Coordenadas Cartesianas e Polares

Prévia do material em texto

GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá! 
 
São várias as situações que exigem a referência de coordenadas 
cartesianas e polares de um ponto P. Costuma-se usar as coordenadas 
cartesianas para definir a posição de um ponto (objeto) no espaço entre duas 
dimensões (plano), enquanto as coordenadas polares servem para resolver 
problemas que procuram, por exemplo, descrever a força gravitacional 
exercida por um objeto, como o Sol. Em suma, as coordenadas polares 
consistem em um esquema alternativo que visa identificar pontos P no plano. 
Nesta aula, serão abordados os principais conceitos relacionados às 
coordenadas cartesianas e polares, com alguns exemplos para melhor 
fixação do conteúdo. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
AULA 1 – COORDENADAS 
CARTESIANAS E 
POLARES 
 
 
1 COORDENADAS CARTESIANAS E POLARES 
Santos e Ferreira (2009) consideram que, para entender as coordenadas 
cartesianas, deve-se estudar o conceito de produto cartesiano. Um produto entre 
conjuntos quaisquer é definido do seguinte modo: dados os conjuntos A e B, o produto 
cartesiano de A por B, denotado por A x B (lê-se “A cartesiano B”), é o conjunto 
formado por todos os pares ordenados (a, b) a ∈ A e b ∈ B, ou seja: A x B = {(a, b)| ∀a 
∈ A, ∀b ∈ B}. Para entender melhor, considere o seguinte exemplo: dados os conjuntos 
A = {1, 3, 5} e B = {2, 3}, tem-se: 
 
𝐴 𝑥 𝐵 = {(1,2)(1,3)(3,2)(3,3)(5,2)(5,3)} 
𝐵 𝑥 𝐴 = {(2,1)(2,3)(2,5)(3,1)(3,3)(3,5)} 
𝐴 𝑥 𝐴 = 𝐴2 = {(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5)} 
𝐵 𝑥 𝐵 = 𝐵2 = {(2,2)(2,3)(3,2)(3,3)} 
 
Vale ressaltar que, se A possui uma quantidade m de elementos e B possui n 
elementos, isso significa que A x B possui mn elementos, o mesmo acontece para B 
x A. Se A ≠ B, então A x B ≠ B x A. Ademais, o produto cartesiano se estende para 
qualquer número finito de conjuntos, isto é, dados A1, A2, ..., An, então, A1 x A2 x ... x 
An = {(a1, a2, ..., an)|∀a1 ∈ A1, ∀a2 ∈ A2, ..., ∀an ∈ An}. 
Em relação às coordenadas cartesianas na reta, é primordial saber que a reta 
orientada é aquela onde se toma um sentido positivo de percurso, denotado por uma 
flecha. Pode-se obter um sistema de coordenadas na reta da seguinte forma: sobre 
uma reta orientada, toma-se um ponto arbitrário O, que será a origem do sistema de 
coordenadas, ao qual se associa o número real 0. 
No sentido positivo de orientação da reta, toma-se outro ponto arbitrário U, 
onde se associa o número real 1, de modo que o comprimento do segmento seja a 
unidade de comprimento do sistema de coordenadas. Observe a Imagem 1. 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem 1 – Sistema de coordenadas na reta 
 
Fonte: Adaptado de Santos e Ferreira, 2009. 
 
O exemplo acima demonstra que cada número real positivo a pode ser 
associado a um único ponto A à direita de O, enquanto cada número real negativo b 
pode ser associado a um único ponto B à esquerda de O. A bijeção estabelecida, 
denotada por P(x), é denominada sistema de coordenadas na reta, e o número real x 
recebe o nome de ponto P nesse sistema de coordenadas. Para debater sobre 
distância e distância algébrica, observe a Imagem 2, que ilustra os pontos A(a) e B(b) 
sobre um eixo real. 
 
Imagem 2 – Pontos A(a) e B(b) sobre um eixo real 
 
Fonte: Adaptado de Santos e Ferreira, 2009. 
 
