Resoluções das Provas de Avaliação Intercalar-22042017

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13 Prova de Matemática de 22/04/2017
13.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 7) Um reservatório cheio de água começa a ser esvaziado às 8 horas de um certo
dia. Admita que a altura da água no reservatório, t horas após este ter começado a ser esvazi-
ado, é dada por h(t) = 2− 3
√
t. Podemos afirmar que o reservatório estará vazio às:
(A) 12 horas (B) 16 horas
(C) 14 horas (D) 15 horas e 30 minutos
Resolução:
h(t) = 2− 3
√
t = 0⇔ 3
√
t = 2⇔ t = 23 = 8⇒ 8 + 8 = 16 horas
A resposta certa é a (B).
2.(Caṕıtulo 10) O ponto que pertence ao gráfico da função real g, definida por g(x) = ln(4x) é:
(A) (e, ln(4) + 1) (B) (e, ln(4) + e)
(C) (e, ln(4)) (D) (e, e ln(4))
Resolução:
A opção certa é (A) porque: g(e) = ln(4e) = ln(4) + ln(e) = ln(4) + 1⇒ (e, ln(4) + 1) ∈ Grg
3.(Caṕıtulo 7 e 9) O domı́nio da função real de variável real h, definida analiticamente por
h(x) = 1−ln(9−x)
1−9x , é:
(A) ]−∞, 9[ \ {0} (B) ]−∞, 9[ \ {1}
(C)
]
−∞, 1
9
[
\ {0} (D) ]−∞, 9[ \
{
1
9
}
Resolução: Dh = {x ∈ R : 1− 9x 6= 0 ∧ 9− x > 0} = ]−∞, 9[ \ {0} porque :{
1− 9x = 0⇔ 9x = 1⇔ x = 0
9− x > 0⇔ −x > −9⇔ x < 9
A resposta certa é a (A).
4.(Caṕıtulo 9) O contradomı́nio da função real de variável real f , definida analiticamente por
f(x) = 5− 5e1−3x, é:
(A) ]−∞, 5[ (B) ]−∞,−5[
(C) R (D) [−5,+∞[
Resolução: D′f = ]−∞, 5[ porque e1−3x > 0⇔ −5e1−3x < 0⇔ 5− 5e1−3x < 5
A resposta certa é a (A).
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5.(Caṕıtulo 4, 9 e 10) Na figura ao lado está representada parte do gráfico de uma função
real f .
Com base na informação transmitida pela imagem, podemos afirmar que:
(A)

lim
x→+∞
f(x) = 0
lim
x→−∞
f(x) = 1
lim
x→1+
f(x) = −∞
f ′(−1) = 0
(B)

lim
x→+∞
f(x) = 0
lim
x→−∞
f(x) = 1
lim
x→1+
f(x) = −∞
f ′(−1) = −1
(C)

lim
x→+∞
f(x) = 0
lim
x→−∞
f(x) = 1
lim
x→1+
f(x) = +∞
f ′(−1) = 0
(D)

