Lista 3_ Funções do 1 e 2 Grau

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Lista 3 – Funções do 1º e 2º grau 
 
 
Prof. João Marcos 
 
1 
01) (ITA) Considere a equação em 𝑥 ∈ 𝓡: 
√1 + 𝑚𝑥 = 𝑥 + √1 − 𝑚𝑥, 
em que m é um parâmetro real. 
a) Resolva a equação em função do parâmetro m. 
b) Determine todos os valores de m para os quais a equação admite 
solução não nula. 
 
02) (ITA) Calcule o menor inteiro positivo n para o qual a diferença 
√𝑛 − √𝑛 − 1 fica menor que 0,01. 
 
03) (ITA) Sabendo que as soluções da equação |𝑥2| − |𝑥| − 6 = 0 
são raízes da equação 
𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, podemos afirmar que: 
a) a=1 e b=6 
b) a=0 e b=-6 
c) a=1 e b=-6 
d) a=0 e b=-9 
e) não existem tais a e b. 
 
04) (ITA) Sejam a, b, c números reais dados tal que 𝑎 < 0. Suponha 
que 𝑥1 e 𝑥2 sejam raízes da função 𝑦 = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 e 𝑥1 < 𝑥2. 
Sejam 𝑥3 =
−𝑏
2𝑎
 e 𝑥4 = −
2𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
. Sobre o sinal de y podemos 
afirmar que: 
a) 𝑦 < 0 , ∀ 𝑥 ∈ 𝓡, 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥3. 
b) 𝑦 < 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝓡, 𝑥4 < 𝑥 < 𝑥2. 
c) 𝑦 > 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝓡, 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥4. 
d) 𝑦 > 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝓡, 𝑥4 < 𝑥. 
e) 𝑦 < 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝓡, 𝑥 < 𝑥3. 
 
05) (ITA) Considere a equação 
√𝑥2 − 𝑝 + 2√𝑥2 − 1 = 𝑥. 
a) Para que valores do parâmetro real p a equação admite raízes 
reais? 
b) Determine todas essas raízes reais. 
06) (ITA) Dado o conjunto 𝐴 = {∀ 𝑥 ∈ 𝓡; √3𝑥2 + 2𝑥 < 𝑥²}, 
expresse-o como união de intervalos da reta real. 
 
07) Um restaurante a quilo vende 200 quilos de comida por dia, a 40 reais 
o quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada aumento de um real 
no preço do quilo, o restaurante perde 8 clientes por dia, com um consumo 
médio de 500 gramas cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida, em 
reais, para que o restaurante tenha a maior receita possível por dia? 
 
08) Uma bolinha de aço é lançada a partir da origem e segue uma 
trajetória retilínea até atingir o vértice de um anteparo parabólico 
representado pela função real de variável real 
𝑓(𝑥) = (
−√3
3
) 𝑥2 + 2√3𝑥. Ao incidir no vértice do anteparo é refletida 
e a nova trajetória retilínea é simétrica à inicial, em relação ao eixo da 
parábola. Qual é o ângulo de incidência (ângulo entre a trajetória e o eixo 
da parábola)? 
 
09) Uma loja está fazendo uma promoção na venda de bolas: “Compre x 
bolas e ganhe x% de desconto”. A promoção é válida para compras de 
até 60 bolas, caso em que é concedido o desconto máximo de 60%. Julia 
comprou 41 bolas e poderia ter comprado mais bolas e gasto a mesma 
quantia. Quantas bolas a mais Julia poderia ter comprado? 
 
10) Ao meio dia, o navio NE-Brasil encontra-se a 100 km a leste do 
navio Aeródromo São Paulo. O NE-Brasil navega para oeste com a 
velocidade de 12 km / h e o São Paulo para o sul a 10 km / h . Em que 
instante, aproximadamente, os navios estarão mais próximos um do 
outro? 
 
11) (ITA) Seja 𝑓: 𝑅 → 𝑅 uma função tal que 𝑓(𝑥) ≠ 0, para cada 𝑥 ∈ 
𝓡 e 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦), para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝓡. Considere 
(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4) uma PA de razão r, tal que 𝑎1 = 0. Então 
(f(𝑎1), 𝑓(𝑎2), f(𝑎3), 𝑓(𝑎4)) 
 
a) é uma PA de razão igual a f(r) e 1º termo 𝑓(𝑎1) = 𝑓(0). 
b) é uma PA de razão igual a r. 
c) é uma PG de razão igual a f(r) e 1º termo 𝑓(𝑎1) = 1. 
d) é uma PG de razão igual a r e 1º termo 𝑓(𝑎1) = 0. 
e) Não é necessariamente uma PA ou uma PG. 
 
12) (Ciclo 2016) Se a função f : x ax 1,  𝑎 ∈ 𝑅∗ for decrescente e tal 
que 
  f f 4 32,
pode-se afirmar que f: 
a) é positiva para x 0 
b) é negativa para 
4
x
11


 
c) é nula para 
4
x
11


 
d) admite o valor 
15
4

 quando x 1  
e) possui parte de seu gráfico no 1º quadrante. 
 
13) Dado que a é raiz da equação 𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0, calcule o valor de 
𝑎3 + 1
𝑎5 − 𝑎4 − 𝑎3 + 𝑎²
 
 
 
14) Dado que a equação 𝑚𝑥2 − 2(𝑚 + 2)𝑥 + 𝑚 + 5 = 0 não 
possui raiz real, o que é possível se afirmar a respeito das raízes da 
equação (𝑚 − 6)𝑥2 − 2(𝑚 + 2)𝑥 + 𝑚 + 5 = 0? 
 
15) Solucione a equação (𝑚 − 2)𝑥2 − (𝑚 + 3)𝑥 − 2𝑚 − 1 = 0. 
 
16) Calcule k de modo que as equações 𝑥2 − 𝑘𝑥 − 7 = 0 e 𝑥2 −
6𝑥 − (𝑘 + 1) = 0 tenham uma raiz em comum e calcule a raiz 
comum e as distintas. 
 
17) Se a equação (𝑚2 − 1)𝑥2 − 2(𝑚 + 2)𝑥 + 1 = 0 possui pelo 
menos uma raiz real, determine os possíveis valores de m. 
 
18) A reta 𝑦 = 𝑏 −
𝑥
2
 tangencia a parábola 𝑦 = 𝑥2. Determine b. 
 
19) Considere as funções reais f e g definidas 
por 𝑓(𝑥) =
1+2𝑥
1−𝑥²
, 𝑥 ∈ 𝓡 –{-1,1} e 𝑔(𝑥) =
𝑥
1+2𝑥
 , 𝑥 ∈ 𝓡 –{−
1
2
}. 
Determine maior subconjunto de R em que pode ser definida a composta 
𝑓𝑜𝑔, tal que (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) < 0 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
Gabarito 
 
1)
√2
2
≤ 𝑚 < 1 
02) 2501 
03) d 
04) c 
05) 𝑎) 0 ≤ 𝑝 ≤
4
3
 𝑏)
4−𝑝
2√4−2𝑝
 
06) (−∞, −1) ∪ (−1, −
2
3
] ∪ (2, ∞) 
07) 45 
08) 30° 
09) 59 
10) 4,9h 
12) b 
13) 
4
9
 
14) Possui raiz única 
3
8
 para 𝑚 = 6 e duas raízes distintas reais para 
𝑚 ≠ 6. 
15) 𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 =
2𝑚+1
𝑚−2
 
16) K=-6, a raiz comum é 1 e as raízes distintas são -7 e 5. 
17) 𝑚 ≥ −
5
4
 
18) 𝑏 = −
1
16