Resoluções das Provas de Avaliação Intercalar-21012023

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Avaliações Intercalares
Nota: Em cada questão é indicado o caṕıtulo de HIB-M23 que contém o assunto corres-
pondente.
1 Prova de Matemática de 21/01/2023
1.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 1) Considere os números inteiros pertencentes ao conjunto A = ]−∞, 1[∩ ]−2, 1].
Podemos afirmar que:
(A) A soma desses números é nula. (B) A soma desses números é positiva.
(C) O produto desses números é nulo. (D) O produto desses números é positivo.
Resolução:
O conjunto A pode ser representado por A = {−1, 0} dado que ao conjunto interseção só
pertencem os elementos que pertencem aos dois intervalos.
Conclúımos, assim, que o produto dos números do conjunto A é 0.
A resposta certa é a (C).
2.(Caṕıtulo 3) Considere a inequação (x− 2)2 ≤ 4. O conjunto solução, em R, é:
(A) ]−∞, 0] ∪ [4,+∞[ (B) ]−∞, 4]
(C) [4,+∞[ (D) [0, 4]
Resolução: A resposta certa é a (D) porque:
(x− 2)2 ≤ 4⇔ −2 ≤ x− 2 ≤ 2⇔ 0 ≤ x ≤ 4⇔ C.S. = [0, 4]
Ou então:
(A) não é porque, por exemplo, (−2− 2)2 ≤ 4⇔ 16 ≤ 4 falso
(B) não é porque, por exemplo, (−1− 2)2 ≤ 4⇔ 9 ≤ 4 falso
(C) não é porque, por exemplo, (5− 2)2 ≤ 4⇔ 9 ≤ 4 falso
3.(Caṕıtulo 2) Quantas soluções reais tem a equação 2x3 − 3x2 + 5x = 0?
(A) 0 (B) 2
(C) 1 (D) 3
4
Resolução: A opção certa é (C) porque:
2x3 − 3x2 + 5x = 0⇔ x (2x2 − 3x+ 5) = 0⇔ x = 0 ∨ 2x2 − 3x+ 5 = 0
⇒ x = 0 ∨ x = −(−3)±
√
(−3)2−4×2×5
2×2 ⇔ x = 0 porque (9− 40) < 0
4.(Caṕıtulo 1) Os amigos da Margarida juntaram-se para lhe comprar uma prenda de ani-
versário. Inicialmente estavam 5 amigos e cada um tinha de pagar 6 e. Mas, entretanto,
apareceram mais 3 amigos que também se quiseram juntar ao grupo. Qual o valor a pagar
agora por cada um dos 8 amigos?
(A) 2.50 e (B) 3.75 e
(C) 5.25 e (D) 9.60 e
Resolução: A prenda custava 5 × 6 = 30 e. Este valor a dividir por 8 amigos dá 3.75 e
a cada um.
Assim, a resposta certa é a (B).
3.(Caṕıtulo 5) Considere o sistema de equações lineares dado por

y − x = 3
x− y+2x
3
= −1
Pode afirmar-se que:
(A) O sistema é posśıvel e determinado. (B) O sistema admite duas soluções distintas.
(C) O sistema é posśıvel e indeterminado. (D) O sistema é imposśıvel.
Resolução: A resposta certa é a (D) porque:

