AULA 20 1 - MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU

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Ponto Máximo e Ponto Mínimo de uma função polinomial do 1º grau
Aplicação do Vértice da Parábola em situações problema
Observe o gráfico da função quadrática f(x) = x² + 2x - 3
Percorrendo o gráfico da esquerda para direita, notamos que os valores de y vão diminuindo até atingir o vértice. Depois, esses valores vão aumentando. Nesse caso, dizemos que o vértice é o Ponto de mínimo da função. Note que existe um menor valor para y, que corresponde ao yv.
Observe o gráfico da função quadrática f(x) = - x² + 4x - 5
Percorrendo o gráfico da esquerda para direita, notamos que os valores de y vão aumentando até atingir o vértice. Depois, esses valores vão diminuindo. Nesse caso, dizemos que o vértice é o Ponto de máximo da função. Note que existe um maior valor para y, que corresponde ao yv.
De modo Geral temos:
Quando a > 0, a função quadrática na forma y = ax² + bx + c tem um valor mínimo e o vértice é chamado de ponto de mínimo.
Quando a < 0, a função quadrática na forma y = ax² + bx + c tem um valor máximo e o vértice é chamado de ponto de máximo.
Na prática você aprende:
Exemplo 01: A função f(x) = 1x² - 3x – 18 tem ponto de máximo ou ponto de mínimo? Determine as coordenadas desse ponto.
Ponto de mínimo (a > 0)
Exemplo 02: A função g(x) = - 1x² - 2x + 24 tem ponto de máximo ou ponto de mínimo? Determine as coordenadas desse ponto.
Ponto Máximo (a < 0)
Na prática você aprende:
Exemplo 03: Uma bala de canhão é lançada e sua trajetória é definida pela função quadrática h(t) = - 5t² + 40t, onde h(t) representa a altura que a bala de canhão se encontra ano instante t, determinado em segundos. Com base nessas informações, qual o instante em que essa bala de canhão atinge sua altura máxima?
( ) 4 s
( ) 10 s
( ) 20 s
( ) 40 s
( ) 80 s
T  tempo  eixo x
H(t) altura  eixo y
Xv = 
Na prática você aprende:
Exemplo 04: Uma fábrica de equipamentos fez um estudo de sua produção e conseguiu uma fórmula, cuja expressão é C(n) = 0,6n² - 120n + 10 000, para obter o custo C, em reais, em função do número n de peças produzidas. Nessas condições, o custo mínimo, em reais, de produção dessa fábrica é de:
( ) 3500
( ) 4000
( ) 4500
( ) 5000
( ) 5500
n  nº de peças produzidas  eixo x
C(n)  custo de produção  eixo y
Na prática você aprende:
Exemplo 05: Uma função quadrática é dada pela lei y = (k – 3)x² + x. Para que valores de k o gráfico desta função é uma parábola com a concavidade voltada para cima?
Crescente  a > 0
k – 3 > 0
k > 0 + 3
k > 3 
Na prática você aprende:
Exemplo 06: Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções f(x) = x² + 2x e g(x) = x + 2, destacando o ponto de intersecção entre essas duas funções:
Ponto de intersecção f(x) = g(x)
x² + 2x = x + 2		
x² + x – 2 = 0
∆ = 1 + 8 = 9
x’ = 1	x” = - 2 
Parábola  f(x) = x² + 2x
Xv = -2/2 = -1		Yv = -4/4 = -1		V(-1,-1)
g(x) = x + 2
g(1) = 1 + 2 = 3 (1,3)
g(-2) = -2 + 2 = 0 (-2,0)
	x	y
	-3	3
	-2	0
	-1	-1
	0	0
	1	3
Exercícios de aprendizagem
Questão 01: Um incêndio numa Reserva Florestal iniciou no momento em que um fazendeiro vizinho à Reserva ateou fogo em seu pasto e o mesmo se alastrou até a reserva. Os prejuízos para o meio ambiente foram alarmantes, pois a área destruída foi crescendo diariamente até que, no 10º dia, tempo máximo de duração do incêndio, foi registrado um total de 16 000 hectares de área dizimada. A figura abaixo é um arco de parábola que representa o crescimento da área dizimada nessa reserva em função do número de dias que durou o incêndio. Nestas condições, a expressão que representa a área dizimada A em função do tempo T, em dias, é:
(a) A = – 16.000T² + 10T
(b) A = 16.000T² – 3.200T
(c) A = – 160T² + 3.200T
A = 160T² – 3.200T
A = 16.000T² – 10T
Questão 02: Seja a função f(x) = x² – 2x + 3k. Sabendo que essa função possui duas raízes reais e iguais, determine o valor real de k.
Questão 03: Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função h(t) = 40t – 5t², onde a altura h é dada
em metros e o tempo t é dado em segundos. Determine:
a) a altura em que o corpo se encontra em relação
ao solo no instante t = 3 segundos; 
b) os instantes em que o corpo está a uma altura
de 60 metros do solo.
Questão 04: Esboçar o gráfico da função y = 2x² – 3x + 1, determinando:
a) as raízes; 
b) as coordenadas do vértice; 
c) a classificação de yv; (valor mínimo ou valor máximo da função)
d) intersecção da curva com o eixo y. 
Questão 05: Dada a função f(x) = -x² + 4x – 2: a) Determine as raízes de f, se houver; 
b) Calcule as coordenadas do vértice de seu gráfico;
c) Esboce seu gráfico.
Questão 06: O dono de uma marcenaria, que fabrica um certo tipo de armário, sabe que o número de armários N que ele pode fabricar por mês depende do número x de funcionários trabalhando na marcenaria,
e essa dependência é dada pela função N(x) = x² + 2x. Qual é o número de empregados necessários para fabricar 168 armários em um mês?
Questão 07: Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥0) , onde t é o tempo medido em segundo e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, apos o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo.
b) a altura máxima atingida pela bola.,
Questão 08: Observe a figura abaixo:
 
