Matemática M23 08052021

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2 Prova de Matemática de 8/05/2021
2.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 3 e 9) Qual das opções é a solução da equação 64−x = 1
2
?
(A) 1
6
(B) 32
(C) −6 (D) 1
75
Resolução:
A resposta certa é a (A) porque:
64−x = 1
2
⇔ (26)−x = 2−1 ⇔ 2−6x = 2−1 ⇔ −6x = −1⇔ x = 1
6
2.(Caṕıtulo 4) Considere o triângulo represen-
tado na figura. Sabe-se que AB = 8cm e A
_
CB =
30◦.
Sendo α = B
_
AC a expressão que representa BC,
em função de α, é:
(A) 4× cos(α) (B) 8× sen(α)
(C) 8× sen(α) (D) 16× sen(α)
Resolução:
A opção certa é (D) porque:{
sen α = h
8
sen 30o = h
BC
⇔
{
h = 8 sen α
1
2
= h
BC
⇔
{
h = 8 sen α
1
2
= 8 sen α
BC
⇔
{
h = 8 sen α
BC = 16 sen α
3.(Caṕıtulo 6) Na tabela está registado o número
de filhos de cada casal de uma dada povoação. A
coluna da esquerda apresenta o número de filhos
de cada casal e a coluna da direita a quantidade de
famı́lias com esse número de filhos.
Sendo x, Me e Mo, respetivamente, a média, a
mediana e a moda desta distribuição, então:
No de filhos No de famı́lias
0 15
1 46
2 25
3 10
4 4
(A) x = Me < Mo (B) Me = Mo < x
(C) Mo < Me = x (D) x < Me = Mo
Resolução:
Para determinar a mediana seria útil o conhecimento das frequências absolutas acumula-
13
das:
No de filhos Frequência absoluta Frequência absoluta acumulada
0 15 15
1 46 15 + 46 = 61
2 25 61 + 25 = 86
3 10 86 + 10 = 96
4 4 96 + 4 = 100
A resposta certa é (B) porque:
Mo = 1 valor mais frequente
Me = 1 primeiro valor que apresenta frequência absoluta acumulada maior ou igual a
0, 50× 100 = 50
x = 0×15+1×46+2×25+3×10+4×4
100
= 1, 42
4.(Caṕıtulo 11) Sendo g a função real definida por g(x) =
√
4x− x2 + 2
x
, a expressão
anaĺıtica da primeira derivada da função, g′, pode ser dada por:
(A) 1
2
√
4x−x2 −
2
x2
(B) 1
2
√
4x−x2 +
2
x2
(C) 2−x√
4x−x2 −
2
x2
(D) 2−x√
4x−x2 +
2
x2
Resolução:
A opção certa é (C) porque:
g′(x) =
(√
4x− x2 + 2
x
)′
=
(√
4x− x2
)′
+
(
2
x
)′
=
[
(4x− x2)
1
2
]′
+ 2(x−1)
′
= 1
2
(4x− x2)−
1
2 × (4x− x2)′ + 2× (−1)x−2 = 1
2(4x−x2)
1
2
× (4− 2x)− 2× 1
x2
= 4−2x
2
√
4x−x2 −
2
x2
= 2−x√
4x−x2 −
2
x2
5.(Caṕıtulo 3) Os zeros da função f definida por f(x) = −8 + | − 2x+ 4| são:
(A) {−2, 6} (B) {−6, 2}
(C) {−2} (D) Não tem zeros
Resolução:
A opção certa é (A) porque:
f(x) = 0⇔ −8 + |−2x+ 4| = 0⇔ |−2x+ 4| = 8⇔ −2x+ 4 = 8 ∨ −2x+ 4 = −8
⇔ −2x = 8− 4 ∨ −2x = −8− 4⇔ x = 4−2 = −2 ∨ x =
−12
−2 = 6
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6.(Caṕıtulo 5) Na figura ao lado está representado o gráfico de
uma função f , real de variável real, e domı́nio [−1, 1].
Em qual das imagens seguintes pode estar representado o gráfico
da função g(x) = f(−x) + a, com a ∈ R−0 ?
Resolução: A opção certa é a (C) porque o gráfico de g obtém-se do gráfico de f através
de uma simetria em relação ao eixo Oy e uma translação vertical de a < 0 unidades.
7.(Caṕıtulo 10) O valor de lim
n→+∞
(
1 + 1
n
)2n
é:
(A) 1 (B) e
(C)
√
e (D) e2
Resolução:
A opção certa é a (D) porque:
lim
n→+∞
(
1 +
1
n
)2n
= lim
n→+∞
[(
1 +
1
n
)n]2
=
[
lim
n→+∞
(
1 +
1
n
)n]2
= e2
15
2.2 Grupo II
1.(Caṕıtulo 4) Num trapézio isósceles [ABCD], a
base menor é igual aos lados não paralelos e mede
√
2
cm. Um dos lados não paralelos forma com a base
maior um ângulo de 60o de amplitude.
