Matemática - Livro 3-235-237

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 3
235
3 Transforme em milímetros cúbicos o volume de
0,0741 hm3
Resolução:
Considerando que cada hectômetro possui cem me-
tros (1 hm = 100 m) e cada metro possui mil milímetros
(1 m = 1 000 mm):
( )
( )
( )
= ×
= ×
= ×
= ×
= ×
=
0,0741 hm 0,0741 1 hm
0,0741 hm 0,0741 100 m
0,0741 hm 0,0741 100 000 mm
0,0741 hm 0,0741 100 000 mm
0,0741 hm 0,0741 1 000 000 000 000 000 mm
0,0741 hm 74 100 000 000 000 mm
3 3
3 3
3 3
3 3 3
3 3
3 3
O mesmo problema pode ser resolvido em notação
cientíca partindo das relações 1 hm = 102 m e 1 m =
= 103 mm:
( )
( )
( )
( )
( )= × ×
= × ×
= × × ×
= × ×
= × ×
= × ×
= ×
= ×
−
−
−
− +
−
− ⋅
− +
0,0741 hm 7,41 10 1 hm
0,0741 hm 7,41 10 10 m
0,0741 hm 7,41 10 10 10 mm
0,0741 hm 7,41 10 10 mm
0,0741 hm 7,41 10 10 mm
0,0741 hm 7,41 10 10 mm
0,0741 hm 7,41 10 mm
0,0741 hm 7,41 10 mm
3 2 3
3 2 2
3
3 2 2 3
3
3 2 2 3
3
3 2 5
3
3 2 5 3 3
3 2 15 3
3 13 3
A grandeza da capacidade
Além do volume, outra grandeza física é usada para
avaliar porções de espaço tridimensional: a capacidade. Al
guns formatos tridimensionais côncavos, como o de copos
de vidro ou caixas térmicas de isopor, têm dois volumes a
serem avaliados:
1 O da porção de espaço cercada pela superfície da
forma geométrica, que coincide com o volume do ma
terial usado na confecção desse objeto (no caso dos
copos, o volume de vidro; e no caso das caixas térmi-
cas, o de isopor).
2 O da concavidade ou concavidades dos objetos só
lidos que são capazes de armazenar matéria líquida
ou gasosa. Esse volume é denominado capacidade
do objeto.
O termo capacidade serve para designar o volume V2
da porção de espaço cercada pelas superfícies internas da
concavidade de um sólido como a caixa de isopor ilustrada
a seguir.
V
2
V
1
Nesse exemplo:
• V1 é o volume de isopor presente na caixa;
• V2 é a capacidade de armazenamento da caixa.
Unidades de capacidade
Para expressar a grandeza da capacidade, o Sistema
Internacional de Pesos e Medidas (SI) também admite a
unidade litro, que deve ser indicada pela letra L (maiúscula)
ou l (minúscula cursiva).
Assim como a unidade metro (m), usada para expressar
a grandeza do comprimento, o litro também admite múlti
plos e submúltiplos no SI:
• O quilolitro: 1 kL = 1  000 L = 103 L
• O hectolitro: 1 hL = 100 L = 102 L
• O decalitro: 1 daL = 10 L = 101 L
• O decilitro: 1 dL = 0,1 L = 10 1 L
• O centilitro: 1 cL = 0,01 L = 10 2 L
• O mililitro: 1 mL = 0,001 L = 10–3 L
Por ser uma grandeza simples, transformações entre
múltiplos e submúltiplos do litro seguem as mesmas regras
das grandezas lineares, como o metro. Assim, cada quilolitro
possui mil litros (1 kL= 1  000 L), e cada litro possui 100 centilitros
(1 L = 100 cL), por exemplo. Observe as transformações de
unidades apresentadas nos exercícios resolvidos a seguir.
