Matemática - Livro 3-130-132

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MATEMÁTICA Capítulo 8 Números complexos130
Representações geométricas dos
números complexos
Desde a antiguidade que os números são usados para
avaliar comprimentos, mas foram as idéias de René Des-
cartes que nos levaram a usar os pontos de uma reta como
representantes dos números reais, no modelo chamado
de eixo real.
Tal modelo consiste na escolha de dois pontos distintos
de uma mesma reta, atribuindo o valor 0 (zero) a um dos
pontos e o valor 1 (um) ao outro ponto. O ponto associado
ao zero passa a ser chamado de origem do eixo.
0
»
1
Feito isso, cada um dos demais pontos da reta fica ime-
diatamente associado a um único número real e vice-versa.
O ponto do eixo real associado à unidade negativa ( 1)
fica localizado de modo que a origem (0) seja o ponto médio
do segmento determinado pelas duas unidades (+1) e (−1).
0
»
1–1
A origem do eixo real divide-o em 2 semirretas: uma
com todos os pontos associados aos números reais po-
sitivos, e a outra com os pontos associados aos números
negativos.
Rotações em torno da origem
Da forma como foi proposto, o eixo permite observar a
relação entre dois números reais opostos (+a) e (−a) como
se cada um deles fosse o resultado da rotação de 180
o
 do
outro, em torno da origem.
0
»
+a–a
Assim, interpreta-se que a multiplicação de um número
real pela unidade negativa (−1) promove uma rotação de
180
o
 desse número em torno da origem.
( 1) ⋅ (+a) = a
( 1) ⋅ (-a) = +a
A equivalência entre a multiplicação pela unidade ne
gativa e a rotação de 180
o
 em torno da origem do eixo real
é algebricamente expressa com o auxílio da sigla “cis”, que
tem origem no estudo das funções trigonométricas seno
e cosseno Assim:
-1 = cis(180
o
)
Observe que:
I Multiplicar um número real r por (−1) duas vezes suces
sivas equivale a multiplicá lo por (+1)
II Tomar uma figura geométrica e efetuar duas rotações
sucessivas de 180
o
 dela em torno de um mesmo pon
to O equivale a efetuar uma única rotação de 360
o
 da
figura em torno de O
III Multiplicar um número por +1 não altera o valor desse
número, bem como tomar uma figura e efetuar rota-
ções de 360
o
 não altera a posição da figura.
Assim, também se interpreta a multiplicação de um nú-
mero real pela unidade positiva (+1) como uma rotação de
360
o
 desse número em torno da origem.
Em termos algébricos, essas observações ficam ex-
pressas por:
I ( 1) ⋅ (-1) = +1
II. cis(180o) + cis(180
o
) = cis(360
o
)
III. 1 = cis(360
o
)
Essas novas notações rotacionais para os números
também podem ser expressas em radianos:
-1 = cis(p)
+1 = cis(2p)
Seguindo esse padrão, a multiplicação pela unidade
imaginária também possui uma interpretação rotacional.
Observe que:
I Multiplicar pela unidade imaginária (i) duas vezes su-
cessivas equivale a multiplicar por (−1).
II. Efetuar duas rotações sucessivas de 90
o
 equivale a
efetuar uma única rotação de 180
o
.
Em termos algébricos, estas observações ficam ex-
pressas por:
I. (i) ⋅ (i) = 1
II. cis(90o) + cis(90
o
) = cis(180
o
)
Conclui-se então que a multiplicação de um número
qualquer pela unidade imaginária deva promover uma ro-
tação de 90
o
 do ponto que representa esse número em
torno da origem do eixo real.
i = cis(90
o
)
Rotações de 180
o
 e 360
o
 geram o mesmo resultado,
sejam elas no sentido horário ou anti horário, mas as
rotações de 90
o
 não. Adota-se então que as rotações
indicadas pela sigla cis são sempre feitas nos mesmos
sentidos adotados no estudo do ciclo trigonométrico,
ou seja:
• anti-horário para arcos positivos;
• horário para arcos negativos.
0
a ⋅ i
»
+a–a
Por isso, representa-se a unidade imaginária por um
ponto localizado logo acima da origem de um eixo real
horizontal.
0
»
+1–1
i
F
R
E
N
T
E
 2
131
Os pontos onde se localizam as unidades (+1), (−1) e ( i ) estão todos a uma mesma distância da origem do eixo real
O ponto associado à unidade imaginária negativa (−i) fica localizado de modo que a origem (0) seja o ponto médio do
segmento determinado pelas duas unidades imaginárias (+i) e (−i)
0
»
+1–1
i
–i
Ciclos de potências da unidade imaginária
Tanto as unidades inteiras, positiva e negativa, quanto a unidade imaginária possuem potências de expoente inteiros
que formam ciclos periódicos
(Base)
Exp
... –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ...
(+1) +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
(−1) +1 −1 +1 −1 +1 −1 +1 −1 +1 −1 +1 −1 +1 −1
( i ) 1 i +1 +i 1 i +1 +i 1 i +1 +i 1 i
Usando as interpretações rotacionais das multiplicações pelas unidades (+1), (−1) e (+i) é possível perceber de maneira
visual cada ciclo da tabela.
Como cada multiplicação por (+1) equivale a uma rotação de 360o em torno da origem, o ciclo de potências da unidade
positiva (+1) tem período de um termo:
0
»
+1
(+1)n = +1 para todo número inteiro n.
Como cada multiplicação por (−1) equivale a uma rotação de 180o em torno da origem, o ciclo de potências da unidade
negativa (−1) tem período de dois termos:
0
»
+1–1
- = +
- = -




