Matemática - Livro 3-013-015

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F
R
E
N
T
E
 1
13
I. Redução do 2o ao 1o quadrante
Dado um número real x, tal que
p
< < p
2
x , e B é a
sua imagem no ciclo. Observe a figura 11:
B
y
x
B΄
C C΄ A
Fig 11 Demonstração de redução do 2o ao 1o quadrante
BB' é paralelo ao eixo dos cossenos e
�
+ = pAB AB' .
Podemos ver também pelo retângulo BCB'C' que
� 
=sen AB' sen AB e
� 
=cosAB' cosAB. Como

=AB x,
temos

= pAB' x.
Conclusão:
sen (p x) = sen x
cos (p x) = –cos x
Mais conclusões:
I. = =
p -
- p -
= ptgx
senx
cosx
sen( x)
cos( x)
tg( x)
II. = =
p
= pcotgx
1
tgx
1
tg( x)
cotg( x)
III. = =
p -
= pcossecx
1
senx
1
sen( x)
cossec( x)
IV. = =
- p -
= psecx
1
cosx
1
cos( x)
sec( x)
II. Redução do 3o ao 1o quadrante
Seja x ∈R, tal que p < <
p
x
3
2
, e B é a sua imagem
no ciclo trigonométrico. Observe a figura 12.
Fig. 12 Demonstração de redução do 3
o
 ao 1
o
 quadrante.
B΄
C
y
x
B
C΄O A
A reta que passa por B e O corta o ciclo em B',
assim:
�
- = pAB AB' . Os triângulos retângulos B'C'O
e BCO são congruentes, então:
� 
=senAB' senAB e
� 
=cosAB' cosAB.
Como

=AB x , temos

= pAB' x .
Conclusão:
sen (x p) = sen x
cos (x – p) = –cos x
Mais conclusões:
I. tg x
sen x
cos x
sen (x )
cos (x )
tg (x )= =
- - p
- - p
= p
II. cotg x
1
tg x
1
tg (x )
cotg (x )= =
p
= p
III cossec x
1
sen x
1
sen (x )
cossec (x )
= =
- - p
=
= p
IV. sec x
1
cos x
1
cos (x )
sec (x )= =
- - p
= p
III. Redução do 4o ao 1o quadrante
Seja x ∈R, tal que
p
< < p
3
2
x 2 , e B é a sua imagem
no ciclo trigonométrico. Observe a figura 13.
Fig 13 Demonstração de redução do 4o ao 1o quadrante.
B΄
B
O C = C΄
A
x
Traçamos a reta perpendicular ao eixo das abs
cissas por B e encontramos B’ no 1o quadrante. Assim,
�
+ = pAB AB' 2 .
De imediato, tiramos que cos
�
=AB cos AB' (pois as
projeções C e C’ são coincidentes) e
�
=sen AB sen AB'.
Como

=AB x , temos

= p -AB' 2 x.
Conclusão:
sen x = sen (2p x)
cos x = cos (2p x)
MATEMÁTICA Capítulo 9 Funções circulares14
IV. Arcos cuja diferença é de 1 reto
π
+x e
2
x são os arcos cuja diferença vale
2
 rad
p
, (1 reto).
Observe o ciclo trigonométrico:
Fig. 14 Demonstração de redução de 90°.
BB΄
O C
C΄
A
x
y
Os triângulos BOC e B’OC’ são congruentes e
BO B'O,⊥ a s s i m �  = +
π
=AB' AB
2
, AB x, e n t ã o

=
π
+AB'
2
x Observe os resultados da congruência:
OC = OC' e BC = B'C'.
Conclusão:
= π +




