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02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6X… 1/19 introdução Introdução Olá, estudante. Nesta unidade vamos entender como calcular a integral dupla de funções de duas variáveis. Existem muitas aplicabilidades das integrais duplas, como o cálculo de volumes e áreas de CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEISCÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS AS INTEGRAIS DUPLASAS INTEGRAIS DUPLAS Autor: Me. Talita Druziani Marchiori Revisor : Ra imundo A lmeida IN IC IAR 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6X… 2/19 superfícies, determinar massas e centroides etc. Iniciamos a unidade com integrais duplas calculadas sobre regiões retangulares e, em seguida, calcularemos essas integrais através das integrais iteradas. Após, vamos aprender a determinar integrais duplas em regiões mais gerais. Por �m, trabalharemos com um novo sistema de coordenadas bidimensional, as coordenadas polares. Sugerimos que resolva todos os exemplos e exercícios propostos, esclarecendo suas dúvidas. Além disso, realize exercícios extras. Sua dedicação será fundamental para o aprendizado! 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6X… 3/19 Caro(a) estudante(a), já sabemos que podemos calcular as derivadas parciais de funções de duas variáveis reais, considerando uma das variáveis como sendo constante e derivando em relação a outra. Por exemplo, sendo temos que . Do mesmo modo, podemos calcular uma integral inde�nida de uma função de duas variáveis. Se desejarmos determinar a integral inde�nida da função em relação à variável , podemos calcular a integral inde�nida considerando a variável como constante, ou seja, . Sabemos que a integral de�nida com sendo uma função contínua e não negativa para , é de�nida como a área delimitada pela intersecção do eixo , retas e e pelo grá�co de . Agora, vamos considerar uma função positiva, de�nida em um retângulo . Denotamos por a região que está acima de e abaixo do grá�co de . Dividindo o intervalo em m intervalos da forma de mesmo comprimento e o intervalo [c,d] em n intervalos da forma de mesmo comprimento , temos que o volume de é dado por onde é um ponto arbitrário de cada e . Esse tipo de limite acontece também em outras situações, mesmo se não for uma função positiva, então de�nimos a integral dupla de , onde é uma função de duas variáveis e , sobre o Integral Dupla em RegiõesIntegral Dupla em Regiões RetangularesRetangulares f(x, y) = 4x3y2 (x, y) = 12 y2fx x2 f(x, y) = 4x3y2 x y ∫ 4 dx = 4 ∫ dx = 4 ( ) + C = x4 + Cx3y2 y2 x3 y2 x 4 4 y 2 f(x)dx∫ b a f a ≤ x ≤ b x x = a x = b f f R = [a, b] × [c, d] S R f, z = f(x, y) [a, b] [ , ]xi−1 xi Δ x = (b − a)/m [ , ]yi−1 yi Δ y = (d − c)/n S V = f( , ) ΔAlim m,n→∞ ∑ i=1 m ∑ j=1 n x∗ y∗ ( , )x∗ y∗ = [ , ] × [ − 1, ]Rij xi−1 xi yi yi Δ A = Δ xΔ y f f f x y 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6X… 4/19 retângulo como se o limite existir. Então, se este limite existir, é dita integrável. Então, pelo que vimos, se , o volume do sólido que está acima do retângulo e abaixo da superfície é dado por ou seja, o cálculo de volumes é uma aplicação das integrais duplas. Por exemplo, o volume do sólido que está abaixo de e acima de é dado por . Note