O comprimento do segmento AB é dado pela distância entre os pontos A e B, 
representada por |AB|, e estabelecida como o módulo da diferença de suas 
coordenadas: |AB| = |a – b| = |b – a|. Desse modo, a distância entre A e B é igual à 
distância entre B e A, ou seja, o comprimento do segmento AB é igual ao comprimento 
do segmento BA, então, |AB| = |BA|. 
Todavia, o comprimento algébrico do segmento orientado AB é dado pela 
distância algébrica entre os pontos A e B, denotada por 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , definida como a diferença 
entre a coordenada da extremidade e a coordenada da origem do segmento orientado, 
isto é: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑏 − 𝑎. Analogamente, o comprimento algébrico do segmento orientado 
BA é dado pela distância algébrica 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ , isto é: 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ = 𝑎 − 𝑏. Vale notar que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = −𝐵𝐴̅̅ ̅̅ . 
Observe o seguinte exemplo: dados os pontos A(-8), B(7) e C(10), como mostra a 
Imagem 3, tem-se o seguinte: 
 
 
 
Imagem 3 – Pontos A(-8), B(7) e C(10) sobre uma reta 
 
Fonte: Adaptado de Santos e Ferreira, 2009. 
 
|𝐴𝐵| = |𝐵𝐴| = |7 − (−8)| = |−8 − 7| = 15 
|𝐴𝐶| = |𝐶𝐴| = |10 − (−8)| = |−8 − 10| = 18 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 7 − (−8) = 7 + 8 = 15 
𝐵𝐴̅̅ ̅̅ = −8 − 7 = −15 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 10 − (−8) = 10 + 8 = 18 
𝐶𝐴̅̅ ̅̅ = −8 − 10 = 18 
 
Um sistema de coordenadas cartesianas no plano estabelece uma bijeção 
entre os pontos de um plano e os pares ordenados de números reais. Quando se fala 
em bijeção, entende-se que cada elemento de um conjunto A corresponde a um único 
elemento no conjunto B e vice-versa. 
A título de exemplo, considere dois eixos reais perpendiculares entre si, cujas 
origens coincidem em um ponto O, que funciona como a origem do sistema de 
coordenadas cartesianas no plano e ao qual se associa o par ordenado (0,0). Um eixo 
receberá o nome eixo das abscissas, enquanto o outro será denominado eixo das 
ordenadas. A Imagem 4 demonstra essa construção. 
 
Imagem 4 – Sistema de coordenadas cartesianas no plano 
 
Fonte: Adaptado de Santos e Ferreira, 2009. 
 
Observe que é possível associar um único ponto P do plano a qualquer par 
 
 
ordenado de números reais (x,y). O ponto de interseção das duas retas é o ponto P 
associado ao par ordenado (x,y), que está representado na parte b da Imagem 4. A 
bijeção entre os pontos P e os pares ordenados (x,y) é indicada pela notação P(x,y). 
Desse modo, o nome plano cartesiano é atribuído a um sistema de 
coordenadas cartesianas no plano. A parte a da Imagem 4 demonstra que os dois 
eixos dividem o plano em quatro regiões, chamadas de quadrantes. 
Existe outra forma de localizar um ponto em um plano, mediante as 
coordenadas polares. Esse sistema é formado por um semieixo real, denominado 
eixo polar, e a origem recebe o nome de polo. Nesse sistema, um ponto P do plano é 
localizado por meio de sua distância orientada r ao polo e por sua direção θ, dada pelo 
ângulo formado entre o eixo polar e o segmento da reta que representa a distância r, 
como mostra a Imagem 5. 
 
Imagem 5 – Sistema de coordenadas polares 
 
Fonte: Adaptado de Santos e Ferreira, 2009. 
 
O par ordenado (r,θ) de números reais são as coordenadas polares do ponto P 
e, para representar isso, usa-se a notação P(r,θ). A coordenada polar θ deve ser 
expressa em radianos, caso ela seja positiva, o ângulo é tomado no sentido 
trigonométrico (anti-horário), mas se for negativa, o ângulo é tomado no sentido anti-
trigonométrico (horário), como mostra a parte a da Imagem 6. 
Vale saber também que a coordenada polar r também pode assumir valores 
negativos. Nesse caso, o ponto tem direção oposta àquela indicada na coordenada 
polar θ, isto é, as coordenadas polares (-r,θ) e (r,θ ± π) representam o mesmo ponto 
no plano, como mostra a parte b da Imagem 6. 
Por fim, vale lembrar que todo ponto do plano pode ser representado por 
infinitos pares de coordenadas polares. As coordenadas polares (-r,θ), (r,θ ± π) e (r,θ 
± 2kπ), k ∈ Z, representam o mesmo ponto, como mostra a parte c da Imagem 6. 
 
 
 
Imagem 6 – Pontos nos sistemas de coordenadas polares 
 
Fonte: Adaptado de Santos e Ferreira, 2009. 
 