n
n
( 1) 1, se é um número par.
( 1) 1, se é um número ímpar.
n
n
Como cada multiplicação por (+i) equivale a uma rotação de 90o em torno da origem, o ciclo de potências da unidade
imaginária ( i ) tem período de quatro termos:
= +
= +
=
= -






n
n
n
n
(i) 1, se é um múltiplo de 4.
(i) i, se deixa resto 1 quando dividido por 4.
(i) 1, se deixa resto 2 quando dividido por 4
(i) i, se deixa resto 3 quando dividido por 4
n
n
n
n
MATEMÁTICA Capítulo 8 Números complexos132
0
i
1–1
–i
Assim, sendo r o resto da divisão de um número inteiro
n pelo número 4, tem-se que:
(i)
n
= (i)
r
Exercícios resolvidos
 23 O valor da soma S = i + i2 + i3 + i4 + + i10 é igual a
A 1 + i
b −1 + i
C 1 − i
d −1 − i
E 0
Resolução:
i
1
= i i
5
= i
1
= i i
9
= i
1
= i
i
2
= 1 i
6
= i
2
= 1 i
10
= i
2
= 1
i
3
= i i
7
= i
3
= i
i
40
= 1 i
8
= i
4
= 1
Somando todas essas igualdades, obtém-se:
S = i – 1 – i + 1 + i – 1 – i + 1 + i – 1 = −1 + i
Alternativa: B
 24 Sendo i a unidade imaginária, calcule o valor da ex
pressão E = i
2011
+ i
2012
+ i
2013
A 0
b 1
C −1
d i
E – i
Resolução:
Dividindo 2011 por 4 obtém-se resto 3, portanto, i2011 =
= i
3
= -i
Dividindo 2012 por 4 obtém-se resto 0, portanto, i
2012
=
= i
0
= 1.
Dividindo 2013 por 4 obtém-se resto 1, portanto, i
2013
=
= i
1
= i.
Logo: E = i
2011
+ i
2012
+ i
2013
= i + 1 + i = 1
Alternativa: B
Números inteiros de Gauss
No início do século XIX, o astrônomo e matemático ale-
mão Carl Friedrich Gauss publicou alguns artigos a respeito
dos números complexos, em que tanto a parte real quanto
a parte imaginária eram números inteiros.
{z = a + b ⋅ i | a ∈ Z, b ∈ Z e i
2
= 1}
Conhecidos hoje como números inteiros de Gauss, es-
ses números podem ser representados geometricamente
em uma malha de pontos coplanares alinhados horizon-
talmente e verticalmente, como vértices de quadrados
congruentes e adjacentes:
0
Uma vez escolhido o ponto da malha que irá repre-
sentar o número zero, os quatro pontos indicados ficam
representando os números:
+1 à direita
-1 à esquerda
+ i acima
- i abaixo
0
+i
+1–1
i
Dessa forma, os demais números inteiros ficam alinha-
dos sobre um eixo real horizontal e os demais imaginários
puros, com parte imaginária inteira, ficam alinhados verti-
calmente acima e abaixo da origem.
»
–2i
–4
4i
–1–2–3
–i
0
3i
2i
i
1 2 3 4 5 6 7
Os pontos da malha, localizados fora das linhas horizontal
e vertical que passam pela origem, representam os demais
números inteiros de Gauss, ou seja, os complexos z = a + bi,
com a ∈Z, b ∈Z, i 1= e a ⋅ b ≠ 0 Veja alguns exemplos:
»
–3 – 2i
–3 + 2i –1 + 2i 3 + 2i
2 + 3i
1 + 4i 7 + 4i
–2 – i
–4 + i 5 + i
1 – i
1 + i
6 – i
1 – 2i 3 – 2i
0
Posições relativas
Diversas propriedades geométricas dos números com-
plexos podem ser observadas nos pontos em destaque na
figura anterior.