que o grá�co de é maior ou igual a zero e é representado pela Figura 3.1. Como estamos restringindo o eixo nos pontos do intervalo [-2,2], temos que a integral dupla de sobre é a metade do volume do cilindro de altura 4 e raio da base 1. Logo, Como a integral dupla está de�nida através do cálculo de um limite e, nem todas as integrais conseguimos relacionar com fórmulas já conhecidas, como no caso anterior, sua resolução não é e�ciente. Porém, temos propriedades que auxiliam no cálculo das integrais. Admitindo que e existam, é válido que: R ∫ f(x, y) ΔA = f( , ) ΔA∫ R lim m,n→∞ ∑ i=1 m ∑ j=1 n x∗ y∗ f f(x, y) ≥ 0 V z = f(x, y) V = ∫ f(x, y) Δ A∫ R S + = 1x2 z2 R = [−1, 1] × [−2, 2] V = ∫ 1 − ΔA∫ R x2 f(x, y) = z = 1 − x2 Figura 3.1 - Grá�co de Fonte: Elaborada pela autora. f(x, y) = √(1 − )x2 y 1 − x2 R = [−1, 1] × [−2, 2] V = ∫ 1 − ΔA = 2π.∫ R x2 ∫ f(x, y) Δ A∫ R ∫ g(x, y) Δ A∫ R ∫ f(x, y) + g(x, y) Δ A = ∫ f(x, y) Δ A + ∫ g(x, y) Δ A∫ R ∫ R ∫ R 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6X… 5/19 , onde c é uma constante. Sendo para todo . Por exemplo, se , então praticar Vamos Praticar Pelo que aprendemos, podemos calcular o volume de um sólido através das integrais duplas . Como os pontos e são pontos arbitrários de cada , podemos considerar os pontos médios de cada . Essa técnica é conhecida como regra do ponto médio para integrais duplas e com ela temos que a integral dupla é aproximadamente igual a , onde e são os pontos médios de cada . Utilizando essa técnica, para , a estimativa da integral onde é: a) - 11, 875. b) - 8,50. c) - 5,125. d) 0,368. e) 2,07. ∫ c f(x, y) Δ A = c ∫ f(x, y) Δ A∫ R ∫ R f(x, y) ≥ g(x, y) (x, y) ∈ , ∫ f(x, y) Δ A ≥ ∫ g(x, y) Δ AR2 ∫ R ∫ R ∫ f(x, y) Δ A = 3e ∫ g(x, y) Δ A = 2∫ R ∫ R ∫ f(x, y) + g(x, y) Δ A = 5∫ R ∫ f(x, y) Δ A = f( , ) Δ A∫ R limn→∞ ∑ m i=1 ∑ n j=1 x ∗ y∗ x∗ y∗ = [ , ] × [yi − 1, yi]Rij xi−1 xi = [ , ] × [yi − 1, yi]Rij xi−1 xi ∫ f(x, y) Δ A∫ R f( Δ A∑mi=1 ∑ n j=1 , x−−i yj−− ) x−−i yj−− = [ , ] × [yi − 1, yi]Rij xi−1 xi m = n = 2 ∫ (x − 3 )ΔA∫ R y2 R = [0, 2] × [1, 2] 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6X… 6/19 Querido(a) aluno(a), o Teorema Fundamental do Cálculo nos fornece um método para calcular as integrais de funções de uma variável real sem precisarmos recorrer à de�nição. Neste tópico, veremos como determinar uma integral dupla sem necessitar utilizar a sua de�nição. Esse método consiste em calcular uma integral dupla calculando duas integrais ordinárias. Sendo uma função de duas variáveis de�nida sobre o retângulo , estaremos considerando x como constante quando trabalharmos com . O resultado dessa integração é uma função que depende de , que podemos denotar por , daí podemos integrar em relação a , ou seja, . Do mesmo modo, consideramos como constante quando integramos . O resultado dessa integração é uma função que depende de , donde, podemos integrá-lo em relação a , isto é, . Note ainda que podemos omitir o uso dos colchetes. Chamamos as integrais duplas e de integrais iteradas. Então, a integral iterada signi�ca que primeiro integramos em relação a no intervalo e, depois, integramos em relação a no intervalo . Já na integral iterada , primeiro integramos em relação a no intervalo , depois em relação a no intervalo . Por exemplo, para