ebook calculo varias variaveis

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introdução
Introdução
Olá, estudante. Nesta unidade vamos entender como calcular a integral dupla de funções de duas
variáveis. Existem muitas aplicabilidades das integrais duplas, como o cálculo de volumes e áreas de
CÁLCULO APLICADO  - VÁRIAS VARIÁVEISCÁLCULO APLICADO  - VÁRIAS VARIÁVEIS
AS INTEGRAIS DUPLASAS INTEGRAIS DUPLAS
Autor: Me. Talita Druziani Marchiori
Revisor : Ra imundo A lmeida
IN IC IAR
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superfícies, determinar massas e centroides etc.
Iniciamos a unidade com integrais duplas calculadas sobre regiões retangulares e, em seguida,
calcularemos essas integrais através das integrais iteradas. Após, vamos aprender a determinar
integrais duplas em regiões mais gerais. Por �m, trabalharemos com um novo sistema de
coordenadas bidimensional, as coordenadas polares.
Sugerimos que resolva todos os exemplos e exercícios propostos, esclarecendo suas dúvidas. Além
disso, realize exercícios extras. Sua dedicação será fundamental para o aprendizado!
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Caro(a) estudante(a), já sabemos que podemos calcular as derivadas parciais de funções de duas
variáveis reais, considerando uma das variáveis como sendo constante e derivando em relação a
outra. Por exemplo, sendo temos que .
Do mesmo modo, podemos calcular uma integral inde�nida de uma função de duas variáveis. Se
desejarmos determinar a integral inde�nida da função em relação à variável ,
podemos calcular a integral inde�nida considerando a variável como constante, ou seja,
.
Sabemos que a integral de�nida
com sendo uma função contínua e não negativa para , é de�nida como a área
delimitada pela intersecção do eixo , retas e e pelo grá�co de .
Agora, vamos considerar uma função positiva, de�nida em um retângulo .
Denotamos por a região que está acima de e abaixo do grá�co de . Dividindo o
intervalo em m intervalos da forma de mesmo comprimento e o
intervalo [c,d] em n intervalos da forma de mesmo comprimento ,
temos que o volume de é dado por
onde é um ponto arbitrário de cada   e .
Esse tipo de limite acontece também em outras situações, mesmo se não for uma função positiva,
então de�nimos a integral dupla de , onde é uma função de duas variáveis e , sobre o
Integral Dupla em RegiõesIntegral Dupla em Regiões
RetangularesRetangulares
f(x, y) = 4x3y2 (x, y) = 12 y2fx x2
f(x, y) = 4x3y2 x
y
∫ 4 dx = 4 ∫ dx = 4 ( ) + C = x4 + Cx3y2 y2 x3 y2 x
4
4 y
2
f(x)dx∫ b
a
f a ≤  x ≤  b
x x = a x = b f
f R = [a, b] × [c, d]
S R f, z = f(x, y)
[a, b] [ , ]xi−1 xi Δ x = (b − a)/m
[ , ]yi−1 yi Δ y = (d − c)/n
S
V = f( ,   ) ΔAlim
m,n→∞
∑
i=1
m
∑
j=1
n
x∗ y∗
( , )x∗ y∗ = [ , ] × [ − 1, ]Rij xi−1 xi yi yi Δ A = Δ xΔ y
f
f f x y
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retângulo como
se o limite existir. Então, se este limite existir, é dita integrável.
Então, pelo que vimos, se , o volume do sólido que está acima do retângulo e abaixo
da superfície é dado por
ou seja, o cálculo de volumes é uma aplicação das integrais duplas. Por exemplo, o volume do sólido
 que está abaixo de e acima de é dado por
. Note que o grá�co de   é maior ou igual a zero e é
representado pela Figura 3.1.
Como estamos restringindo o eixo nos pontos do intervalo [-2,2], temos que a integral dupla de
 sobre é a metade do volume do cilindro de altura 4 e raio da base 1.
