Tarefa Complementar- Aulas OCTA - Números Complexos

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Tarefa Complementar 
Número Complexos 
 
Prof. Rodolfo Pereira Borges 
1 
1. (Pucsp 2017) Em relação ao número complexo 
 87 105z i i 3   é correto afirmar que 
a) sua imagem pertence ao 3º quadrante do plano complexo. 
b) é imaginário puro. 
c) o módulo de z é igual a 4. 
d) seu argumento é igual ao argumento do número complexo 
1 3
v i.
2 2
  
 
2. (Fgv 2016) Observe o plano Argand-Gauss a seguir: 
 
 
 
Elevando-se a 2015 o número complexo indicado nesse plano 
Argand-Gauss, o afixo do número obtido será um ponto desse 
plano com coordenadas idênticas e iguais a 
a) 
20152 
b) 
10072 
c) 1 
d) 
20152 
e) 
10072 
 
3. (Pucsp 2015) No plano complexo de origem O, 
representado na figura abaixo, o ponto A é a imagem de um 
número complexo u cujo módulo é igual a 4. 
 
 
 
Se B é o ponto imagem do complexo 
u
v ,
i
 então é correto 
afirmar que: 
a) O módulo de u v é igual a 4 2. 
b) O módulo de u v é igual a 2 2. 
c) B pertence a terceiro quadrante. 
d) B pertence ao quarto quadrante. 
e) O triângulo AOB é equilátero. 
 
4. (Unicamp 2014) O módulo do número complexo 
2014 1987z i i  é igual a 
a) 2. 
b) 0. 
c) 3. 
d) 1. 
 
 
5. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2016) Sejam os números 
complexos u 2 2 (cos 315 i sen 315 )      e 
2w u . Se 
P e Q são as respectivas imagens de u e w, no plano 
complexo, então a equação da reta perpendicular a PQ, 
traçada pelo seu ponto médio, é 
a) 3x y 2 0   
b) 3x y 2 0   
c) x 3y 14 0   
d) x 3y 14 0   
 
6. (Ufms 2020) Seja o número complexo 
1Z (2 2i)( 5i 5) ,    o argumento principal de Z será: 
a) 
2
.
5
π
 
b) .
2
π
 
c) 
3
.
4
π
 
d) 
2
.
5
π
 
e) .
4
π
 
 
7. (Espcex (Aman) 2019) No plano complexo, temos uma 
circunferência λ de raio 2 centrada na origem. Sendo 
ABCD um quadrado inscrito à ,λ de acordo com a figura 
abaixo, podemos afirmar que o número complexo que 
representa o vértice B é 
 
 
 
 2 
 
a) 
1 3
i.
2 2
  
b) 3 i.  
c) 1 3 i.  
d) 
1 3
i.
2 2
  
e) 
3 1
i.
2 2
  
 
APRODUNDANDO 
 
 
1. (Pucsp 2017) Considere os números complexos 
1 2z 1 i, z k i,     com k um número real positivo e 
3 1 2z z z  
 
Sabendo que 3| z | 10, é correto afirmar que 
a) 1 2| z z | 7  
b) 2
3
z 1 i
z 2
 
 
c) O argumento de 2z é 225 . 
d) 3 2z z 1 2i    
 
 
2. (Ita 2016) Considere as afirmações a seguir: 
 
I. Se z e w são números complexos tais que z iw 1 2i   e 
w z 2 3i,   então 
2 2z w 3 6i.    
II. A soma de todos os números complexos z que satisfazem 
2 22 | z | z 4 2i   é igual a zero. 
III. Se z 1 i,  então 
59 29z 2 ( 1 i).   
 
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas I e III. 
d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
 
 
 
3. (Ita 2014) a) Determine o valor máximo de | z i |, 
sabendo que | z 2 | 1, z .   
b) Se oz  satisfaz (a), determine oz . 
 
4. (Mackenzie 2014) O número complexo z a bi  tal que 
z, 
1
z
 e 1 z tenham o mesmo módulo é 
a) 
1 3
z i
2 2
  
b) z 2 3 i  
c) z 1 3 i  
d) 
2 3
z i
3 3
  
e) 
1 2
z i
3 3
  
 
5. (Pucrs 2013) Na figura abaixo, o ponto A é o afixo de um 
número complexo z no plano de Argand-Gauss. 
 
