequações particulares Solução em R Solução em N Solução em Z
0x > 0 {} {} {}
0x ≥ 0 R N Z
0x > −2 R N Z
0x ≤ −2 {} {} {}
2x > 0 R+ N Z+
−2x ≤ 0 R+0 N Z
+
0
Vı́deo 3.2.1 Inequações de 1o grau
Definição 3.2.4 Para resolver problemas que envolvem inequações é fundamental dar atenção à linguagem.
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181872/mod_resource/content/6/Inequacoes1_1.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181872/mod_resource/content/6/Inequacoes1_1.mp4
50 CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Linguagem comum Linguagem matemática
x negativo x < 0
x não negativo x ≥ 0
x positivo x > 0
x não positivo x ≤ 0
Vı́deo 3.2.2 Problemas com inequações de 1o grau
3.2.1 Exerćıcios resolvidos
Resolvido 3.6 Admitindo que x ∈ R, assinale com (P) as inequações posśıveis e com (I) as que são imposśıveis.
A. 6(x− 1) ≤ 2(3x− 3) Resp.: (P)
B. −3x− 2 ≥ −3x+ 2 Resp.: (I)
C. 3x− 6 > 3(x− 2) Resp.: (I)
Resolvido 3.7 Indique o conjunto solução da seguinte inequação: (x− 2)2 < (x+ 1)(x− 1).
Resp.:
]
5
4 ,+∞
[
Resolvido 3.8 Considere o polinómio p (x) = 3x− 2. Determine, em R, o conjunto de valores de x que satis-
fazem a seguinte condição: 2p(x)− p(x+ 1) ≥ 0.
Resp.:
[
5
3 ,+∞
[
Resolvido 3.9 Determine, em Z, o conjunto de valores de x que satisfazem a seguinte condição:
− 52 < 3x− 2 ≤
5
2 .
Resp.: CS = {0, 1}
Resolvido 3.10 Determine os valores de x ∈ R para os quais o peŕımetro de um quadrado de lado 2x é maior
que o peŕımetro de um retângulo de comprimento 3x e largura 3.
Resp.: ]3,+∞[
Resolução em documento digital: página 18 e 19
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181873/mod_resource/content/6/Inequacoes1_2.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181873/mod_resource/content/6/Inequacoes1_2.mp4
3.2. INEQUAÇÕES DE 1o GRAU 51
3.2.2 Exerćıcios propostos
Proposto 3.6 Resolva, em R, a seguinte inequação: (x− 1)2 ≥ (x+ 1)(x− 1).
Resp.: CS = ]−∞, 1]
Proposto 3.7 Qual o maior número inteiro que satisfaz a condição 4(−3−x)2 < 4−
2(1+x)
3 ?
Resp.: −6
Proposto 3.8 Indique todos os números inteiros, x, que satisfazem simultaneamente as seguintes ine-
quações:
(x− 2)2 < (x+ 1)(x− 1) e 3−x2 + 1 > 0.
Resp.: {2, 3, 4}
Proposto 3.9 Determine o maior valor inteiro, x, que faz com que o peŕımetro de um quadrado de lado
(2x− 1) seja inferior ao peŕımetro de um retângulo de comprimento (2x+ 1) e largura x.
Resp.: x = 2
Proposto 3.10 Uma equipa de futebol necessita de obter um número de vitórias que seja o dobro do número
de empates e exceda em pelo menos quatro unidades o número de derrotas. Em 31 jogos que disputar, qual é o
número mı́nimo de vitórias?
Resp.: 14.
52 CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
3.3 Equações de 2o grau
Definição 3.3.1 Uma equação do 2o grau é toda a equação redut́ıvel à forma ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0 a que se
chama forma canónica.
Tipo Forma Exemplo
Completa ax2 + bx+ c = 0 2x2 − 3x− 4 = 0
a, b, c 6= 0
Incompleta ax2 + c = 0 −5x2 − 4 = 0
a, c 6= 0
Incompleta ax2 + bx = 0 2x2 − 5x = 0
a, b 6= 0
Definição 3.3.2 Regras para reduzir uma equação à forma canónica:
1. Desembaraçar de parêntesis, se existirem;
2. Desembaraçar de denominadores, se existirem;
3. Agrupar todos os termos no 1o membro;
4. Reduzir os termos semelhantes para dar à equação a forma ax2 + bx+ c = 0.
Exemplo 3.3.1 2x− 4
(
1
4x
2 − 1
)
= 12⇔1. 2x− x
2 + 4 = 12⇔2. 4x− 2x
2 + 8 = 1⇔
3.
4x− 2x2 + 8− 1 = 0
⇔
4.