Logo,
Como a integral dupla está de�nida através do cálculo de um limite e, nem todas as integrais
conseguimos relacionar com fórmulas já conhecidas, como no caso anterior, sua resolução não é
e�ciente. Porém, temos propriedades que auxiliam no cálculo das integrais. Admitindo que
 e existam, é válido que:
R
∫ f(x, y) ΔA = f( ,   ) ΔA∫
R
lim
m,n→∞
∑
i=1
m
∑
j=1
n
x∗ y∗
f
f(x, y) ≥ 0 V
z = f(x, y)
V = ∫ f(x, y) Δ A∫
R
S + = 1x2 z2 R = [−1, 1] × [−2, 2]
V = ∫ 1 − ΔA∫
R
x2 f(x, y) = z = 1 − x2
Figura 3.1 - Grá�co de 
Fonte: Elaborada pela autora.
f(x, y) = √(1 − )x2
y
1 − x2 R = [−1, 1] × [−2, 2]
V = ∫ 1 − ΔA = 2π.∫
R
x2
∫ f(x, y) Δ A∫
R
∫ g(x, y) Δ A∫
R
∫ f(x, y)  + g(x, y) Δ A  =   ∫ f(x, y) Δ A  +   ∫ g(x, y) Δ A∫
R
∫
R
∫
R
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, onde c é uma constante.
Sendo para todo .
Por exemplo, se , então
praticar
Vamos Praticar
Pelo que aprendemos, podemos calcular o volume de um sólido através das integrais duplas
. Como os pontos e são pontos
arbitrários de cada   , podemos considerar os pontos médios de cada
. Essa técnica é conhecida como regra do ponto médio para integrais duplas
e com ela temos que a integral dupla é aproximadamente igual a
, onde e são os pontos médios de cada  
.  Utilizando essa técnica, para , a estimativa da integral onde
 é:
a) - 11, 875.
b) - 8,50.
c) - 5,125.
d) 0,368.
e) 2,07.
∫ c f(x, y) Δ A =  c  ∫ f(x, y) Δ A∫
R
∫
R
f(x, y) ≥  g(x, y) (x, y) ∈   , ∫ f(x, y) Δ A ≥ ∫ g(x, y) Δ AR2 ∫
R
∫
R
∫ f(x, y) Δ A = 3e ∫ g(x, y) Δ A = 2∫
R
∫
R
∫ f(x, y)  + g(x, y) Δ A  = 5∫
R
∫ f(x, y) Δ A = f( ,   ) Δ A∫
R
limn→∞ ∑
m
i=1 ∑
n
j=1 x
∗ y∗ x∗ y∗
= [ , ] × [yi − 1, yi]Rij xi−1 xi
= [ , ] × [yi − 1, yi]Rij xi−1 xi
∫ f(x, y) Δ A∫
R
f(  Δ A∑mi=1 ∑
n
j=1 ,  x−−i yj−−
) x−−i yj−−
= [ , ] × [yi − 1, yi]Rij xi−1 xi
m = n = 2 ∫ (x − 3 )ΔA∫
R
y2
R = [0, 2] × [1, 2]
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Querido(a) aluno(a), o Teorema Fundamental do Cálculo nos fornece um método para calcular as
integrais de funções de uma variável real sem precisarmos recorrer à de�nição. Neste tópico,
veremos como determinar uma integral dupla sem necessitar utilizar a sua de�nição. Esse método
consiste em calcular uma integral dupla calculando duas integrais ordinárias.
Sendo uma função de duas variáveis de�nida sobre o retângulo , estaremos
considerando x como constante quando trabalharmos com . O resultado dessa
integração é uma função que depende de , que podemos denotar por , daí
podemos integrar em relação a , ou seja,   .
Do mesmo modo, consideramos como constante quando integramos . O resultado
dessa integração é uma função que depende de , donde, podemos integrá-lo em relação a , isto é,
. Note ainda que podemos omitir o uso dos colchetes.
Chamamos as integrais duplas e de integrais iteradas.
Então, a integral iterada signi�ca que primeiro integramos em relação a no
intervalo e, depois, integramos em relação a no intervalo . Já na integral iterada
, primeiro integramos em relação a no intervalo , depois em relação a 
no intervalo .
Por exemplo, para calcular primeiro olhamos como constante e integramos em
relação a no intervalo (1,2), isto é,
.
