Matemática - Livro 3-250-252

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MATEMÁTICA Capítulo 12 Paralelepípedos250
Os lados desse triângulo medem = =BF GF e
=BG 2 .
Os ângulos internos desse triângulo medem
� = = °med(B) med(G) 45 e  = °med(F) 90
E ainda há triângulos congruentes ao triângulo AEG,
que é retângulo e escaleno.
G
H
D A
F
B
E
C
Os lados desse triângulo medem =AE , =EG 2
e =AG 3 . O ângulo de vértice E desse triângulo é reto
( )( ) = °med E 90 , mas seus ângulos agudos não possuem
medidas notáveis em graus ou radianos. Essas medidas
ficam expressas por funções trigonométricas, como:

 ( )=
=









A arctg 2
G arctg
2
2
Exercícios resolvidos
28 Quanto mede a área do triângulo ABG, determinado
pelos vértices do cubo de volume 216 cm
3
, ilustrado
a seguir?
D
A
E F
C
G
B
H
A 36 3 cm2
b 36 2 cm2
C 18 3 cm2
d 18 2 cm2
E 18 cm2
Resolução:
A aresta do cubo mede: = =216 6 cm3 .
A aresta AB é perpendicular à face do cubo que
contém a diagonal BG. Portanto, o triângulo ABG é
retângulo no vértice B. Os catetos desse triângulo
medem AB = l = 6 cm e BG 2 6 2 cm= = .
Logo, sua área é igual a
6 6 2
2
18 2 cm
2⋅ = .
Alternativa: d
29 Calcule o seno do ângulo formado por duas diagonais
interiores de um cubo.
A 2 2
3
b
3
3
C
1
2
d
2
2
E
1
3
Resolução:
Como o seno desse ângulo não depende do tamanho
do cubo, pode-se estipular uma unidade de medida
para a aresta deste, que, no caso, será l = 2.
H
E
A B
G
C
F
θ
D
O
3
3
Assim, as diagonais desse cubo medem
EC BH 2 3= = . Como o centro O do cubo é pon-
to médio dessas diagonais, podemos armar que
OB OC 3= = . Então, do teorema dos cossenos no
triângulo OBC, tem-se:
2 3 3 2 3 3 cos
4 3 3 6cos
6cos 6 4
cos
2
6
2
2 2
= ( ) + ( ) − ⋅ ⋅ ⋅ ( )
= + ( )
( ) = −
( ) =
θ
θ
θ
θ == 1
3
Substituindo esse valor na relação fundamental da trigo-
nometria:
sen cos 1 sen
1
3
1
sen 1
1
9
9 1
9
8
9
2 2 2
2
2
θ θ θ
θ
( ) + ( ) = ⇔ ( ) + 

 = ⇔
⇔ ( ) = = =
Como os senos dos ângulos internos de qualquer
triângulo são estritamente positivos, tem-se que:
sen
8
9
2 2
3
( )θ = =
Alternativa: A
F
R
E
N
T
E
 3
251
Seções do cubo
Se um plano intercepta um sólido geométrico, então
a região comum ao plano e ao sólido é denominada se-
ção plana do sólido. As seções planas dos sólidos podem
assumir diversas formas e, no caso do cubo, por exemplo,
podem ser triângulos, quadriláteros, pentágonos ou até
hexágonos. Veja a seguir:
• Seções triangulares
É possível obter triângulos escalenos, isósceles ou
equiláteros por meio de seções planas de um cubo, porém
todos esses triângulos são acutângulos. Não é possível ob-
ter triângulos retângulos, nem obtusângulos, pelas seções
planas de um cubo.
• Seções quadrangulares
Pode-se obter quadrados, retângulos trapézios, losangos
e paralelogramos por meio de seções planas de um cubo.
• Seção pentagonal
Não é possível obter um pentágono regular pela seção
plana de um cubo.
• Seção hexagonal
Pela seção plana de um cubo, é possível obter um
hexágono regular, desde que o plano intercepte as arestas
do cubo em seus respectivos pontos médios.
Exercício resolvido
30 UPE 2018 Qual é, aproximadamente, a medida da área
do hexágono regular obtido ao seccionarmos um cubo
de aresta 4 cm por um plano que contém os pontos
médios de seis arestas, opostas duas a duas, confor
me apresentado na figura ao lado? Utilize =3 1,7
A 5 cm2
b 10 cm
2
C 20 cm
2
d 25 cm2
E 45 cm2
Resolução:
A distância entre os pontos médios de duas arestas
consecutivas de um cubo é igual à metade do compri-
mento da diagonal do quadrado, que é face do cubo.
Assim, o lado do hexágono mede
4 2
2
2 2 cm = = .
Como a área de um hexágono regular equivale a 6
vezes a área de um triângulo equilátero com o mesmo
lado, a área dessa seção do cubo deve medir:
S 6
2 2 3
4
6
8 1,7
4
20,4 cm
2
2
( )
= ⋅
⋅
= ⋅
⋅
=
Alternativa: C
MATEMÁTICA Capítulo 12 Paralelepípedos252
Revisando
1 Enem
Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani
O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão
total de 1 200 000 quilômetros quadrados, dos quais 840 000 quilômetros quadrados estão no Brasil O aquífero armazena
cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo.
Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as uni
dades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo
reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros
Disponível em: <http://noticias.terra.com.br>. Acesso em: 10 jul. 2009. (Adaptado.)
Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do aquífero
Guarani é:
A 1,5 × 102 vezes a capacidade do reservatório novo.
b 1,5 × 103 vezes a capacidade do reservatório novo
C 1,5 × 106 vezes a capacidade do reservatório novo.
d 1,5 × 108 vezes a capacidade do reservatório novo.
E 1,5 × 109 vezes a capacidade do reservatório novo.
2 Enem 2014 Uma fábrica de rapadura vende seus produtos empacotados em uma caixa com as seguintes dimensões:
25 cm de comprimento; 10 cm de altura e 15 cm de profundidade O lote mínimo de rapaduras vendido pela fábrica é
um agrupamento de 125 caixas dispostas conforme a figura
Qual é o volume do lote mínimo comercializado pela fábrica de rapaduras?
A 3  750 cm3
b 18  750 cm3
C 93  750 cm3
d 468  750 cm3
E 2 343  750 cm3