y − x = 3
x− y+2x
3
= −1
⇔

y = x+ 3
3x− (y + 2x) = −3
⇔

y = x+ 3
3x− y − 2x = −3
⇔

y = x+ 3
x− y = −3
⇔

y = x+ 3
x− (x+ 3) = −3
⇔

y = x+ 3
x− x− 3 = −3
⇔

y = x+ 3
0x = 0
⇔

y = x+ 3
x ∈ R
ou seja, o sistema é posśıvel e indeterminado.
5
6.(Caṕıtulo 4) Um barco atravessa um rio numa zona
onde a largura é 50 m, seguindo uma direção que forma
um ângulo de 30o com a margem.
A distância percorrida pelo barco, aproximada às unida-
des, é:
(A) 58 m (B) 87 m
(C) 71 m (D) 100 m
Resolução:
Representando por d a distância percorrida pelo barco temos:
sen (30◦) =
1
2
⇔ 50
d
=
1
2
⇔ d = 100
A resposta certa é a (D).
7.(Caṕıtulo 6) O Francisco, F, e a Margarida, M, foram classificados num concurso de entrada
numa Instituição de Ensino Superior. Para a classificação no concurso o candidato deveria ob-
ter uma média na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate
seria a favor da pontuação mais regular. No quadro seguinte são apresentadas as pontuações
nas provas de Matemática, Português e Economia e a média, mediana e desvio padrão dos dois
candidatos.
Matemática Português Economia Média Mediana Desvio Padrão
Margarida, M 14 15 16 15 15 1
Francisco, F 8 19 18 15 18 6.1
O candidato melhor classificado no concurso de entrada é:
(A) M, pois a média igual à mediana. (B) M, pois obteve menor desvio-padrão.
(C) F, pois obteve a maior mediana. (D) F, pois obteve maior desvio-padrão.
Resolução:
Como existe empate na pontuação média, o melhor candidato é a Margarida porque apre-
senta pontuação mais regular, ou seja, com menor desvio padrão.
A resposta certa é a (B).
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1.2 Grupo II
1.(Caṕıtulo 1) Utilizando, sempre que posśıvel, as regras das operações com potências, sim-
plifique a expressão
1 + (−1)13 −
(
−2
3
)4 ÷ (3
4
)−4 × 44
1
(2−3)3
× 2−5
Resolução:
1+(−1)13−(− 23)
4
÷( 34)
−4
×44
1
(2−3)3
×2−5 =
1+(−1)−(− 23)
4
÷( 43)
4
×44
1
2−9
×2−5 =
1−1−(− 23÷
4
3)
4
×44
29×2−5 =
0−(− 23×
3
4)
4
×44
24
= −(−
2
4)
4
×44
24
= −(−
1
2)
4
×44
24
= −(
1
2)
4
×(22)
4
24
= −2−4×28
24
= −24
24
= −20 = −1
2.(Caṕıtulo 5) As distâncias D1 e D2 em quilómetros, percorridas em linha reta, por dois
ciclistas, um amador (C1) e um profissional (C2), em função do tempo t, em horas, são dadas,
respetivamente, pelas seguintes funções:
D1 (t) =
{
6t se 0 ≤ t < 1
5t+ 1 se t ≥ 1 e D2 (t) =
{
5t se 0 ≤ t < 1
7t− 3 se t ≥ 1
2.1 Qual é a diferença entre as distâncias percorridas pelo ciclista C1 e o ciclista C2, após três
horas, em relação ao ponto de partida?
Resolução: A diferença entre as distâncias é 2 quilómetros, porque:
D1 (3) =
t=3≥1
5× 3 + 1 = 16
D2 (3) =
t=3≥1
7× 3− 3 = 18
⇒ D2 (3)−D1 (3) = 18− 16 = 2
2.2 Ao fim de quanto tempo os dois ciclistas percorreram a mesma distância?
Resolução: Pretende-se encontrar t tal que:
D1 (t) = D2 (t)⇔
t≥1
5t+ 1 = 7t− 3⇔ 5t− 7t = −3− 1⇔ −2t = −4⇔ t = −4
−2
= 2
Assim, conclúımos que foi ao fim de 2 horas que os ciclistas percorreram a mesma distância:
D1 (2) = D2 (2)⇔ 5× 2 + 1 = 7× 2− 3 = 11
Nota: Ao fim de duas horas cada um dos ciclistas tinha percorrido 11 quilómetros.
3.(Caṕıtulo 2 e 3) Seja P (x) = (x− 1)2 − (x+ 3)2
3.1 Decomponha o polinómio P (x) em fatores.
Resolução: Quem verificasse que P (x) é uma diferença de quadrados teria:
P (x) = (x− 1)2 − (x+ 3)2 = [(x− 1)− (x+ 3)]× [(x− 1) + (x+ 3)]
= (x− 1− x− 3)× (x− 1 + x+ 3) = −4× (2x+ 2) = −8 (x+ 1)
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Quem calculasse o quadrados dos binómios teria:
P (x) = (x− 1)2 − (x+ 3)2 = (x2 − 2x+ 1)− (x2 + 6x+ 9) =
= x2 − 2x+ 1− x2 − 6x− 9 = −8x− 8 = −8 (x+ 1)
3.2 Resolva em R a condição x · P (x) > 0, apresentando o conjunto solução sob a forma de
números reais.
Resolução: Utilizando o resultado da aĺınea anterior temos:
x · P (x) > 0⇔ x× [−8 (x+ 1)] > 0⇔ −8x (x+ 1) > 0⇔ x (x+ 1) < 0
Através da representação gráfica parábola de equação x(x+ 1):
Conclúımos que o conjunto de valores de x para os quais a parábola é negativa é ]−1, 0[
4.(Caṕıtulo 2) Considere o polinómio P (x) = (k2 − 16)x5 + (k + 4)x4 + kx3 − 10x2 + 12x,
com k ∈ R. Determine o valor de k de modo que o polinómio tenha grau 3 e, para esse valor
de k resolva a equação P (x) = 0.
Resolução: Para que o polinómio seja de grau 3 terá que ser nulo o coeficiente do termo
de grau 5 e também o de grau 4:
k2 − 16 = 0
k + 4 = 0
⇔