calcular primeiro olhamos como constante e integramos em relação a no intervalo (1,2), isto é, . Agora, integramos esse resultado em relação a no intervalo (0,3), assim, Integrais IteradasIntegrais Iteradas f R = [a, b] × [c, d] f(x, y)dy∫ d c x A(x) = f(x, y) dy∫ d c A x A(x) = [ f(x, y) dy]dx∫ b a ∫ b a ∫ d c y f(x, y) dx∫ b a y y [ f(x, y) dx]dy∫ d c ∫ b a f(x, y) dydx∫ b a ∫ d c f(x, y) dxdy∫ d c ∫ b a f(x, y) dydx∫ b a ∫ d c y (c, d) x (a, b) f(x, y) dxdy∫ d c ∫ b a x (a, b) y (c, d) ydydx∫ 30 ∫ 2 1 x 2 x y ydy = ydy = [ = − =∫ 21 x 2 x2 ∫ 21 x 2 y 2 2 ] 2 1 x 2 22 2 x 2 12 2 3 2 x 2 x dx = dx = [ 3 = + =∫ 30 3 2 x 2 3 2 ∫ 3 0 x 2 3 2 x3 3 ]0 3 2 33 3 3 2 03 3 27 2 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6X…7/19 Você pode se perguntar, se calcular a integral iterada teremos o resultado? Em geral, a resposta é sim! Então, vamos veri�car: primeiro integrando em relação a , consideramos como constante, donde e, integrando o resultado em relação a , Podemos determinar a integral dupla por esse método de forma direta, como: De maneira geral, se f for contínua no retângulo , então . Este resultado é conhecido como Teorema de Fubini. Considere a função . Podemos ver um esboço do grá�co de f na Figura 3.2 abaixo. Se desejarmos calcular a integral dupla de sobre , pelo Teorema de Fubini temos Como a resposta dessa integral dupla foi um número negativo, podemos concluir que ela não se trata de um volume. Isso acontece porque a função não é positiva, como pudemos observar na Figura 3.2. ydxdy∫ 21 ∫ 3 0 x 2 x y ydx = y ydx = y[ = y + y = y∫ 30 x 2 ∫ 30 x 2 x3 3 ] 3 0 33 3 03 3 9 2 y ydy = [ = − =∫ 30 9 2 9 2 y2 2 ] 2 1 9 2 22 2 9 2 12 2 27 2 4x dydx = 4x[ dy]dx = 4x[ dx = 81xdx = 81 xdx = 81[ = 40,∫ 10 ∫ 3 0 y 3 ∫ 10 ∫ 3 0 y 3 ∫ 10 y4 4 ] 3 0 ∫ 1 0 ∫ 1 0 x2 2 ] 1 0 R = (x, y); a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d ∫ f(x, y)dA = f(x, y)dydx = f(x, y)dxdy∫R ∫ b a ∫ d c ∫ d c ∫ b a f(x, y) = x − 3y2 Figura 3.2 - Grá�co de Fonte: Elaborada pela autora. f(x, y) = x − 3y2 f R = (x, y); 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2 ∫ f(x, y)dA = (x − 3 )dydx = [xy − = (x − 7)dx = [ − 7x = −12∫ R ∫ 20 ∫ 2 1 y 2 ∫ 20 y 3 ]21 ∫ 2 0 x2 2 ] 2 0 f 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6X… 8/19 Como vimos no primeiro tópico desta unidade, se o volume do sólido formado pelos pontos que estão abaixo do grá�co de e acima do plano pode ser calculado pela integral dupla. Mas, se temos que sua integral dupla sobre a região R é igual à área do conjunto R, ou seja área de . Por exemplo, para determinar a área da região retangular da Figura 3.3, basta calcularmos Ou seja, a área da região da Figura 3.3 é igual a 8. f(x, y) ≥ 0 f(x, y) xy f(x, y) = 1 R = ∫ 1dxdy = ∫ dxdy∫ R ∫ R dxdy = x dy = (4 − 2)dy = 2y = 12 − 4 = 8∫ 62 ∫ 4 2 ∫ 6 2 | 4 2 ∫ 6 2 | 6 2 Figura 3.3 - Cálculo de área Fonte: Elaborada pela autora. 