Matemática - Livro 3-166-168

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MATEMÁTICA Capítulo 8 Números complexos166
75 UFSM 2013 Os edifícios “verdes” têm sido uma nova
tendência na construção civil. Na execução da obra
desses prédios, há uma preocupação toda especial
com o meio ambiente em que estão inseridos e com
a correta utilização dos recursos naturais necessários
ao seu funcionamento, além da correta destinação
dos resíduos gerados por essa utilização.
A demarcação do terreno onde será construído um
edifício “verde” foi feita através dos pontos P1, P2, P3
e P4, sendo o terreno delimitado pelas poligonais
P1P2, P2P3, P3P4 e P4P1 medidas em metros. Sabendo
que P1, P2, P3 e P4 representam, respectivamente, a
imagem dos complexos z1 = 20 + 40i, z2 = 15 + 50i,
z3 = 15 10i e =z
1
16
z
5
4
z ,
4 1 3
 qual é a área, em m
2
,
desse terreno?
A 1 595.
b 1 750.
C 1 795.
d 1 925.
E 2 100.
76 FICSAE-SP 2016 Sejam os números complexos
u i sen= ⋅ + ⋅2 2 315 315( )cos ° ° e w = u
2
. Se P e Q são
as respectivas imagens de u e w, no plano complexo,
então a equação da reta perpendicular a PQ, traçada
pelo seu ponto médio, é
A 3x + y + 2 = 0
b 3x - y + 2 = 0
C x + 3y + 14 = 0
d x - 3y + 14 = 0
77 UFSM 2014 No plano complexo, o ponto z0 representa
o local de instalação de uma antena wireless na praça
de alimentação de um shopping.
Os pontos z = x + yi que estão localizados no alcance
máximo dessa antena satisfazem a equação |z – z0| = 30.
De acordo com os dados, esses pontos pertencem à
circunferência dada por
A x2 + y
2
 20x 10y 775 = 0.
b x
2
+ y
2
 900 = 0.
C x
2
+ y
2
 10x + 20y 775 = 0.
d x
2
+ y
2
 10x + 20y 900 = 0.
E x
2
+ y
2
 20x 10y 900 = 0.
78 PUC-RS 2014 A área da figura representada no plano de
Argand Gauss pelo conjunto de pontos {z ∈ C : |z| ≤ 1} é
A
1
2
b 1
C
p
2
d p
E 2p
79 PUC RS 2016 Uma cancha de futsal está situada so-
bre um sistema de coordenadas do plano complexo
(Argand Gauss), com unidades marcadas em metros
e com centro sobre o ponto O(0, 0), como na figura
abaixo
Se a circunferência central possui uma área de 9p m
2
,
a expressão que melhor representa esta circunferên-
cia central, em z ∈ C, é
A z
2
= 9
b z = 3
C z = 9
d |z| = 3
E |z| = 9
80 Insper 2012 No conjunto dos números complexos, o
número 1 apresenta três raízes cúbicas: 1, +1 i 3
2
 e
1 i 3
2
. Os pontos que correspondem às representa-
ções desses três números no plano de Argand Gauss
são vértices de um triângulo de área
A
3
4
b
3
2
C
3 3
4
d 3
E 1
F
R
E
N
T
E
 2
167
Gráficos em coordenadas polares
[...]
Como no caso de equações cartesianas, um ponto P está no gráfico da
curva de equação r = f(θ) se, e somente se, P = (r, f(θ)).
O uso de coordenadas polares simplifica, em alguns casos, equações
de curvas
[...]
Procedimentos para traçar gráficos em coordenadas polares
1) Verificar se existem simetrias, isto é, se a equação se altera ao trocar:
a) θ por –θ: simetria em relação à reta θ = 0 (eixo x).
b) θ por π – θ: simetria em relação à reta θ = π/2 (eixo y).
c) θ por π + θ: simetria em relação ao polo [ ]
2) Verificar se a curva passa pelo polo (r = 0).
3) Determinar os pontos da curva variando θ a partir de θ = 0.
4) Verificar a existência de pontos críticos (máximos e mínimos): f(θ)’ = 0
e f’’(θ) > 0 ⇒ θ é um mínimo relativo; f(θ)’ = 0 e f’’(θ) < 0 ⇒ θ é um
máximo relativo.
5) Verificar se r não se altera ao trocar θ por θ + 2π. Caso não haja
alteração, basta variar θ entre 0 e 2π
[...]
As seguintes relações trigonométricas serão úteis aqui:
• cos (-θ) = cos θ = cos (2π – θ) = cos (2π + θ) e cos (π – θ) = -cos θ
• sen (–θ) = –sen θ = sen (2π – θ) e sen (π – θ) = sen θ = sen (θ + 2π)
Veja alguns exemplos:
• r = θ com θ ≥ 0
Representa os pontos P = (r, r) onde r ≥ 0, ou seja, os pontos P tais que
a distância de P ao polo é igual ao ângulo, em radianos, entre o eixo
polar e o segmento OP
A seguir temos os gráficos de r = θ e r = –θ, para 0 ≤ θ ≤ 4π.
2π 4π
π 3π
r = θ r = –θ
A equação geral da espiral é dada por r = aθ, considerando θ ≥ 0
• r = cos 2θ
Temos: cos 2θ = cos( 2θ);
cos 2(π – θ) = cos (2π – 2θ) = cos (–2θ) = cos 2θ e
cos 2(π + θ) = cos (2π + 2θ) = cos 2θ
Logo, existem simetrias em relação ao polo e em relação aos eixos x
e y [ ]
Para θ = π/4, r = 0, ou seja, a curva passa pelo polo quando θ = π/4.
Também r não se altera ao trocar θ por θ + 2π.
Assim, basta fazer o gráfico para 0 ≤ θ ≤ π/2 e completá lo, a partir
das simetrias.
r = cos 2θ
0 ≤ θ ≤
π
2
θ r
0 1
6π 0,5
4π 0
3π –0,5
2π –1
r = cos 2θ
0 ≤ θ ≤ 2π
Equações da forma r = a ⋅ sen(nθ) ou r = a ⋅ cos(nθ), para n inteiro
positivo, representam rosáceas.
• 5 ⋅ r = 1 + cosθ
Temos: 1 + cosθ = 1 + cos (–θ) ≠ 1 + cos (π θ)
1 + cos θ ≠ 1 + cos (π + θ)
Logo, o gráfico é simétrico em relação ao eixo x mas não é simétrico
em relação ao eixo y e nem em relação ao polo [ ]
5π
6
π
3
π
2
π
4
π
6
3π
4
2π
3
0 1 2
0
π
θ r
0 2,00
6π 1,87
4π 1,71
3π 1,50
2π 1,00
2 3π 0,50
3 4π 0,29
5 6 0,13
π 0,00
Equações da forma r = a ⋅ (1 ± senθ) ou r = a ⋅ (1 ± cos θ) representam uma
categoria de curvas chamadas cardioides, por terem a forma de coração
Mauri C. Nascimento – Dep. De Matemática – FC – Unesp/Bauru
wwwp.fc.unesp.br/~mauri/Down/Polares.pdf
Texto complementar
MATEMÁTICA Capítulo 8 Números complexos168
Resumindo
O conjunto dos números complexos
C = {z = a + bi | a ∈R, b ∈R, i2 = -1}
Sendo z = a + bi um número complexo, temos:
=
=
=