Diferente do sistema de coordenadas cartesianas, o de coordenadas polares 
não define uma correspondência bijetora entre dois pontos do plano e os pares 
ordenados de números reais, já que um dado ponto pode ser representado por infinitas 
coordenadas polares diferentes. Mesmo assim, um par de coordenadas polares 
representam um único ponto, sem qualquer ambiguidade. Uma função bijetora é 
aquela onde todos os valores de y remetem a somente um valor de x. 
SegundoRogawski (2009), as coordenadas polares formam um sistema 
bidimensional onde cada ponto é definido por uma distância e um ângulo em relação 
a um ponto fixo de referência. Esse ponto recebe o nome de polo e a semirreta do 
polo na direção de referência se chama eixo polar. 
Além disso, a distância a partir do polo é denominada coordenada radial ou 
raio, enquanto o ângulo recebe o nome de coordenada angular ou ângulo radial. 
Para compreender melhor, considere que será preciso encontrar duas representações 
polares de P = (1,-1), uma usando uma coordenada radial positiva e a outra negativa. 
No caso da coordenada radial positiva de P = (1,-1), ela é 𝑟 = √(−1)2 + 12 =
√2. Para encontrar essa coordenada angular, deve-se resolver a tangente do ângulo, 
que é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a ele, portanto, a relação 
tangente depende do ângulo considerado, veja: 
 
tan 𝜃 =
𝑦
𝑥
= −1 → 𝜃 =
3𝜋
4
,
3𝜋
4
+ 𝜋 =
7𝜋
4
 
 
Como P fica no segundo quadrante, a coordenada angular apropriada para P é 
 
 
𝜃 =
3𝜋
4
, como mostra a Imagem 7. 
 
Imagem 7 – Representação da coordenada angular de P 
 
Fonte: Adaptado de Rogawski, 2009. 
 
De forma alternativa, P pode ser representado com a coordenada radial 
negativa 𝑟 = −√2 e ângulo 𝜃 =
7𝜋
4
. Assim: 
 
𝑃 = (√2,
3𝜋
4
) 𝑜𝑢 (−√2,
7𝜋
4
) 
1.1 Conversões entre sistemas 
Em várias situações, compensa sobrepor um sistema de coordenadas 
cartesianas xy ao sistema de coordenadas polares, de modo que o eixo x positivo 
coincida com o eixo polar. Desse modo, cada ponto P terá coordenadas cartesianas 
(x,y) e coordenadas polares (r,θ). A Imagem 8 demonstra que as coordenadas estão 
relacionadas pelas equações x = r cos θ, y = r sin θ. Tais equações possibilitam 
encontrar x e y quando forem dados r e θ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem 8 – Coordenadas 
 
Fonte: Adaptado de Anton, Bivens e Davis, 2014. 
 
Para encontrar r e θ a partir de x e y, é recomendável usar as identidades sin² 
θ + cos² θ = 1 e tan θ = sin θ/cos θ para reescrever x = r cos θ, y = r sin θ, como r² = 
x² + y², tan θ = y/x. Observe os seguintes exemplos de conversão: no primeiro, deve-
se encontrar as coordenadas cartesianas do ponto P cujas coordenadas polares são 
(6,
2𝜋
3
), como mostra a Imagem 9. 
 
Imagem 9 – Coordenadas polares (6,
2𝜋
3
) 
 
Fonte: Adaptado de Anton, Bivens e Davis, 2014. 
 
Para resolver esse problema, o primeiro passo é pegar a equação x = r cos θ, 
y = r sin θ e substituir as coordenadas polares r = 6 e 𝜃 =
2𝜋
3
, a fim de obter: 
 
𝑥 = 6 cos
2𝜋
3
= 6 (−
1
2
) = −3 
 
 
𝑦 = 6 sin
2𝜋
3
= 6 (
√3
2
) = 3√3 
 
Portanto, as coordenadas cartesianas de P são (-3, 3√3). No próximo exemplo, 
deve-se encontrar as coordenadas polares do ponto P cujas coordenadas cartesianas 
são (-2, −2√3), como mostra a Imagem 10. 
 
Imagem 10 – Coordenadas cartesianas (-2, −2√3) 
 
Fonte: Adaptado de Anton, Bivens e Davis, 2014. 
 
Para a resolução do problema, será preciso encontrar as coordenadas polares 
(r,θ) de P que satisfaçam as condições r > 0 e 0