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6X… 9/19 Já aprendemos, aluno(a), nos tópicos anteriores, a calcular uma integral dupla sobre regiões retangulares. Agora, considere uma função f de duas variáveis de�nida sobre uma região limitada , que não é retângulo. Para realizar a integração dupla sobre esta região recorremos à região retangular em que está de�nida, onde a função é igual à função em e fora de . Isto é, se estiver de�nida sobre uma região limitada qualquer, de�nimos uma nova função para determinar a integral dupla de . Essa função F possui como domínio um retângulo , onde e é de�nida por: se e se . Observe a ilustração a seguir. De�nimos a integral dupla de em por , Integrais Duplas Sobre RegiõesIntegrais Duplas Sobre Regiões GeraisGerais D D F F f D F = 0 D f D F f R D ⊂ R F(x, y) = f(x, y) (x, y) ∈ D F(x, y) = 0 (x, y) ∈ (R − D) Figura 3.4 - Relação entre o domínio de f e o domínio de F Fonte: Elaborada pela autora. f D ∫ f(x, y)dA = ∫ F(x, y)dA∫ D ∫ R 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6… 10/19 desde que seja integrável em . Vamos classi�car as regiões em dois tipos. Se uma região for a região entre o grá�co de duas funções contínua em , diremos que é do tipo I. Agora, se for a região entre o grá�co de duas funções contínua em , diremos que é do tipo II. Para calcularmos as integrais duplas de funções de duas variáveis de�nidas sobre regiões do tipo I, ou seja, regiões da forma com e contínuas em [a,b], utilizamos a seguinte igualdade: . E, de modo análogo, calculamos as integrais duplas de funções de duas variáveis de�nidas sobre regiões do tipo II, isto é, regiões da forma com e contínuas em , como: . Por exemplo, se a região for limitada pelas parábolas , temos que esta região é do tipo I, uma vez que . Logo, podemos escrever . Na Figura 3.5, temos a visualização grá�ca desta região. Então, a integral dupla de sobre é dada por: \[\int \int_D f(x,y) dA = \int_{-1}^1 \int_{2x^2}^{1+x^2}(x+2y) dy dx=/] F R D D x D D y D D = (x, y), a ≤ x ≤ b, (x) ≤ y ≤ (x)g1 g2 g1 g2 ∫ f(x, y)dA = f(x, y)dydx∫ D ∫ b a ∫ (x)g2(x)g1 D = {(x, y), c ≤ y ≤ d, (x) ≤ x ≤ (x)}h1 h2 h1 h2 [c, d] ∫ f(x, y)dA = f(x, y)dxdy∫ D ∫ d c ∫ (x)h2(x)h1 D y = 2 ey = 1 +x2 x2 2 = 1 + ⇔ x = ±1x2 x2 D = (x, y), −1 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 1 +x2 x2 Figura 3.5 - Região do tipo I Fonte: Elaborada pela autora. f(x, y) = x + 2y D [xy + dx =∫ 1 −1 y2 ]y=1+x 2 y=2x2 [x(1 + ) + (1 + − x(2 ) − (2 ] =∫ 1 −1 x2 x2)2 x2 x2)2 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6… 11/19 A região limitada pela reta e pela parábola pode ser vista como uma região do tipo II. Então, podemos escrever . Gra�camente, Calculando a integral dupla de sobre , considerando como uma região do tipo II, obtemos: (−3 − + 2 + x + 1)dx =∫ 1 −1 x4 x2 x2 [−3 − + 2 + + x x5 5 x4 4 x3 3 x2 2 ]1−1 = 32 15 D y = 2x y = x2 D = (x, y), 0 ≤ y ≤ 4, 1/2y ≤ x ≤ √x Figura 3.6 - Região do tipo II Fonte: Elaborada pela autora. f(x, y) = +x2 y2 D D ∫ f(x, y)dA = ( + )dxdy =∫ D ∫ 4 0 ∫ y√ y1 2 x2 y2 [ + x dy =∫ 4 0 x3 3 y2 ] x= y√ x= y1 2 [ + − − ]dy =∫ 4 0 ( y√ ) 3 3 y2 y√ ( y12 ) 3 3 y2 1 2 ( + − − )dy =∫ 4 0 y 23 2 3 y5/2 y3 24 y3 2 [ + − = y5/2 15 2y7/2 7 13y4 96 ]40 216 35 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6… 12/19 . Como pudemos observar no Re�ita, se uma região pode ser escrita dos tipos I e II, podemos calcular sua integral da forma que acharmos mais apropriado. O cálculo terá a mesma resposta. Assim como já comentamos para regiões retangulares, quando estamos trabalhando com regiões gerais, a integral dupla de sobre é o volume do sólido formado pelos pontos que estão abaixo do grá�co de e acima do plano