k2 = 16
k = −4
⇔

k2 = ±4
k = −4
⇔ k = −4
Assim o valor de k deve ser −4.
Para k = −4 teremos:
P (x) = −4x3 − 10x2 + 12x = 0⇔ 2x3 + 5x2 − 6x = 0⇔ x (2x2 + 5x− 6) = 0
⇔ x = 0 ∨ 2x2 + 5x− 6 = 0⇔ x = 0 ∨ x = −5±
√
(−5)2−4×2×(−6)
2×2
⇔ x = 0 ∨ x = −5±
√
25+48
4
⇔ x = 0 ∨ x = −5+
√
73
4
∨ x = −5−
√
73
4
O conjunto solução é
{
−5−
√
73
4
, 0, −5+
√
73
4
}
8
5.(Caṕıtulo 4) A figura ilustra as posições da Rita e do
Pedro quando estavam a observar um balão de ar quente. (h
representa a altura)
5.1 De acordo com os dados da figura, mostre que x = h.
5.2 Determine a que altura se encontra o balão de ar quente.
(Apresente o resultado arredondado às unidades)
Resolução:
5.1 Basta ter em conta que: tg (45◦) = 1⇔ h
x
= 1⇔ h = x
6.2 Usando o resultado da aĺınea anterior temos:
tg (30◦) =
√
3
3
⇔ h
100−x =
√
3
3
⇔ x
100−x =
√
3
3
⇔ 3x =
√
3 (100− x)
⇔ 3x+
√
3x = 100
√
3⇔
(
3 +
√
3
)
x = 100
√
3⇔ x = 100
√
3
3+
√
3
' 37
Como h = x, a altura a que se encontra o balão é aproximadamente 37 m.
6.(Caṕıtulo 2, 3 e 5) Na figura abaixo estão representados um
sistema de eixos coordenados com origem O, o gráfico de uma
função real do tipof(x) = ax2 + bx + c e o quadrado [OMNP ],
com 16 unidades de área. Sabe-se que o gráfico de f passapelos
pontos P e N, vértices do quadrado, e pelo ponto de interseção
das diagonais do quadrado. Determine:
6.1 As coordenadas do vértice da parábola.
6.2 O valor de a+ b+ c.
Resolução:
6.1 Como a área do quadrado [OMNP ] é 16, o lado é 4. Consideremos então a figura:
Com base nesta representação conclui-se que o vértice da parábola é o ponto I (2, 2)
6.2 Para determinar a equação da parábola devemos ter em conta que os pontos
P (0, 4) , I (2, 2) e N (4, 4)
9
são pontos da parábola:
1o Processo - Atender a que I = (h, k) = (2, 2) é o vértice da parábola e que, por exemplo, o
ponto N (4, 4) pertence à parábola de equação y = a(x− h)2 + k:
I (2, 2) ⇒ f(x) = a(x− 2)2 + 2 ⇒
N(4,4)
4 = a(4− 2)2 + 2⇔ 4a = 2⇔ a = 1
2
f(x) = 1
2
(x− 2)2 + 2 = 1
2
(x2 − 4x+ 4) + 2 = 1
2
x2 − 2x+ 2 + 2 = 1
2
x2 − 2x+ 4
2o Processo - Atender a que os três pontos pertencem à parábola de equação y = ax2 + bx+ c:
a× 02 + b× 0 + c = 4
a× 22 + b× 2 + c = 2
a× 42 + b× 4 + c = 4
⇔