 
 
Se a distância do ponto A até a origem O é 4, então a 
diferença entre z e o seu conjugado é igual a 
a) 4 2 4 2i  
b) 4 2 4 2i  
c) 4 2i 
d) 4 2i 
e) 4 2 
 
6. (Ita 2011) A soma de todas as soluções da equação em : 
22z z iz –1 0   é igual a 
a) 2. 
b) 
i
.
2
 
c) 0. 
d) 
1
.
2
 . 
e) – 2i. 
 
 
 3 
 
7. (Fuvest 2020) Resolva os três itens abaixo: 
 
a) Considere o conjunto formado pelos números complexos 
z que cumprem a condição Re(z) Im(z). Cada 
elemento desse conjunto será objeto da transformação que 
leva um número complexo em seu conjugado. Represente 
no plano complexo (ou plano de Argand‐Gauss) abaixo, o 
conjunto resultante após essa transformação. 
 
 
 
b) Determine o lugar geométrico dos pontos z do plano 
complexo tais que z 1  e para os quais 
z 1
z 1


 é um 
número imaginário puro. 
 
c) Determine as partes reais de todos os números complexos 
z tais que as representações de z, i e 1 no plano 
complexo sejam vértices de um triângulo equilátero. 
 
 
 
8. (Ufrgs 2018) Considere as seguintes afirmações sobre 
números complexos. 
 
I. (2 i)(2 i)(1 i)(1 i) 10.     
II. 
7 1 3 2 5 1
i i i.
2 3 2 3 2 2
   
       
   
 
III. Se o módulo do número complexo z é 5, então o 
módulo de 2z é 10. 
 
Quais afirmações estão corretas? 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas III. 
d) Apenas I e III. 
e) I, II e III. 
 
9. (Upf 2018) Na figura abaixo, está representado, no plano 
complexo, um hexágono regular cujos vértices são imagens 
geométricas das n raízes de índice n de um número 
complexo z. 
 
 
 
O vértice A tem coordenadas ( 1,1). Qual dos seguintes 
números complexos tem por imagem geométrica o vértice 
D? 
a) 
3 3
2 cos i sen
4 4
π π
    
    
    
 
b) 
17 17
2 cos i sen
12 12
π π
    
    
    
 
c) 
17 17
2 2 cos i sen
12 12
π π
    
    
    
 
d) 
7 7
2 cos i sen
4 4
π π
    
    
    
 
e) 
13 13
2 cos i sen
12 12
π π
    
    
    
 
 
 
 
 
 4 
GABARITO: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Simplificando: 
   87 105 3z i i 3 i i 3 z 1 i 3         
 
Analisando as alternativas uma a uma: 
[A] FALSA. Seu afixo está no 4º quadrante. 
[B] FALSA. Não é imaginário puro. 
[C] FALSA. Seu módulo é igual a 2. 
[D] VERDADEIRA. Ambos tem o mesmo argumento: 
1
v z.
2
 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
O número complexo representado no plano é igual a z 1 i.  
Assim, tem-se: 
          
               
             
1007
2015 2014 22015
1007 1007 1007 1007 3
1007 1007 1007
1007 1007
z 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i
1 i 2i 1 i 2 i 1 i 2 i
1 i 2 i 1 i 2 1 1 i 2
2 2 i
         
             
                
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Primeiramente é preciso calcular os números u e v descritos 
no enunciado: 
     
 
          
 
u 4 (cos 120 i sen 120 )
1 3
u 4 i u 2 2 3i
2 2
 
u 2 2 3 i 2 2 3 i ( i)
v v v v 2 3 2i
i i i ( i)
      
        

 
 
Analisando as alternativas uma a uma: 
[A] CORRETA. Calculando a soma e o módulo e u v tem-
se: 
   
         
     
         
2 2
u v 2 2 3i 2 3 2i (2 3 2) (2 3 2)i
u v 2 3 2 2 3 2
12 8 3 4 12 8 3 4 32 u v 4 2
 
 
[B] INCORRETA. Calculando a subtração e o módulo e 
u v tem-se: 
   
          
      
         
2 2
u v 2 2 3i 2 3 2i ( 2 3 2) (2 3 2)i
u v 2 3 2 2 3 2
12 8 3 4 12 8 3 4 u v 32 16 3
 
 
[C] INCORRETA. O ponto B tem coordenadas (2 3;2) e 
pertence ao primeiro quadrante. 
 
[D] INCORRETA. O ponto B tem coordenadas (2 3;2) e 
pertence ao primeiro quadrante. 
 
