Lista 1_ Conjuntos

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Conjuntos 
 
 
Prof. João Marcos 
 
1 
Nível 1 
 
1. Determine o número de conjuntos A que satisfazem a relação: 
   1,2 1,2,3,4,5  A 
 
2. Dados os conjuntos  1,2,3,4,5A ,  1,2,4,6,8B e 
 2,4,5,7C , obtenha um conjunto X tal que X A e 
.  A X B C 
 
3. Classifique como V ou F as sentenças a seguir: 
 
I. ( )              A B B A A B A B 
II. ( )   A B B A 
III. ( )   A B A 
IV. ( )   A B B 
 
4. Se {3 | } A x x N e { |x é divisor de 120} B x N , calcule o 
número de elementos de: 
 
a) B 
b) 𝐴 ∩ 𝐵 
c) 𝐵 − 𝐴 
 
5. Considerando os conjuntos A, B e C, representados ao lado, e 
sabendo que 
         24; 4; 16; 11, 10         n A B n A B n B C n A C n B C
calcule: 
 
a) 𝑛(𝐴 − 𝐵) 
b) 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 
c) 𝑛(𝐵 − (𝐶 ∪ 𝐴) 
 
6. (ITA) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto: 
 U 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 
I. Ø ∈ U e n(U) = 10. 
II. Ø ⊂ U e n(U) = 10. 
III. 5 ∈ U e {5} ⊂ U. 
IV. {0,1,2,5} ∩ {5} = 5. 
 
São verdadeiras: 
 
A. ( ) apenas I e III. 
B. ( ) apenas II e IV. 
C. ( ) apenas II e III. 
D. ( ) apenas IV. 
E. ( ) todas as afirmações. 
 
 
7. (ITA) Seja o conjunto S = {r ∈ Q| r ≥ 0 e r² ≤ 2}, sobre o qual são feitas 
as seguintes afirmações: 
 
I. 
5 7
S e S.
4 5
  
II. x R 0 }| x S .{ 2     
III. 2 S. 
 
São verdadeiras: 
 
A. ( ) apenas I e II. 
B. ( ) apenas I e III. 
C. ( ) apenas II e III. 
D. ( ) apenas I. 
E. ( ) apenas II. 
 
8. Dois conjuntos finitos A e B possuem m e n elementos 
respectivamente. Se o total de subconjuntos de A supera o total de 
subconjuntos de B em 112, calcule m. 
 
9. Para quaisquer dois conjuntos A e B, A-(A-B) equivale a 
 
A. ( ) B B. ( ) A-B 
C. ( ) A ∩ 𝐵 D. ( ) 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶 
 
10. Para conjuntos A e B, a relação (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶𝑈(𝐴𝐶 ∩ 𝐵) equivale a 
 
A. ( ) 𝐴𝐶 B. ( ) 𝐵𝐶 
C. ( ) A D. ( ) Nenhuma das anteriores. 
 
11.      SeY 1,2,3,4,5 ,A 1,2 eB 5 ,3,4,   calcule (YxA) (YxB) 
 
12.    Se n A 4, n B 5 e n A B( ) 3,      [calcule n AXB BXA ]. 
 
13. Dados X e Y como os conjuntos de todos os divisores positivos de 
400 e de 1000 respectivamente. Calcule n(𝑋 ∩ 𝑌). 
 
14. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 7}; C − A = {7, 8, 
9}; C − B = {3, 8, 9} e A ∩ B ∩ C = {4}. 
O número de elementos do conjunto C é: 
 
A. ( ) 6 B. ( ) 7 
C. ( ) 3 D. ( ) 4 
E. ( ) 5 
 
15. Marque a alternativa que possui a expressão que representa a região 
sombreada no Diagrama de Venn abaixo: 
 
A. ( ) (A∪B)∩(A∪C) 
B. ( ) (A∩B)∪(A∪C) 
C. ( ) (A∪B)∪A 
D. ( ) A∪(B∪C) 
E. ( ) (A∪B)∩(B∪C) 
 
 
 
