Matemática - Livro 2-070-072

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MATEMÁTICA Capítulo 8 Funções trigonométricas básicas seno e cosseno70
eTextos complementares
Origens da trigonometria
A origem da trigonometria é incerta, mas podemos afirmar que o seu desenvolvimento foi influenciado por causa dos problemas de astrono-
mia, agrimensura e navegações, por volta de V a C , com os egípcios e os babilônios A palavra trigonometria é de origem grega e significa
medidas do triângulo. O astrônomo grego Hiparco de Niceia (190-120 a.C.) é considerado o fundador da trigonometria. Foi ele quem introduziu
as medidas sexagesimais em Astronomia e elaborou a primeira tabela trigonométrica. Para Hiparco, a trigonometria era uma ferramenta para
fazer medições, prever eclipses, fazer calendários e muitas outras coisas.
Hiparco tinha construído uma tabela de cordas, precursora das modernas tabelas trigonométricas.
A construção das tabelas de cordas era feita da seguinte maneira:
B
O
A
2
α
2
α
Media-se a corda AB de uma unidade u, tal que u
raio
60
.= Assim, utilizava-se o símbolo crd a para representar o comprimento da corda do ângulo
central a.
Da figura, podemos perceber que uma tabela de cordas é uma tabela dos senos dos ângulos.
α
= =
α
sen
2
AB
2OA
cdr
diâmetro
Hiparco e o raio da Lua
Hiparco, considerado o inventor da trigonometria, foi também o criador do astrolábio, um instrumento naval antigo utilizado para medir a altura dos
astros acima do horizonte e determinar a posição deles no céu.
Hiparco adotava para raio da Terra o valor obtido por Eratóstenes, ou seja, aproximadamente 6 366 km
O seu grande interesse pela Astronomia fez com que observasse vários eclipses lunares e desse uma especial atenção aos eclipses totais e de
grande duração.
Hiparco concluiu que a Lua demora cerca de 1 hora para ocultar-se e mantém se oculta cerca de 1h40
Com base nessas informações, observe as figuras:
RT
RL
02 01
Início do eclipse lunar. RT: raio da Terra, RL: raio da Lua
02 01
F
R
E
N
T
E
 1
71
 Após 1 hora, a Lua estava totalmente oculta. Observe que o centro da Lua 01 percorre a distância de 2RL.
02
2(RT − RL)
0101
 A Lua mantém-se oculta durante 1h e 40 min. E o centro 01 da Lua percorre a distância de 2(RT – RL).
Considerando a velocidade da ponta 01 constante, temos:
2R
1h
2R 2R
1,67h
3,34R 2R 2R 5,34R 2R
R
R
2,67
L T L
L T L L T
L
T
= ∴ = ∴ =
=
Com o resultado de Eratóstenes, temos então raio da Lua = 2 384 km.
Sabemos hoje que o raio da Lua é cerca de 1 737 km. O raciocínio de Hiparco é brilhante, mas nesse método faltou-lhe precisão para calcular a
duração dos eclipses
Resumindo
As funções básicas da trigonometria são:
f:R→ R e f(x) = sen  x (função seno)
g:R→ R e g(x) = cos  x (função cosseno)
A relação fundamental da trigonometria (RFT) relaciona as duas funções
tal que sen 
2
x + cos 
2
x = 1, ∀x ∈R.
Propriedades básicas das funções:
a)
x
sen x
1
−1
π 2π
2
π
2
3π
 1 ≤ sen  x ≤ 1
Período: 2π
Amplitude: 1
Domínio:R
Função ímpar (sen (–x) = sen  x)
b)
x
cos x
1
−1
π 2π
2
π
2
3π
1 ≤ cos  x ≤ 1
Período: 2π
Amplitude: 1
Domínio:R
Função par (cos (–x) = cos  x)
Quer saber mais?
Site
y Trigonometria – história e funções
Disponível em: <http://ecalculo if.usp br/funcoes/trigonometricas/ftrigonometricas.htm>
MATEMÁTICA Capítulo 8 Funções trigonométricas básicas seno e cosseno72
Exercícios complementares
1 Sendox=
2
p
, calcule o valor da expressão
sen x + cos x
sen x
A 0
B
1
2
C 1
D 2
E ∞
2 Determine o período e a imagem da função real f de-
finida por f(x) = 3sen 2x.
3 Classifique as funções sen  x e cos  x quanto a sua pa-
ridade.
4 PUC Sendo q um ângulo agudo, então
5
2
π
θ perten-
ce a qual quadrante?
A 1o
B 2o
C 3o
D 4o
E n.d.a.
5 UEL 2019 Uma empresa de produtos alimentícios re-
cebeu de seu contador uma planilha com os lucros
mensais referentes ao ano de 2017. Ao analisar a pla-
nilha, a empresa constatou que, no mês 4 (abril), teve
R$ 50  000,00 de lucro e que, no mês 6 ( junho), o lucro
foi de R$ 30 000,00.
Determine o lucro da empresa, em dezembro de 2017,
sabendo que a função que descreve o lucro L no mês
t daquele ano é denida por L(t) a cos
3 2
t b= ⋅ π + π



 +
em que 1 ≤ t ≤ 12, a > 0 e b > 0.
Apresente os cálculos realizados na resolução da
questão.
6 FGV Encontre o conjunto solução da equação na
variável x: x2 – (cos 2a)x – sen 2a = 0.
7 Vunesp A expressão: 1 2 sen 2x + sen 4x + sen 2x cos 2x
é equivalente a:
A cos 4x
B 2cos 2x
C cos 3x
D cos 4x + 1
E cos 2x
8 Fuvest Ache m de modo que o sistema:
⋅ =
⋅ =



cosx + m sen x 0
cos x m sen x 1
 na incógnita x, tenha solução.
9 UFPR 2020 A maior variação de maré do Brasil ocorre
na baía de São Marcos, no estado do Maranhão. A
diferença entre o nível mais alto e o nível mais baixo
atingidos pela maré pode chegar a 8 metros em algu-
mas épocas do ano. Suponha que em determinado
dia do ano o nível da maré da baía de São Marcos
possa ser descrito pela expressão
= π




+ ∈ n(t) 3sen (t 5) 6
4, com t 0,24
sendo t tempo (medido em horas) e n(t) o nível da
maré no instante t (dado em metros). Com base nes
sas informações, considere as seguintes armativas:
1. O nível mais alto é atingido duas vezes durante
o dia.
2. Às 11 h é atingido o nível mais baixo da maré.
3. Às 5 h é atingido o nível mais alto da maré
4. A diferença entre o nível mais alto e o nível mais
baixo é de 3 metros.
Assinale a alternativa correta.
A Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
B Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras.
C Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
D Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras.
E As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.
10 Classifique as funções f(x) = xsen x e g(x) = xcos x quan-
to à paridade
11 EsPCEx 2019 Dentre as alternativas a seguir, aquela
que apresenta uma função trigonométrica de 2p, cujo
gráfico está representado na figura abaixo é
A f(x) = 1 sen (p x).
B f(x) = 1 + cos (p x).
C f(x) = 2 - cos (p + x).
D f(x) = 2 sen (p + x).
E f(x) = 1 - cos (p - x).