Matemática - Livro 4-112-114

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MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais112
26 ITA 2019 Considere as seguintes afirmações:
I. se x1, x2 e x3 são as raízes da equação x
3 - 2x2 +
+ x + 2 = 0, então y1 = x2x3, y2 = x1x3 e y3 = x1x2 são
as raízes da equação y3 - y2 - 4y - 4 = 0.
II. a soma dos cubos de três números inteiros con-
secutivos é divisível por 9.
III. 3 5
2
1 5
2
.
+
=
+
É(são) VERDADEIRA(S)
A apenas I.
 apenas II.
C apenas III.
 apenas II e III.
E todas.
27 ITA 2018 Seja p(x) um polinômio não nulo. Se x3 - 4x2 +
+ 5x - 2 e x3 - 5x2 + 8x - 4 são divisores de p(x), de-
termine o menor grau possível de p(x).
28 ITA 2019 Determine os valores reais de a e b para os
quais as equações x3 + ax2 + 18 = 0 e x3 + bx + 12 = 0
possuam duas raízes em comum e, a seguir, determi
ne essas raízes.
29 IME Assinale a opção correspondente ao valor de m
que faz com que a equação (1 + m)s3 + 6s2 + 5s + 1 = 0
possua raízes no eixo imaginário.
A 0
 6
C 14
 29
E 41
30 IME Assinale a opção correspondente ao valor da
soma das raízes da equação y3/2 + 5y + y1/2 + 8 = 0.
A 5
 2
C 21
 51/2
E 0,5
31 IME Considere o sistema
xy x y 5
x y x y 2x y 2xy 6
3 2 2 3 2 2
+ − =
− − + =



onde x e y são números inteiros. O valor de x3 + y2 +
+ x2 + y é:
A 14
 18
C 20
 32
E 38
32 IME Seja o polinômio p(x) = x3 + (lna)x + eb, onde a e
b são números reais positivos diferentes de zero. A
soma dos cubos das raízes de p(x) depende
A apenas de a e é positiva.
 de a e b e é negativa.
C apenas de b e é positiva.
 apenas de b e é negativa.
E de a e b e é positiva.
Obs.: e representa a base do logaritmo neperiano e
Ina a função logaritmo neperiano.
33 IME 2012 (Adapt.) Sabe-se que a, b e c são raízes da
equação 6x3 − 5x2+ 2x – 3 = 0. Determine um número
real d, positivo, tal que a2 + b2 + c2 = d2.
A 1
6

1
3
C
1
2
 2
3
E 1
34 IME 2013 Os polinômios P(x) = x3 + ax2 + 18 e Q(x) = x3 +
+ bx + 12 possuem duas raízes comuns. Sabendo que a
e b são números reais, pode-se afirmar que satisfazem
a equação
A a = b
 2a = b
C a = 2b
 2a = 3b
E 3a = 2b
35 IME 2014 O polinômio P(x) = x5 - 3x4 + 10x3 - 30x2 +
+ 81x - 243 possui raízes complexas simétricas e uma
raiz com valor igual ao módulo das raízes complexas.
Determine todas as raízes do polinômio.
36 IME 2016 O polinômio x3 + ax2 + bx + c tem raízes reais
a, −a e 1
α
. Portanto o valor da soma b c ac
b
c
2
2
+ + + é:
A −2
 −1
C 0
 1
E 2
37 IME 2017 Sejam x, y e z complexos que satisfazem ao
sistema de equações abaixo.
x y z 7
1
x
1
y
1
z
1
4
x y z 25
2 2 2
+ + =
+ + =
+ + =






o valor da soma x3 + y3 + z3 é:
A 210
 235
C 250
 320
E 325
38 IME 2018 Resolva a inequação abaixo, onde x é uma
variável real.
2|x3| 6x2 + 3|x| + 2 < 0
39 IME 2019 Seja a inequação 6x4 − 5x3 − 29x2 + 1 - x < 0.
Seja (a, b) um intervalo contido no conjunto solução
dessa inequação. O maior valor possível para b − a é:
A 2

13
6
C
1
3

5
2
E
8
3
40 IME 2019 Sejam x1, x2 e x3 as raízes da equação
x3 − ax − 16 = 0. Sendo a um número real, o valor de
x1
3 + x2
3 + x3
3 é igual a:
A 32 − a
 48 − 2a
C 48
 48 + 2a
E 32 + a
CAPÍTULO Cilindros
14
Uma das criações modernas que utiliza cilindros em sua estrutura é o amortecedor
hidráulico, ou cilindro hidráulico. Ele é empregado, por exemplo, na suspensão de au-
tomóveis e motocicletas para aumentar o conforto, bem como em elevadores, tratores,
guindastes e até em máquinas de alta precisão, seja para estabilizá-las, seja para movi-
mentá-las. Além disso, encontramos a forma cilíndrica em uma innidade de aplicações,
por exemplo, embalagens, utensílios domésticos ou técnicos etc.
m
e
v
a
n
s
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S
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c
k
p
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FRENTE 3
D
E
B
O
V
E
 S
O
P
H
IE
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S
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m
e
/
iS
to
c
k
p
h
o
to
.c
o
m
MATEMÁTICA Capítulo 14 Cilindros114
Agora vamos estudar uma figura geométrica muito utiliza-
da pela humanidade, presente em aplicações muito simples
como embalagens e até em algumas mais sofisticadas, como
o parafuso de Arquimedes, que servia para transferir líquidos
e grãos entre pontos de elevações diferentes.
Definição
O cilindro é o primeiro sólido geométrico que estuda-
remos que se encaixa na ideia de corpos redondos. Sua
definição formal é um pouco mais elaborada e falaremos
dela a seguir. Primeiro, note que podemos ter uma boa no-
ção desse sólido se pensarmos em uma pilha de “infinitos”
círculos de mesmo diâmetro. Observe:
Uma maneira mais formal de imaginar o cilindro pode
ser: “Sejam a e β dois planos paralelos distintos, um círculo
λ contido em a e uma reta t que intercepta os dois planos.
Denomina-se cilindro de base circular λ a união de todos
os segmentos paralelos a t que possuem uma das extre-
midades em λ, no plano a, e outra em algum ponto de β
e suas bases”.
Observe na figura os principais elementos do cilindro:
• As bases do cilindro são os dois círculos contidos nos
planos paralelos a e β.
• O raio da base é R.
• O eixo do cilindro é e.
• A altura h é a distância entre os planos paralelos a e β.
• A geratriz é AB. (AB // e)
Cilindro circular reto,
ou cilindro de revolução
Quando o eixo e de um cilindro é perpendicular aos
planos das bases, dizemos se tratar de um cilindro de re-
volução, pois ele é gerado por uma rotação completa de
um retângulo em torno de um de seus lados.
Note que, nesse tipo de cilindro, não fazemos distinção
entre geratriz e altura (g = h).
Atenção
S
e
rg
e
y
 M
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/S
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