Matemática - Livro 3-265-267

Prévia do material em texto

Poliedros
Após estudar paralelepípedos e cubos detalhadamente, vamos conhecer outros tipos
de sólidos que também são delimitados por faces planas, como os prismas, as pirâmides e
outros poliedros.
13
CAPÍTULO
FRENTE 3
A
n
d
re
y
K
ra
v
/i
S
to
c
k
p
h
o
to
.c
o
m
MATEMÁTICA Capítulo 13 Poliedros266
Poliedros
Qualquer sólido geométrico cercado exclusivamente
por superfícies planas é denominado poliedro. A palavra,
que vem do grego antigo, é a junção de “poli”, que significa
muitos, e “hedros”, que significa planos
Alguns poliedros são abertos, como os diedros (dois
planos) e os triedros (três planos), que já estudamos. Em-
bora também existam poliedros abertos formados por mais
de três planos, o foco deste capítulo será o estudo dos
poliedros fechados, ou seja, aqueles cuja superfície cerca
completamente uma região do espaço e, portanto, são do-
tados da grandeza do volume
Métrica dos poliedros fechados
Poliedros fechados são formas geométricas compostas
de vértices, arestas e faces. Cada vértice de um poliedro
possui, no mínimo, três medidas angulares. A cada aresta,
que pertence a duas faces que determinam um ângulo die
dro, além do comprimento, podemos associar uma medida
angular. Cada face é um polígono que possui ângulos inter-
nos, perímetro, diagonais (se não for uma face triangular) e,
principalmente, área.
O conjunto de todas as faces de um poliedro determina
o que chamamos de superfície Esta também possui uma
área, que denominamos área total. Assim, a área total de um
poliedro equivale à soma das áreas de todas as suas faces.
Sendo AF = (A1, A2, A3, ) a sucessão dos valores das
 áreas de cada face de um poliedro fechado, a área total
desse poliedro é expressa por:
A A A A A
total F 1 2 3∑= = + + +
Em alguns tipos de poliedros, como as pirâmides e
os prismas, uma ou mais faces (poligonais) podem ser
chamadas de base ou bases. As pirâmides, por exemplo,
possuem apenas uma base; os prismas possuem duas
bases com mesma área; e os troncos de pirâmide pos
suem duas bases com áreas diferentes. Nesses casos,
sobre a superfície do poliedro, podem ser definidas as
seguintes áreas:
Área da base Área lateral Área total
A área total de um poliedro é definida como a soma
das áreas laterais (todas as faces que não são bases) com
a área das bases (ou da base, quando for o caso)
Por fim, todo poliedro fechado possui volume.
Exercício resolvido
1 Uma caixa de madeira tem o formato de um poliedro
aberto cuja base é um hexágono regular de lado 20 cm
e as faces laterais são retângulos com 10 cm de altura.
te
e
n
a
h
0
2
/i
S
to
c
k
p
h
o
to
.c
o
m
Usando 3 1,73= , encontre os valores aproximados:
a) da área da base da caixa.
b) da área da superfície lateral exterior da caixa.
c) da área total da superfície exterior da caixa.
Resolução:
a) A área de um hexágono regular de lado  é dada
por 3 3
2
2
, assim, como  = 20 cm, a base do polie-
dro tem uma área de:
⋅
= = ⋅ =
3 20 3
2
600 3 600 1,73 1 038 cm
2
2
b) A área da face lateral desse poliedro mede:
⋅ =20 10 200 cm2
Então, como o poliedro possui seis faces laterais con-
gruentes, sua área lateral é de ⋅ =6 200 1 200 cm2 .
c) Como a caixa é um poliedro aberto com apenas
uma base:
= + = + =A A A 1 200 1 038 2 238 cm
total base lateral
2
Princípio de Cavalieri no espaço
Outra ideia presente no pensamento de Eudoxo e Ar
quimedes, formalizada como conhecemos atualmente pelo
trabalho do matemático italiano Bonaventura Cavalieri, é a
de que porções limitadas do espaço podem ser cobertas
por uma infinidade de figuras planas paralelas postas umas
sobre as outras.
De acordo com o princípio de Cavalieri, dadas duas
regiões espaciais inscritas em um mesmo par de planos
paralelos a e b, sendo V1 e V2 seus respectivos volumes,
temos que:
• Se todo plano g paralelo a a e b que intercepta as duas
regiões determinar seções planas de mesma área, en-
tão essas duas regiões terão o mesmo volume
= ⇒ =A(x) B(x) V V
1 2
F
R
E
N
T
E
 3
267
• Se todo plano g paralelo a a e b que intercepta as
duas regiões determinar seções planas cujas áreas
estão em uma razão constante, então os volumes
dessas duas regiões também estarão nessa razão.
= ⇒ =
A(x)
B(x)
k
V
V
k1
2
h
β
α
ϒ
x
A(x) B(x)
Prismas
Considere dois polígonos congruentes que pertençam a
planos paralelos e estabeleça uma correspondência entre os
pontos que os definem. Se os segmentos de reta que unem
cada par de pontos correspondentes forem paralelos uns aos
outros, o formato geométrico determinado por esses segmen
tos, junto aos polígonos tomados, será denominado prisma.
A
B C
D
E
F
G
A’
B’ C’
D’
E’
F’
G’
Um prisma possui duas bases e algumas faces laterais
Os dois polígonos congruentes situados em planos paralelos
são as bases do prisma. O número de lados dos polígonos
que são as bases do prisma será designado por n. Assim, no
caso apresentado, n = 7; isso significa que as bases do prisma
são heptagonais.
O número de lados das bases dos prismas permite
classificá-los em diversas categorias distintas:
Tipo de
prisma
Número de lados
das bases
Imagem possível
Prisma
triangular
n = 3
Prisma
quadrangular
n = 4
Tipo de
prisma
Número de lados
das bases
Imagem possível
Prisma
pentagonal
n = 5
Prisma
hexagonal
n = 6
Os elementos de um prisma que não pertencem aos
planos das bases são chamados de laterais. Por isso, as
arestas paralelas que ligam os vértices de uma base a outra
são chamadas de arestas laterais do prisma, e os parale-
logramos determinados por essas arestas denominados
faces laterais do prisma.
Para determinar se um poliedro é ou não um prisma, devemos veri-
ficar as seguintes condições:
• A existência de dois polígonos congruentes opostos um ao outro.
• O paralelismo entre os planos que contém esses dois polígonos
(bases).
• O paralelismo entre as arestas laterais
Atenção
Exercício resolvido
2 A figura a seguir representa o projeto para a constru-
ção de um galpão, dotado de simetria bilateral, que
ocupará um terreno retangular de 8 m por 10 m.
10 m
8 m
5 m
2 m
Sabendo que, depois de construído, o galpão terá
o formato de um prisma reto, responda às seguintes
perguntas:
a) Que altura terá o galpão?
b) Que altura terá o prisma que dá forma ao galpão?