lim
x→+∞
f(x) = 0
lim
x→−∞
f(x) = 1
lim
x→1−
f(x) = +∞
f ′(−1) = −1
Resolução: A opção certa é (A) porque
lim
x→+∞
f(x) = 0 ∧ lim
x→−∞
f(x) = 1 ∧ lim
x→1+
f(x) = −∞∧ f ′(−1) = 0 ∧ lim
x→1−
f(x) = +∞
6.(Caṕıtulo 5 e 11) Considere uma função h, definida e cont́ınua em R. Sabendo que
h′(0) = 1 e h′′(0) = 0 indique qual das seguintes afirmações é, necessariamente, verdadeira.
(A) A reta tangente ao gráfico de h, no ponto de abcissa nula, é uma reta horizontal.
(B) O gráfico de h apresenta um ponto de inflexão no ponto de abcissa nula.
(C) h é crescente numa vizinhança do ponto de abcissa nula.
(D) h atinge um máximo relativo no ponto de abcissa nula.
Resolução:
A opção certa é a (C) porque:
h′(0) = 1 permite afirmar que:
a função é crescente numa vizinhança do ponto de abcissa nula;
a reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa nula é uma reta de declive 1 e não 0;
a função não atinge um máximo relativo no ponto de abcissa nula.
h′′(0) = 0 não permite afirmar que o gráfico da função apresenta um ponto de inflexão no
ponto de abcissa nula.
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7.(Caṕıtulo 11) Sendo g a função real definida por g(x) = 1
2
e
3
x2 , a expressão anaĺıtica da
sua função derivada, g′, pode ser dada por:
(A) − 3
x3
e
3
x2 (B) 3
2x3
e
3
x2
(C) − 3
2x3
e
3
x2 (D) − 6
x3
e
3
x2
Resolução: g′(x) = 1
2
e
3
x2 ×
(
3
x2
)′
= 1
2
e
3
x2 ×
(
− 6
x3
)
= − 3
x3
e
3
x2
A resposta certa é a (A).
13.2 Grupo II
1.(Caṕıtulo 9 e 11) Num ambiente com temperatura constante, a temperatura T de um
objeto no instante t (em minutos) varia de acordo com a seguinte Lei de Newton: T (t) =
Tm + (T0 − Tm) .e−kt, sendo Tm a temperatura do meio (em ◦C), T0 a temperatura inicial do
objeto (em ◦C) e k uma constante positiva que depende do material que constitui o objeto.
Sabendo que, uma lata de cerveja a 20 ◦C, colocada num frigoŕıfico com temperatura constante
de −8◦C, atinge os 0◦C passados 60 minutos, determine, arBrickRedondando sempre que ne-
cessário o resultado às centésimas:
1.1 O valor de k.
Resolução:{
Tm = −8
T0 = 20
⇒ T (60) = −8 + (20 + 8)× e−k×60 = 0⇔ e−k×60 = 8
28
= 2
7
⇔ −60k = ln
(
2
7
)
⇔ K = ln(
2
7)
−60 ' 0, 02
Observação: Se não resolveu a aĺınea anterior considere k = 0, 01 nas aĺıneas seguintes.
1.2 A temperatura da lata de cerveja após 1h30m de ser colocada no frigoŕıfico.
Resolução:
Tm = −8
T0 = 20
k = 0, 02
⇒ T (t) = −8 + (20 + 8)× e−0,02×t = −8 + 28e−0,02×t
T (90) = −8 + 28e−0,02×90 ' −3, 37◦C
1.3 O tempo de refrigeração necessário para que a lata de cerveja esteja a −2◦C.
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Resolução:
T (t) = −8 + 28e−0,02×t = −2⇔ e−0,02×t = 6
28
= 3
14
⇔ −0, 02t = ln
(
3
14
)
⇔ t = ln(
3
14)
−0,02 ' 77, 02 ' 1h 28m
1.4 A taxa de arrefecimento da lata de cerveja após 10 minutos desta ter sido colocada no
frigoŕıfico.
Resolução:
T ′(t) = 28e−0,02×t × (−0, 02) = −0, 56e−0,02×t ⇒ T ′(10) = −0, 56e−0,02×10 ' −0, 46
A taxa de arrefecimento após 10 minutos é assim 0, 46◦C/min
2.(Caṕıtulo 9) Determine o conjunto solução do seguinte sistema de equações:{
3x+y = 81
log3(x) + log3(y) = 1
Resolução:{
3x+y = 81
log3(x) + log3(y) = 1