Mostre que o peŕımetro do trapézio é igual a 5
√
2 cm
e a área igual a 3
√
3
2
cm2.
Resolução:
cos (60o) = AE√
2
⇔ AE =
√
2× cos (60o) =
√
2× 1
2
=
√
2
2
⇒ AB =
√
2 + 2×
√
2
2
= 2
√
2 cm
sen (60o) = DE√
2
⇔ DE =
√
2× sen (60o) =
√
2×
√
3
2
=
√
6
2
cm
Peŕımetro de [ABCD] = 3×
√
2 + 2
√
2 = 5
√
2 cm
Área de [ABCD] = AB+DC
2
×DE = 2
√
2+
√
2
2
×
√
6
2
= 3
√
2
2
×
√
6
2
= 3
√
12
4
= 3×2
√
3
4
= 3
√
3
2
cm2
2.(Caṕıtulo 1) Utilizando, sempre que posśıvel, as regras das operações com potências,
simplifique a expressão: (
−1− 1
6
+
1
3
)−19
(
5
6
)−18
Resolução:
−1−1
6
+
1
3
−19
5
6
−18 =
(
−6
6
− 1
6
+
2
6
)−19
5
6
−18 =
(
−5
6
)−19
5
6
−18 =
(
−5
6
)−19
−5
6
−18
=
(
−56
)−19+18
=
(
−56
)−1
= −6
5
3.(Caṕıtulo 2) Considere os polinómios A(x) = 6x3 − 2x2 − 9x e B(x) = 3x− 1.
3.1 Determine o polinómio quociente da divisão A(x)
B(x)
.
Resolução: O quociente é Q(x) = 2x2 − 3 de acordo com o algoritmo da divisão:
6x3 − 2x2 − 9x+ 3 3x− 1
−6x3 + 2x2 2x2 − 3
−9x+ 3
9x− 3
0
16
3.2 Determine os zeros de A(x)×B(x)
Resolução:
A(x)×B(x) = 0⇔ (6x3 − 2x2 − 9x+ 3)× (3x− 1) = 0
⇔
6x3−2x2−9x+3=(3x−1)×(2x2−3)
(3x− 1)× (2x2 − 3)× (3x− 1) = 0
⇔ 3x− 1 = 0 ∨ 2x2 − 3 = 0⇔ x = 1
3
∨ 2x2 = 3⇔ x = 1
3
∨ x = ±
√
3
2
⇔ x = 1
3
∨ x = ±
√
3×
√
2√
2×
√
2
Zeros : x = 1
3
∨ x =
√
6
2
∨ x = −
√
6
2
4.(Caṕıtulo 7) Para baixar a temperatura corporal de um doente foi-lhe receitado um
medicamento. A temperatura do doente, em graus Celsius (oC), t horas após a medicação,
é dada por:
T (t) = −1
2
t2 + t+ 39
.
Calcule T (0) e os valores de t para os quais T (t) < 37 e interprete as soluções obtidas no
contexto do problema.
Resolução:
T (0) = −1
2
× 02 + 0 + 39 = 39◦C
39◦C − temperatura do doente no instante em que tomou o medicamento
−1
2
t2 + t+ 39 < 37⇔ −1
2
t2 + t+ 2 < 0⇔ −t2 + 2t+ 4 < 0⇔ t2 − 2t− 4 > 0
⇔
t2−2t−4=0⇔t= 2±
√
4+16
2
⇔t=1±
√
5
t<
(
1−
√
5
)
horas
sem sentido no contexto
∨ t >
(
1 +
√
5
)
horas
tempo que demorou a temperatura ficar inferior a 37◦C
5.(Caṕıtulo 6) O gabinete da Gestão da Qualidade de
uma empresa, observando os altos custos com os frequen-
tes acidentes de trabalho ocorridos fez, a pedido do diretor
da empresa, uma pesquisa do número de acidentes sofridos
por funcionários nos últimos 3 anos. Os resultados dessa
pesquisa, realizada a 100 funcionários (do total de 500 fun-
cionários daquela empresa), estão no gráfico de barras ao
lado.
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5.1 Construa a tabela de frequências absolutas e relativas acumuladas.
Resolução:
xi ni Ni Fi
0 50 50 50/100 = 0, 50
1 17 50 + 17 = 67 67/100 = 0, 67
2 15 67 + 15 = 82 82/100 = 0, 82
3 10 82 + 10 = 92 92/100 = 0, 92
4 6 92 + 6 = 98 98/100 = 0, 98
5 2 98 + 2 = 100 100/100 = 1
5.2 A empresa implementará diferentes ações de melhoria na poĺıtica de segurança no tra-
balho caso a média ou o desvio-padrão do número de acidentes seja superior a 2 acidentes.
À luz dos dados obtidos, será necessário implementar as referidas ações de melhoria?