Agora, integramos esse resultado em relação a no intervalo (0,3), assim,
Integrais IteradasIntegrais Iteradas
f R = [a, b] × [c, d]
f(x, y)dy∫ d
c
x A(x) = f(x, y) dy∫ d
c
A x A(x) = [ f(x, y) dy]dx∫ b
a
∫ b
a
∫ d
c
y f(x, y) dx∫ b
a
y y
[ f(x, y) dx]dy∫ d
c
∫ b
a
f(x, y) dydx∫ b
a
∫ d
c
f(x, y) dxdy∫ d
c
∫ b
a
f(x, y) dydx∫ b
a
∫ d
c
y
(c, d) x (a, b)
f(x, y) dxdy∫ d
c
∫ b
a
x (a, b) y
(c, d)
ydydx∫ 30 ∫
2
1 x
2 x
y
ydy = ydy = [ = − =∫ 21 x
2 x2 ∫ 21 x
2 y
2
2 ]
2
1 x
2 22
2 x
2 12
2
3
2 x
2
x
dx = dx = [ 3 = + =∫ 30
3
2 x
2 3
2 ∫
3
0 x
2 3
2
x3
3 ]0
3
2
33
3
3
2
03
3
27
2
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Você pode se perguntar, se calcular a integral iterada teremos o resultado? Em
geral, a resposta é sim! Então, vamos veri�car: primeiro integrando em relação a , consideramos 
como constante, donde
e,  integrando o resultado em relação a ,
Podemos determinar a integral dupla por esse método de forma direta, como:
De maneira geral, se f for contínua no retângulo , então
.
Este resultado é conhecido como Teorema de Fubini.
Considere a função . Podemos ver um esboço do grá�co de f na Figura 3.2
abaixo.
Se desejarmos calcular a integral dupla de sobre , pelo
Teorema de Fubini temos
Como a resposta dessa integral dupla foi um número negativo, podemos concluir que ela não se
trata de um volume. Isso acontece porque a função não é positiva, como pudemos observar na
Figura 3.2.
ydxdy∫ 21 ∫
3
0 x
2
x y
ydx = y ydx = y[ = y + y = y∫ 30 x
2 ∫ 30 x
2 x3
3 ]
3
0
33
3
03
3
9
2
y
ydy = [ = − =∫ 30
9
2
9
2
y2
2 ]
2
1
9
2
22
2
9
2
12
2
27
2
4x dydx = 4x[ dy]dx = 4x[ dx = 81xdx = 81 xdx = 81[ = 40,∫ 10 ∫
3
0 y
3 ∫ 10 ∫
3
0 y
3 ∫ 10
y4
4 ]
3
0 ∫
1
0 ∫
1
0
x2
2 ]
1
0
R = (x, y);  a ≤  x ≤  b, c ≤  y ≤  d
∫ f(x, y)dA = f(x, y)dydx = f(x, y)dxdy∫R ∫
b
a ∫
d
c ∫
d
c ∫
b
a
f(x, y) = x − 3y2
Figura 3.2 - Grá�co de 
Fonte: Elaborada pela autora.
f(x, y) = x − 3y2
f R = (x, y); 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2
∫ f(x, y)dA = (x − 3 )dydx = [xy − = (x − 7)dx = [ − 7x = −12∫
R
∫ 20 ∫
2
1 y
2 ∫ 20 y
3 ]21 ∫
2
0
x2
2 ]
2
0
f
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Como vimos no primeiro tópico desta unidade, se o volume do sólido formado pelos
pontos que estão abaixo do grá�co de e acima do plano pode ser calculado pela integral
dupla. Mas, se temos que sua integral dupla sobre a região R é igual à área do conjunto
R, ou seja
área de .
Por exemplo, para determinar a área da região retangular da Figura 3.3, basta calcularmos
Ou seja, a área da região da Figura 3.3 é igual a 8.
f(x, y) ≥ 0
f(x, y) xy
f(x, y) = 1
R = ∫ 1dxdy = ∫ dxdy∫
R
∫
R
dxdy = x dy = (4 − 2)dy = 2y = 12 − 4 = 8∫ 62 ∫
4
2 ∫
6
2 |
4
2 ∫
6
2 |
6
2
Figura 3.3 - Cálculo de área
Fonte: Elaborada pela autora.