c = 4
4a+ 2b+ 4 = 2
16a+ 4b+ 4 = 4
⇔

c = 4
4a+ 2b = −2
16a+ 4b = 0
⇔

c = 4
2a+ b = −1
4a+ b = 0
⇔

c = 4
2a− 4a = −1
b = −4a
⇔

c = 4
−2a = −1
b = −4a
⇔

c = 4
a = 1
2
b = −4× 1
2
⇔

c = 4
a = 1
2
b = −2
A soma pretendida é a+ b+ c = 1
2
− 2 + 4 = 1
2
+ 2 = 5
2
7.(Caṕıtulo 5) Seja f uma função real de variável real de domı́nio D = [−1, 5] e contradomı́nio
D′ = [−7, 12] e seja g a função real de variável real definida por g(x) = −2+f(x−2). Sabendo
que o ponto A = (3, 4) pertence ao gráfico da função f , determine:
7.1 O valor de k para o qual o ponto B = (5, k) pertence ao gráfico da função g.
7.2 O domı́nio e o contradomı́nio da função g.
Resolução:
7.1 O ponto B = (5, k) pertence ao gráfico da função g se k = g(5). Assim:
A (3, 4) ∈ Gf ⇒ f(3) = 4
k = g (5) = −2 + f (5− 2) = −2 + f(3) =
f(3)=4
−2 + 4 = 2
7.2 O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função f por translação de 2 unidades de
cima para baixo e 2 unidades da esquerda para a direita. Assim:
Dg ={
x−2=−1⇔x=−1+2
x−2=5⇔x=5+2
[−1 + 2, 5 + 2] = [1, 7] e D′g = [−7− 2, 12− 2] = [−9, 10]
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8.(Caṕıtulo 6) Para avaliar os conhecimentos
dos alunos do 12o ano, na disciplina de Ma-
temática, do distrito do Porto, selecionou-se
aleatoriamente uma amostra de 100 alunos.
Estes foram submetidos a um teste cuja classi-
ficação é um valor da escala numérica inteira de
1 a 5. Considera-se que um aluno adquiriu os
conhecimentos suficientes se a sua classificação
for superior ou igual a 3. O diagrama de
barras representa a distribuição de frequências
relativas das notas obtidas pelos alunos.
8.1 Quantos foram os alunos que adquiriram os conhecimentos suficientes à disciplina de Ma-
temática?
Resolução: O número de alunos com classificação superior ou igual a 3 é:
n = (0, 45 + 0, 30 + 0, 05)× 100 = 0, 80× 100 = 80
8.2 Determine qual foi a nota média, obtida pelos alunos.
Resolução: A distribuição de probabilidade da variável ”notas” pode ser descrita pelo seguinte
quadro:
Nota 1 2 3 4 5
Frequência relativa 0, 05 0, 15 0, 45 0, 30 0, 05
Donde se conclui que a nota média é:
x = 1× 0, 05 + 2× 0, 15 + 3× 0, 45 + 4× 0, 30 + 5× 0, 05 = 3, 15
8.3 Qual é a probabilidade da nota, de um aluno escolhido ao acaso, ter sido mı́nima ou máxima?
Resolução: O número de alunos com nota mı́nima é nmin = 100 × 0, 05 = 5 e o número
de alunos com nota máxima é nmax = 100× 0, 05 = 5.
A probabilidade pedida é assim:
P =
casos favoraveis
casos possiveis
=
10
100
= 0, 10
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	Prova de Matemática de 21/01/2023
	Grupo I
	Grupo II