Matemática - Livro 2-157-159

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Multiplicando todos os termos de uma equação pelo coeficiente de x da outra equação:
( ) + = ⇒ + =a cx dy f acx ady af
( ) ⋅ + = ⇒ + =c ax by e acx bcy ec
Subtraindo, termo a termo, as duas novas equações obtidas:
 + =
 + =
 + − = − ⇒ − = −
 acx ady af
 acx bcy ec
 0x ady bcy af ec (ad bc)y af ec
Novamente, se ad – bc ≠ 0, tem-se que =
 ⋅ − ⋅
 ⋅ − ⋅
y
a f e c
a d b c
.
Saiba mais
Escritas na linguagem algébrica tradicional das equações e funções, as fórmulas resolutivas dos sistemas lineares
vistas aqui não parecem mesmo muito fáceis de se entender ou memorizar. Torna-se necessário, então, o uso de uma
nova linguagem matemática, que chamamos de Álgebra Linear, proposta para simplificar o entendimento e os processos
resolutivos dos sistemas lineares, até o ponto de torná-los computacionais.
A Álgebra Linear introduz novas estruturas matemáticas, como as matrizes, novos conceitos, como o de combinação
linear e novas operações, como o produto interno e os determinantes.
Matrizes
Desde o início do capítulo algumas ideias matemáticas têm sido fundamentadas sobre o conceito intuitivo de série
numérica ordenada, como os pares ordenados (x, y) e as trincas ordenadas (x, y, z), por exemplo. Muitas referências foram
feitas às séries de n números reais:
s = (x1, x2, x3, ..., xn)
Toda série finita, como essa, representa a imagem de alguma função de domínio ordinal →f:N com N = {1, 2, 3, ..., n},
tal que: x = f(n).
Em muitos casos, há alguma expressão algébrica para essa função. Exemplos:
x = n + 3, n ∈ {1, 2} ⇒ s = (4, 5)
x = 2n, n ∈ {1, 2, 3} ⇒ s = (2, 4, 6)
x = n2, n ∈ {1, 2, 3, 4} ⇒ s = (1, 4, 9, 16)
As matrizes são entidades matemáticas capazes de representar, de forma bidimensional, as imagens de funções
também de domínio ordinal, mas com duas variáveis.
Indicamos a maioria das matrizes com letras maiúsculas como A, B ou C, por exemplo, deixando as formas minúscu-
las dessas letras para representar suas entradas. Os elementos ou entradas das matrizes ficam organizados em linhas e
colunas e, para isso, os valores de suas entradas dependem de dois índices ordinais: um para indicar o número da linha e
outro para indicar o número da coluna. Desta forma, aij representa a entrada localizada na linha i e coluna j de uma matriz A.
Matrizes são apresentadas em sua forma explícita como uma tabela de números compreendidos entre parênteses,
colchetes ou barras verticais duplas. Veja o exemplo de uma matriz A com 4 linhas e 3 colunas.
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
41 42 43
11 12 13
21 22 23
31 32 33
41 42 43
11 12 13
21 22 23
31 32 33
41 42 43
=
















=
















=
Toda entrada de uma matriz deve ser acompanhada de dois índices ordinais, assim, a entrada a32 de uma matriz A, por exemplo, não deve ser “a
trinta e dois” e sim “a três dois”, pois a32 indica que essa entrada localiza-se na 3
a linha e 2a coluna da matriz.
Por isso, não é necessário separar os índices da linha e da coluna por uma vírgula ou qualquer outro tipo de pontuação. A não ser que a matriz
estudada possua mais de 10 linhas ou colunas.
No caso de uma matriz com mais do que 10 linhas e colunas, uma entrada indicada por a112 teria sua localização expressa de forma ambígua, podendo
estar tanto na 1a linha e 12a coluna quanto na 11a linha e 2a coluna. Em situações como essa os índices podem ser separados por uma vírgula. Assim:
• a1, 12 indica a entrada localizada na 1
a linha e 12a coluna da matriz;
• a11, 2 indica a entrada localizada na 11
a linha e 2a coluna da matriz.
Atenção
MATEMÁTICA Capítulo 6 Introdução à Álgebra Linear158
Para formalizar as matrizes como entes algébricos deve-se, primeiramente, considerar as suas quantidades de linhas
e colunas. Essas quantidades determinam o formato, também chamado de tamanho ou dimensão de uma matriz.
A representação m × n indica o tamanho de uma matriz A que possui m linhas e n colunas.
Agora, consideram-se dois subconjuntos ordinais de N:
I = {1, 2, 3, ..., m} será o conjunto dos índices das linhas da matriz A.
J = {1, 2, 3, ..., n} será o conjunto dos índices das linhas da matriz A.
As entradas da matriz A apresentam a imagem de alguma função ordinal f, que tem o produto cartesiano dos conjuntos
I e J como domínio e o conjunto R como contradomínio:
 × → f :I J
Para indicar os elementos dos conjuntos I e J, considera-se também, um par de índices ordinais i e j, tais que: i ∈ I e j ∈ J
i ∈ {1, 2, 3, , m} ⇒ 1 ≤ i ≤ m
j ∈ {1, 2, 3, , n} ⇒ 1 ≤ j ≤ n
Finalmente, dispondo-se da função f e dos valores de m e n, é possível declarar a matriz A através da seguinte sentença:
A a
m n
a
i j
f i ji j= ( )
×
= ( , )
Veja o que designa cada letra nesta sentença:
A Uma matriz
a Cada entrada da matriz
i Linha da entrada
j Coluna da entrada
m Quantidade de linhas da matriz
n Quantidade de colunas da matriz
f
Função que estabelece a lei de formação das
entradas da matriz
Em sua forma explícita, a matriz pode ser representada por:
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
11 12 13 1m 1n
21 22 23 2m 2n
31 32 33 3m 3n
m1 m2 m3 mm mn
� �
� �
� �
     
