Matemática - Livro 3-199-201

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3 O astrônomo e matemático Johannes Kepler descobriu que as órbitas dos planetas em torno do Sol são elípticas e
têm o Sol em um de seus focos As elipses podem ser desenhadas em tábuas de madeira usando-se dois pregos e
um barbante, como mostra a ilustração:
FocoFoco
Nessas condições, os pontos onde os pregos foram xados determinam os focos da elipse. A excentricidade de uma
elipse pode ser calculada dividindo-se a distância entre os pregos e o comprimento do barbante.
A tabela a seguir apresenta as excentricidades das órbitas dos planetas do Sistema Solar.
Planeta Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Netuno
Excentricidade 0,2 0,07 0,02 0,09 0,05 0,06 0,05 0,009
Fonte: <www.sbsica.org.br/fne/Vol4/Num2/v4n2a06.pdf>.
Quando o formato de uma elipse está próximo do formato de uma circunferência, dizemos tratar-se de uma elipse
arredondada; caso contrário, é uma elipse alongada
Então, de acordo com a tabela, no nosso Sistema Solar, o planeta que tem a órbita mais arredondada e o que tem a
órbita mais alongada são, respectivamente:
A Saturno e Marte
b Urano e Marte
C Vênus e Júpiter
D Netuno e Mercúrio.
E Netuno e Terra
I os postes de iluminação projetam sobre a rua
uma área iluminada na forma de uma elipse de
excentricidade 0,943;
II o centro dessa elipse encontra-se verticalmente
abaixo da lâmpada, no meio da rua;
III o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada,
tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista).
Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem
nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em
metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de
aproximadamente:
Dado: 0,943 0,889 e 0,111 0,3332 ≅ ≅
7 m
1,5 m
1,5 m
A 35
b 30
C 25
D 20
E 15
4 Unesp 2014 A figura mostra um plano cartesiano no
qual foi traçada uma elipse com eixos paralelos aos
eixos coordenados
6
5
4
3
2
1
x1 2 3 40−1
−1
Valendo-se das informações contidas nesta represen-
tação, determine a equação reduzida da elipse.
5 Unesp A figura mostra a representação de algumas
das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem cal-
çadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de
7 m de largura. Vamos admitir que:
MATEMÁTICA Capítulo 10 Cônicas200
6 UFPB 2011 A secretaria de infraestrutura de um muni-
cípio contratou um arquiteto para fazer o projeto de
uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do pro-
jeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato
retangular medindo 80 m × 120 m, onde deverá ser
construído um jardim em forma de elipse na parte
central.
10 m
10 m
10 m10 m
F
1
A
B
C
D
120 m
80 m
F
2
Estão destacados na gura os segmentos AC e BD
que são, respectivamente, o eixo maior e o menor da
elipse, bem como os pontos F1 e F2, que são os focos
da elipse onde deverão ser colocados dois postes de
iluminação.
Com base nessas informações, conclui-se que a
distância entre os postes de iluminação será, aproxi-
madamente, de:
A 68 m
b 72 m
C 76 m
D 80 m
E 84 m
7 UEPB 2012 Deseja-se construir uma praça em forma
de elipse em um terreno retangular de dimensões x
metros e y metros, com x > y, de perímetro 300 m e
área 5 000 m
2, conforme nos mostra a figura.
F
1
y
x
0 F
2
x
2
y
2
x
2
x
2
Estando previstas as instalações de duas torres de
iluminação, uma em cada foco da elipse, F1 e F2, local
de melhor distribuição e aproveitamento das mes
mas, concluímos que a distância em metros entre as
torres é
A 100 3
b 25 3
C 50 3
D 40 3
E 30 3
8 EsPCEx 2011 Num estádio de futebol em forma de
elipse, o gramado é o retângulo MNPQ, inscrito na cô-
nica, conforme mostra a figura. Escolhendo o sistema
de coordenadas cartesianas indicado e tomando o
metro como unidade, a elipse é descrita pela equa-
ção
x
36
y
60
1
2
2
2
2
+ = . Sabe-se também que os focos da
elipse estão situados em lados do retângulo MNPQ.
y
Q P
M N
x
Assim, a distância entre as retas MN e PQ é
A 48 m
b 68 m
C 84 m
D 92 m
E 96 m
9 Unesp Suponha que um planeta P descreva uma ór-
bita elíptica em torno de uma estrela O, de modo
que, considerando um sistema de coordenadas car-
tesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do
sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente
pela equação
x
100
y
25
1
2 2
+ = , com x e y em milhões de
quilômetros.
A gura representa a estrela O, a órbita descrita pelo
planeta e sua posição no instante em que o ângulo
PÔA mede
4
p .
y (milhões de km)
B (0, 5)
A (10, 0)
O
P
(figura fora de escala)
x (milhões de km)
π
4
A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O,
no instante representado na gura, é:
A 2 5.
b 2 10.
C 5 2
D 10 2.
E 5 10.
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10 Um webdesigner foi contratado para fazer o site de
uma instituição educacional dedicada à astronomia
chamada “Elipse” Os diretores da instituição de
cidiram que a logomarca presente no site deveria
ser a figura formada pelos gráficos das equações
4x2 + 9y2 = 36 e 4x2 + y2 = 4 em um mesmo sistema
cartesiano tradicional, com o eixo x na horizontal
Então, o webdesigner digitou corretamente essas
equações em um de seus programas de computação
gráca e descobriu que a imagem da logomarca da
instituição no site seria:
A
b
C
D
E
11 FGV 2013 Sendo m o maior valor real que x pode as-
sumir na equação analítica (x - 2)2 + 4(y + 5)2 = 36, e
n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma
equação, então, m + n é igual a
A 8. b 7. C 6. D 4. E 3.
12 A comissão de formatura da turma do último ano de
uma faculdade de Arquitetura está discutindo a estam
pa da camiseta comemorativa de conclusão do curso
A figura a seguir ilustra uma proposta de uma estampa
em duas cores separadas por retas perpendiculares e
dois arcos simétricos um ao outro, que se aproximam
das retas perpendiculares sem tocá-las:
Essa estampa deverá ser computada em um software
que aceita como entradas as equações analíticas das
curvas cônicas. Assim, para que o software compute
os arcos que separam as cores apresentadas, os es-
tudantes deverão digitar a equação de uma:
A reta
b circunferência
C elipse
D parábola
E hipérbole
13 UFPI O gráfico da equação x2 y2 = 4 representa uma
hipérbole Os focos dessa hipérbole são:
A
1
2
, 0 e
1
2
, 0