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Já aprendemos, aluno(a), nos tópicos anteriores, a calcular uma integral dupla sobre regiões
retangulares. Agora, considere uma função f de duas variáveis de�nida sobre uma região limitada
, que não é retângulo. Para realizar a integração dupla sobre esta região recorremos à região
retangular em que está de�nida, onde a função é igual à função em e fora de .
Isto é, se estiver de�nida sobre uma região limitada qualquer, de�nimos uma nova função 
para determinar a integral dupla de . Essa função F possui como domínio um retângulo , onde
 e é de�nida por: se e se .
Observe a ilustração a seguir.
De�nimos a integral dupla de em por
,
Integrais Duplas Sobre RegiõesIntegrais Duplas Sobre Regiões
GeraisGerais
D D
F F f D F = 0 D
f D F
f R
D ⊂ R F(x, y) = f(x, y) (x, y) ∈ D F(x, y) = 0 (x, y) ∈ (R − D)
Figura 3.4 - Relação entre o domínio de f e o domínio de F
Fonte: Elaborada pela autora.
f D
∫ f(x, y)dA = ∫ F(x, y)dA∫
D
∫
R
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desde que seja integrável em .
Vamos classi�car as regiões em dois tipos. Se uma região for a região entre o grá�co de duas
funções contínua em , diremos que é do tipo I. Agora, se for a região entre o grá�co de duas
funções contínua em , diremos que é do tipo II.
Para calcularmos as integrais duplas de funções de duas variáveis de�nidas sobre regiões do tipo I,
ou seja, regiões da forma com   e contínuas em
 [a,b],  utilizamos a seguinte igualdade:
.
E, de modo análogo, calculamos as integrais duplas de funções de duas variáveis de�nidas sobre
regiões do tipo II, isto é, regiões da forma com  
e   contínuas em   , como:
.
Por exemplo, se a região for limitada pelas parábolas , temos que esta
região é do tipo I, uma vez que . Logo, podemos escrever
. Na Figura 3.5, temos a visualização grá�ca desta
região.
Então, a integral dupla de sobre é dada por:
\[\int \int_D f(x,y) dA = \int_{-1}^1 \int_{2x^2}^{1+x^2}(x+2y) dy dx=/]
F R
D D
x D D
y D
D = (x, y), a ≤ x ≤ b, (x) ≤ y ≤ (x)g1 g2 g1 g2
∫ f(x, y)dA = f(x, y)dydx∫
D
∫ b
a
∫ (x)g2(x)g1
D = {(x, y), c ≤ y ≤ d, (x) ≤ x ≤ (x)}h1 h2 h1
h2 [c, d]
∫ f(x, y)dA = f(x, y)dxdy∫
D
∫ d
c
∫ (x)h2(x)h1
D y = 2 ey = 1 +x2 x2
2 = 1 + ⇔ x = ±1x2 x2
D = (x, y), −1 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 1 +x2 x2
Figura 3.5 - Região do tipo I
Fonte: Elaborada pela autora.
f(x, y) = x + 2y D
[xy + dx =∫
1
−1
y2 ]y=1+x
2
y=2x2
[x(1 + ) + (1 + − x(2 ) − (2 ] =∫
1
−1
x2 x2)2 x2 x2)2
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A região limitada pela reta e pela parábola pode ser vista como uma região do
tipo II. Então, podemos escrever . Gra�camente,
Calculando a integral dupla de sobre , considerando como uma região do
tipo II, obtemos:
(−3 − + 2 + x + 1)dx =∫
1
−1
x4 x2 x2
[−3 − + 2 + + x
x5
5
x4
4
x3
3
x2
2
]1−1
=
32
15
D y = 2x y = x2
D = (x, y), 0 ≤ y ≤ 4, 1/2y ≤ x ≤ √x
Figura 3.6 - Região do tipo II
Fonte: Elaborada pela autora.
f(x, y) = +x2 y2 D D
∫ f(x, y)dA = ( + )dxdy =∫
D
∫
4
0
∫
y√
y1
2
x2 y2
[ + x dy =∫
4
0
x3
3
y2 ]
x= y√
x= y1
2
[ + − − ]dy =∫
4
0
( y√ )
3
3
y2 y√
( y12 )
3
3
y2
1
2
( + − − )dy =∫
4
0
y 23
2
3
y5/2
y3
24
y3
2
[ + − =
y5/2
15
2y7/2
7
13y4
96
]40
216
35
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.