Parte real de z: Re(z) a
Parte imaginária de z: Im(z) b
Afixo de z: (a, b)
Conjugado de z: z a bi
»
i*



 2
 2 + 3i  3i
⊂ ⊂ ⊂ ⊂
(Naturais) (Inteiros) (Racionais) (Reais) (Complexos)
»    
Se a + bi for um número real, então b = 0, e se for um imaginário puro, então a = 0 e b ≠ 0.
Igualdade em C
Dados dois números complexos em suas formas algébricas z = a + bi e w = c + di, temos que esses dois números são iguais se, e somente se, tiverem
a mesma parte real e a mesma parte imaginária, ou seja:
= ⇔ + = + ⇔
=
=




z w a bi c di
a c
b d
Adição em C
z + w = (a + bi) + (c + di) = a + c + bi + di = (a + c) + (b + d)i
Multiplicação em C
z ⋅ w = (a + bi) ⋅ (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac - bd) + (bc + ad)i
Potências inteiras da unidade imaginária
i
n = ir, em que r ∈ {0, 1, 2, 3} é o resto da divisão de n pelo número 4
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= -
=
, i 1,
i 1,
i 1,
i i,
i i,
i i,
i 1,
i 1,
i 1,
i =-i,
i i,
i i, ...
0
4
8
1
5
9
2
6
10
3
7
11
O plano de Wessel-Argand-Gauss
Trata-se de uma adaptação do plano cartesiano tradicional, na qual o eixo das abscissas continua representando o conjunto dos números reais enquanto
o eixo das ordenadas, com exceção da origem, passa a representar o conjunto dos imaginários puros. Assim, um número complexo z = a + bi passa a ser
representado, no plano complexo, por seu afixo: o par ordenado (a, b).
A primeira das figuras a seguir apresenta um número complexo no segundo quadrante, ou seja, com parte real negativa (a < 0) e parte imaginária positiva
(b > 0); a segunda figura apresenta o vetor z associado, e a terceira figura destaca o módulo e o argumento desse vetor.
z
i» i» i»
» » »
a
b
a
b
z = Arg(z)
z
|z|