Exercícios resolvidos
 4 Transforme em litros a capacidade de 0,05 kL
Resolução:
Considerando que 1 kL = 1 000 L:
= ×
= ×
=
0,05 kL 0,05 1 kL
0,05 kL 0,05 1 000 L
0,05 kL 50 L
O mesmo problema pode ser resolvido em notação
cientíca
= × ×
= × ×
= ×
= ×
−
−
− +
0,05 kL 5 10 1 kL
0,05 kL 5 10 10 L
0,05 kL 5 10 L
0,05 kL 5 10 L
2
2 3
2 3
1
MATEMÁTICA Capítulo 12 Paralelepípedos236
 5 Transforme em litros a capacidade de 20 cL.
Resolução:
Considerando que 1 cL = 0,01 L:
= ×
= ×
=
20 cL 20 1 cL
20 cL 20 0,01 L
20 cL 0,2 L
O mesmo problema pode ser resolvido em notação
cientíca:
= × ×
= × ×
= ×
= ×
−
−
−
20 cL 2 10 1 cL
20 cL 2 10 10 L
20 cL 2 10 L
20 cL 2 10 L
1
1 2
1 2
1
Comparando volume e capacidade
Embora ambas as grandezas sirvam para medir porções do espaço, o volume possui unidades de medida
compostas, enquanto a capacidade possui unidades de medida simples.
No SI, a unidade composta para a medição de volumes é o metro cúbico. No entanto, fora do SI há outras
opções, como a polegada cúbica ou a jarda cúbica. Já a unidade simples para a medição de capacidades,
no SI, é o litro; fora do SI há o dracma, a onça, o barril ou o galão, por exemplo.
Como vimos nos exemplos anteriores, o uso de uma unidade de medida simples facilita as transformações
entre múltiplos e submúltiplos, ao contrário do que ocorre com as unidades compostas, como o metro cúbico, cujas
transformações dependem das relações entre múltiplos e submúltiplos da unidade primitiva, nesse caso, o metro.
Do mesmo modo que 1 m
3
 é a medida da porção de espaço ocupada por um único cubo cujas arestas
medem 1 m, também ocorre que 1 dm
3
 é a medida do espaço ocupado por um único cubo cujas arestas me-
dem 1 dm e que 1 cm
3
 é a medida do espaço ocupado por um único cubo cujas arestas medem 1 cm. Assim:
1 m3 = 1  000 dm3 = 1 000  000 cm3
Suponha que dez pequenos cubos com arestas de 1 cm sejam colocados um sobre o outro, como mostra a figura.
O sólido formado por esses cubos ocupará um espaço que mede 10 cm3 Assim, embora 1 dm = 10 cm, não
é correto assumir que 1 dm
3 seja equivalente a 10 cm3
O espaço de 1 dm
3
 equivale ao volume de um cubo com 1 dm = 10 cm de aresta Esse é o volume que se
define como sendo equivalente ao litro (L), grandeza simples em que as transformações seguem o padrão das
grandezas lineares:
0,001 kL = 0,01 hL = 0,1 daL = 1 L = 10 dL = 100 cL = 1  000 mL
Observe que, nesse exemplo, cada cubo tem 1 mililitro de capacidade, portanto o sólido formado pelos
dez cubos tem 10 mililitros de capacidade, o que equivale ao centilitro.
Assim, comparando o comportamento dos valores dessas unidades simples e compostas, para transitar
rapidamente entre os múltiplos e submúltiplos do litro (unidade simples), uma sugestão é escrever todos eles
em ordem decrescente e considerar duas regras para as unidades consecutivas:
1 Da esquerda para a direita, multiplica-se a medida por 10 para trocar de unidade.
kL hL daL L dL cL mL
× 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
2. Da direita para a esquerda, divide-se a medida por 10 para trocar de unidade.
kL hL daL L dL cL mL
÷ 10 ÷ 10 ÷10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
Para transitar entre os múltiplos e submúltiplos do metro cúbico (unidade composta), pode-se escrever todos eles em
ordem decrescente e considerar duas outras regras para as unidades consecutivas:
1 Da esquerda para a direita, multiplica-se a medida por 1  000 para trocar de unidade
km
3
hm
3
dam
3
m
3
dm
3
cm
3
mm
3
× 1  000 × 1000 × 1000 × 1  000 × 1  000 × 1  000
2 Divide-se a medida por 1 000 para trocar de unidade da direita para a esquerda
km
3
hm
3
dam
3
m
3
dm
3
cm
3
mm
3
÷ 1  000 ÷ 1000 ÷ 1  000 ÷ 1000 ÷ 1  000 ÷ 1000
F
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Mudança de unidade
Para transformar em metros cúbicos o valor em litros
de uma porção de espaço, ou o contrário, recomenda-
-se memorizar que 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico
(1 L ⇔ 1 dm3), mas também é interessante observar que
1 mililitro equivale a 1 centímetro cúbico (1 mL ⇔ 1 cm3) e
que 1 quilolitro equivale a 1 000 litros ou 1 metro cúbico
(1 kL ⇔ 1 m3).
Quando se trata dessas grandezas, as unidades mais
usadas no cotidiano são o metro cúbico, o litro e o centíme-
tro cúbico. Como a razão entre elas é igual a 1 000, também
é relativamente simples e bastante útil memorizar que em
1 metro cúbico cabem 1 000 litros e que em 1 litro cabem
1 000 centímetros cúbicos.
1 m
3
= 1  000 L
1 L = 1  000 cm
3
1 L = 1 dm
3
1 mL = 1 cm
3
Atenção
Exercícios resolvidos
 6 Que volume, em centímetros cúbicos, comporta um
recipiente com capacidade de 25 cL?
A 2 500
b 250
C 25
d 0,25
E 0,00025
Resolução:
25  cl = (25 : 100)  L = 0,25  L = 0,25  dm3 = (0,25 ⋅ 1  000)  cm3 =
= 250 cm3
Alternativa: b
 7 Uma lata de 36 dL de tinta é oferecida por R$ 127,80
Qual o preço do metro cúbico dessa tinta?
A R$ 35 500,00
b R$ 3  550,00
C R$ 355,00
d R$ 35,50
E R$ 3,55
Resolução:
36 dL = (36 : 10) L = 3,6 L = 3,6 dm3 = (3,6 : 1  000) m3 =
= 0,0036 m3
Assim, o preço do metro cúbico da tinta é igual a:
R$ 127,80 : 0,0036 = R$ 35  500,00
Alternativa: A
Unidades arbitrárias
Mesmoexistindo diversas opções de unidades para
medir volumes e capacidades, muitos problemas que tra-
tam de comparações dessas grandezas em diferentes
formas geométricas espaciais podem ser respondidos
adotando-se como unidade de medida o volume de uma
das figuras ou de parte dela. Depois de escolhida a unida-
de, usa-se esse volume para medir os volumes das demais
formas geométricas, podendo-se, assim, estabelecer as
razões entre eles
Quando a unidade de comparação é adotada especifi-
camente para um problema e escapa do sistema métrico ou
de outros sistemas existentes, ela pode ser representada
por u3 ou, ainda, por u.v. (unidades de volume)
Desse modo, é possível observar, por exemplo, que o
volume de um cubo é o triplo do volume de uma pirâmide
com mesma base e altura do cubo. Para verificar essa afir
mação, considere o cubo ABCDEFGH.
E
F
G
A
B
C
H
D
Como qualquer face do cubo pode ser considerada sua
base e qualquer uma de suas dimensões coincide com sua
altura, uma pirâmide com mesma base e altura que o cubo
pode ser a de base ABCD e altura ED.
Pirâmide I
E
F
G
A
B
C
H
D
Outra pirâmide com mesma base e altura que o cubo
pode ser a de base ABGF e altura EF.
Pirâmide II
E
F
G
A
B
C
H
D