e, se , a integral dupla de sobre é igual a área do conjunto . reflita Re�ita A regiãoD limitada pela reta e pela parábola citada anteriormente também pode ser vista como uma região do tipo I. Observe a �gura abaixo: Então, como região do tipo I temos que . Se calcularmos a integral dupla de sobre , considerando como uma região do tipo I, iremos obter o mesmo resultado? Ou seja, ? Fonte: Elaborado pela autora. y = 2x y = x2 Figura 3.7 - Região vista como tipo I Fonte: Elaborada pela autora. D = (x, y), 0 ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ 2xx2 f(x, y) = +x2 y2 D D ∫ f(x, y)dA = ( + )dxdy =∫ D ∫ 20 ∫ 2x x2 x2 y2 21635 f(x, y) ≥ 0 B = (x, y, z) ∈ ; (x, y) ∈ Be 0 ≤ z ≤ f(x, y)R3 f(x, y) xy f(x, y) = 1 f B B 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6… 13/19 praticar Vamos Praticar O sólido limitado entre os planos , , , é um tetraedro. Sabemos que podemos determinar seu volume através do cálculo de integrais duplas. Então, é correto a�rmar que este tetraedro possui volume igual a: a) 1/3. b) 7/8 c) d) 15 e) e) -7. x + 2y + z x = 2y x = 0 z = 0 27 −−√ 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6… 14/19 Algumas integrais duplas são complicadas de serem determinadas quando suas regiões são descritas como coordenadas retangulares. Para esses casos, de�niremos um novo sistema de coordenadas no plano cartesiano: as coordenadaspolares. Imagine, caro(a) estudante, que queremos calcular a integral dupla , onde é a região esboçada na Figura 3.8. Seria difícil calcular esta integral se escrevêssemos a região em coordenadas retangulares, então escrevemos ela em coordenadas polares. Um retângulo polar é da forma , relacionamos as coordenadas polares (r,θ) de um ponto com as coordenadas retangulares através das igualdades , , . Assim, se é contínua no retângulo polar , onde temos que Integrais Duplas em CoordenadasIntegrais Duplas em Coordenadas PolaresPolares ∫ f(x, y)dA∫ P P D Figura 3.8 - Região P Fonte: Elaborada pela autora. P = (r, θ); a ≤ r ≤ b,α ≤ θ ≤ βe = +r2 x2 y2 x = rcosθ y = rsenθ f P 0 ≤ β − α ≤ 2π 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6… 15/19 . Por exemplo, se desejarmos calcular a integral dupla , onde é a região do semiplano superior limitada por e , podemos descrever a região em coordenadas retangulares como e, em coordenadas polares como . Temos que, , assim e . Desde o ensino fundamental trabalhamos com a fórmula quando desejamos calcular a área de uma circunferência de raio z. Podemos veri�car essa fórmula através das integrais duplas com o auxílio das coordenadas polares. Dada uma circunferência de centro na origem e raio z, pelos que vimos no decorrer desta unidade sua área é determinada através da integral dupla, isto é, ∫ f(x, y)dA = f(rcosθ, rsenθ)rdrdθ∫ P ∫ β α ∫ b a ∫ (3x + 4 )dA∫ P y2 P + = 1x2 y2 + = 4x2 y2 P P = (x, y); y ≥ 0, 1 ≤ + ≤ 4x2 y2 P = (r, θ); 1 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ π f(x, y) = 3x + 4y2 f(rcosθ, rsenθ) = 3rcosθ + 4 (senθr2 )2 ∫ (3x + 4 )dA = (3rcosθ + 4 (senθ )rdrdθ∫ P y2 ∫ π0 ∫ 2 1 r 2 )2 = (3 cosθ + 4 (senθ )drdθ∫ π0 ∫ 2 1 r 2 r3 )2 = [ cosθ + (senθ dθ∫ π0 r 3 r4 )2]r=2r=1 = [7cosθ + 15(senθ ]dθ∫ π0 ) 2 = [7cosθ + (1 − cos2θ)]dθ = [7senθ + − sen2θ =∫ π0 15 2 15θ 4 15 4 ] π 0 15π 2 = 15π2 saiba mais Saiba mais