cosx sen
2
x
= π +




senx cos
2
x
Mais conclusões:
I. π +




=
π +




π +




=
−
=tg
2
x
sen
2
x
cos
2
x
cosx
senx
cotgx
II.
π +




=
π +




= = −cotg
2
x
1
tg
2
x
1
cotgx
tgx
III.
π +




=
π +




= =cossec
2
x
1
sen
2
x
1
cosx
secx
IV.
π +




=
π +




=
=
−
=
sec
2
x
1
cos
2
x
1
senx
cossecx
V. Arcos cuja diferença é de 3 retos
x e
π
+
3
2
x são os arcos cuja diferença vale
3
2
 rad
p
(3 retos)
Observe o ciclo trigonométrico:
B
B΄ B΄́
O
C
C΄́
C΄
A x
y
Fig 15 Demonstração de redução de 270°
BB' é um diâmetro e B''O é perpendicular a BB', carac-
terizando assim a diferença de
p3
2
rad. Os triângulos BOC
e B"OC" são congruentes, assim:
B"C" = OC e BC = C"O. � = =
π
+AB x e AB''
3
2
x
Conclusão:
= π +




cosx sen
3
2
x
= π +




senx cos
3
2
x
Mais conclusões:
I. tg
3
2
x
sen
3
2
x
cos
3
2
x
cos x
sen x
cotg x
π +




=
π +




π +




=
−
=
II. cotg
3
2
x
cos
3
2
x
sen
3
2
x
sen x
cos x
tg x
π +




=
π +




π +




=
−
=
III. cossec
3
2
x
1
sen
3
2
x
1
cos x
sec x
π +




=
π +




=
−
=
IV. sec
3
2
x
1
cos
3
2
x
1
sen x
cossec x
π +




=
π +




= =
Exercícios resolvidos
17 Sabendo que x é um arco do 3o quadrante e que
=tgx
3
4
, calcule o valor da expressão:
( ) ( )
( )
( )
( )
⋅ ° +
° +
−
° +
° −
sen x cossec 180 x
sec 90 x
cotg 270 x
tg 180 x
2
2
F
R
E
N
T
E
 1
15
Resolução:
Para o assunto não car enfadonho com “decorebas”
de fórmulas, vamos analisar cuidadosamente os arcos
no ciclo trigonométrico e obter todos os resultados
através de simetrias
cos x
tg xsen x
x
3
4
–3
5
–4
5
Sabendo que + =tg x 1
1
cos x
2
2
, temos:
3
4
1
1
cos x
2
2




+ = ⇔
cos x
4
5
e sen x
3
5
⇔ = − = −
cos x
sen x
sen (– x) = – sen x =
x
–3
5
3
5
–4
5
3
5
–x
cos x
sen x
x
α
A
B
–4
5
3
5
3
5
4
5
–3
5
–4
5
180º + x
90º + x
90º + α
–3
5
–3
5
4
5
–α
α
4
5
3
5
Chamando AB = α, temos: 180° + x = 180° + (180° + α) =
= 360° + α.
Assim: 90° + x = 90° + 180° + α = 270° + α.
Assim: 270° + x = 270° + 180° + α = 360° + (90° + α) =
= 90° + α.
Logo: 180° – x = 180° (180° + α) = –α.
( ) ( )° + = ° + = 



=cossec 180 x 1
sen 180 x
1
3
5
5
3
( ) ( )° + = + = 



=sec 90 x 1
cos 90° x
1
3
5
5
3
( )
( ) ( )
° + =
° +
=
° + α
=cotg 270 x
1
tg 270 x
1
tg 90
( )
( )
=
+ α
° + α
=
cos 90°
sen 90
=
3
5
4
5
3
4
( ) ( )
( )
( )
° − = −α =
−α
−α
= = −tg 180 x tg
sen
cos
3
5
4
5
3
4
Vamos agora calcular o valor da expressão:
⋅








−







= = −
3
5
5
3
5
3
3
4
3
4
3
5
1
2
5
2
2
18 Sabendo que x é um arco do 2o quadrante, tal que
=senx
1
3
, calcule o valor da expressão:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
° ⋅ ° ⋅ °
° + ⋅ ° + ⋅
sen 180 x cotg 90 x cos 360 x
tg 180 x tg 90 x sen x
Resolução:
cos x
sen x
x
α = 180º – x
360º – α
90º – α270º – α
360º – x
α
–1
3
1
3
1
3
3
2 2
–1
3
3
–2 2
3
–2 2
+ = ⇔




+ = ⇔sen x cos x 1 1
3
cos x 1
2 2
2
2
⇔ = = ⇔ =cos x 1
1
9
8
9
cosx
2 2
3
2