� �


















, quando m < n
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
11 12 13 1m
21 22 23 2m
31 32 33 3m
m1 m2 m3 mm
�
�
�
    
�


















, quando m = n
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
n1 n2 n3 nn
m1 m2 m3 mn
�
�
�
    
�
    
�
























, quando m > n
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A existência de uma matriz também pode ser declarada sem que os valores de suas entradas sejam fornecidos. Nes-
ses casos basta informar o tamanho da matriz como índice da letra escolhida para designar a matriz. Assim, uma matriz A,
com m linhas e n colunas, fica representada simplesmente por:
Am×n
O número de entradas de uma matriz Amxn é igual a m · n. Uma matriz A5 × 3, por exemplo, possui um total de
5 ⋅ 3 = 15 entradas.
Lei de formação
As funções de duas variáveis ordinais f(i, j) que estabelecem as relações entre os valores das entradas da matriz e os
índices i e j de sua localização são denominadas leis de formação da matriz Em muitos casos, essas funções podem ser
expressas algebricamente Exemplos:
A matriz A = (aij)4×3 em que aij = i j é:
A
a a a
a a a
a a a
a a a
1 1
2 1
3 1
4 1
1 2
2 2
3 2
4 2
1 3
2 3
3 3
4 3
0
1
2
3
1
0
1
0
2
1
0
1
11 12 13
21 22 23
31 32 33
41 42 43
=
















=
 
 
 −
 −
 
 
 −
 −
 
 
 −
 −












=












A matriz B = (bij)2×4 em que bij = i ⋅ j
2 é:
B
b b b b
b b b b
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
1
2
4
8
9
18
16
32
11 12 13 14
21 22 23 24
2 2 2 2
2 2 2 2
=








= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅






=




A matriz C = (cij)3×3 em que
 + <
 ⋅ ≥
 =



c
i j, se i j
i j, se i ji j
 é:
 =










 =
 ⋅
 ⋅
 ⋅
 +
 ⋅
 ⋅
 +
 +
 ⋅










 =










C
c c c
c c c
c c c
1 1
2 1
3 1
1 2
2 2
3 2
1 3
2 3
3 3
1
2
3
3
4
6
4
5
9
11 12 13
21 22 23
31 32 33
Exercício resolvido
7 Escreva explicitamente a matriz A3×4 em que aij = i
2 – j.
Resolução:
Do tamanho 3 × 4 da matriz tem-se que ≤ ≤1 i 3 e que ≤ ≤1 j 4.
Por m, para cada combinação possível de valores de i e de j, encontramos o valor de aij:
a11 = 1
2 – 1 = 0
a21 = 2
2 – 1 = 3
a31 = 3
2 – 1 = 8
a12 = 1
2 – 2 = –1
a22 = 2
2 – 2 = 2
a32 = 3
2 – 2 = 7
a13 = 1
2– 3 = –2
a23 = 2
2 – 3 = 1
a33 = 3
2 – 3 = 6
a14 = 1
2 – 4 = –3
a24 = 2
2 – 4 = 0
a34 = 3
2 – 4 = 5
Finalmente, organizamos o resultado em uma matriz 3 × 4:
A
0 1 2 3
3 2 1 0
8 7 6 5
=








Filas de uma matriz
As filas de uma matriz são suas linhas e colunas. As diagonais de uma matriz não são consideradas filas, de modo que
uma matriz A de tamanho m × n possui exatamente m + n filas.
As matrizes =




B
1
2
4
8
9
18
16
32
 e =





C
1 3 4
2 4 5
3 6 9
, usadas como exemplos no tópico anterior, possuem 6 filas cada,
sendo que em B há 2 linhas e 4 colunas e em C há 3 linhas e 3 colunas.