 2 
16. Seja 𝐴 = {1, {2}, {1,2}}. Considere as afirmações: 
 
I. 1 ∈ A 
II. 2 ∈ A 
III. ∅ ∈ A 
IV. {1,2} ⊂ 𝐴 
 
Estão corretas: 
A. ( ) I e II 
B. ( ) I e III 
C. ( ) III e IV 
D. ( ) III 
E. ( ) I 
 
17. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A ∩ B 
é 30, o número de elementos de A ∩ C é 20 e o número de 
elementos de A ∩ B ∩ C é 15. Calcule o número de elementos de 
A ∩ (B U C). 
 
18. Se P e Q são subconjuntos de A e P’ e Q’ seus respectivos 
complementares em A, então simplifique (P∩Q)U(P∩Q’). 
 
19. Relativamente às operações com os conjuntos abaixo, é FALSO 
afirmar que: 
 
A. ( ) A U (B ∩C) = (A U B) ∩ (A U C) 
B. ( ) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) 
C. ( ) se A ∩ B = ∅, então A - B = A 
D. ( ) se A ∩ B = B ∩ A, então A = B 
E. ( ) se A - B = B - A, então A = B 
 
Nível 2 
 
20. (ITA) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A ⊂ B e 
  n : \C C B A =128. 
Então, das afirmações abaixo: 
I. 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴) é único; 
II. 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐴) ≤ 128; 
III. a dupla ordenada (𝑛(𝐴), 𝑛(𝐵)) é única; 
 
É (são) verdadeira(s): 
A. ( ) apenas I. 
B. ( ) apenas II. 
C. ( ) apenas III. 
D. ( ) apenas I e II. 
E. ( ) nenhuma. 
 
21. (ITA) Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e 
C quaisquer: 
 
I. A negação de  x A B é x A ou .x B 
II.      .    A B C A B A C 
III.        \ \ \ .   A B B A A B A B 
 
São falsas: 
A. ( ) apenas I. 
B. ( ) apenas II. 
C. ( ) apenas III. 
D. ( ) apenas I e III. 
E. ( ) nenhuma. 
 
 
 
 
22. (ITA) Considere os conjuntos A, B ⊂ R e 𝐶 ⊂ (𝐴 ∪ 𝐵). Se 𝐴 ∪
𝐵, 𝐴 ∩ 𝐶 𝑒 𝐵 ∩ 𝐶 são os domínios das funções reais definidas por 
  2ln x , x 6x 8    e ,
5


x π
x
respectivamente, pode-se 
afirmar que 
 
A. ( ) 𝐶 =]√𝜋, 5[ 
B. ( ) 𝐶 = [2, 𝜋] 
C. ( ) 𝐶 = [2, 5[ 
D. ( ) 𝐶 = [𝜋, 4] 
E. ( ) 𝐶 não é intervalo. 
 
23. (ITA) Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a, b, c, d, 
e, f, g, h}. Sabendo que 
(𝐵𝐶 ∪ 𝐴)𝐶= {f, g, h}, 𝐵𝐶 ∩ 𝐴 = {a,b} e 𝐴𝐶 \B = {d,e}, então calcule 
n(P(A ∩ B)). 
 
24. (ITA) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de 
A com 6 elementos. Calcule o número de subconjuntos de A com um 
número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos do conjunto B. 
 
25. Simplificando         
C
C C CA B C A B C C obtemos 
A. ( ) B ∩ 𝐶𝐶 B. ( ) 𝐵𝐶 ∩ 𝐶𝐶 
C. ( ) B ∩ 𝐶 D. ( ) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 
 
26. Suponha que os conjuntos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴30 possuem 5 elementos 
cada um, e que os conjuntos 𝐵1 , 𝐵2, … , 𝐵𝑛 possuem 3 elementos 
cada um. Se o conjunto S é tal que 
30 n
i j
i 1 j 1
S A B
 
  
e que cada elemento de S pertence a exatamente 10 dos conjuntos 
𝐴𝑖 e 9 dos conjuntos 𝐵𝑗 , então calcule n. 
 