Resolução:
x̄ = 0×50+1×17+2×15+3×10+4×6+5×2
100
= 1, 11
s =
√
(0−1,11)2×50+(1−1,11)2×17+(2−1,11)2×15+(3−1,11)2×10+(4−1,11)2×6+(5−1,11)2×2
99
' 1, 38
Não há motivo para implementar as ações de melhoria.
6.(Caṕıtulo 10) Considere a função f definida por
f(x) =
{
x2+1
x−1 se x ≤ 0
kx−sen(2x)
x
se x > 0
Determine k de modo que a função f seja cont́ınua em x = 0
Resolução:
lim
x→0−
f(x) = f(0) = 0
2+1
0−1 = −1
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
(
kx−sen(2x)
x
)
= lim
x→0+
(
kx
x
)
− 2 lim
x→0+
(
sen(2x)
2x
)
= k − 2× 1 = k − 2
f cont́ınua em x = 0⇒ k − 2 = −1⇔ k = 1
7.(Caṕıtulo 11) Considere a função f de domı́nio R+, definida por:
f(x) = 2x2 + x+ 3 ln (x)
7.1 Mostre que f ′(x) = 4x
2+x+3
x
Resolução:
f ′(x) =
(
2x2 + x+ 3 ln (x)
)′
= 4x+ 1 + 3(ln (x))′ = 4x+ 1 + 3× 1
x
=
4x2 + x+ 3
x
18
7.2 2 Estude a função f quanto à monotonia e determine, caso existam, os extremos da
função.
Resolução:
f ′(x) =
4x2 + x+ 3
x
= 0 ⇒
x>0
4x2 + x+ 3 = 0⇔ x = −1±
√
1− 48
8
/∈ R
Como domı́nio de f é R+ e 4x2+x+3 representa uma parábola com concavidade voltada para
cima que não tem zeros, conclui-se que f ′ é positiva em todo o seu domı́nio; f é monótona
crescente em todo o seu domı́nio; não existem extremos.
7.3 Estude a função f quanto ao sentido da concavidade do seu gráfico e determine, caso
existam, os pontos de inflexão da função.
Resolução:
f ′′(x) =
(
4x2+x+3
x
)′
=
(4x2+x+3)
′
×x−(4x2+x+3)×x′
x2
=
(8x+1)×x−(4x2+x+3)
x2
= 4x
2−3
x2
⇒ f ′′(x) = 0 ⇔
x=−
√
3
2
/∈Df
x =
√
3
2
x 0
√
3
2
+∞
x2 0 + + +
4x2 − 3 − − 0 +
f ′′ ND − 0 +
f ND ∩ PI∪
O gráfico da função f tem a concavidade voltada para baixo em ]0,
√
3
2
[ e a concavidade
voltada para cima em ]
√
3
2
,+∞[. Existe um ponto de inflexão:(√
3
2
, f
(√
3
2
))
=
√3
2
, 2
(√
3
2
)2
+
√
3
2
+ 3 ln
(√
3
2
) = (√3
2
,
3 +
√
3
2
+ 3 ln
(√
3
2
))
8.(Caṕıtulo 5 e 8) Na figura está representado o
gráfico de uma função f definida por f(x) = x +
2 cos(x)− π de domı́nio
]
0, 3π
2
[
.
Considere que um ponto B de abcissa entre π
6
e 5π
6
, se
desloca ao longo do gráfico de f .
Para cada posição do ponto B considere um ponto A e um ponto C que se deslocam ao
longo do eixo Ox, e forma que [AB] seja paralelo ao eixo Oy e OA = AC. Mostre que a
área do triângulo [OBC], em função da abcissa x do ponto B, pode ser dada por:
A(x) = πx− x2 − 2x cos(x)
19
Resolução:
A(x, 0) ⇒
OA=AC
C(2x, 0)⇒ OC = 2x
AB = |f(x)| = |x+ 2 cos(x)− π|
π
6
≤x≤ 5π
6=
f(x)=x+2 cos(x)−π<0
π − x− 2 cos(x)
A[OBC] = A(x) =
OC×AB
2
= 2x×(π−x−2 cos(x))
2
= πx− x2 − 2x cos(x)
9.(Caṕıtulo 4) O Martim pretende fixar um cesto de basque-
tebol na paBrickRede, a 3,05 metros do solo. Pretende colocar
uma escada que encoste o seu topo na paBrickRede precisamente
à altura a que pretende fixar o cesto e que faça um ângulo de
60o com o solo, para que tenha estabilidade. Qual o compri-
mento que a escada deve ter? Apresente o resultado em metros,
arBrickRedondado a uma casa decimal.
Resolução: Representando por c o comprimento da escada, temos:
sen (60◦) =
3, 05
c
⇔
√
3
2
=
3, 05
c
⇔ c = 2× 3, 05√
3
' 3, 5 metros
20
	Prova de Matemática de 8/05/2021
	Grupo I
	Grupo II