Matemática - Livro 2-160-162

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MATEMÁTICA Capítulo 6 Introdução à Álgebra Linear160
Toda entrada de uma matriz pertence a duas filas da
matriz, sendo localizada na interseção de uma linha com
uma coluna.
É norma da Álgebra Linear que em toda referência ao tamanho de
uma matriz ou à posição de alguma de suas entradas, deve-se obe-
decer à ordem: linha antes, coluna depois.
Atenção
Exercício resolvido
8 PUC-RS No projeto Sobremesa Musical, o Instituto de
Cultura da PUCRS realiza apresentações semanais
gratuitas para a comunidade universitária.
O número de músicos que atuaram na apresentação
de número j do i-ésimo mês da primeira temporada de
2009 está registrado como o elemento aij da matriz
abaixo:












43 12 6 6 5
43 5 5 12 12
43 13 20 13 0
3 5 54 43 43
A apresentação na qual atuou o maior número de mú-
sicos ocorreu na semana do mês.
A quinta segundo
 quarta quarto
C quarta terceiro
 terceira quarto
E primeira terceiro
Resolução:
A maior entrada da matriz é o número 54, localiza-
do na interseção da 4a linha com a 3a coluna. Logo,
i = 4 e j = 3. Como i indica o mês e j o número da
apresentação, esses 54 músicos zeram a terceira
apresentação semanal do quarto mês.
Alternativa: D.
Tipos de matrizes
As matrizes são classificadas sob muitos aspectos di
ferentes. Podem ser de acordo com:
• o formato ou tamanho da matriz;
• os valores de suas entradas;
• suas propriedades algébricas.
Matriz linha e matriz coluna
Toda matriz de tamanho m × n pode ser chamada de:
• Matriz linha quando m = 1 e n > 1;
• Matriz coluna quando n = 1 e m > 1.
Tanto as matrizes linhas quanto as matrizes colunas
podem ser chamadas de vetores e designadas por letras
minúsculas, mesmo que não haja conotação geométrica
em sua interpretação. Exemplos:
= 



u a a a a
11 12 13 14
 é uma matriz linha de quatro
entradas.
=










v
a
a
a
11
21
31
 é um vetor coluna de três entradas.
Matriz retangular e matriz quadrada
Toda matriz de tamanho m × n pode ser chamada de:
• Matriz retangular quando m ≠ n;
• Matriz quadrada quando m = n.
Quando uma matriz é quadrada, seu tamanho é do tipo
n × n e o valor de n é chamado de ordem da matriz. Assim:
 =  A a11 é uma matriz quadrada de primeira ordem ou
de ordem 1.
B
b b
b b
=








11 12
21 22
 é uma matriz quadrada de segunda
ordem ou de ordem 2.
C
c
c
c
c
c
c
c
c
c
=












11
21
31
21
22
32
11
21
31
 é uma matriz quadrada de terceira
ordem ou de ordem 3.
A ordem de uma matriz quadrada também pode ser
apresentada no lugar do formato, como índice da letra es-
colhida para designar a matriz. Assim, uma matriz quadrada
A de ordem n pode ser representada por An.
An = An×n
Em toda matriz quadrada A de ordem n > 1, além das
filas (linhas e colunas), há duas outras séries de entradas
aij com nomes específicos.
A série em que i = j chama-se diagonal principal e esses
elementos estão em destaque no exemplo a seguir:














a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
A série em que i + j = n + 1 chama-se diagonal secun
dária e esses elementos estão em destaque no exemplo
a seguir:














a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
É importante observar também que nas entradas aij
localizadas acima da diagonal principal temos que j > i, e
nas localizadas abaixo desta diagonal tem-se j < i. Note no
exemplo:
F
R
E
N
T
E
 2
161
a
21
a
11
a
31
a
41
a
51
a
22
a
12
a
31
a
42
a
52
a
23
a
13
a
33
a
43
a
53
a
24
a
14
a
34
a
44
a
54
a
25
a
15
a
35
a
45
a
55
j > i
j < i
Matrizes triangulares e matriz diagonal
As matrizes quadradas cujas entradas situadas acima
ou abaixo da diagonal principal são todas nulas, também
podem ser chamadas de matrizes triangulares. Assim, há
dois casos a serem considerados:
• Se aij = 0 quando i > j tem-se uma matriz triangular
superior
a a a
0 a a
0 0 a
0 0 0
a
a
a
a
11 12 13
22 23
33
14
24
34
44














• Se aij = 0 quando i < j tem-se uma matriz triangular
inferior.












a
a
a
a
0
a
a
a
0
0
a
a
0
0
0
a
11
21
31
41
22
32
42
33
43 44
As matrizes quadradas cujas entradas situadas acima
e abaixo da diagonal principal são todas nulas, também
podem ser camadas de matrizes diagonais.
Se aij = 0 quando i ≠ j tem-se uma matriz diagonal.