27. (ITA) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não-
vazios, tais que ) 1 .   n(P(A) P(B) n(P( A B)) 
Então, a diferença n(A) − n(B) pode assumir 
 
A. ( ) um único valor. 
B. ( ) apenas dois valores distintos. 
C. ( ) apenas três valores distintos. 
D. ( ) apenas quatro valores distintos. 
E. ( ) mais do que quatro valores distintos. 
 
28. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer com B ≠ ∅, tais que: 
 
I. B ⊂ P(A), em que P(A) é o conjunto das partes de A; 
II. A e C são disjuntos. 
Com relação às seguintes proposições: 
 
I. (A B) C (A B C)     
II. (C B) (A B) A B C      
III. (A B) (C B) (A B) (C B)       
 
Podemos afirmar que 
A. ( ) Apenas I é verdadeira 
B. ( ) I e III são verdadeiras 
C. ( ) III é a única verdadeira 
D. ( ) I e II são verdadeiras 
E. ( ) todas são verdadeiras. 
 
 
 3 
29. Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C 
com 4 elementos. O número de elementos do conjunto C-[(A ∩ B) 
∩ C] pode variar entre: 
 
A. ( ) 2 e 4 B. ( ) 2 e 3 
C. ( ) 0 e 4 D. ( ) 0 e 3 
E. ( ) 0 e 2 
 
30. A fórmula A - B = A ∩ B’ pode definir a diferença de dois conjuntos 
usando somente as operações de interseção e complemento. Da 
mesma forma, A U B pode ser representada por: 
 
A. ( ) [A B'] [B A'] [A B]     
B. ( ) [A B'] B  
C. ( ) [A B'] [B A'] [A B]     
D. ( ) [A B'] B  
 
31. (IME) Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operação ∆, definida por X 
∆ Y = (X – Y) U (Y – X). Pode-se afirmar que 
 
A. ( ) (X ∆ Y) ∩ (X ∩ Y) = Ø 
B. ( ) (X ∆ Y) ∩ (X – Y) = Ø 
C. ( ) (X ∆ Y) ∩ (Y – X) = Ø 
D. ( ) (X ∆ Y) U (X – Y) = X 
 
Nível 3 
 
32. (PUTNAM) Determine o número de triplas ordenadas (𝐴1,𝐴2,𝐴3) 
de conjuntos tais que: 
 
I. 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, e 
II. 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 = ∅, em que ∅ representa o conjunto vazio. 
Expresse a resposta na forma 2𝑎3𝑏5𝑐7𝑑 , em que a,b,c,d são 
inteiros não-negativos. 
 
33. (ITA) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das 
afirmações: 
 
I. (A \𝐵𝐶 ) \ 𝐶𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶); 
II. (A \𝐵𝐶 ) \ C = A ∪ (𝐵 ∩ 𝐶𝐶)𝐶; 
III. 𝐵𝐶 ∪ 𝐶𝐶 = (𝐵 ∩ 𝐶)𝐶 . 
 
É (são) sempre verdadeiras(s) apenas: 
A. ( ) I B. ( ) II 
C. ( ) III D. ( ) I e III 
E. ( ) II e III 
 
34. (ITA)Analise a existência de conjuntos A e B,ambos não vazios,tais 
que (𝐴\𝐵) ∪ (B\A)= A. 
 
35. (ITA) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos dos naturais tais que (X – Y) 
∩ Z = {1, 2, 3, 4} , Y = {5, 6}, Z ∩ Y = ∅, W ∩ (X – Z) = {7, 8} , X ∩ 
W ∩ Z = {2, 4} . Determine o conjunto dado pela expressão [X ∩ (Z 
∪ W)] – [W ∩ (Y ∪ Z)]. 
 
36. Dados os conjuntos M, N e P tais que 𝑁 ⊂ 𝑀, n(M∩N)=60%n(M), 
n(N∩P)=50%n(N), n(M∩N∩P)=40%n(P) e n(P)=x%n(M), calcule o 
valor de x. 
 