b (2, 0) e (-2, 0)
C 2 2, 0 e 2 2, 0( ) ( )
D 0, 2 e 0, 2 2( ) ( )−
E 0,
1
2
 e 0,
1
2








14 Uma hipérbole equilátera tem centro na origem e fo-
cos no eixo Ox. Sabendo que sua distância focal é 6,
dê sua equação.
15 UEL Considere o círculo x2 + y2 r2 = 0 de raio r e a
hipérbole x2 y2 = 1
Nesse caso, pode-se armar que:
A se r < 1, então as curvas se intersectam em quatro
pontos.
b se r = 1, então as curvas têm quatro pontos em co-
mum.
C se r = 1, as curvas se intersectam em (0, 1) e (0, –1).
D se r 17= , então as curvas se intersectam apenas
nos pontos 3, 2 2( ) e 3, 2 2( ).
E se r 17> , então as curvas se intersectam em quatro
pontos.
16 UFC No plano cartesiano, a hipérbole xy = 1 intersecta a
circunferência τ em quatro pontos distintos A, B, C e D.
Calcule o produto das abscissas dos pontos A, B, C e D.
17 UFRGS O produto de duas variáveis reais, x e y, é uma
constante Portanto, dentre os gráficos abaixo, o único
que pode representar essa relação é
A y
0 x
b y
0 x
C y
0 x
D y
0 x
E y
0 x