Como pudemos observar no Re�ita, se uma região pode ser escrita dos tipos I e II, podemos calcular
sua integral da forma que acharmos mais apropriado. O cálculo terá a mesma resposta.
Assim como já comentamos para regiões retangulares, quando estamos trabalhando com regiões
gerais, a integral dupla de sobre é
o volume do sólido formado pelos pontos que estão abaixo do grá�co de e acima do plano
 e, se , a integral dupla de sobre é igual a área do conjunto .
reflita
Re�ita
A regiãoD limitada pela reta e pela parábola citada anteriormente
também pode ser vista como uma região do tipo I. Observe a �gura abaixo:
Então, como região do tipo I temos que .
Se calcularmos a integral dupla de sobre , considerando 
como uma região do tipo I, iremos obter o mesmo resultado? Ou seja,
?
Fonte: Elaborado pela autora.
y = 2x y = x2
Figura 3.7 - Região vista como tipo I
Fonte: Elaborada pela autora.
D = (x, y), 0 ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ 2xx2
f(x, y) = +x2 y2 D D
∫ f(x, y)dA = ( + )dxdy =∫
D
∫ 20 ∫
2x
x2
x2 y2 21635
f(x, y) ≥ 0 B = (x, y, z) ∈ ; (x, y) ∈ Be 0 ≤ z ≤ f(x, y)R3
f(x, y)
xy f(x, y) = 1 f B B
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praticar
Vamos Praticar
O sólido limitado entre os planos , , , é um tetraedro. Sabemos que
podemos determinar seu volume através do cálculo de integrais duplas. Então, é correto a�rmar que este
tetraedro possui volume igual a:
a) 1/3.
b) 7/8
c) 
d) 15
e) e) -7.
x + 2y + z x = 2y x = 0 z = 0
27
−−√
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Algumas integrais duplas são complicadas de serem determinadas quando suas regiões são
descritas como coordenadas retangulares. Para esses casos, de�niremos um novo sistema de
coordenadas no plano cartesiano: as coordenadaspolares.
Imagine, caro(a) estudante, que queremos calcular a integral dupla , onde é a
região esboçada na Figura 3.8. Seria difícil calcular esta integral se escrevêssemos a região em
coordenadas retangulares, então escrevemos ela em coordenadas polares.
Um retângulo polar é da forma , relacionamos as coordenadas
polares (r,θ) de um ponto com as coordenadas retangulares através das igualdades  ,
, .
Assim, se é contínua no retângulo polar , onde temos que
Integrais Duplas em CoordenadasIntegrais Duplas em Coordenadas
PolaresPolares
∫ f(x, y)dA∫
P
P
D
Figura 3.8 - Região P
Fonte: Elaborada pela autora.
P = (r, θ); a ≤ r ≤ b,α ≤ θ ≤ βe
= +r2 x2 y2
x = rcosθ y = rsenθ
f P 0 ≤ β − α ≤ 2π
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.
Por exemplo, se desejarmos calcular a integral dupla , onde é a região do
semiplano superior limitada por e , podemos descrever a região em
coordenadas retangulares como e, em coordenadas polares
como .
Temos que, , assim e
.
Desde o ensino fundamental trabalhamos com a fórmula quando desejamos calcular a área de
uma circunferência de raio z. Podemos veri�car essa fórmula através das integrais duplas com o
auxílio das coordenadas polares.