−2x2 + 4x+ 7 = 0
 a = −2b = 4
c = 7
Definição 3.3.3 Para resolver equações do tipo ax2 + c = 0, a, c 6= 0 podemos recorrer á definição de raiz
quadrada.
Exemplo 3.3.2 2x2 − 6 = 0⇔ x2 = 62 = 3⇔ x =
√
3 ∨ x = −
√
3⇒ CS =
{
−
√
3,
√
3
}
Nota 3.3.1 A equação x2 + b = 0, b > 0 é sempre imposśıvel.
Definição 3.3.4 Para resolver equações do tipo ax2 + bx = 0, a, b 6= 0 podemos fatorizar o polinómio e recorrer
à lei do anulamento do produto.
Exemplo 3.3.3 2x2 − 3x = 0⇔ x (2x− 3) = 0⇔ x = 0 ∨ 2x− 3 = 0⇔ x = 0 ∨ x = 32 ⇒ CS =
{
0, 32
}
Definição 3.3.5 Para resolver equações do tipo ax2 + bx + c = 0, a, b, c 6= 0 podemos recorrer à fórmula
resolvente:
x = −b±
√
b2−4ac
2a onde ∆ = b
2 − 4ac
 > 0⇒ ∃ duas soluções= 0⇒ ∃ uma só solução
< 0⇒ não tem solução
3.3. EQUAÇÕES DE 2o GRAU 53
Exemplo 3.3.4 x2 − 3x− 4 = 0 :
 a = 1b = −3
c = −4
⇒ x = 3±
√
9−4×1×(−4)
2×1 ⇔ x =
3+5
2 ∨ x =
3−5
2
x = 4 ∨ x = −1⇒ CS = {−1, 4}
Nota 3.3.2 Na equação x2 + bx+ c = 0, b representa o simétrico da soma das ráızes é c o produto das
ráızes.
Exemplo 3.3.5 Na equação x2 − 3x− 4 = 0, onde as soluções são x = −1 e x = 4, podemos verificar que:
b = −3 = −(−1 + 4) c = −4 = −1× 4
Vı́deo 3.3.1 Equações de 2o grau
3.3.1 Exerćıcios resolvidos
Resolvido 3.11 Determine, usando a lei do anulamento do produto, o conjunto solução da seguinte equação:
3x2 − 2x = 0.
Resp.: CS =
{
0, 23
}
Resolvido 3.12 Considere a equação x2 + x+ c = 0. Admitindo que 2 é uma das solução da equação, deter-
mine a outra.
Resp.: −3
Resolvido 3.13 Duas torneiras abertas ao mesmo tempo enchem um reservatório de capacidade C em 5 horas.
Separadamente, uma demora mais 1 hora que a outra a encher o mesmo reservatório. Quanto tempo, em horas,
leva cada uma das torneiras a encher aquele reservatório?
Resp.: Uma demora cerca de 9, 5 horas e a outra cerca de 10, 5 horas.
Resolvido 3.14 Considere o polinómio p (x) = 3x2 − 2. Determine, em R, os valores de x que satisfazem a
seguinte condição: 2p(x)− p(x+ 1) = 0.
Resp.: CS =
{
1− 23
√
6, 1 + 23
√
6
}
Resolvido 3.15 Uma bola de futebol, de 360e, devia ser comprada por um grupo de amigos que contribuiriam
em partes iguais. Como cinco deles desistiram, a quota de cada um dos outros ficou aumentada de 6e. Quantos
eram os amigos, inicialmente?
Resp.: 20
Resolução em documento digital: página 19 e 20
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181875/mod_resource/content/2/equacoes2.mp4
https://moodle.isep.ipp.pt/pluginfile.php/181875/mod_resource/content/2/equacoes2.mp4
54 CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
3.3.2 Exerćıcios propostos
Proposto 3.11 Resolva, em R, a seguinte equação: (x− 3)2 − 13 (x− 3) (x+ 3) = x
2 − 6x.
Resp.: CS = {−6, 6}
Proposto 3.12 Um teste tem 20 questões de verdadeiro ou falso. Por cada questão certa são atribúıdos três
pontos (+3). Por cada questão errada são descontados dois pontos (-2). A Ana respondeu a todas as questões
desse teste e obteve 35 pontos. A quantas questões respondeu acertadamente?
Resp.: 15
Proposto 3.13 Admitindo que as medidas dos lados de um triângulo retângulo são três números inteiros con-
secutivos, qual é a medida do menor cateto?
Resp.: 3
Proposto 3.14 Um véıculo, num percurso de 270 km, reduziria em 36 minutos o tempo da viagem