[E] INCORRETA. O ângulo AOB é maior que 60 , portanto 
não pode formar um triângulo equilátero (cujos ângulos 
internos são todos iguais a 60 ). 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Como 4 2 2 2i (i ) ( 1) 1,    vem 
 
2014 1987
4 503 2 4 496 3
4 503 2 4 496 3
z i i
i i
(i ) i (i ) i
1 i.
   
 
 
   
  
 
 
Portanto, 
 
2 2| z | | 1 i | ( 1) 1 2.       
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
Desenvolvendo o número complexo dado no enunciado, tem-se: 
 
          
 
  
2 2
u 2 2 (cos 315 i sen 315 ) 2 2 i
2 2
u 2 2i
 
Assim, o afixo de u é igual a P(2; 2). 
 
Desenvolvendo o número complexo w : 
2 2 2w u w (2 2i) 4 8i 4i w 8i          
 
Assim, o afixo de w é igual a Q(0; 8). 
 
Fazendo o gráfico, o ponto médio entre P e Q será M(1; 5). 
 
O coeficiente angular do segmento PQ será 
( 8) ( 2)
3.
0 2
  


 
 
O coeficiente angular da reta s perpendicular ao segmento 
PQ será 
1
.
3
 
 
Assim, a equação da reta s perpendicular ao segmento PQ 
 
 
 5 
será: 
             
   
1 1 1
y ( 5) (x 1) y 5 x 3y 15 1 x
3 3 3
x 3y 14 0
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Seja θ o argumento principal de Z. Tem-se que 
2 1 i
Z
5 1 i
2 1 i 1 i
5 1 i 1 i
2
i.
5

 

 
  
 

 
 
Portanto, como 
2
5tg
0
θ  não existe, podemos concluir que 
.
2
π
θ  
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
360ˆAOB 30 120
4

     
 
Portanto, o número complexo que representa o vértice B é 
dado na forma trigonométrica por: 
 z 2 cos120 i sen120
1 3
z 2 i
2 2
z 1 3 i
     
 
      
 
   
 
APRODUNDANDO 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Se 1 2z 1 i, z k i     e 3 1 2z z z ,  então 
3 1 2z z z
( 1 i) (k i)
k 1 ( k 1)i.
 
    
     
 
 
Logo, sendo 

k e 3| z | 10, temos 
2 2 2( k 1) ( k 1) 10 k 4
k 2.
       
 
 
 
Portanto, segue que 2z 2 i  e 3z 1 3i.   
[A] Falsa. Temos 
1 2| z z | | 1 i 2 i | | 1| 1 7.         
 
[B] Verdadeira. De fato, pois 
2
3
2
2
z 2 i
z 1 3i
2 i 1 3i
1 3i 1 3i
2 6i i 3i
1 9i
5 5i
10
1 i
.
2


 
  
 
   
   


 

 

 
 
[C] Falsa. Sendo  o argumento principal de 2z , tem-se que 
    
1
tg 1 tg225 .
2
 
 
[D] Falsa. Na verdade, sabemos que 
3 2
2
z z ( 1 3i) (2 i)
2 i 6i 3i
1 7i.
     
    
 
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
[I] Verdadeira. Somando as equações acima temos: 
 
           
 
   
3 i (1 i)
w i w 3 i w (1 i) 3 i w
1 i (1 i)
w 1 2 i
 
 
Logo, 
z 1 i.   
 
Fazendo 
2 2z w , temos: 
2 2z w 1 4i 4 a 2i 1 3 6i          
 
[II] Verdadeira. Se z é raiz da equação, podemos mostrar 
que z também é raiz. 
2 2 2 22 | z | ( z) 2 | z | (z) 4 2i         
 
Portanto, a soma de todas as suas raízes é zero. 
 
[III] Falsa, pois 
          
 
        
29
59 2 29
29 29
(1 i) (1 i) (1 i) ( 2 i) (1 i)
2 ( i) (1 i) 2 ( i 1)
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 a) Desde que | z 2 | 1,  com z x yi  e x, y , vem 
 
 
 
 6 
2 2
2 2 2
| z 2 | 1 | x 2 yi | 1
(x 2) y 1
(x 2) y 1 ,
     
   
   
 
 
ou seja, os números complexos z que satisfazem 
| z 2 | 1,  pertencem à circunferência de centro em (2, 0) 
e raio 1. 
 
Lembrando que | z i | denota a distância do complexo 
z x yi  ao complexo w i,  considere a figura. 
 
 
 
Queremos calcular a medida do segmento AB. 
 