 
 
 
 
 
37. (ITA) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de IR, não-vazios. Com 
respeito às afirmações: 
I. C C C CX {[Y (XUY) ] [X (X Y ) ]} X.     
II.    Se Z X então .       
C Z Y X Z Y X Y 
III.    
C CSe X Y Z então Z X. 
temos que: 
A. ( ) apenas (I) é verdadeira. 
B. ( ) apenas (I) e (II) são verdadeiras. 
C. ( ) apenas (I) e (III) são verdadeiras. 
D. ( ) apenas (II) e (III) são verdadeiras. 
E. ( ) todas são verdadeiras. 
 
38. (ITA) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto 
finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A U B) = 8, n(A U C) = 
9, n(B U C) = 10, n(A U B U C) = 11 e n(A ∩ B ∩ C) =2. Calcule n(A) 
+ n(B) + n(C). 
 
39. (ITA) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as 
seguintes afirmações 
 
I. (𝐴 − 𝐵)𝐶 ∩ (𝐵 ∪ 𝐴𝐶)𝐶 = ∅ 
II. (𝐴 − 𝐵𝐶)𝐶 = 𝐵 − 𝐴𝐶 
III. [(𝐴𝐶 − 𝐵) ∩ (𝐵 − 𝐴)]𝐶 = 𝐴 
 
Sobre essas afirmações podemos garantir que: 
A. ( ) apenas a afirmação I é verdadeira. 
B. ( ) apenas a afirmação II é verdadeira. 
C. ( ) apenas a afirmação III é verdadeira. 
D. ( ) todas as afirmações são verdadeiras. 
E. ( ) apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
 
40. (ITA) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de R. 
Considere as afirmações: 
 
I. Se (E X G) ⊂ F X H), então E ⊂ F e G ⊂ H. 
II. Se (E X G) ⊂ (F X H), então (E X G) U (F X H) = F X H. 
III. Se (E X G) U (F X H) = (F X H), então (E X G) ⊂ (F X H). 
 
Então: 
A. ( ) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
B. ( ) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
C. ( ) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
D. ( ) Apenas as afirmações I e I são verdadeiras. 
E. ( ) Todas as afirmações são verdadeiras. 
 
41. (IME) Considere os conjuntos A, B, C e D, não vazios, contidos no 
mesmo conjunto universo U. Assinale a opção correta. 
 
A. ( ) Se A D C e B D C então A B C      
B. ( ) ( A B C) ( A B C) ( A B C) ( A B)            
C. ( ) (A B C) (A B C) (A B C) (A B C)           
D. ( )
(A B C) (A B C) (A B C)
(A B) (B C)(A C)
        
   
 
E. ( ) Se A C e B C então A B C    
 
42. (IME) Sejam os conjuntos 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑆1 e 𝑆2 tais que (𝑃2 ∩ 𝑆1) ⊂ 𝑃1, 
(𝑃1 ∩ 𝑆2) ⊂ 𝑃2 e (𝑆1 ∩ 𝑆2) ⊂ (𝑃1 ∪ 𝑃2). 
Demonstre que (𝑆1 ∩ 𝑆2) ⊂ (𝑃1 ∩ 𝑃2). 
 
 
 
 
 4 
 
Gabarito 
 
1. 8 
2. {1,3,5} 
3. VVFV 
4. 
 
a) 16 
b) 8 
c) 8 
5. 
 
a) 8 
b) 1 
c) 7 
6. C 
7. D 
8. 7 
9. C 
10. A 
11.  
12. 9 
13. 12 
14. E 
15. A 
16. B 
17. 35 
18. P 
19. D 
20. A 
21. E 
22. C 
23. 2 
24. 247 
25. B 
26. 45 
27. A 
28. C 
29. A 
30. A 
31. A 
32. 
10 102 30 
33. C 
34. Não existem 
35. {1,3,7,8} 
36. 75 
37. B 
38. 18 
39. A 
40. E 
41. E 
42. demonst.