⇔
{
3x+y = 34
log3(x× y) = 1
⇔
{
x+ y = 4
x× y = 3 ⇔
{
x+ 3
x
= 4
y = 3
x
⇔
{
x2 + 3 = 4x
y = 3
x
⇔
{
x2 − 4x+ 3 = 0
y = 3
x
⇔
{
x = 4±
√
16−12
2
y = 3
x
⇔
{
x = 4±2
2
y = 3
x
⇔
{
x = 3
y = 3
3
= 1
∨
{
x = 1
y = 3
1
= 3
C.S. = {(3, 1) , (1, 3)}
3.(Caṕıtulo 5, 7 e 10) Caracterize a função inversa da função real definida pela expressão
f(x)= 2
1−x . Entende-se por caracterização a indicação da respetiva expressão anaĺıtica, bem
como do seu domı́nio e contradomı́nio.
Resolução:
y = 2
1−x ⇔x∈Df
y − xy = 2⇔ −xy = 2− y ⇔ xy = y − 2⇔ x = y−2
y{
D′f−1 = Df = R\ {1} ⇐ A.V. de Gf x = 1
Df−1 = D
′
f = R\ {0} ⇐ A.H. de Gf y = 0
f−1 : R\ {0} → R\ {1}
x→ x−2
x
4.(Caṕıtulo 5, 8 e 11) Na figura estão representados os gráficos G1 e G2 de duas funções
reais de variável real f e g, definidas por f(x) = sen(2x) e g(x) = −2sen(x).
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4.1 Faça corresponder a cada função o respetivo gráfico e indique, justificando, os valores de a
e b assinalados na figura.
Resolução:
A função f corresponde a G2 e a função g a G1 porque:
Pf =
2π
2
= π ∧D′f = [−1, 1] e Pg = 2π ∧D′g = [−2, 2].
Conclui-se assim que a = 2 e b = −1
4.2 Considere a função h tal que h(x) = (f + g) (x). Mostre que h′(x) = 4cos2(x)−2 cos(x)−2
Resolução:
h′(x) = (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x) = 2 cos(2x)− 2 cos(x)
= 2 (cos(2x)− cos(x)) = 2 (cos2(x)− sen2(x)− cos(x)) = 2 [cos2(x)− (1− cos2(x))− cos(x)]
= 2 (cos2(x)− 1 + cos2(x)− cos(x)) = 2 (2cos2(x)− cos(x)− 1) = 4cos2(x)− 2 cos(x)− 2.
5.(Caṕıtulo 11) Determine uma expressão simplificada para a função derivada da seguinte
função:
f(x) = 2 3
√
3x+ 4 +
2− x2
x− 5
− ln [cos(x)]
.
Resolução:
f ′(x) = 2
1
3×3
3
√
(3x+4)2
+
−2x(x−5)−(2−x2)
(x−5)2
− −sen(x)cos(x) =
2
3
√
(3x+4)2
+ −2x
2+10x−2+x2
(x−5)2
+ tg(x)
= 23√
(3x+4)2
+ −x
2+10x−2
(x−5)2
+ tg(x)
= 23√
(3x+4)2
− x2−10x+2
(x−5)2
+ tg(x)
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6.(Caṕıtulo 3, 5, 7 e 10) Um foguete é lançado à altura do solo. Sa-
bendo que a altura, h, em metros, atingida pelo foguete, t segundos após o
lançamento é dada pela função h(t) = 50t− 5t2, determine:
6.1 A altura atingida pelo foguete 3 segundos após o lançamento.
Resolução:
h(3) = 50× 3− 5× 32 = 105 metros
6.2 Ao fim de quanto tempo, contado a partir do lançamento, o foguete começa a descer.
Resolução:
O foguete começa a descer no instante em que atinge a altura máxima:
h′(t) = 50 − 10t = 0 ⇔ t = 50
10
= 5 segundos é maximizante porque a representação gráfica de
h é uma parábola voltada para baixo.
A resposta é, assim, ao fim de 5 segundos.
6.3 A duração do “voo” deste foguete.
Resolução:
h(t) = 50t− 5t2 = 0⇔ 5t (10− t) = 0⇔ t = 0 ∨ t = 10⇒ 10 segundos
A duração do ”voo”foi 10 segundos.
6.4 Ao fim de quantos segundos o foguete cruzou, pela primeira vez, a altura de 80 metros.
Resolução:
h(t) = 50t− 5t2 = 80⇔ 50t− 5t2 − 80 = 0⇔ t2 − 10t+ 16 = 0⇔ t = 10±
√
100−64
2
⇔ t = 10±62
⇔ t = 2 ∨ t = 8
Como é pedido o primeiro instante de tempo, a resposta é ao fim de 2 segundos.
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	Prova de Matemática de 22/04/2017
	Grupo I
	Grupo II