Como AB AC CB  e CB 1, falta calcular AC. Daí, 
 
2 2AC (2 0) (0 ( 1)) 5      
 
e, portanto, 
 
AB 5 1.  
 
b) Os triângulos CBD e CAO são semelhantes por AA. 
Logo, 
 
CD CB 2
CD
5OC AC
   
 
e 
 
BD CB 1
BD .
5OA AC
   
 
Portanto, 
 
0
2 1 10 2 5 5
z 2 i i.
5 55 5

     
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Admitindo que z x yi,  temos: 
2 2 21z z 1 x y 1
z
      
 
Como 1 z 1,  temos: 
2 2 2 2(1 x) y 1 1 2x x y 1
1
1 2x 1 1 x
2
        
    
 
 
Determinando agora o valor de y : 
2
2 2 2 21 3 3x y 1 y 1 y y
2 4 2
 
          
 
 
 
Portanto, 
1 3
z i.
2 2
  
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
De acordo com as informações, segue que 
z 4 (cos135 i sen135 ) 2 2 2 2 i.          Logo, 
sendo z o conjugado de z, temos 
 
z z 2 2 2 2 i ( 2 2 2 2 i)
4 2 i.
        
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
Z2 + 
2
z i.z 1 0   
Fazendo z = x + yi, temos: 
 
(x + yi)2 + x2 + y2 + I.(x + yi) – 1 = 0 
 
Desenvolvendo a expressão temos: 
 
(2x2 – y – 1) + (2y + 1)x.i = 0 
 
2
2
1
(2y 1).x 0 x 0 ou y -
2
2x y 1 0
2x y 1 0

    
 
      
 
 
Para x = 0 temos y = -1 logo z1 = 0 –i 
Para y = 
1
2
 temos x = 
1
2
 ou x =
1
2
, logo z2 = 
1
2
1
2i
 e z3 
= 
1
2

1
2i
 
Somando: z1 + z2 + z3 = -2i 
 
Resposta da questão 7: 
 a) Seja z {(x, x) | x }.  Logo, a transformação que leva 
um número complexo em seu conjugado é 
 
 
 7 
f(z) z (x, x).   A representação geométrica do 
conjunto resultante dessa transformação corresponde à reta 
y x.  
 
 
 
b) O número complexo 
z 1
w
z 1



 é imaginário puro se, e 
somente se, Re(w) 0 e w 0. Em consequência, vem 
z 1 e, como w w 0,  temos 
2
z 1 z 1
0 (z 1)(z 1) (z 1)(z 1) 0
z 1 z 1
z z 1
| z | 1
| z | 1.
 
        
 
  
 
 
 
 
Portanto, o lugar geométrico dos pontos z do plano 
complexo tais que | z | 1, z 1  e z 1, é a 
circunferência centrada na origem e raio igual a 1, 
excetuados os pontos ( 1, 0) e (1, 0). 
 
 
 
c) Seja z (x, y), com x, y . Queremos determinar 
Re(z) x. 
A medida do lado dos possíveis triângulos equiláteros 
corresponde à distância entre as imagens dos complexos 
i (0,1) e 1 (1, 0), isto é, 
2 2(1 0) (0 1) 2.    
 
Logo, deve-se ter 
2 2 2 2
2 22 2
(x 0) (y 1) 2 x y 2y 1 2
x 2x 1 y 2(x 1) (y 0) 2
x y.
       

      
 
 
 
Portanto, segue que 
2 1 3 1 32x 2x 1 0 x ou x .
2 2
 
      
 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
[I] Verdadeira. 
           
             
       
       
2 2 2 22 i 2 i 1 i 1 i 2 i 1 i
2 i 2 i 1 i 1 i 4 1 1 1
2 i 2 i 1 i 1 i 5 2
2 i 2 i 1 i 1 i 10
          
            
        
       
 
 
[II] Falsa. 
7 1 3 2 21 2i 9 4i
i i
2 3 2 3 6 6
7 1 3 2 30 6i
i i
2 3 2 3 6 6
7 1 3 2 5 1
i i 5 i i
2 3 2 3 2 2
    
       
   
   
       
   
   
         
   
 
 
[III] Verdadeira. 
2z 2 z
2z 2 z
 
 
 
 
Como z 5, 
2z 2 5
2z 10
 

 
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
 
Do enunciado e da figura, o afixo A representa o complexo 
3 3
2 cos i sen .
4 4
 
 
 
π π
 
 
Assim, o vértice D é dado por: 
3 2 3 2
2 cos 3 i sen 3
4 6 4 6
7 7
2 cos i sen
4 4
    
        
    
    
    
    
π π π π
π π
 
 
 
 
 
 8