a) Escreva a lei de formação que representa a área y da parte colorida de amarelo (escurecida) dessa figura em função de x.
b) Calcule a área da parte amarelada quando x = 20 cm.
c) Qual o valor de x para que a área da parte amarelada (escurecida) seja igual a 34 cm²
Questão 09: Das alternativas abaixo, assinale a única que é correta a respeito da função f(x) = – 2(x + 1)(2 – x).
a) ( ) A função é do primeiro grau e é decrescente, pois a = – 2.
b) ( ) A função é do segundo grau e possui concavidade voltada para baixo, pois a = – 2.
c) ( ) A função é do segundo grau e possui concavidade voltada para cima, pois a = 2.
d) ( ) A função é do primeiro grau e é crescente, pois a = 2.
e) ( ) A função não é do primeiro nem do segundo grau.
Questão 10: Assinale a alternativa correta a respeito do gráfico de uma função do segundo grau.
a) ( ) Quando o discriminante de uma função do segundo grau é positivo e ela possui ponto de máximo, o valor do coeficiente a também é positivo.
b) ( ) Quando o discriminante de uma função do segundo grau é negativo e ela possui ponto de máximo, pode-se afirmar, com certeza, que ela possui 2 raízes reais.
c) ( ) Quando o discriminante de uma função do segundo grau é negativo e ela possui ponto de mínimo, pode-se afirmar, com certeza, que o coeficiente a é negativo.
d) ( ) Quando o discriminante de uma função do segundo grau é igual a zero, pode-se encontrar duas raízes reais e distintas para ela.
e) ( ) Quando o discriminante de uma função do segundo grau é positivo e ela possui ponto de mínimo, o valor do coeficiente a é positivo.
Questão 11: Sejam as funções f(x) = -x² + 4x + 5 e g(x) = x + 1. Pede-se:
a) Encontre as raízes e o vértice da função f(x).
b) Encontre os pontos de intersecção dos gráficos f(x) e g(x)
c) Represente graficamente as funções f e g num mesmo plano cartesiano destacando os pontos de intersecção.
Questão 12: O custo diário de produção de uma indústria de computadores é dado pela função C(x) = x² - 92x + 2800, em que C(x) é o custo em reais, e x é o número de computadores fabricados. Quantos computadores devem ser fabricados para que a empresa tenha um custo mínimo?
Questão 13: Dado o gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, encontre os valores de a, b e c e determine o valor de f(-2):
Questão 14: Um engenheiro vai projetar uma piscina, em forma de paralelepípedo reto-retângulo, cujas medidas internas são, em metros, expressas por x, (20 - x) e 2. Qual o maior volume que essa piscina poderá ter, em metros cúbicos?
Questão 15: A temperatura T de um forno (emgraus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T(t)= com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39 ºC. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?
Questão 16: Uma função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, é definida pela lei y = ax² + bx + c, onde a, b e c são os coeficientes numéricos da função. Os pares ordenados que definem essa função podem ser representados por (-1, 6); f(2) = 9 e f(5) = 48. Nessas condições qual a lei de formação que define essa função?
Questão 17: Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) = – h² + 22h – 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta.
 
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como:
a) ( ) Muito Baixa
b) ( ) Baixa
c) ( ) Média
d) ( ) Alta
e) ( ) Muito Alta
Questão 18: Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, -24) e (2, 0).
 
a) Determine a equação da reta r;
b) Determine a equação dessa parábola;
c) Determine os vértices da parábola;
Questão 19: A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.
 
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x)=, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros é?
Questão 20: Em relação ao gráfico da função f(x) = – x² + 4x – 3, pode−se afirmar: 
a) ( ) é uma parábola de concavidade voltada para cima; 
b) ( ) seu vértice é o ponto V(2, 1); 
c) ( ) intercepta o eixo das abscissas em P(–3, 0) e Q(3, 0); 
d) ( ) o seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas;
e) ( ) intercepta o eixo das ordenadas em R(0, 3).