a
0
0
0
0
a
0
0
0
0
a
0
0
0
0
a
11
22
33
44
As relações entre os índices i e j das entradas aij localizadas nas
diagonais paralelas à diagonal principal podem ser apresentadas
na forma de uma diferença constante
Assim, a relação i − j = 0 localiza as entradas da diagonal da prin-
cipal e:
• i − j = −1 localiza a diagonal logo acima da principal;
• i − j = 1 localiza a diagonal logo abaixo da principal;
• i − j = −2 localiza a segunda diagonal acima da principal;
• i − j = 2 localiza a segunda diagonal abaixo da principal;
• i − j = −3 localiza a terceira diagonal acima da principal;
• i − j = 3 localiza a terceira diagonal abaixo da principal.
Saiba mais
Além disso, as relações desses índices nas diagonais paralelas à
diagonal secundária podem ser apresentadas na forma de uma soma
constante. Assim, em uma matriz quadrada de ordem 5, por exemplo,
tem-se que:…
i + j = 4 localiza a segunda diagonal acima da secundária;
i + j = 5 localiza a diagonal logo acima da secundária;
i + j = 6 localiza a diagonal secundária;
i + j = 7 localiza a diagonal logo abaixo da secundária;
i + j = 8 localiza a diagonal logo abaixo da secundária;…
a
11
a
12
a
13
a
14
a
15
a
21
a
22
a
23
a
24
a
35
a
31
a
32
a
33
a
34
a
35
a
41
a
42
a
43
a
44
a
45
a
51
a
52
a
53
a
54
a
55
i – j = –2
i – j = –1
i – j = 0
i – j = 1
i – j = 2
i + j = 4
i + j = 5
i + j = 6
i + j = 7
i + j = 8
Saiba mais
Matriz nula
É chamada de matriz nula qualquer matriz cujas entra-
das sejam todas iguais a zero. As matrizes nulas costumam
ser indicadas pela letra O acompanhada do seu respectivo
tamanho:
O a
m n
a
ij
ij= ( ) × = 0
Exemplos:
O
0 0
0 0
0 0
3 2
 =





 × O
0
0
0
02
=




O
0
02 1
 =



 ×
Matriz identidade
Toda matriz diagonal cujas entradas não nulas valem 1
é chamada de matriz identidade As matrizes identidades
costumam ser indicadas pela letra I acompanhada de sua
respectiva ordem
I a
n n
se i j
se i j
ij
a
a
ij
ij
= ( ) ×
= =
= ≠
1
0
Exemplos:
I
1
0
0
12
=



 é a matriz identidade de 2
a ordem
MATEMÁTICA Capítulo 6 Introdução à Álgebra Linear162
 =








I
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
 é a matriz identidade de 3a ordem
 =










I
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
4
 é a matriz identidade de 4a ordem
Igualdade de matrizes
Duas matrizes são consideradas iguais quando tiverem:
• o mesmo tamanho;
• as mesmas entradas em cada posição.
Sendo A e B duas matrizes de tamanhos m × n e p × q:
= ⇔
 =
 =
 =





× ×
A B
p m
q n
a b
m n p q
ij ij
Exercício resolvido
9 Considere os números reais x, y e z que satisfazem a
igualdade matricial a seguir:
 + −
−










 =
 +









x y
y 1 4
7 5x
25
4
7
z 1
4
x
2
2
O valor de x + y + z é
A 0
 1
C 1
 2
E −2
Resolução:
Sendo aij e bij as respectivas entradas dessas matrizes:
a11 = b11 ⇒ x
2 = 25 ⇔ x ∈ {5, 5}
a32 = b32 ⇒ 5x = x
2 ⇔ x ∈ {0, 5}
Como x deve satisfazer ambas as equações, tem-se:
x = 5.
a21 = b21 ⇒ y + 1 = 4 ⇔ y = 3
a12 = b12 ⇒ y = z + 1 ⇔ z = 2
Portanto: x + y + z = −5 + 3 + 2 = 0
Alternativa: A
Matriz transposta
Duas matrizes são consideradas transpostas uma da
outra, quando as séries das linhasde uma são iguais às
séries de colunas da outra, na mesma ordem, ou seja:
• a primeira linha de uma matriz é igual à primeira colu-
na da outra.
• a segunda linha de uma matriz é igual à segunda co-
luna da outra.
Transpor uma matriz é uma operação em que as linhas
da matriz transformam-se, ordenadamente, em colunas.
Indicamos por AT (ou At) a matriz transposta de uma
matriz A. Assim, sendo A e B matrizes de tamanhos
m × n e p × q:
( ) = ⇔
 =
 =
 =





× ×A B
p n
q m
a b
m n
T
p q
i j ji
Exemplos:





 =




1 4
2 5
3 6
1
4
2
5
3
6
T
−
−









=
−









5
6
2
0
0
4
1
3
1
0
0
1
10
20
30
40
5
0
1
10
6
4
0
20
2
1
0
30
0
3
1
40
T
A transposta de uma matriz linha é uma matriz coluna
e vice-versa.
=








(x y z)
x
y
z
T
A transposição de matrizes é uma operação dual. Isso
significa que duas aplicações sucessivas dessa mesma ope-
ração resultam na matriz original, ou seja, é uma operação
que anula a si mesma
=( )A AT
T
Na operação de transposição de uma matriz quadrada,
as entradas da diagonal principal permanecem em suas
mesmas posições.
Para transpor uma matriz quadrada de segunda ordem,
basta permutar (trocar de posição) as entradas da diagonal
secundária:
=







a b
c d
a c
b d
T