História da Matemática - parte III

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História da Matemática – parte III
Questão 1
Num contexto que envolve investimento e formação de capital, se M(t) representa o montante do capital de uma empresa existente em cada instante t, em anos, e m(t) representa a taxa de investimento líquido por um período de tempo, então$\int_a^bm\left(t\right)dt$∫abm(t)dtfornece o montante acumulado no período a ≤ t ≤ b.
Considere que a função $m\left(t\right)=3t^2$m(t)=3t2definida para t ≥ 0, representa a taxa de investimento líquido em milhares de reais, de uma determinada empresa. Nesse caso, o montante acumulado no período 0 ≤ t ≤ 10, em anos, é igual a:
Sua resposta
R$ 1.000.000,00.
Comentário
Como o montante acumulado é dado por $\int_a^bm\left(t\right)dt$∫abm(t)dt, para a ≤ t ≤ b, o valor do período 0 ≤ t ≤ 10, representado por $m\left(t\right)=3t^2$m(t)=3t2, será, segundo o TeoremaFundamental do Cálculo,$\int_0^{10}3t^2dt=\left(10^3+k\right)-\left(0^3+k\right)=1000$∫0103t2dt=(103+k)−(03+k)=1000 , já que a primitiva de$m\left(t\right)=3t^2$m(t)=3t2é $M\left(t\right)=t^3+k$M(t)=t3+k. Como o valor é dado em milhares de reais, a resposta será R$ 1.000.000,00.
Questão 2
De forma poética, Alexandre Pope, poeta inglês contemporâneo de __________, cujos versos abordam muitas questões filosóficas, teria dito: “A Natureza e as leis da Natureza jaziam ocultas na noite; Deus disse, ‘Faça-se ________’, e a luz se fez”. O próprio Liebniz, que adiante veremos que se tornou um rival de _________, teria dito: “Tomando a matemática desde o início do mundo até a época em que _________ viveu, o que ele fez foi, em grande escala, a metade melhor”.
O sobrenome de um dos matemáticos ao qual se atribui a “invenção do Cálculo” completa corretamente o texto. Assinale a alternativa que contém esse sobrenome.
Sua resposta
Newton.
Comentário
A “invenção do Cálculo” é atribuída a Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz. Eles se tornaram rivais justamente por disputarem durante alguns anos o crédito dessa “invenção”. Tanto a frase de Alexandre Pope quanto a do próprio Leibniz se referem a Newton.
Questão 3
Segundo uma das partes do Teorema Fundamental do Cálculo, dada uma função contínua num intervalo [a,b],$\int_a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$∫abƒ(x)dx=F(b)−F(a), onde F(x) é a primitiva de f(x), ou seja, a derivada de F(x) é f(x). O valor da integral fornece a área da região limitada pelo gráfico de f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b.
(Enade 2011 – Adaptado) Considere a função $y=f\left(x\right)=12x^2-4x^3$y=ƒ(x)=12x2−4x3, contínua em qualquer intervalo. A área limitada pela curva de f(x), pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 1 é, em unidades de área:
Sua resposta
3.
Comentário
A primitiva de f(x) é $F\left(x\right)=4x^3-x^4+k$F(x)=4x3−x4+k, já que a derivada de F(x) é f(x). Assim, a área pedida vale,$\int_0^112x^2-4x^3dx=F\left(1\right)-F\left(0\right)=\left(4\cdot1^3-1+k\right)-\left(4\cdot0^3-0+k\right)=3$∫0112x2−4x3dx=F(1)−F(0)=(4·13−1+k)−(4·03−0+k)=3
Questão 4
Para calcularmos o $\lim_{x\to k}\frac{x^2-k^2}{x-k}$limx→kx2−k2x−ksubstituímos x por k. O que ocorre é k – k = 0 e a divisão por zero é indeterminada, principalmente $\frac{0}{0}$00. Mas $a^2-b^2$a2−b2a , para quaisquer valores de a e de b, equivale à $\left(a+b\right)\cdot\left(a-b\right)$(a+b)·(a−b), pois trata-se de um produto notável. Nesse caso$\lim_{x\to k}\frac{x^2-k^2}{x-k}=\lim_{x\to k}\frac{\left(x+k\right)\cdot\left(x-k\right)}{x-k}=\lim_{x\to k}x+k=2k$limx→kx2−k2x−k=limx→k(x+k)·(x−k)x−k=limx→kx+k=2k . Perceber um produto notável nessa situação permite remover a indeterminação.
O valor do$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$limx→2x2−4x−2 vale:
Sua resposta
4.
Comentário
O primeiro passo é perceber que, utilizando a fatoração proposta no enunciado temos $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{x^2-2^2}{x-2}$limx→2x2−4x−2=limx→2x2−22x−2(veja que o numerador tem a forma $a^2-b^2$a2−b2). Fatorando e fazendo as simplificações possíveis (e necessárias) teremos que, $\lim_{x\to2}\frac{x^2-2^2}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{\left(x+2\right)\cdot\left(x-2\right)}{x-2}=\lim_{x\to2}x+k=2\cdot2=4$limx→2x2−22x−2=limx→2(x+2)·(x−2)x−2=limx→2x+k=2·2=4.
Questão 5
Segundo uma das partes do Teorema Fundamental do Cálculo, dada uma função contínua num intervalo [a,b],$\int_a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$∫abƒ(x)dx=F(b)−F(a) , onde F(x) é a primitiva de f(x), ou seja, a derivada de F(x) é f(x). O valor da integral fornece a área da região limitada pelo gráfico de f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b.
O valor da área mostrada na figura é,
Sua resposta
8
Comentário
A primitiva de f(x) é $F\left(x\right)=-x^2+6x+k$F(x)=−x2+6x+k, já que a derivada de F(x) é f(x). Assim, a área pedida vale,$\int_0^2-2x+6dx=F\left(1\right)-F\left(0\right)=\left(-2^2+6\cdot2+k\right)-\left(-0^2+6\cdot0+k\right)=8$∫02−2x+6dx=F(1)−F(0)=(−22+6·2+k)−(−02+6·0+k)=8