Duas aplicações clássicas do cálculo integral de duas variáveis são o cálculo de áreas de superfícies e o cálculo de volumes. Porém, existem diversas outras aplicabilidades para as integrais duplas, como as aplicações físicas: momento de massa, centro de massa e momento de inércia. Esses conceitos estão interligados com a teoria de várias disciplinas na área da engenharia. Para saber mais sobre como determinamos essas grandezas com o auxílio das integrais duplas, veja a seção 15.5 do livro Cálculo, Volume 2, de James Stewart. Fonte: Elaborado pela autora. ACESSAR πz2 http://www.cesadufs.com.br/ORBI/public/uploadCatalago/11352316022012C%C3%A1lculo_III_aula_3.pdf 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6… 16/19 área da circunferência , onde . Reescrevendo em coordenadas polares, obtemos . Então: área da circunferência . praticar Vamos Praticar As coordenadas polares facilitam o cálculo de integrais duplas quando é complicado escrever a região na qual a função está de�nida em coordenadas retangulares. Utilizando as coordenadas polares, encontramos que o volume do sólido limitado pelo plano e pelo paraboloide é igual a: a) 12π b) c) 8π d) e) = ∫ dxdy∫ P P = (x, y) ∈ ; + ≤R2 x2 y2 z2 P P = (r, θ) ∈ ; 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ zR2 = ∫ rdrdθ = rdrdθ∫ P ∫ 2π0 ∫ z 0 = [ dθ = dθ = [ θ = π∫ 2π0 r2 2 ] z 0 ∫ 2π 0 z 2 2 z 2 2 ] 2π 0 z 2 z = 0 z = 1 − −x2 y2 π163 2 π3 –√ π12 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6… 17/19 indicações Material Complementar LIVRO Cálculo - Volume II Editora: Cengage Learning Autor: James Stewart ISBN: 9788522106615 Comentário: Este livro aborda todos os tópicos que vimos nesta unidade de forma ampla e detalhada contendo diversos exemplos resolvidos, o que pode ajudar na compreensão da disciplina. 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6… 18/19 FILME O Céu de Outubro Ano: 1999 Comentário: O �lme é baseado na história real de um engenheiro da NASA que na adolescência, com ajuda de um grupo de amigos, desenvolveu um projeto que transformou a vida de todos do grupo. TRA ILER 02/05/2023, 07:46 Ead.br https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5f9Bnhxq4xSW3klKo3T7vQ%3d%3d&l=yc8artLEmjZR9%2b0aCBaF4w%3d%3d&cd=7bE6… 19/19 conclusão Conclusão Nesta unidade, prezado(a) aluno(a), aprendemos como trabalhar com as integrais duplas de funções de duas variáveis. Vimos, através das integrais iteradas, que não precisamos recorrer à de�nição para calcular uma integral dupla, podemos realizar o cálculo de duas integrais unidimensional e utilizar todo nosso conhecimento do cálculo integral ordinário. Após, trabalhamos com a integração dupla sobre regiões retangulares e mais gerais e introduzimos um novo sistema de coordenadas para o plano cartesiano, as coordenadas polares. Esperamos que esta unidade tenha sido produtiva e que você tenha aproveitado ao máximo, resolvendo exercícios e questionando suas dúvidas. Continue se dedicando, até uma próxima! referências Referências Bibliográ�cas GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo - volume 2. 5. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2010. STEWART, J. Cálculo - volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008.
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