Dada uma circunferência de centro na origem e raio z, pelos que vimos no decorrer desta unidade
sua área é determinada através da integral dupla, isto é,
∫ f(x, y)dA = f(rcosθ, rsenθ)rdrdθ∫
P
∫ β
α
∫ b
a
∫ (3x + 4 )dA∫
P
y2 P
+ = 1x2 y2 + = 4x2 y2 P
P = (x, y); y ≥ 0, 1 ≤ + ≤ 4x2 y2
P = (r, θ); 1 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ π
f(x, y) = 3x + 4y2 f(rcosθ, rsenθ) = 3rcosθ + 4 (senθr2 )2
∫ (3x + 4 )dA = (3rcosθ + 4 (senθ )rdrdθ∫
P
y2 ∫ π0 ∫
2
1 r
2 )2
= (3 cosθ + 4 (senθ )drdθ∫ π0 ∫
2
1 r
2 r3 )2
= [ cosθ + (senθ dθ∫ π0 r
3 r4 )2]r=2r=1
= [7cosθ + 15(senθ ]dθ∫ π0 )
2
= [7cosθ + (1 − cos2θ)]dθ = [7senθ + − sen2θ =∫ π0
15
2
15θ
4
15
4 ]
π
0
15π
2
= 15π2
saiba mais
Saiba mais
Duas aplicações clássicas do cálculo integral de duas
variáveis são o cálculo de áreas de superfícies e o cálculo de
volumes. Porém, existem diversas outras aplicabilidades
para as integrais duplas, como as aplicações físicas:
momento de massa, centro de massa e momento de inércia.
Esses conceitos estão interligados com a teoria de várias
disciplinas na área da engenharia. Para saber mais sobre
como determinamos essas grandezas com o auxílio das
integrais duplas, veja a seção 15.5 do livro Cálculo, Volume
2, de James Stewart.
Fonte: Elaborado pela autora.
ACESSAR
πz2
http://www.cesadufs.com.br/ORBI/public/uploadCatalago/11352316022012C%C3%A1lculo_III_aula_3.pdf
02/05/2023, 07:46 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6… 16/19
área da circunferência ,
onde .   Reescrevendo em coordenadas polares, obtemos
.  Então:
área da circunferência 
.
praticar
Vamos Praticar
As coordenadas polares facilitam o cálculo de integrais duplas quando é complicado escrever a região na
qual a função está de�nida em coordenadas retangulares. Utilizando as coordenadas polares, encontramos
que o volume do sólido limitado pelo plano e pelo paraboloide é igual a:
a) 12π
b) 
c) 8π
d) 
e) 
= ∫ dxdy∫
P
P = (x, y) ∈ ; + ≤R2 x2 y2 z2 P
P = (r, θ) ∈ ; 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ zR2
= ∫ rdrdθ = rdrdθ∫
P
∫ 2π0 ∫
z
0
= [ dθ = dθ = [ θ = π∫ 2π0
r2
2 ]
z
0 ∫
2π
0
z 2
2
z 2
2 ]
2π
0 z
2
z = 0 z = 1 − −x2 y2
π163
2 π3
–√
π12
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indicações
Material Complementar
LIVRO
Cálculo - Volume II
Editora: Cengage Learning
Autor: James Stewart
ISBN: 9788522106615
Comentário: Este livro aborda todos os tópicos que vimos nesta
unidade de forma ampla e detalhada contendo diversos exemplos
resolvidos, o que pode ajudar na compreensão da disciplina.
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FILME
O Céu de Outubro
Ano: 1999
Comentário: O �lme é baseado na história real de um engenheiro da
NASA que na adolescência, com ajuda de um grupo de amigos,
desenvolveu um projeto que transformou a vida de todos do grupo.
TRA ILER
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conclusão
Conclusão
Nesta unidade, prezado(a) aluno(a), aprendemos como trabalhar com as integrais duplas de funções
de duas variáveis. Vimos, através das integrais iteradas, que não precisamos recorrer à de�nição
para calcular uma integral dupla, podemos realizar o cálculo de duas integrais unidimensional e
utilizar todo nosso conhecimento do cálculo integral ordinário. Após, trabalhamos com a integração
dupla sobre regiões retangulares e mais gerais e introduzimos um novo sistema de coordenadas
para o plano cartesiano, as coordenadas polares.
Esperamos que esta unidade tenha sido produtiva e que você tenha aproveitado ao máximo,
resolvendo exercícios e questionando suas dúvidas. Continue se dedicando, até uma próxima!
referências
Referências Bibliográ�cas
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo - volume 2. 5. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2010.
STEWART, J. Cálculo - volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008.